人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊全冊各章節(jié)課時練習(xí)題含答案解析（第四章數(shù)列、第五章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用）

人教A版選擇性必修第二冊練習(xí)題第四章數(shù)列 11、數(shù)列的概念與簡單表示法 12、數(shù)列的通項(xiàng)公式與遞推公式 43、等差數(shù)列的概念 74、等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用 145、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和 206、等比數(shù)列的概念 287、等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用 358、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和 429、等比數(shù)列習(xí)題課 4910、數(shù)學(xué)歸納法 58第五章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用練習(xí)題 641、變化率問題、導(dǎo)數(shù)的概念 642、導(dǎo)數(shù)的幾何意義 703、基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 784、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 845、函數(shù)的單調(diào)性 916、函數(shù)的極值 1007、函數(shù)的最大(小)值 1088、利用導(dǎo)數(shù)解決與函數(shù)有關(guān)的問題 117第四章數(shù)列1、數(shù)列的概念與簡單表示法一、選擇題(每小題5分，共30分，多選題全部選對得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分)1.下列四個結(jié)論：①如果已知一個數(shù)列的遞推公式及其首項(xiàng)，那么可以寫出這個數(shù)列的任何一項(xiàng)；②數(shù)列eq\f(2,3)，eq\f(3,4)，eq\f(4,5)，eq\f(5,6)，…的通項(xiàng)公式是an＝eq\f(n,n＋1)；③數(shù)列的圖象是一群孤立的點(diǎn)；④數(shù)列1，－1，1，－1，…與數(shù)列－1，1，－1，1，…是同一數(shù)列．其中正確的個數(shù)是()A．1B．2C．3D．4【解析】選A.只有③正確．①中，如已知an＋2＝an＋1＋an，a1＝1，無法寫出除首項(xiàng)外的其他項(xiàng)．②中an＝eq\f(n＋1,n＋2)，④中－1和1排列的順序不同，即二者不是同一數(shù)列．2．下列數(shù)列的關(guān)系是()(1)1，4，9，16，25(2)25，16，9，4，1(3)9，4，1，16，25A．都是同一個數(shù)列 B．都不相同C．(1)，(2)是同一數(shù)列 D．(2)，(3)是同一數(shù)列【解析】選B.三個數(shù)列中的數(shù)字相同，但排列的順序不同，故三個數(shù)列均不相同．3．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式是an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3n＋1，n是奇數(shù)，,2n－2，n是偶數(shù)，))則a2·a3等于()A．70B．28C．20D．8【解析】選C.因?yàn)閍n＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3n＋1，n是奇數(shù)，,2n－2，n是偶數(shù)，))所以a2＝2×2－2＝2，a3＝3×3＋1＝10，所以a2·a3＝20.4．已知數(shù)列eq\f(1,2)，eq\f(2,3)，eq\f(3,4)，eq\f(4,5)，…，eq\f(n,n＋1)，則0.96是該數(shù)列的()A．第22項(xiàng)B．第24項(xiàng)C．第26項(xiàng)D．第28項(xiàng)【解析】選B.令eq\f(n,n＋1)＝0.96，解得n＝24.5．若an＝eq\f(n,n＋1)，則an與an＋1的大小關(guān)系是()A．a(chǎn)n>an＋1 B．a(chǎn)n<an＋1C．a(chǎn)n＝an＋1 D．不能確定【解析】選B.因?yàn)閿?shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝eq\f(n,n＋1)＝eq\f(n＋1－1,n＋1)＝1－eq\f(1,n＋1)(n∈N*)，顯然當(dāng)n增大時an的值也隨之增大，故數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，故有an＜an＋1.6．(多選題)下列四個命題中，正確的有()A．?dāng)?shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(n＋1,n)))的第k項(xiàng)為1＋eq\f(1,k)B．已知數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))的通項(xiàng)公式為an＝n2－n－50，n∈N*，則－8是該數(shù)列的第7項(xiàng)C．?dāng)?shù)列3，5，9，17，33…的一個通項(xiàng)公式為an＝2n－1D．?dāng)?shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))的通項(xiàng)公式為an＝eq\f(n,n＋1)，n∈N*，則數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))是遞增數(shù)列【解析】選ABD.對于A，數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(n＋1,n)))的第k項(xiàng)為1＋eq\f(1,k)，A正確；B，令n2－n－50＝－8，得n＝7或n＝－6(舍去)，B正確；C，將3，5，9，17，33，…的各項(xiàng)減去1，得2，4，8，16，32，…，設(shè)該數(shù)列為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(bn))，則其通項(xiàng)公式為bn＝2n(n∈N*)，因此數(shù)列3，5，9，17，33，…的一個通項(xiàng)公式為an＝bn＋1＝2n＋1(n∈N*)C錯誤；D，an＝eq\f(n,n＋1)＝1－eq\f(1,n＋1)，則an＋1－an＝eq\f(1,n＋1)－eq\f(1,n＋2)＝eq\f(1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n＋1))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n＋2)))>0，因此數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))是遞增數(shù)列，D正確，二、填空題(每小題5分，共10分)7．設(shè)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝eq\f(1,\r(n)＋\r(n＋1))，則eq\r(10)－3是數(shù)列的第________項(xiàng)．【解析】an＝eq\f(1,\r(n)＋\r(n＋1))＝eq\f(\r(n＋1)－\r(n),（\r(n)＋\r(n＋1)）（\r(n＋1)－\r(n)）)＝eq\f(\r(n＋1)－\r(n),n＋1－n)＝eq\r(n＋1)－eq\r(n)，令eq\r(10)－3＝eq\r(n＋1)－eq\r(n)，所以n＝9.答案：98．若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝3－2n，則a2n＝________，eq\f(a2,a3)＝________．【解析】因?yàn)閍n＝3－2n，所以a2n＝3－22n＝3－4n，eq\f(a2,a3)＝eq\f(3－22,3－23)＝eq\f(1,5).答案：3－4neq\f(1,5)三、解答題(每小題10分，共20分)9．已知數(shù)列{an}中，an＝5n－3，求a5，并判斷97是否為數(shù)列{an}中的項(xiàng)．【解析】由已知，a5＝5×5－3＝22，令5n－3＝97，解得n＝20，故97是數(shù)列{an}的第20項(xiàng)．10．寫出數(shù)列{an}：1，eq\f(2,4)，eq\f(3,7)，eq\f(4,10)，eq\f(5,13)，…的通項(xiàng)公式，并判斷它的增減性．