演示文稿塑性力學(xué)二單元

（優(yōu)選）塑性力學(xué)二單元當(dāng)前1頁(yè)，總共150頁(yè)。一、前言二、應(yīng)力分析三、應(yīng)變張量及其不變量四、屈服條件、屈服曲面五、兩種常用的屈服條件七、加載條件八、塑性本構(gòu)關(guān)系六、屈服條件的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證當(dāng)前2頁(yè)，總共150頁(yè)。5個(gè)基本假設(shè)

一、前言②材料是均勻的、連續(xù)的。③各向均勻的應(yīng)力狀態(tài),即靜水應(yīng)力狀態(tài)不影響塑性變形而只產(chǎn)生彈性體積的變化。①忽略時(shí)間因素對(duì)材料變形的影響。（不計(jì)蠕變和松弛）④穩(wěn)定材料。⑤均勻應(yīng)力—應(yīng)變實(shí)驗(yàn)的結(jié)果，可以用于有應(yīng)力梯度的情況。當(dāng)前3頁(yè)，總共150頁(yè)。二、應(yīng)力分析1、應(yīng)力張量及其不變量（1）一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的表示方式（2）斜截面上的應(yīng)力與應(yīng)力張量的關(guān)系（3）主應(yīng)力及應(yīng)力張量的不變量2、偏應(yīng)力張量及其不變量（1）偏應(yīng)力張量（2）偏應(yīng)力張量的不變量（3）引入與J2′有關(guān)的幾個(gè)定義當(dāng)前4頁(yè)，總共150頁(yè)。1、應(yīng)力張量及其不變量應(yīng)力狀態(tài)的概念：受力物體內(nèi)某點(diǎn)處所取無(wú)限多截面上的應(yīng)力情況的總和，就顯示和表明了該點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)?？紤]到剪應(yīng)力互等,一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)用六個(gè)應(yīng)力分量來(lái)表示。二、應(yīng)力分析xyzO當(dāng)前5頁(yè)，總共150頁(yè)。應(yīng)力張量的概念：0階張量：

30=11階張量：31=32階張量：32=93階張量：33=27xyzO數(shù)學(xué)上，在坐標(biāo)變換時(shí)，服從一定坐標(biāo)變換式的九個(gè)數(shù)所定義的量，叫做二階張量。根據(jù)這一定義，物體內(nèi)一點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)可用二階張量的形式來(lái)表示，并稱為應(yīng)力張量，而各應(yīng)力分量即為應(yīng)力張量的元素，且由剪應(yīng)力互等定理知，應(yīng)力張量應(yīng)是一個(gè)對(duì)稱的二階張量，簡(jiǎn)稱為應(yīng)力張量。當(dāng)前6頁(yè)，總共150頁(yè)。（1）一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的表示方式一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)由一個(gè)二階對(duì)稱的應(yīng)力張量表示，在直角坐標(biāo)系中由九個(gè)應(yīng)力分量表示。xyzOx面的應(yīng)力：y面的應(yīng)力：z面的應(yīng)力：用矩陣形式寫成當(dāng)前7頁(yè)，總共150頁(yè)。工程力學(xué)的習(xí)慣寫法彈性力學(xué)的習(xí)慣寫法采用張量下標(biāo)記號(hào)的應(yīng)力寫法把坐標(biāo)軸x、y、z分別用x1、x2、x3表示，或簡(jiǎn)記為xj(j=1,2,3)。應(yīng)力張量為對(duì)稱張量，有6個(gè)獨(dú)立分量。當(dāng)前8頁(yè)，總共150頁(yè)。（2）斜截面上的應(yīng)力與應(yīng)力張量的關(guān)系在xj坐標(biāo)系中，考慮一個(gè)法線為N的斜平面。N是單位向量，其方向余弦為則這個(gè)面上的應(yīng)力向量SN的三個(gè)分量與應(yīng)力張量之間的關(guān)系當(dāng)前9頁(yè)，總共150頁(yè)。說(shuō)明i）重復(fù)出現(xiàn)的下標(biāo)叫做求和下標(biāo)，相當(dāng)于這稱為求和約定；ii）不重復(fù)出現(xiàn)的下標(biāo)i叫做自由下標(biāo)，可取i=1,2,3采用張量下標(biāo)記號(hào),可簡(jiǎn)寫成當(dāng)前10頁(yè)，總共150頁(yè)。（3）主應(yīng)力及應(yīng)力張量的不變量①主應(yīng)力(Principalstress)若某一斜面上，則該斜面上的正應(yīng)力稱為該點(diǎn)一個(gè)主應(yīng)力；②應(yīng)力主向主應(yīng)力所在的平面——稱為主平面；主應(yīng)力所在平面的法線方向——稱為應(yīng)力主向；根據(jù)主平面的定義，設(shè)SN與N重合。若SN的大小為λ,則它在各坐標(biāo)軸上的投影為當(dāng)前11頁(yè)，總共150頁(yè)。代入當(dāng)前12頁(yè)，總共150頁(yè)。即