【解析】由于數(shù)列前n項(xiàng)分子分別為1，2，3，4，5，…，因此與項(xiàng)的序號n的關(guān)系可記為n，而分母依次為1，4，7，10，13，…，與項(xiàng)的序號n的關(guān)系可記為3n－2.所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為an＝eq\f(n,3n－2)(n∈N*).又因?yàn)閍n＋1－an＝eq\f(n＋1,3（n＋1）－2)－eq\f(n,3n－2)＝eq\f(－2,（3n＋1）（3n－2）)＜0，所以an＋1＜an，所以數(shù)列{an}為遞減數(shù)列．2、數(shù)列的通項(xiàng)公式與遞推公式一、選擇題(每小題5分，共30分，多選題全部選對得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分)1．已知an＋1－an－3＝0，則數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))是()A．遞增數(shù)列 B．遞減數(shù)列C．常數(shù)列 D．不能確定【解析】選A.因?yàn)閍n＋1－an－3＝0，得an＋1－an＝3>0，所以數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))是遞增數(shù)列．2．符合遞推關(guān)系式an＝eq\r(2)an－1(n≥2)的數(shù)列是()A．1，2，3，4，… B．1，eq\r(2)，2，2eq\r(2)，…C．eq\r(2)，2，eq\r(2)，2，… D．0，eq\r(2)，2，2eq\r(2)，…【解析】選B.由題意知從第2項(xiàng)開始每一項(xiàng)是前一項(xiàng)的eq\r(2)倍，只有B項(xiàng)符合．3．?dāng)?shù)列{an}中，a1＝1，對所有的n≥2，n∈N*，都有a1·a2·a3·…·an＝n2，則a3＋a5等于()A．eq\f(25,9)B．eq\f(25,16)C．eq\f(61,16)D．eq\f(31,15)【解析】選C.a1a2a3＝32，a1aa1a2a3a4a5＝5則a3＝eq\f(32,22)＝eq\f(9,4)，a5＝eq\f(52,42)＝eq\f(25,16).故a3＋a5＝eq\f(61,16).4．由1，3，5，…，2n－1，…構(gòu)成數(shù)列{an}，數(shù)列{bn}滿足b1＝2，當(dāng)n≥2時，bn＝abn－1，則b6的值是()A．9B．17C．33D．65【解析】選C.因?yàn)閎n＝abn－1，所以b2＝ab1＝a2＝3，b3＝ab2＝a3＝5，b4＝ab3＝a5＝9，b5＝ab4＝a9＝17，b6＝ab5＝a17＝33.5．下列給出的圖形中，星星的個數(shù)構(gòu)成一個數(shù)列，則該數(shù)列的一個遞推公式可以是()A.an＋1＝an＋n，n∈N*B．a(chǎn)n＝an－1＋n，n∈N*，n≥2C．a(chǎn)n＋1＝an＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n＋1))，n∈N*，n≥2D．a(chǎn)n＝an－1＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－1))，n∈N*，n≥2【解析】選B.結(jié)合圖示易知，a1＝1，a2＝3＝a1＋2，a3＝6＝a2＋3，a4＝10＝a3＋4.故該數(shù)列的一個遞推公式可以為an＝an－1＋n，n∈N*，n≥2.6．(多選題)已知數(shù)列{an}滿足：an≤an＋1，an＝n2＋λn，n∈N*，則實(shí)數(shù)λ可以取的值為()A．－3B．－2C．1D．2【解析】選ABCD.an≤an＋1?n2＋λn≤(n＋1)2＋λ(n＋1)?λ≥－(2n＋1)，n∈N*?λ≥－3.二、填空題(每小題5分，共10分)7．設(shè)數(shù)列{an}滿足：a1＝2，an＋1＝1－eq\f(1,an)，記數(shù)列{an}的前n項(xiàng)之積為∏n，則∏2021的值為________．【解析】由a2＝eq\f(1,2)，a3＝－1，a4＝2可知，數(shù)列{an}是周期為3的周期數(shù)列，從而∏2021＝(－1)673×2×eq\f(1,2)＝－1.答案：－18．?dāng)?shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))滿足a1＝1，an－an－1＝eq\f(1,n（n－1）)(n≥2且n∈N*)，則數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))的通項(xiàng)公式為an＝__________．【解析】an－an－1＝eq\f(1,n（n－1）)＝eq\f(1,n－1)－eq\f(1,n)，an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋(an－2－an－3)＋…＋(a2－a1)＋a1，an＝eq\f(1,n－1)－eq\f(1,n)＋eq\f(1,n－2)－eq\f(1,n－1)＋…＋eq\f(1,1)－eq\f(1,2)＋1＝2－eq\f(1,n)，當(dāng)n＝1時滿足．答案：2－eq\f(1,n)三、解答題(每小題10分，共20分)9．在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝eq\f(n,n＋1)an.(1)寫出數(shù)列的前5項(xiàng)；(2)猜想數(shù)列的一個通項(xiàng)公式．【解析】(1)a1＝1，a2＝eq\f(1,2)a1＝eq\f(1,2)，a3＝eq\f(2,3)a2＝eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,3)，a4＝eq\f(3,4)a3＝eq\f(3,4)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,4)，a5＝eq\f(4,5)a4＝eq\f(4,5)×eq\f(1,4)＝eq\f(1,5).(2)由(1)知an＝eq\f(1,n)(n∈N*).10．已知數(shù)列{an}滿足：a1＝m(m為正整數(shù))，an＋1＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(an,2)，an為偶數(shù)，,3an＋1，an為奇數(shù)．))若a6＝1，求m所有可能的取值．【解析】若a5為奇數(shù)，則3a5＋1＝1，a5＝0(舍去).若a5為偶數(shù)，則eq\f(a5,2)＝1，a5＝2.若a4為奇數(shù)，則3a4＋1＝2，a4＝eq\f(1,3)(舍去).若a4為偶數(shù)，則eq\f(a4,2)＝2，a4＝4.若a3為奇數(shù)，則3a3＋1＝4，a3＝1，則a2＝2，a1＝4.若a3為偶數(shù)，則eq\f(a3,2)＝4，a3＝8，若a2為奇數(shù)，則3a2＋1＝8，a2＝eq\f(7,3)(舍去).若a2為偶數(shù)，則eq\f(a2,2)＝8，a2＝16.若a1為奇數(shù)，則3a1＋1＝16，a1＝5.若a1為偶數(shù)，則eq\f(a1,2)＝16，a1＝32.故m所有可能的取值為4，5，32.3、等差數(shù)列的概念一、選擇題(每小題5分，共30分，多選題全部選對得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分)1．已知{an}為等差數(shù)列，a2＋a8＝12，則a5等于()A．4B．5C．6D．7【解析】選C.a2＋a8＝a1＋d＋a1＋7d＝2a1＋8d＝12，所以a1＋4d＝6，所以a5＝6.2．等差數(shù)列{an}中，已知a3＝7，a5＝13，則a7＝()A．16B．17C．18D．19【解析】選D.由等差數(shù)列的性質(zhì)可得2a5＝a3＋a7，所以a7＝2a5－a3＝19.3．若等差數(shù)列的前3項(xiàng)依次是x－1，x＋1，2x＋3，則其通項(xiàng)公式為()A．a(chǎn)n＝2n－5(n∈N*) B．a(chǎn)n＝2n－3(n∈N*)C．a(chǎn)n＝2n－1(n∈N*) D．a(chǎn)n＝2n＋1(n∈N*)【解析】選B.因?yàn)閤－1，x＋1，2x＋3是等差數(shù)列的前3項(xiàng)，所以2(x＋1)＝x－1＋2x＋3，解得x＝0.所以a1＝x－1＝－1，a2＝1，a3＝3，所以d＝2，所以an＝－1＋2(n－1)＝2n－3(n∈N*).4．在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1－an＝2，n∈N*，則a25的值為()A．49B．50C．89D．99【解析】選A.因?yàn)閍1＝1，an＋1－an＝2，n∈N*，所以數(shù)列{an}是等差數(shù)列，則a25＝1＋2×(25－1)＝49.5．已知數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))是等差數(shù)列，數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(bn))分別滿足下列各式，其中數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(bn))必為等差數(shù)列的是()A．bn＝|an|B．bn＝aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(n))C．bn＝eq\f(1,an)D．bn＝－eq\f(an,2)【解析】選D.設(shè)數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))的公差為d，選項(xiàng)A，B，C，都不滿足bn－bn－1＝同一常數(shù)，所以三個選項(xiàng)都是錯誤的；對于選項(xiàng)D，bn－bn－1＝－eq\f(an,2)＋eq\f(an－1,2)＝eq\f(an－1－an,2)＝－eq\f(d,2)，所以數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(bn))必為等差數(shù)列．6．(多選題)若數(shù)列{an}滿足a1＝1，3an＋1＝3an＋1，n∈N*，則數(shù)列{an}是()A．公差為1的等差數(shù)列B．公差為eq\f(1,3)的等差數(shù)列C．通項(xiàng)公式為an＝eq\f(n,3)＋eq\f(2,3)的等差數(shù)列D．通項(xiàng)公式為an＝eq\f(n,3)＋1的等差數(shù)列【解析】選BC.由3an＋1＝3an＋1，得3an＋1－3an＝1，即an＋1－an＝eq\f(1,3).所以數(shù)列{an}是公差為eq\f(1,3)的等差數(shù)列.又因?yàn)閍1＝1，得到an＝1＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－1))×eq\f(1,3)＝eq\f(n,3)＋eq\f(2,3)，故選BC.二、填空題(每小題5分，共10分)7．在等差數(shù)列{an}中，若a1＝5，d＝2，則a10＝________；若已知a1＝3，d＝4，an＝59，則n＝__________．【解析】a10＝a1＋(10－1)d＝5＋9×2＝23.因?yàn)閍n＝a1＋(n－1)d，所以59＝3＋4(n－1)，解得n＝15.答案：23158．等差數(shù)列1，－1，－3，－5，…，－89的項(xiàng)數(shù)為________.【解析】因?yàn)閍1＝1，d＝－1－1＝－2，所以an＝a1＋(n－1)d＝－2n＋3.由－2n＋3＝－89，得n＝46.答案：46三、解答題(每小題10分，共20分)9．已知等差數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))滿足a1＋a2＝10，a4－a3＝2.(1)求首項(xiàng)及公差；(2)求eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))的通項(xiàng)公式．【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))的公差為d.因?yàn)閍4－a3＝2，所以d＝2.又因?yàn)閍1＋a2＝10，所以2a1＋d＝10，故a1＝4.(2)由(1)可知an＝4＋2(n－1)＝2n＋2(n＝1，2，…).10．已知等差數(shù)列{an}：3，7，11，15，….(1)135，4m＋19(m∈N*)是數(shù)列{an}中的項(xiàng)嗎？試說明理由；(2)若ap，aq(p，q∈N*)是數(shù)列{an}中的項(xiàng)，則2ap＋3aq是數(shù)列{an}中的項(xiàng)嗎？并說明你的理由．【解析】因?yàn)閍1＝3，d＝4，所以an＝a1＋(n－1)d＝4n－1.(1)令an＝4n－1＝135，所以n＝34，所以135是數(shù)列{an}中的第34項(xiàng)．令an＝4n－1＝4m＋19，則n＝m＋5∈N*.所以4m＋19是{an}中的第m＋5項(xiàng)．(2)因?yàn)閍p，aq是{an}中的項(xiàng)，所以ap＝4p－1，aq＝4q－1.所以2ap＋3aq＝2(4p－1)＋3(4q－1)＝8p＋12q－5＝4(2p＋3q－1)－1，因?yàn)?p＋3q－1∈N*，所以2ap＋3aq是{an}中的第2p＋3q－1項(xiàng)．提升訓(xùn)練一、選擇題(每小題5分，共20分，多選題全部選對得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分)1．給出下列命題：①數(shù)列6，4，2，0是公差為2的等差數(shù)列；②數(shù)列a，a－1，a－2，a－3是公差為－1的等差數(shù)列；③等差數(shù)列的通項(xiàng)公式一定能寫成an＝kn＋b的形式(k，b為常數(shù))；④數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(2n＋1))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n∈N*))是等差數(shù)列．其中正確命題的序號是()A．①②B．①③C．②③④D．③④【解析】選C.根據(jù)等差數(shù)列的定義可知，數(shù)列6，4，2，0的公差為－2，①錯誤；對于②，由等差數(shù)列的定義可知，數(shù)列a，a－1，a－2，a－3是公差為－1的等差數(shù)列，所以②正確；對于③，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an＝a1＋(n－1)d，得an＝dn＋(a1－d)，令k＝d，b＝a1－d，則an＝kn＋b，所以③正確；對于④，因?yàn)閍n＋1－an＝2(n＋1)＋1－(2n＋1)＝2，所以數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(2n＋1))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n∈N*))是等差數(shù)列．所以④正確．2．我國古代著名的《周髀算經(jīng)》中提到：凡八節(jié)二十四氣，氣損益九寸九分六分分之一；冬至晷(guǐ)長一丈三尺五寸，夏至晷長一尺六寸．意思是：一年有二十四個節(jié)氣，每相鄰兩個節(jié)氣之間的日影長度差為99eq\f(1,6)分；且“冬至”時日影長度最大，為1350分；“夏至”時日影長度最小，為160分．則“立春”時日影長度為()A.953eq\f(1,3)分 B．1052eq\f(1,2)分C．1151eq\f(2,3)分 D．1250eq\f(5,6)分【解析】選B.一年有二十四個節(jié)氣，每相鄰兩個節(jié)氣之間的日影長度差為99eq\f(1,6)分，且“冬至”時日影長度最大，為1350分；“夏至”時日影長度最小，為160分．從“冬至”到“立春”有：“小寒”和“大寒”，且日影長變短，所以“立春”時日影長度為：1350＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1190,12)))×3＝1052eq\f(1,2)(分).3．在等差數(shù)列{an}中，a2，a14是方程x2＋6x＋2＝0的兩個實(shí)根，則eq\f(a8,a2a14)＝()A．－eq\f(3,2)B．－3C．－6D．2【解析】選A.由于a2，a14是方程x2＋6x＋2＝0的兩個實(shí)根，所以a2＋a14＝2a8＝－6，a8＝－3，a2·a14＝2，所以eq\f(a8,a2a14)＝eq\f(－3,2)＝－eq\f(3,2).4．(多選題)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a，公差為1，數(shù)列{bn}滿足bn＝eq\f(an,an＋1).若對任意n∈N*，bn≤b6，則實(shí)數(shù)a的可能取值是()A．－7B．－6.5C．－6.3D．－6【解析】選BC.因?yàn)閧an}是首項(xiàng)為a，公差為1的等差數(shù)列，所以an＝n＋a－1.所以bn＝eq\f(an,an＋1)＝1－eq\f(1,n＋a).又因?yàn)閷θ我獾膎∈N*，都有bn≤b6成立，可知eq\f(1,6＋a)≤eq\f(1,n＋a)，又因?yàn)閿?shù)列{an}是遞增數(shù)列，則必有7＋a－1<0且8＋a－1>0，所以－7<a<－6.二、填空題(每小題5分，共20分)5．已知{an}為等差數(shù)列，若a2＝2a3＋1，a4＝2a3＋7，則a3＝________．【解析】因?yàn)閧an}為等差數(shù)列，a2＝2a3＋1，a4＝2a3＋7，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋d＝2（a1＋2d）＋1,a1＋3d＝2（a1＋2d）＋7))，解得a1＝－10，d＝3，所以a3＝a1＋2d＝－10＋6＝－4.