將這個(gè)行列式展開(kāi)得到由幾何關(guān)系可知由于l1、l2、l3不能同時(shí)為零。對(duì)于包含這三個(gè)未知量的線性齊次方程，若有非零解，則此方程組的系數(shù)行列式應(yīng)當(dāng)?shù)扔诹恪；虍?dāng)前13頁(yè)，總共150頁(yè)。其中當(dāng)前14頁(yè)，總共150頁(yè)。當(dāng)坐標(biāo)軸方向改變時(shí),應(yīng)力張量的分量均將改變,但主應(yīng)力的大小不應(yīng)隨坐標(biāo)軸的選取而改變。因此,方程的系數(shù)的J1、J2、J3值與坐標(biāo)軸的取向無(wú)關(guān)，稱為應(yīng)力張量的三個(gè)不變量。③應(yīng)力張量的不變量可以證明方程有三個(gè)實(shí)根，即三個(gè)主應(yīng)力當(dāng)用主應(yīng)力來(lái)表示不變量時(shí)當(dāng)前15頁(yè)，總共150頁(yè)。應(yīng)力張量不變量及其應(yīng)用應(yīng)力張量是二階實(shí)對(duì)稱張量，有3個(gè)獨(dú)立的主不變量。利用應(yīng)力張量的3個(gè)主不變量，可以判別應(yīng)力狀態(tài)的異同。例：判別以下兩個(gè)應(yīng)力張量是否表示同一應(yīng)力狀態(tài)？當(dāng)前16頁(yè)，總共150頁(yè)。兩個(gè)應(yīng)力張量表示同一應(yīng)力狀態(tài)。判別兩個(gè)應(yīng)力狀態(tài)是否相同，可以通過(guò)判別對(duì)應(yīng)的三個(gè)主應(yīng)力不變量是否相同實(shí)現(xiàn)。當(dāng)前17頁(yè)，總共150頁(yè)。靜水“壓力”在靜水壓力作用下，應(yīng)力~應(yīng)變間服從彈性規(guī)律，且不會(huì)屈服、不會(huì)產(chǎn)生塑性變形，則應(yīng)力分量分成兩部分。應(yīng)力不產(chǎn)生塑性變形的部分產(chǎn)生塑性變形的部分平均正應(yīng)力2、偏應(yīng)力張量及其不變量（1）偏應(yīng)力張量當(dāng)前18頁(yè)，總共150頁(yè)。應(yīng)力張量可作如下分解：用張量符號(hào)表示：應(yīng)力球張量應(yīng)力偏張量應(yīng)力球張量當(dāng)前19頁(yè)，總共150頁(yè)?！獑挝磺驈埩炕颉獞?yīng)力球張量使微分單元體三個(gè)方向作用相同的正應(yīng)力，這使單元體發(fā)生變形時(shí)，只能產(chǎn)生導(dǎo)致體積的均勻膨脹或收縮。因而只能改變單元體體積，而不能改變單元體形狀。

其中：當(dāng)前20頁(yè)，總共150頁(yè)。應(yīng)力偏張量——應(yīng)力偏張量應(yīng)力偏張量sij將不改變微分單元體的體積，僅產(chǎn)生形狀的畸變。它描述的是實(shí)際應(yīng)力狀態(tài)與平均應(yīng)力狀態(tài)的偏離程度，所以它對(duì)描述問(wèn)題的塑性變形是十分重要的。當(dāng)前21頁(yè)，總共150頁(yè)。說(shuō)明材料進(jìn)入塑性后，單元體的體積變形是彈性的，只與應(yīng)力球張量有關(guān)；而與形狀改變有關(guān)的塑性變形則是由應(yīng)力偏張量引起的，應(yīng)力張量的這種分解在塑性力學(xué)中有重要意義。σzσxσyσxσyσzσmσmσm-σm-σm-σm=+當(dāng)前22頁(yè)，總共150頁(yè)。（2）偏應(yīng)力張量的不變量偏應(yīng)力張量的主軸方向與應(yīng)力主軸方向一致，而主值（稱為主偏應(yīng)力）為：或應(yīng)力偏張量也有三個(gè)不變量當(dāng)前23頁(yè)，總共150頁(yè)。其中應(yīng)力偏張量的第二不變量今后用得最多。說(shuō)明再介紹它的其他幾個(gè)表達(dá)式：在后面章節(jié)中我們將看到，在屈服條件中起重要作用。至于可以注意它有這樣的特點(diǎn)：不管的分量多么大，只要有一個(gè)主偏應(yīng)力為零，就有。這暗示在屈服條件中不可能起決定作用。當(dāng)前24頁(yè)，總共150頁(yè)。（3）引入與J2′有關(guān)的幾個(gè)定義①等效應(yīng)力如果假定相等的兩個(gè)應(yīng)力狀態(tài)的力學(xué)效應(yīng)相同，那么對(duì)一般應(yīng)力狀態(tài)可以定義：——在塑性力學(xué)中稱為應(yīng)力強(qiáng)度或等效應(yīng)力，它代表復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)折合成單向應(yīng)力狀態(tài)的當(dāng)量應(yīng)力。注意：這里的“強(qiáng)度”或“等效”都是在意義下衡量的。當(dāng)前25頁(yè)，總共150頁(yè)。等效應(yīng)力隨應(yīng)力狀態(tài)不同而變化，即等效應(yīng)力是衡量材料處于彈性狀態(tài)或塑性狀態(tài)的重要依據(jù)，它反映了各主應(yīng)力的綜合作用。簡(jiǎn)單拉伸時(shí)當(dāng)前26頁(yè)，總共150頁(yè)。②等效應(yīng)力的特點(diǎn)ⅰ）與空間坐標(biāo)軸的選取無(wú)關(guān)；ⅱ）各正應(yīng)力增加或減少同一數(shù)值（也就是疊加一個(gè)靜水應(yīng)力狀態(tài)）時(shí)數(shù)值不變，即與應(yīng)力球張量無(wú)關(guān)；ⅲ）全反號(hào)時(shí)的數(shù)值不變。當(dāng)前27頁(yè)，總共150頁(yè)。

標(biāo)志著所考察的偏應(yīng)力狀態(tài)與材料未受力（或只受靜水應(yīng)力）狀態(tài)的距離或差別的大小?？梢钥闯龃砜臻g的中的廣義距離③

空間

空間指的是以的九個(gè)分量為坐標(biāo)軸的九維偏應(yīng)力空間；當(dāng)前28頁(yè)，總共150頁(yè)。④等效剪應(yīng)力T——在塑性力學(xué)中稱為剪應(yīng)力強(qiáng)度或等效剪應(yīng)力在純剪時(shí)：⑤八面體上的剪應(yīng)力等斜面：通過(guò)某點(diǎn)做平面，該平面的法線與三個(gè)應(yīng)力主軸夾角相等。當(dāng)前29頁(yè)，總共150頁(yè)。設(shè)將坐標(biāo)軸x、y、z取與應(yīng)力主方向一致，則等斜面法線的三個(gè)方向余弦為滿足上式的面共有八個(gè)，構(gòu)成一個(gè)八面體，如圖所示。應(yīng)力向量正應(yīng)力剪應(yīng)力當(dāng)前30頁(yè)，總共150頁(yè)。八面體的剪應(yīng)力說(shuō)明八面體面上的應(yīng)力向量可分解為兩個(gè)分量：i)垂直于八面體面的分量，即正應(yīng)力，它與應(yīng)力球張量有關(guān)，或者說(shuō)與有關(guān)；ii)沿八面體面某一切向的分量，即剪應(yīng)力與應(yīng)力偏張量的第二不變量有關(guān)。當(dāng)前31頁(yè)，總共150頁(yè)。⑥八面體剪應(yīng)力、等效應(yīng)力和等效剪應(yīng)力之間的換算關(guān)系說(shuō)明這些量的引入，使我們有可能把復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)化作“等效”（在意義下等效）的單向應(yīng)力狀態(tài)，從而有可能對(duì)不同應(yīng)力狀態(tài)的“強(qiáng)度”作出定量的描述和比較。當(dāng)前32頁(yè)，總共150頁(yè)。例:設(shè)某點(diǎn)的應(yīng)力張量為，試求其主應(yīng)力及主方向，并寫出應(yīng)力偏量，畫出應(yīng)力狀態(tài)分析簡(jiǎn)圖。解：主應(yīng)力σ由下式給出解三次方程得到因此可求得當(dāng)前33頁(yè)，總共150頁(yè)。將求得的代入下式可求得相應(yīng)于σ1的主方向余弦為同理，可求得相應(yīng)于σ2的主方向余弦為同理，可求得相應(yīng)于σ3的主方向余弦為當(dāng)前34頁(yè)，總共150頁(yè)。又對(duì)于應(yīng)力張量σij

應(yīng)力偏張量用主應(yīng)力表示的應(yīng)力狀態(tài)分析圖如下：-20104010101030-30=+當(dāng)前35頁(yè)，總共150頁(yè)。三、應(yīng)變張量及其不變量1、應(yīng)變張量2、主應(yīng)變及應(yīng)變張量的不變量3、偏應(yīng)變張量及其不變量當(dāng)前36頁(yè)，總共150頁(yè)。三、應(yīng)變張量及其不變量設(shè)物體內(nèi)一點(diǎn)(x，y，z)，這一點(diǎn)的三個(gè)位移分量是u，v，w顯然它們是x，y，z的函數(shù)。在小變形條件下，應(yīng)變和位移的關(guān)系(幾何方程)如下：1、應(yīng)變張量（與應(yīng)力張量一樣，為二階張量）當(dāng)前37頁(yè)，總共150頁(yè)。