答案：－46．已知數(shù)列{an}中，a3＝2，a7＝1，且數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an＋1)))為等差數(shù)列，則a5＝________．【解析】由數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an＋1)))為等差數(shù)列，則有eq\f(1,a3＋1)＋eq\f(1,a7＋1)＝eq\f(2,a5＋1)，可解得a5＝eq\f(7,5).答案：eq\f(7,5)7．?dāng)?shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))滿足：log2an＋1＝1＋log2an，若a3＝10，則a8＝________．【解析】log2an＋1＝1＋log2an，所以log2an＋1－log2an＝1，所以eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(log2an))為等差數(shù)列，公差為1，第三項(xiàng)為log210，所以log2a8＝log2所以a8＝320.答案：3208．在下面的數(shù)表中，已知每行、每列中的數(shù)都成等差數(shù)列．第1列第2列第3列…第1行123…第2行246…第3行369………………那么位于表中的第n行第(n＋1)列的數(shù)是________.【解析】由題意可得，第n行的第一個數(shù)是n，第n行的數(shù)構(gòu)成以n為首項(xiàng)，n為公差的等差數(shù)列，其中第(n＋1)項(xiàng)為n＋n·n＝n2＋n.所以題表中的第n行第(n＋1)列的數(shù)是n2＋n.答案：n2＋n三、解答題(每小題10分，共30分)9．已知f(x)＝eq\f(2x,x＋2)，在數(shù)列{xn}中，x1＝eq\f(1,3)，xn＝f(xn－1)(n≥2，n∈N*)，試說明數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,xn)))是等差數(shù)列，并求x95的值．【解析】因?yàn)楫?dāng)n≥2時，xn＝f(xn－1)，所以xn＝eq\f(2xn－1,xn－1＋2)(n≥2)，即xnxn－1＋2xn＝2xn－1(n≥2)，得eq\f(2xn－1－2xn,xnxn－1)＝1(n≥2)，即eq\f(1,xn)－eq\f(1,xn－1)＝eq\f(1,2)(n≥2).又eq\f(1,x1)＝3，所以數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,xn)))是以3為首項(xiàng)，eq\f(1,2)為公差的等差數(shù)列，所以eq\f(1,xn)＝3＋(n－1)×eq\f(1,2)＝eq\f(n＋5,2)，所以xn＝eq\f(2,n＋5)，所以x95＝eq\f(2,95＋5)＝eq\f(1,50).10．?dāng)?shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝(n2＋n－λ)an(n＝1，2，…)，λ是常數(shù)．(1)當(dāng)a2＝－1時，求λ及a3的值；(2)是否存在實(shí)數(shù)λ使數(shù)列{an}為等差數(shù)列？若存在，求出λ及數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；若不存在，請說明理由．【解析】(1)由于an＋1＝(n2＋n－λ)an(n＝1，2，…)，且a1＝1.所以當(dāng)a2＝－1時，得－1＝2－λ，故λ＝3.從而a3＝(22＋2－3)×(－1)＝－3.(2)數(shù)列{an}不可能為等差數(shù)列，證明如下：由a1＝1，an＋1＝(n2＋n－λ)an，得a2＝2－λ，a3＝(6－λ)(2－λ)，a4＝(12－λ)(6－λ)(2－λ)，若存在λ使{an}為等差數(shù)列，則a3－a2＝a2－a1，即(5－λ)(2－λ)＝1－λ，解得λ＝3.于是a2－a1＝1－λ＝－2，a4－a3＝(11－λ)(6－λ)(2－λ)＝－24.這與{an}為等差數(shù)列矛盾．所以，不存在λ使{an}是等差數(shù)列．11．已知數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))滿足an＋1＝eq\f(6an－4,an＋2)，且a1＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n∈N*)).(1)證明：數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an－2)))是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))的通項(xiàng)公式．【解析】(1)因?yàn)閍n＋1＝eq\f(6an－4,an＋2)，所以eq\f(1,a1－2)＝eq\f(1,3－2)＝1，eq\f(1,an＋1－2)＝eq\f(1,\f(6an－4,an＋2)－2)＝eq\f(an＋2,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6an－4))－2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(an＋2)))＝eq\f(an＋2,4an－8)＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(an－2))＋4,4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(an－2)))＝eq\f(1,an－2)＋eq\f(1,4)，即eq\f(1,an＋1－2)－eq\f(1,an－2)＝eq\f(1,4)，n∈N*，故數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an－2)))是首項(xiàng)為1，公差為eq\f(1,4)的等差數(shù)列．(2)由(1)知eq\f(1,an－2)＝eq\f(1,a1－2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－1))×eq\f(1,4)＝eq\f(n＋3,4)，所以an＝eq\f(2n＋10,n＋3)，n∈N*.4、等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用一、選擇題(每小題5分，共30分，多選題全部選對得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分)1．在等差數(shù)列{an}中，若a2＝4，a4＝2，則a6＝()A．－1B．0C．1D．6【解析】選B.由等差數(shù)列的性質(zhì)得a6＝2a4－a2＝2×2－4＝0.2．等差數(shù)列{an}中a2＝5，a6＝33，則a3＋a5＝()A．35B．38C．45D．48【解析】選B.由等差數(shù)列的性質(zhì)知a3＋a5＝a2＋a6＝38.3．等差數(shù)列{an}中，已知a3＝10，a8＝－20，則公差d＝()A．3B．－6C．4D．－3【解析】選B.由等差數(shù)列的性質(zhì)，得a8－a3＝(8－3)d＝5d，所以d＝eq\f(－20－10,5)＝－6.4．設(shè)數(shù)列{an}，{bn}都是等差數(shù)列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，則a37＋b37等于()A．0B．37C．100D．－37【解析】選C.因?yàn)閧an}，{bn}都是等差數(shù)列，所以{an＋bn}也是等差數(shù)列．又因?yàn)閍1＋b1＝100，a2＋b2＝100，所以an＋bn＝100，故a37＋b37＝100.5．我國古代數(shù)學(xué)名著《張邱建算經(jīng)》中有如下問題：“今有女不善織，日減功遲，初日織五尺，末日織一尺，今三十織迄”其大意為：有一女子不善于織布，每天比前一天少織同樣多的布，第一天織5尺，最后一天織一尺，三十天織完．則該女子第11天織布()A．eq\f(11,3)尺B．eq\f(105,29)尺C．eq\f(65,29)尺D．eq\f(7,3)尺【解析】選B.設(shè)女子每天的織布數(shù)構(gòu)成的數(shù)列為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))，由題設(shè)可知eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))為等差數(shù)列，且a1＝5，a30＝1，故公差d＝eq\f(1－5,30－1)＝－eq\f(4,29)，故a11＝a1＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(11－1))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,29)))＝5－eq\f(40,29)＝eq\f(105,29).6．