與工程剪應(yīng)變相差一半，即

這樣取的目的是使構(gòu)成一個(gè)二階對(duì)稱張量，即應(yīng)變張量。當(dāng)前38頁(yè)，總共150頁(yè)。注：以下標(biāo)之間的逗號(hào)表示微商公式的張量形式：當(dāng)前39頁(yè)，總共150頁(yè)。2、主應(yīng)變及應(yīng)變張量的不變量平均正應(yīng)變類似地，應(yīng)變張量有三個(gè)主應(yīng)變和三個(gè)不變量：當(dāng)前40頁(yè)，總共150頁(yè)。3、偏應(yīng)變張量及其不變量應(yīng)變張量也可以分解為應(yīng)變球張量和應(yīng)變偏張量，即應(yīng)變球張量它與彈性的體積改變部分有關(guān)應(yīng)變偏張量只反映變形中形狀改變的那部分①偏應(yīng)變張量當(dāng)前41頁(yè)，總共150頁(yè)。②偏應(yīng)變張量的不變量其中和分別是主應(yīng)變和偏應(yīng)變張量的主值。當(dāng)前42頁(yè)，總共150頁(yè)。4、引入與I2′有關(guān)的幾個(gè)定義①等效應(yīng)變?cè)诤?jiǎn)單拉伸時(shí)，如果材料不可壓縮，則當(dāng)前43頁(yè)，總共150頁(yè)。②等效剪應(yīng)變?cè)诩兗魰r(shí)當(dāng)前44頁(yè)，總共150頁(yè)。四、屈服條件、屈服曲面1、屈服條件2、應(yīng)力空間和主應(yīng)力空間3、屈服曲面、屈服曲線4、π平面上的幾何關(guān)系當(dāng)前45頁(yè)，總共150頁(yè)。四、屈服條件、屈服曲面簡(jiǎn)單應(yīng)力狀態(tài)下的屈服極限：復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下，設(shè)作用于物體上的外載荷逐步增加，在其變形的初始階段，每個(gè)微元處于彈性階段。材料初始彈性狀態(tài)的界限稱為初始屈服條件，簡(jiǎn)稱為屈服條件。一般地：受六個(gè)應(yīng)力分量、應(yīng)變分量、應(yīng)變速率、時(shí)間、溫度等因素的綜合影響。1、屈服條件當(dāng)前46頁(yè)，總共150頁(yè)。當(dāng)不考慮時(shí)間效應(yīng)且接近常溫時(shí)，在初始屈服前材料處于彈性狀態(tài)，應(yīng)力和應(yīng)變間有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。幾何意義屈服條件在以應(yīng)力分量為坐標(biāo)的應(yīng)力空間中為一曲面。稱為屈服曲面。屈服曲面是區(qū)分彈性和塑性的分界面。①當(dāng)應(yīng)力點(diǎn)位于曲面之內(nèi)，即時(shí)，材料處于彈性階段。②當(dāng)應(yīng)力點(diǎn)位于曲面之上，即時(shí)，材料開(kāi)始屈服，進(jìn)入塑性狀態(tài)。當(dāng)前47頁(yè)，總共150頁(yè)。②靜水應(yīng)力不影響材料的塑性性質(zhì)。這時(shí)，屈服條件只與應(yīng)力偏量有關(guān)：兩點(diǎn)假設(shè)①材料是初始各向同性的，即屈服條件與坐標(biāo)的取向無(wú)關(guān)。可表示為三個(gè)主應(yīng)力的函數(shù)：也可由應(yīng)力偏張量的不變量表示：或用應(yīng)力不變量來(lái)表示：當(dāng)前48頁(yè)，總共150頁(yè)。2、應(yīng)力空間和主應(yīng)力空間①應(yīng)力空間一點(diǎn)的應(yīng)力張量有九個(gè)應(yīng)力分量，以它們?yōu)榫艂€(gè)坐標(biāo)軸就得到假想的九維應(yīng)力空間?？紤]到九個(gè)應(yīng)力分量中只有六個(gè)是獨(dú)立的，所以又可構(gòu)成一個(gè)六維應(yīng)力空間來(lái)描述應(yīng)力狀態(tài)。一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)可以用九維或六維應(yīng)力空間中的一個(gè)點(diǎn)來(lái)表示。②主應(yīng)力空間當(dāng)前49頁(yè)，總共150頁(yè)。它是以為坐標(biāo)軸的假想的三維空間，這個(gè)空間中的一個(gè)點(diǎn)，就確定了用主應(yīng)力所表示的一個(gè)應(yīng)力狀態(tài)。③主應(yīng)力空間的性質(zhì)L直線：主應(yīng)力空間中過(guò)原點(diǎn)并與坐標(biāo)軸成等角的直線。其方程為顯然，L直線上的點(diǎn)代表物體中承受靜水應(yīng)力的點(diǎn)的狀態(tài)，這樣的應(yīng)力狀態(tài)將不產(chǎn)生塑性變形。當(dāng)前50頁(yè)，總共150頁(yè)。

平面：主應(yīng)力空間中過(guò)原點(diǎn)而與L直線垂直的平面。其方程為由于平面上任一點(diǎn)的平均正應(yīng)力為零，所以平面上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)于只有應(yīng)力偏張量、不引起體積變形的應(yīng)力狀態(tài)。

主應(yīng)力空間中任意一點(diǎn)P所確定的向量總可以分解為：O當(dāng)前51頁(yè)，總共150頁(yè)。所以向量是在平面上這樣任意應(yīng)力狀態(tài)就被分解為兩部分，分別與應(yīng)力球張量和應(yīng)力偏張量部分對(duì)應(yīng)。應(yīng)力球張量應(yīng)力偏張量O當(dāng)前52頁(yè)，總共150頁(yè)。O3、屈服曲面、屈服曲線

對(duì)應(yīng)于應(yīng)力狀態(tài)的球張量部分，即靜水壓力部分；由于靜水應(yīng)力不影響屈服，即屈服與否與無(wú)關(guān)。因此當(dāng)P點(diǎn)達(dá)到屈服時(shí)，線上的任一點(diǎn)也都達(dá)到屈服。當(dāng)前53頁(yè)，總共150頁(yè)。屈服曲面是一個(gè)等截面柱面，其母線平行于L直線。并且此柱面垂直于平面。屈服曲線：屈服曲面與π平面相交所得的一條封閉曲線，或稱屈服軌跡。屈服曲線屈服曲面當(dāng)前54頁(yè)，總共150頁(yè)。①由于材料是初始各向同性的，屈服條件不因坐標(biāo)變換而變化，因此屈服曲線關(guān)于三軸對(duì)稱。屈服曲線的方程屈服曲線的主要性質(zhì):②對(duì)于大多數(shù)金屬材料，初始拉伸和壓縮的屈服極限相等，因此屈服曲線關(guān)于三軸的垂線也對(duì)稱。當(dāng)前55頁(yè)，總共150頁(yè)。①分別在主應(yīng)力空間的三根坐標(biāo)軸上截取長(zhǎng)度為1的線段。由于等斜面與π平面平行，所以角β為π平面與主應(yīng)力空間的夾角，也即的夾角。4、π平面上的幾何關(guān)系其中：O等斜面111當(dāng)前56頁(yè)，總共150頁(yè)。

把S投影到π平面上，可得到其（x,y）坐標(biāo)為：OxyS②在π平面上取x、y軸，如圖。則屈服曲線上任一點(diǎn)S在π平面上的坐標(biāo)為：當(dāng)前57頁(yè)，總共150頁(yè)。當(dāng)采用極坐標(biāo)表示時(shí)：三種特殊情況單向拉伸純剪切單向壓縮就是Lode應(yīng)力參數(shù)當(dāng)前58頁(yè)，總共150頁(yè)。

平面的定義。問(wèn)題③什么叫屈服條件？④屈服條件在什么假定下變?yōu)?。⑤⑥為什么平面上的屈服曲線有六條對(duì)稱軸。⑦的幾何意義是什么？①應(yīng)力張量狀態(tài)的三個(gè)不變量的表達(dá)方式？偏應(yīng)力張量狀態(tài)的三個(gè)不變量的表達(dá)方式？②偏應(yīng)變張量狀態(tài)的三個(gè)不變量的表達(dá)方式？當(dāng)前59頁(yè)，總共150頁(yè)。五、兩種常用的屈服條件1、Tresca屈服條件(1864年)2、Mises屈服條件3、π平面上Mises圓同Tresca六邊形的幾何關(guān)系當(dāng)前60頁(yè)，總共150頁(yè)。五、兩種常用的屈服條件1、Tresca屈服條件(1864年)基于實(shí)驗(yàn)觀測(cè)，Tresca假設(shè)材料在某處出現(xiàn)屈服是由于該點(diǎn)的最大剪應(yīng)力達(dá)到某一極限值k。當(dāng)已知Tresca屈服條件可以表示為—也就是材料力學(xué)的第三強(qiáng)度理論由對(duì)稱性拓展后，得到π平面上的一個(gè)正六邊形。當(dāng)前61頁(yè)，總共150頁(yè)。如不規(guī)定在主應(yīng)力空間中，它們構(gòu)成一母線平行于L直線的正六邊形柱面當(dāng)前62頁(yè)，總共150頁(yè)。當(dāng)前63頁(yè)，總共150頁(yè)。對(duì)于平面應(yīng)力狀態(tài)，當(dāng)時(shí)，變?yōu)榧丛谄矫嫔?，其屈服軌跡呈斜六邊形，這相當(dāng)于正六邊形柱面被的平面斜截所得的曲線。式當(dāng)前64頁(yè)，總共150頁(yè)。常數(shù)k1一般由實(shí)驗(yàn)確定：在單向拉伸時(shí)：在純剪切時(shí)：比較這二者可知，采用Treca條件就意味著當(dāng)前65頁(yè)，總共150頁(yè)。Treca屈服條件的適用范圍1、在主應(yīng)力方向和大小順序都已知時(shí)，Tresca屈服條件求解問(wèn)題是比較方便的，因?yàn)樵谝欢ǚ秶鷥?nèi)，應(yīng)力分量之間滿足線性關(guān)系。2、在主應(yīng)力方向已知，但其大小順序未知時(shí)，不失一般性，屈服條件可寫為：然后可用應(yīng)力偏張量的不變量的形式寫成3、主應(yīng)力方向未知，很難用表達(dá)式描述。Treca屈服條件一般僅適用于主應(yīng)力方向已知的情況。當(dāng)前66頁(yè)，總共150頁(yè)。Tresca條件的局限：①主應(yīng)力未知時(shí)表達(dá)式過(guò)于復(fù)雜；②未考慮中間主應(yīng)力的影響。1913年Mises指出:Tresca條件在π平面上的截跡是一個(gè)正六邊形,因此不能用一個(gè)簡(jiǎn)單的方程來(lái)表示;此外,六角形的六個(gè)頂點(diǎn)是由實(shí)驗(yàn)得到的,但是連接這六個(gè)點(diǎn)的直線卻包含了假定(認(rèn)為中間主應(yīng)力不影響屈服),這種假定是否合適,需經(jīng)實(shí)驗(yàn)證明。Mises認(rèn)為：用一個(gè)圓來(lái)連接這六個(gè)點(diǎn)似乎更合理，并且可以避免因曲線不光滑而引起的數(shù)學(xué)上的困難。Mises條件在應(yīng)力空間中的軌跡是外接于Tresca六角柱體的圓柱體。當(dāng)前67頁(yè)，總共150頁(yè)。當(dāng)前68頁(yè)，總共150頁(yè)。Mises屈服條件假定屈服曲線的一般表達(dá)式具有如下的最簡(jiǎn)單形式：2、Mises屈服條件由屈服曲線上的點(diǎn)在π平面上投影可知因此，在π平面Mises屈服條件可用一個(gè)圓來(lái)表示。當(dāng)前69頁(yè)，總共150頁(yè)。當(dāng)前70頁(yè)，總共150頁(yè)。常數(shù)K2

一般由實(shí)驗(yàn)確定：在單向拉伸時(shí)：在純剪切時(shí)：比較這二者可知，采用Mises條件應(yīng)有：當(dāng)前71頁(yè)，總共150頁(yè)。確定常數(shù)K2以后，Mises屈服條件可寫成以下常用的形式：或在主應(yīng)力空間中是一個(gè)母線平行于L直線的圓柱面。當(dāng)前72頁(yè)，總共150頁(yè)。Mises屈服準(zhǔn)則為：即所以，米塞斯屈服準(zhǔn)則也可以表述為：在一定的變形條件下，當(dāng)受力物體內(nèi)一點(diǎn)的等效應(yīng)力達(dá)到某一定值時(shí)，該點(diǎn)就開(kāi)始進(jìn)入塑性狀態(tài)。當(dāng)前73頁(yè)，總共150頁(yè)。在平面上，這是一個(gè)橢圓。為主應(yīng)力空間中的Mises圓柱面被平面斜截所得。對(duì)于平面應(yīng)力狀態(tài)，當(dāng)時(shí)，有：MisesTresca由于上式中右端常數(shù)由單向拉伸實(shí)驗(yàn)確定，所以圖中Mises橢圓外接于Tresca斜六邊形。當(dāng)前74頁(yè)，總共150頁(yè)。3、π平面上Mises圓同Tresca六邊形的幾何關(guān)系①如果假定在簡(jiǎn)單拉伸時(shí)兩種屈服條件相重合，則Tresca六邊形將內(nèi)接于Mises圓。內(nèi)接Tresca六邊形Mises圓Mises:Tresca:純剪切時(shí)，Tresca六邊形同Mises圓之間的相對(duì)偏差最大，為單向拉伸當(dāng)前75頁(yè)，總共150頁(yè)。外接Tresca六邊形Mises圓②如果假定在純剪切時(shí)兩種屈服條件相重合，則Tresca六邊形將外切于Mises圓。Mises:Tresca:純剪切單向拉伸時(shí)，Tresca六邊形同Mises圓之間的相對(duì)偏差最大，為當(dāng)前76頁(yè)，總共150頁(yè)。試判斷下圖中的主應(yīng)力狀態(tài)是彈性狀態(tài)還是塑性狀態(tài)。解：利用Mises屈服準(zhǔn)則判別：（圖1）（圖2）（圖3）對(duì)圖1，用代入得滿足Mises屈服條件，所以處于塑性狀態(tài)。當(dāng)前77頁(yè)，總共150頁(yè)。對(duì)圖3用（圖2）（圖3）解：利用Mises屈服準(zhǔn)則判別：對(duì)圖2用代入滿足Mises屈服條件，所以處于塑性狀態(tài)。解：利用Mises屈服準(zhǔn)則判別：不滿足Mises屈服條件，所以處于彈性狀態(tài)。代入當(dāng)前78頁(yè)，總共150頁(yè)。設(shè)某點(diǎn)的應(yīng)力張量為