(多選題)若a，b，c成等差數(shù)列，則二次函數(shù)y＝ax2－2bx＋c的圖象與x軸的交點(diǎn)的個數(shù)可能為()A．0B．1C．2D．3【解析】選BC.因?yàn)閍，b，c成等差數(shù)列，所以2b＝a＋c，所以Δ＝4b2－4ac＝(a＋c)2－4ac＝(a－c)2≥0.所以二次函數(shù)y＝ax2－2bx＋c的圖象與x軸的交點(diǎn)個數(shù)為1或2.二、填空題(每小題5分，共10分)7．已知各項(xiàng)都為正數(shù)的等差數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))中，a5＝3，則a3a7的最大值為________.【解析】依題意，等差數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))各項(xiàng)都為正數(shù)，所以a3>0，a7>0，所以a3a7≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a3＋a7,2)))eq\s\up12(2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a5))eq\s\up12(2)＝9.當(dāng)且僅當(dāng)a3＝a7＝3時等號成立．答案：98．在等差數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))中，若a2＋a8＝10.則eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a4＋a6))2－2a5＝__________．【解析】因?yàn)閿?shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))為等差數(shù)列，a2＋a8＝a4＋a6＝2a5＝10，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a4＋a6))2－2a5＝102－10＝90.答案：90三、解答題(每小題10分，共20分)9．兩個等差數(shù)列{an}：5，8，11，…和{bn}：3，7，11，…都有100項(xiàng)，那么它們共有多少個相同的項(xiàng)？【解析】方法一：設(shè)已知兩數(shù)列的所有相同的項(xiàng)構(gòu)成的新數(shù)列為{cn}，c1＝11，又?jǐn)?shù)列5，8，11，…的通項(xiàng)公式為an＝3n＋2，數(shù)列3，7，11，…的通項(xiàng)公式為bn＝4n－1，所以數(shù)列{cn}為等差數(shù)列，且d＝12，所以cn＝12n－1.又因?yàn)閍100＝302，b100＝399，所以cn＝12n－1≤302，所以n≤25eq\f(1,4)，所以已知兩數(shù)列共有25個相同的項(xiàng)．方法二：因?yàn)閍n＝3n＋2，bn＝4n－1，設(shè)an＝bm，則有3n＋2＝4m－1(n，m∈N*)即n＝eq\f(4,3)m－1(n，m∈N*).要使n為正整數(shù)，m必須是3的倍數(shù)．設(shè)m＝3k(k∈N*)，代入n＝eq\f(4,3)m－1，得n＝4k－1.又因?yàn)?≤3k≤100，且1≤4k－1≤100，所以1≤k≤25，所以共有25個相同的項(xiàng)．10．在等差數(shù)列{an}中，若a1＋a2＋…＋a5＝30，a6＋a7＋…＋a10＝80，求a11＋a12＋…＋a15.【解析】方法一：由等差數(shù)列的性質(zhì)得a1＋a11＝2a6，a2＋a12＝2a7，…，a5＋a15＝2a10.所以(a1＋a2＋…＋a5)＋(a11＋a12＋…＋a15)＝2(a6＋a7＋…＋a10).所以a11＋a12＋…＋a15＝2(a6＋a7＋…＋a10)－(a1＋a2＋…＋a5)＝2×80－30＝130.方法二：因?yàn)閿?shù)列{an}是等差數(shù)列，所以a1＋a2＋…＋a5，a6＋a7＋…＋a10，a11＋a12＋…＋a15也成等差數(shù)列，即30，80，a11＋a12＋…＋a15成等差數(shù)列，所以30＋(a11＋a12＋…＋a15)＝2×80，a11＋a12＋…＋a15＝130.提升練習(xí)一、選擇題(每小題5分，共20分，多選題全部選對得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分)1．?dāng)?shù)列{an}滿足3＋an＝an＋1且a2＋a4＋a6＝9，則log6(a5＋a7＋a9)的值是()A．－2B．－eq\f(1,2)C．2D．eq\f(1,2)【解析】選C.因?yàn)閍n＋1－an＝3，所以{an}為等差數(shù)列，且d＝3.a2＋a4＋a6＝9＝3a4，所以a4＝3，a5＋a7＋a9＝3a7＝3(a4＋3d)＝3(3＋3×3)＝36，所以log6(a5＋a7＋a9)＝log636＝2.2．若5，x，y，z，21成等差數(shù)列，則x＋y＋z的值為()A．26B．29C．39D．52【解析】選C.因?yàn)?，x，y，z，21成等差數(shù)列，所以y既是5和21的等差中項(xiàng)也是x和z的等差中項(xiàng)．所以5＋21＝x＋z＝2y，所以y＝13，x＋z＝26，所以x＋y＋z＝39.3．《九章算術(shù)》“竹九節(jié)”問題：現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面4節(jié)的容積共3升，下面3節(jié)的容積共4升，則第5節(jié)的容積為()A．1升B．eq\f(67,66)升C．eq\f(47,44)升D．eq\f(37,33)升【解析】選B.設(shè)所構(gòu)成的等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，則有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋a2＋a3＋a4＝3，,a7＋a8＋a9＝4，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4a1＋6d＝3，,3a1＋21d＝4.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝\f(13,22)，,d＝\f(7,66)，))所以a5＝a1＋4d＝eq\f(67,66)，即第5節(jié)的容積為eq\f(67,66)升．4．(多選題)在等差數(shù)列{an}中，已知a5＝10，a12>31，則公差d的取值可以為()A．3B．4C．5D．6【解析】選BCD.設(shè)首項(xiàng)為a1，由題意，可知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋4d＝10，,a1＋11d>31，))解得d>3.所以d的取值范圍是(3，＋∞).二、填空題(每小題5分，共20分)5．已知△ABC中三邊a，b，c成等差數(shù)列，eq\r(a)，eq\r(b)，eq\r(c)也成等差數(shù)列，則△ABC的形狀為________．【解析】由題可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋c＝2b，①,\r(a)＋\r(c)＝2\r(b)，②))②2－①，得2eq\r(ac)＝2b.所以b2＝ac，又(a＋c)2＝4b2，即(a＋c)2＝4ac，所以a2－2ac＋c2＝0，即(a－c)2＝0，所以a＝c，代入①，可得a＝b＝c，所以△ABC為等邊三角形．答案：等邊三角形6．如果等差數(shù)列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a4＝____；a1＋a2＋…＋a7＝____．【解析】由a3＋a4＋a5＝3a4＝12，所以a4＝4,a1＋a2＋…＋a7＝7a4＝28.答案：4287．在等差數(shù)列{an}中，a5＋a6＝4，則log2(2a1·2a2·…·2a10)＝________．【解析】在等差數(shù)列{an}中，a5＋a6＝4，所以a1＋a10＝a2＋a9＝a3＋a8＝a4＋a7＝a5＋a6＝4，所以a1＋a2＋…＋a10＝(a1＋a10)＋(a2＋a9)＋(a3＋a8)＋(a4＋a7)＋(a5＋a6)＝5(a5＋a6)＝20，則log2(2a1·2a2·…·2a10)＝log22a1＋a2＋…＋a＝a1＋a2＋…＋a10＝20.答案：208．已知(x2－2x＋m)(x2－2x＋n)＝0的4個根組成首項(xiàng)為eq\f(1,4)的等差數(shù)列，則|m－n|＝________．