材料的σs=25Mpa

①求出其主應(yīng)力及最大切應(yīng)力；②根據(jù)Tresca屈服條件和Mises屈服條件判斷材料處于彈性狀態(tài)還是塑性狀態(tài)；③畫出兩種屈服條件在主應(yīng)力空間的屈服曲面和л平面上的屈服曲線；④畫出平面應(yīng)力狀態(tài)下的Tresca屈服準(zhǔn)則及Mises屈服準(zhǔn)則圖形，并進(jìn)行比較。[應(yīng)用]：根據(jù)兩種屈服準(zhǔn)則，由任意應(yīng)力狀態(tài)確定材料處于彈性狀態(tài)還是塑性狀態(tài)。當(dāng)前79頁(yè)，總共150頁(yè)。主應(yīng)力的大小為：[σ1σ2σ3]=[47.848234.088120.0637]最大切應(yīng)力為：[τ12τ23τ31]=[7.0122-13.89226.8801]根據(jù)Tresca屈服條件和Mises屈服條件判斷材料狀態(tài)結(jié)果為：經(jīng)Tresca屈服條件判斷,材料處于塑性階段經(jīng)Mises屈服條件判斷,材料處于彈性階段當(dāng)前80頁(yè)，總共150頁(yè)。畫出兩種屈服條件在主應(yīng)力空間的屈服曲面和л平面上的屈服曲線；其中，圖中‘*’表示任意點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，‘*’若在屈服曲線內(nèi)則表示材料處于彈性階段，‘*’若在屈服曲線外則表示材料處于塑性階段。當(dāng)前81頁(yè)，總共150頁(yè)。當(dāng)前82頁(yè)，總共150頁(yè)。畫出平面應(yīng)力狀態(tài)下的Tresca屈服準(zhǔn)則及Mises屈服準(zhǔn)則圖形，并進(jìn)行比較（如圖所示）。當(dāng)前83頁(yè)，總共150頁(yè)。[解]由于殼體幾何形狀和受力都是對(duì)稱于球心,是球?qū)ΨQ問(wèn)題。這樣殼體內(nèi)剪應(yīng)力分量必為零，否則就不是球?qū)ΨQ了。各點(diǎn)只有正應(yīng)力分量，并且有qoxyz主應(yīng)力排序?yàn)槔阂粌?nèi)半徑為a

，外半徑為b

的球形殼，在其內(nèi)表面上作用均勻的壓力q

。試寫出其屈服條件。當(dāng)前84頁(yè)，總共150頁(yè)。代入Tresca屈服條件發(fā)現(xiàn)它們有一樣的屈服條件。代入Mises屈服條件當(dāng)前85頁(yè)，總共150頁(yè)。問(wèn)題①兩種屈服條件的物理解釋。③兩種屈服條件分別在平面，主應(yīng)力空間和對(duì)應(yīng)于的平面應(yīng)力狀態(tài)的圖形（畫出）。②兩種屈服條件的函數(shù)表示形式（寫出具體的表達(dá)式）當(dāng)前86頁(yè)，總共150頁(yè)。六、屈服條件的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證試驗(yàn)二、薄圓管受拉力T和扭矩M的作用。試驗(yàn)一、薄圓管受拉力T和內(nèi)壓p的作用。Tresca屈服條件與Mises屈服條件的適用范圍：當(dāng)前87頁(yè)，總共150頁(yè)。六、屈服條件的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證試驗(yàn)一、薄圓管受拉力T和內(nèi)壓p的作用。TTp設(shè)圓管的平均半徑為R，壁厚為h，h《R，在拉力T和內(nèi)壓p的作用下，圓管近似地處于均勻應(yīng)力狀態(tài)。在柱坐標(biāo)中其應(yīng)力分量為當(dāng)前88頁(yè)，總共150頁(yè)。由此求得Lode應(yīng)力參數(shù)為單向拉伸純剪切此時(shí)：如果則可取減去靜水應(yīng)力后：當(dāng)前89頁(yè)，總共150頁(yè)。在的范圍內(nèi)改變拉力T和內(nèi)壓p的比值時(shí)，就可以得到范圍內(nèi)的任意應(yīng)力狀態(tài)。Lode（1925）拉伸~內(nèi)壓試驗(yàn)：代入Mises屈服條件得到：當(dāng)前90頁(yè)，總共150頁(yè)。為了使兩種屈服條件便了比較，可以將它們改寫成統(tǒng)一的形式。在主應(yīng)力大小次序已知時(shí)，屈雷斯加屈服條件可寫成：在單向拉伸時(shí)：當(dāng)前91頁(yè)，總共150頁(yè)。

鐵-111.101.21Mises屈服條件對(duì)于Tresca屈服條件Tresca屈服條件

銅

鎳Lode用鐵、銅、鎳等金屬薄管做出的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，同Mises屈服條件曲線比較接近?？梢?jiàn)，Mises屈服條件更適合于金屬材料。對(duì)于Mises屈服條件當(dāng)前92頁(yè)，總共150頁(yè)。試驗(yàn)二、薄圓管受拉力T和扭矩M的作用。TTMM相應(yīng)的主應(yīng)力當(dāng)前93頁(yè)，總共150頁(yè)。因而Lode應(yīng)力參數(shù)是單向拉伸純剪切只要P≥0，改變T與M的比值，便可得到的任意應(yīng)力狀態(tài)。當(dāng)前94頁(yè)，總共150頁(yè)。Taylor—Quinney(1931)試驗(yàn)：對(duì)于Tresca屈服條件改寫成：對(duì)于Mises屈服條件改寫成：當(dāng)前95頁(yè)，總共150頁(yè)。

軟鋼10Mises屈服條件Tresca屈服條件

銅

鋁0.20.40.60.20.40.60.8在圖上都是橢圓，但長(zhǎng)短軸的比值不同。Taylor和Quinney用鋼、銅、鋁薄管進(jìn)行了試驗(yàn)，結(jié)果也同Mises屈服條件比較接近。當(dāng)前96頁(yè)，總共150頁(yè)。Tresca屈服條件與Mises屈服條件的適用范圍：1、實(shí)驗(yàn)表明，多數(shù)金屬材料的屈服性態(tài)接近Mises屈服條件。從物理意義上，這兩種屈服條件都表明，材料的屈服與剪應(yīng)力有密切關(guān)系；Tresca屈服條件表明材料的屈服與最大剪應(yīng)力有關(guān)，但它沒(méi)有考慮中間主應(yīng)力對(duì)材料屈服的影響，然而實(shí)驗(yàn)表明這種影響確實(shí)是存在的。Mises屈服條件表明材料的屈服與均方根剪應(yīng)力有關(guān)，從而考慮到中間主應(yīng)力對(duì)材料屈服的影響。在這一點(diǎn)上，應(yīng)該說(shuō)Mises屈服條件更為合理—些。當(dāng)前97頁(yè)，總共150頁(yè)。2、在應(yīng)用上主應(yīng)力方向已知時(shí)用Tresca條件較方便。主應(yīng)力方向未知時(shí)用Mises條件較方便。而無(wú)論何種情形，二者的相對(duì)偏差不會(huì)超過(guò)15.5%。外接Tresca六邊形Mises圓純剪切內(nèi)接Tresca六邊形Mises圓單向拉伸當(dāng)前98頁(yè)，總共150頁(yè)。Tresca屈服條件在偏量平面π上的軌跡是正六邊形，Mises屈服條件的軌跡是正六邊形的外接圓。在六個(gè)頂點(diǎn)處兩個(gè)軌跡重合，這意味著在廣義單向應(yīng)狀態(tài)情況下，兩種屈服條件是一致的。內(nèi)接Tresca六邊形Mises圓單向拉伸除六個(gè)頂點(diǎn)外，兩種屈服條件都不一致，外接圓在正六邊形之外，表明按Mises屈服條件，需要更大的應(yīng)力才能使材料屈服。由此可見(jiàn)，兩者差別最大的有六個(gè)點(diǎn)，這六個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的是廣義純剪切應(yīng)力狀態(tài)。當(dāng)前99頁(yè)，總共150頁(yè)。Tresca屈服條件可表示成主應(yīng)力的線性函數(shù)，在主應(yīng)力大小次序已經(jīng)確定的情況下使用是很方便的，因?yàn)樗臄?shù)學(xué)表達(dá)式簡(jiǎn)單。所以，究竟采用那一種屈服條件，要視具體情況而定。此外，按照Tresca屈服條件，要求材料的拉伸和剪切屈服極限之間存在關(guān)系σs=2τs；而按照Mises屈服條件要求材料的σs=τs。因此，由材料的τs和σs值；也可判斷采用哪—種屈服條件更為合適。在材料力學(xué)中，Tresca屈服條件和密席斯屈服條件作為強(qiáng)度理論使用時(shí)，分別稱為第三和第四強(qiáng)度理論。3、在實(shí)際問(wèn)題中，并不限制使用何種屈服條件，二者都可用。當(dāng)前100頁(yè)，總共150頁(yè)。問(wèn)題①為什么實(shí)驗(yàn)用薄壁結(jié)構(gòu)，能否改用厚壁。②兩種實(shí)驗(yàn)結(jié)果結(jié)論。③判斷某物體材料適用Tresca屈服條件還是Mises屈服條件，最簡(jiǎn)單的辦法是什么？當(dāng)前101頁(yè)，總共150頁(yè)。例：一兩端封閉的薄壁圓筒，半徑為r，壁厚為t，受內(nèi)壓力p的作用，試求此圓筒內(nèi)壁開(kāi)始屈服及整個(gè)壁厚進(jìn)入屈服時(shí)的內(nèi)壓力p(設(shè)材料單向拉伸時(shí)的屈服應(yīng)力為σs)解：先求應(yīng)力分量，在筒壁選取一單元體，采用圓柱坐標(biāo)，單元體上的應(yīng)力分量如圖所示。根據(jù)平衡條件可求得應(yīng)力分量為：當(dāng)前102頁(yè)，總共150頁(yè)。沿壁厚為線性分布，內(nèi)表面，在外表面圓筒的內(nèi)表面首先產(chǎn)生屈服，然后向外層擴(kuò)展，當(dāng)外表面產(chǎn)生屈服時(shí)，整個(gè)圓筒就開(kāi)始塑性變形。1）在外表面由Mises屈服準(zhǔn)則：可求得：由Tresca屈服準(zhǔn)則：可求得：當(dāng)前103頁(yè)，總共150頁(yè)。2）在內(nèi)表面由Mises屈服準(zhǔn)則：可求得：由Tresca屈服準(zhǔn)則：可求得：當(dāng)前104頁(yè)，總共150頁(yè)。2.一薄壁圓管，平均半徑R=50mm，，壁厚t=3mm，σs=390MPa,承受拉力F和扭矩T的作用，在加載過(guò)程中保持σ/τ=1，試求此圓管開(kāi)始屈服時(shí)的F和T的值。（按兩種屈服準(zhǔn)則分別計(jì)算）1.設(shè)某點(diǎn)的應(yīng)力張量為，該物體的材料在單向拉伸時(shí)的屈服點(diǎn)為，試用Mises和Tresca準(zhǔn)則來(lái)判斷改點(diǎn)是處于彈性狀態(tài)，還是處于塑性狀態(tài)。當(dāng)前105頁(yè)，總共150頁(yè)。七、加載條件1、等向強(qiáng)化（各向同性強(qiáng)化）模型2、隨動(dòng)強(qiáng)化模型3、組合強(qiáng)化模型當(dāng)前106頁(yè)，總共150頁(yè)。七、加載條件理想塑性材料:（初始）屈服曲面是固定不變的，是材料未經(jīng)受任何塑性變形時(shí)的彈性響應(yīng)的界限。應(yīng)力狀態(tài)不能落在屈服曲面之外。理想塑性材料由于屈服極限不能再增加，因而屈服面也不能繼續(xù)擴(kuò)展。當(dāng)前107頁(yè)，總共150頁(yè)。強(qiáng)化材料：對(duì)于強(qiáng)化材料，由于應(yīng)力達(dá)到屈服極限后仍能繼續(xù)增長(zhǎng)，因此屈服面仍能繼續(xù)變化，其屈服面稱為后繼屈服曲面，或加載曲面。當(dāng)前108頁(yè)，總共150頁(yè)。以參數(shù)來(lái)刻劃材料的塑性加載歷史，則后繼屈服條件可表示為：后繼屈服條件與材料塑性變形的歷史有關(guān)。實(shí)際材料的加載曲面的演化規(guī)律非常復(fù)雜，在應(yīng)用中使用簡(jiǎn)化模型。1、等向強(qiáng)化（各向同性強(qiáng)化）模型認(rèn)為后繼屈服曲面（加載曲面）就是屈服曲面在應(yīng)力空間的相似擴(kuò)大。等向強(qiáng)化模型的表達(dá)式可寫成：當(dāng)前109頁(yè)，總共150頁(yè)。其中f