【解析】因?yàn)閥＝x2－2x＋m與y＝x2－2x＋n有相同的對稱軸，設(shè)四個根分別為x1，x2，x3，x4，不妨設(shè)x1，x4為x2－2x＋m＝0的兩根，x2，x3為x2－2x＋n＝0的兩根，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＋x4＝2，,x1x4＝m.))eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋x3＝2，,x2x3＝n.))不妨令x1＝eq\f(1,4)，所以x4＝eq\f(7,4)，x2＝eq\f(3,4)，x3＝eq\f(5,4)，所以m＝eq\f(7,16)，n＝eq\f(15,16)，所以|m－n|＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)三、解答題(每小題10分，共30分)9．設(shè)數(shù)列{an}是等差數(shù)列，bn＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(an)，且b1＋b2＋b3＝eq\f(21,8)，b1b2b3＝eq\f(1,8)，求通項(xiàng)公式an.【解析】因?yàn)閎1b2b3＝eq\f(1,8)，又bn＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(an)，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(a1)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(a2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(a3)＝eq\f(1,8)，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(a1)＋a2＋a3＝eq\f(1,8)，所以a1＋a2＋a3＝3.又{an}成等差數(shù)列，所以a2＝1，a1＋a3＝2.所以b1b3＝eq\f(1,4)，b1＋b3＝eq\f(17,8)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b1＝2，,b3＝\f(1,8)，))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b1＝\f(1,8)，,b3＝2，))所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝－1，,a3＝3))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝3，,a3＝－1.))設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，當(dāng)a1＝－1，a3＝3時，d＝2，所以an＝－1＋2(n－1)＝2n－3；當(dāng)a1＝3，a3＝－1時，d＝－2，所以an＝3－2(n－1)＝－2n＋5.綜上所述，an＝2n－3(n∈N*)或an＝－2n＋5(n∈N*).10．已知無窮等差數(shù)列{an}中，首項(xiàng)a1＝3，公差d＝－5，依次取出序號能被4除余3的項(xiàng)組成數(shù)列{bn}．(1)求b1和b2；(2)求{bn}的通項(xiàng)公式；(3){bn}中的第503項(xiàng)是{an}中的第幾項(xiàng)？【解析】數(shù)列{bn}是數(shù)列{an}的一個子數(shù)列，其序號構(gòu)成以3為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列，由于{an}是等差數(shù)列，則{bn}也是等差數(shù)列．(1)因?yàn)閍1＝3，d＝－5，所以an＝3＋(n－1)×(－5)＝8－5n.數(shù)列{an}中序號被4除余3的項(xiàng)是{an}中的第3項(xiàng)，第7項(xiàng)，第11項(xiàng)，…，所以b1＝a3＝－7，b2＝a7＝－27.(2)設(shè){an}中的第m項(xiàng)是{bn}中的第n項(xiàng)，即bn＝am，則m＝3＋4(n－1)＝4n－1，所以bn＝am＝a4n－1＝8－5×(4n－1)＝13－20n，即{bn}的通項(xiàng)公式為bn＝13－20n(n∈N*).(3)b503＝13－20×503＝－10047，設(shè)它是{an}中的第m項(xiàng)，則－10047＝8－5m，解得m＝2011，即{bn}中的第503項(xiàng)是{an}中的第2011項(xiàng)．11．已知正項(xiàng)數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))滿足aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(n))＝(2n－1)an＋2n.(1)求證：數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))是等差數(shù)列；(2)若數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(bn))滿足bn＝eq\f(an－\r(40),n－\r(11))，且數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(bn))的最大項(xiàng)為bp，最小項(xiàng)為bq，求p＋q的值．【解析】由已知有：aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(n))－(2n－1)an－2n＝(an－2n)(an＋1)＝0且an>0，所以由an＝2n，n∈N*，得an＋1－an＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n＋1))－2n＝2，由aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－1))a1－2＝0，解得a1＝2，所以數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))是以首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列；(2)bn＝eq\f(an－\r(40),n－\r(11))＝eq\f(2n－\r(40),n－\r(11))＝2×eq\f(n－\r(10),n－\r(11))＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(\r(11)－\r(10),n－\r(11))))，當(dāng)n＝4時，bn最大，當(dāng)n＝3時，bn最小，所以p＋q＝4＋3＝7.5、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和一、選擇題(每小題5分，共30分，多選題全部選對得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分)1．已知等差數(shù)列{an}的前10項(xiàng)和為30，a6＝8，則a100＝()A．100B．958C．948D．18【解析】選C.設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由已知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋5d＝8，,10a1＋\f(10×9,2)d＝30，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝－42，,d＝10，))所以a100＝－42＋99×10＝948.2．已知等差數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))的前n項(xiàng)和Sn，且S3＝S5＝15，則S7＝()A．4B．7C．14D．eq\f(7,2)【解析】選B.等差數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))的前n項(xiàng)和為Sn，且S3＝S5＝15，所以a4＋a5＝0，所以2a1＋7d＝0.再根據(jù)S3＝3a1＋3d＝15，可得a1＝7，d＝－2，則S7＝7a1＋eq\f(7×6,2)d＝49＋21×(－2)＝7.3．在等差數(shù)列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝45，則S9＝()A．45B．162C．81D．eq\f(135,2)【解析】選C.因?yàn)樵诘炔顢?shù)列{an}中，a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝45，所以a5＝9.所以S9＝eq\f(9（a1＋a9）,2)＝9a5＝81.4．在等差數(shù)列{an}中，a1＝1，其前n項(xiàng)和為Sn，若eq\f(S5,5)－eq\f(S3,3)＝2，則a10的值為()A．18B．19C．20D．21【解析】選B.因?yàn)樵诘炔顢?shù)列{an}中，a1＝1，其前n項(xiàng)和為Sn，設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，若eq\f(S5,5)－eq\f(S3,3)＝2，則eq\f(\f(5\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1＋a5)),2),5)－eq\f(\f(3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1＋a3)),2),3)＝eq\f(a1＋a5,2)－eq\f(a1＋a3,2)＝d＝2，所以a10＝a1＋9d＝19.5．(2019·全國卷Ⅰ)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．已知S4＝0，a5＝5，則()A．a(chǎn)n＝2n－5 B．a(chǎn)n＝3n－10C．Sn＝2n2－8n D．Sn＝eq\f(1,2)n2－2n【解析】選A.由題知，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(S4＝4a1＋\f(d,2)×4×3＝0，,a5＝a1＋4d＝5，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝－3，,d＝2，))所以an＝2n－5，故選A.6．(多選題)已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且S6>S7>S5，則下列選項(xiàng)中說法正確的是()A．d<0 B．S11>0C．S12<0D．?dāng)?shù)列{Sn}中的最大項(xiàng)為S11【解析】選AB.因?yàn)镾6>S7，所以a7<0，因?yàn)镾7>S5，所以a6＋a7>0，所以a6>0，所以d<0，A正確．S11＝eq\f(11,2)(a1＋a11)＝11a6>0，B正確．S12＝eq\f(12,2)(a1＋a12)＝6(a6＋a7)>0，C不正確．{Sn}中的最大項(xiàng)為S6，D不正確．二、填空題(每小題5分，共10分)7．《九章算術(shù)》是我國第一部數(shù)學(xué)專著，現(xiàn)有源自其中的一個問題：“今有金菙(chuí)，長五尺，斬本一尺，重四斤，斬末一尺，重二斤．問金菙重幾何．”其意思為：“今有金杖(粗細(xì)均勻變化)長5尺，截得本端1尺，重4斤，截得末端1尺，重2斤．問金杖重多少．”答案是______(斤、尺非國際通用單位).【解析】由題意可知等差數(shù)列中a1＝4，a5＝2，則S5＝eq\f(（a1＋a5）×5,2)＝eq\f(（4＋2）×5,2)＝15，故金杖重15斤．答案：15斤8．已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，且a2＝1，a5＝－5.則(1){an}的通項(xiàng)公式an＝______________；(2){an}前n項(xiàng)和Sn的最大值為____________．【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，由已知條件得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋d＝1，,a1＋4d＝－5，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝3，,d＝－2，))所以an＝a1＋(n－1)d＝－2n＋5(n∈N*).(2)方法一：Sn＝na1＋eq\f(n（n－1）,2)d＝－n2＋4n＝4－(n－2)2.所以當(dāng)n＝2時，Sn取到最大值4.方法二：由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an≥0，,an＋1<0))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2n＋5≥0，,－2（n＋1）＋5<0，))即eq\f(3,2)<n≤eq\f(5,2)，故當(dāng)n＝2時，Sn最大．又S2＝a1＋a2＝3＋1＝4，所以當(dāng)n＝2時，Sn取得最大值4.答案：(1)－2n＋5(n∈N*)(2)4三、解答題(每小題10分，共20分)9．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝n2＋n＋1.(1)寫出數(shù)列的前5項(xiàng)；(2)數(shù)列{an}是等差數(shù)列嗎？說明理由；(3)寫出{an}的通項(xiàng)公式．【解析】(1)因?yàn)镾n＝n2＋n＋1，所以a1＝S1＝3，a2＝S2－S1＝7－3＝4，a3＝S3－S2＝13－7＝6，a4＝S4－S3＝21－13＝8，a5＝S5－S4＝31－21＝10.(2)由(1)可知，a2－a1＝4－3＝1，a3－a2＝6－4＝2，所以a3－a2≠a2－a1，所以數(shù)列{an}不是等差數(shù)列．(3)因?yàn)楫?dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1，所以an＝n2＋n＋1－[(n－1)2＋(n－1)＋1]＝2n(n≥2)，a1＝S1＝3，所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3，n＝1，,2n，n≥2.))10．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中λ為常數(shù)．(1)證明：an＋2－an＝λ.(2)是否存在λ，使得{an}為等差數(shù)列？并說明理由．【解析】(1)由anan＋1＝λSn－1知，an＋1an＋2＝λSn＋1－1，兩式相減得，an＋1(an＋2－an)＝λan＋1，又因?yàn)閍n＋1≠0，所以an＋2－an＝λ.(2)存在．由a1＝1，a1a2＝λa1－1，得a2由(1)知，a3＝λ＋1.令2a2＝a1＋a3，解得λ＝4.所以an＋2－an＝4，由此可得，{a2n－1}是首項(xiàng)為1，公差為4的等差數(shù)列，a2n－1＝1＋(n－1)·4＝4n－3；{a2n}是首項(xiàng)為3，公差為4的等差數(shù)列，a2n＝3＋(n－1)·4＝4n－1.所以an＝2n－1，an＋1－an＝2.因此存在λ＝4，使得{an}為等差數(shù)列．提升練習(xí)一、選擇題(每小題5分，共20分)1．在1和2兩數(shù)之間插入n(n∈N＋)個數(shù)，使它們與1，2組成一個等差數(shù)列，則當(dāng)n＝10時，該數(shù)列的所有項(xiàng)和為()A．15B．16C．17D．18【解析】選D.設(shè)在1和2兩數(shù)之間插入n(n∈N＋)個數(shù)，使它們與1，2組成一個等差數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))，可得a1＝1，a12＝2，所以數(shù)列的所有項(xiàng)和為eq\f(12（a1＋a12）,2)＝eq\f(12×（1＋2）,2)＝18.2．等差數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))中，Sn是前n項(xiàng)和，若a3＋a8＝5，S9＝45，則S11＝()A．0B．10C．20D．25【解析】選A.設(shè)等差數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))的首項(xiàng)為a1，公差為d，因?yàn)閑q\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(a3＋a8＝5,S9＝45)))，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(2a1＋9d＝5,9a1＋36d＝45)))，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(2a1＋9d＝5,a1＋4d＝5)))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(a1＝25,d＝－5)))，則S11＝25×11－eq\f(11×10,2)×5＝0.故選A.3．已知等差數(shù)列{an}中，a2＝6，a5＝15，若bn＝a2n，則數(shù)列{bn}的前5項(xiàng)和等于()A．30B．45C．90D．186【解析】選C.因?yàn)閑q\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝6，,a5＝15，))所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋d＝6，,a1＋4d＝15，))故eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝3，,d＝3.))所以an＝a1＋(n－1)d＝3n，故bn＝a2n＝6n，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b1＝6×1＝6，,d′＝bn＋1－bn＝6，))因此{(lán)bn}的前5項(xiàng)和為S5＝5×6＋eq\f(5×4,2)×6＝90.4．記等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a5＝3，S13＝91，則S11＝()A．36B．72C．55D．110【解析】選C.因?yàn)镾13＝eq\f(（a1＋a13）×13,2)＝13a7＝91，所以a7＝7，因?yàn)閍5＝3，所以a5＋a7＝10，因?yàn)閍1＋a11＝a5＋a7＝10，所以S11＝eq\f(（a1＋a11）×11,2)＝55.二、填空題(每小題5分，共20分)5．(2019·全國卷Ⅲ)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，a1≠0，a2＝3a1，則eq\f(S10,S5)＝________.【解析】設(shè)該等差數(shù)列的公差為d，因?yàn)閍2＝3a1，所以a1＋d＝3a1，故d＝2a1(a1≠0，d≠0)，所以eq\f(S10,S5)＝eq\f(\f(10（a1＋a10）,2),\f(5（a1＋a5）,2))＝eq\f(2（2a1＋9d）,2a1＋4d)＝eq\f(2×10d,5d)＝4.答案：46．已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若＝a1＋a200，且A，B，C三點(diǎn)共線(該直線不過原點(diǎn)O)，則S200＝________．【解析】因?yàn)椋絘1＋a200，且A，B，C三點(diǎn)共線，所以a1＋a200＝1，所以S200＝eq\f(200×（a1＋a200）,2)＝100.答案：1007．我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》里有一段敘述：今有良馬和駑馬發(fā)長安至齊，良馬初日行一百零三里，日增十三里；駑馬初日行九十七里，日減半里；良馬先至齊，復(fù)還迎駑馬，九日后二馬相逢，則齊去長安________里．【解析】由題設(shè)可知良馬、駑馬的速度都成等差數(shù)列，良馬的首項(xiàng)a1＝103，公差d＝13，駑馬的首項(xiàng)b1＝97，公差d′＝－0.5，良馬先至齊，復(fù)還迎駑馬，九日后二馬相逢，則二馬行走的總路程為103×9＋eq\f(9×8,2)×13＋97×9＋eq\f(9×8,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－0.5))＝2250，所以eq\f(2250,2)＝1125(里).答案：11258．我國古代，9是數(shù)字之極，代表尊貴之意，所以中國古代皇家建筑中包含許多與9相關(guān)的設(shè)計(jì)．例如，北京天壇圓丘的地面由扇環(huán)形的石板鋪成(如圖所示)，最高一層是一塊天心石，圍繞它的第一圈有9塊石板，從第二圈開始，每一圈比前一圈多9塊，共有9圈，則這9圈的石板總數(shù)是________.【解析】因?yàn)樽罡咭粚拥闹行氖且粔K天心石，圍繞它的第一圈有9塊石板，從第二圈開始，每一圈比前一圈多9塊，共有9圈，則每圈的石板數(shù)構(gòu)成一個以9為首項(xiàng)，以9為公差的等差數(shù)列，所以an＝9n，當(dāng)n＝9時，第9圈共有81塊石板，所以這9圈的石板總數(shù)S9＝eq\f(9,2)(9＋81)＝405.答案：405三、解答題(每小題10分，共30分)9．已知等差數(shù)列{an}中，其前n項(xiàng)和為Sn，公差為d.(1)a1＝eq\f(1,2)，S4＝20，求S6.(2)a1＝1，an＝－512，Sn＝－1022，求d.【思維導(dǎo)引】利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式與求和公式列方程求解．【解析】(1)S4＝4a1＋eq\f(4×（4－1）,2)d＝4a1＋6d＝2＋6d＝20，所以d＝3.故S6＝6a1＋eq\f(6×（6－1）,2)d＝6a1＋15d＝6×eq\f(1,2)＋15×3＝48.(2)由Sn＝eq\f(n（a1＋an）,2)＝eq\f(n（1－512）,2)＝－1022，解得n＝4.又由an＝a1＋(n－1)d，即－512＝1＋(4－1)d，解得d＝－171.10．設(shè)a1，d為實(shí)數(shù)，首項(xiàng)為a1，公差為d的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，滿足S5S6＋15＝0.(1)若S5＝5，求S6及a1.(2)求d的取值范圍．【解析】(1)由題意知S6＝－eq\f(15,S5)＝－3，a6＝S6－S5＝－8，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(5a1＋10d＝5，,a1＋5d＝－8，))解得a1＝7.綜上，S6＝－3，a1＝7.(2)因?yàn)镾5S6＋15＝0，所以(5a1＋10d)(6a1＋15d)＋15＝0，即2aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋9da1＋10d2＋1＝0，所以(4a1＋9d)2＝d2－8，所以d2≥8.故d的取值范圍為d≤－2eq\r(2)或d≥2eq\r(2).11．對于給定的正整數(shù)k，若數(shù)列{an}滿足an－k＋an－k＋1＋…＋an－1＋an＋1＋…＋an＋k－1＋an＋k＝2kan對任意正整數(shù)n(n>k)總成立，則稱數(shù)列{an}是“P(k)數(shù)列”．(1)證明：等差數(shù)列{an}是“P(3)數(shù)列”．(2)若數(shù)列{an}既是“P(2)數(shù)列”，又是“P(3)數(shù)列”，證明：{an}是等差數(shù)列．【證明】(1)因?yàn)閑q\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))是等差數(shù)列，設(shè)其公差為d，則an＝a1＋(n－1)d，從而，當(dāng)n≥4時，an－k＋an＋k＝a1＋(n－k－1)d＋a1＋(n＋k－1)d＝2a1＋2(n－1)d＝2an，k＝1，2，3，所以an－3＋an－2＋an－1＋an＋1＋an＋2＋an＋3＝6an，因此等差數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))是“Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3))數(shù)列”．(2)數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))既是“Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2))數(shù)列”，又是“Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3))數(shù)列”，因此，當(dāng)n≥3時，an－2＋an－1＋an＋1＋an＋2＝4an，①當(dāng)n≥4時，an－3＋an－2＋an－1＋an＋1＋an＋2＋an＋3＝6an.②由①知，an－3＋an－2＝4an－1－(an＋an＋1)，③an＋2＋an＋3＝4an＋1－(an－1＋an)，④將③④代入②，得an－1＋an＋1＝2an，其中n≥4，所以a3，a4，a5，…是等差數(shù)列，設(shè)其公差為d′.在①中，取n＝4，則a2＋a3＋a5＋a6＝4a4，所以a2＋a3＋a3＋2d′＋a3＋3d′＝4(a3＋d′)，即a2＝a3－d′，在①中，取n＝3，則a1＋a2＋a4＋a5＝4a3，因?yàn)閍3＝a2＋d′，所以a1＋a2＋a2＋2d′＋a2＋3d′＝4(a2＋d′)，即a1＝a2－d′，所以數(shù)列{an}是等差數(shù)列．6、等比數(shù)列的概念一、選擇題(每小題5分，共30分，多選題全部選對得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分)1．已知等比數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))中，a3＝1，a5＝2，則首項(xiàng)a1＝()A．eq\f(1,4)B．eq\f(1,2)C．eq\f(\r(2),2)D．0【解析】選B.設(shè)等比數(shù)列的公比為q，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a3＝a1q2＝1,a5＝a1q4＝2))，解得q2＝2，所以a1＝eq\f(1,q2)＝eq\f(1,2).2．?dāng)?shù)列{an}滿足：an＋1＝λan－1(n∈N*，λ≠0，λ∈R)，若數(shù)列{an－1}是等比數(shù)列，則λ的值是()A．1B．2C．eq\f(1,2)D．－1【解析】選B.數(shù)列{an－1}為等比數(shù)列?eq