是初始屈服函數(shù)，是的單調(diào)遞增函數(shù)。在加載過(guò)程中

逐漸加大。從幾何上看，后繼屈服曲面（加載面）與初始屈服曲面形狀相似，中心位置也不變。后繼屈服曲面對(duì)加載歷史的依賴性只表現(xiàn)在：后繼屈服曲面僅由加載路徑中所曾達(dá)到的最大應(yīng)力點(diǎn)所決定。如右圖所示Mises初始屈服面及其后繼屈服面。屈服面加載面A加載面B123當(dāng)前110頁(yè)，總共150頁(yè)。2、隨動(dòng)強(qiáng)化模型等向強(qiáng)化模型未考慮包氏效應(yīng)，在分析應(yīng)力作反復(fù)變化的問(wèn)題時(shí)，往往誤差較大。隨動(dòng)強(qiáng)化模型認(rèn)為：后繼屈服曲面就是初始屈服曲面隨著塑性變形的過(guò)程而在應(yīng)力空間作剛性移動(dòng)，而其大小和形狀都沒(méi)有改變。初始屈服面隨動(dòng)強(qiáng)化隨動(dòng)強(qiáng)化模型的表達(dá)式可寫成：當(dāng)前111頁(yè)，總共150頁(yè)。3、組合強(qiáng)化模型將等向強(qiáng)化模型同隨動(dòng)強(qiáng)化模型結(jié)合起來(lái)，就構(gòu)成更一般的組合強(qiáng)化模型。組合強(qiáng)化模型的表達(dá)式可寫成：具體到π平面上考察Mises屈服圓，那么在加載過(guò)程中后繼屈服曲線始終是一個(gè)圓，但其半徑和圓心位置都不斷發(fā)生變化。組合強(qiáng)化初始屈服面隨動(dòng)強(qiáng)化當(dāng)前112頁(yè)，總共150頁(yè)。等向強(qiáng)化組合強(qiáng)化初始屈服面隨動(dòng)強(qiáng)化當(dāng)前113頁(yè)，總共150頁(yè)。問(wèn)題①何為加載條件？什么叫后繼屈服面？②兩種模型在Mises屈服條件下對(duì)應(yīng)于π平面上的圖形表示。當(dāng)前114頁(yè)，總共150頁(yè)。八、塑性本構(gòu)關(guān)系1、廣義Hooke定律、彈性應(yīng)變能2、Drucker公設(shè)3、加載、卸載準(zhǔn)則4、理想塑性材料的增量本構(gòu)關(guān)系5、簡(jiǎn)單加載時(shí)的全量理論當(dāng)前115頁(yè)，總共150頁(yè)。八、塑性本構(gòu)關(guān)系1、廣義Hooke定律、彈性應(yīng)變能①直角坐標(biāo)系下表示：其中張量寫法：其中為平均正應(yīng)力。當(dāng)前116頁(yè)，總共150頁(yè)。將三個(gè)正應(yīng)變相加，得：記：平均正應(yīng)變體積彈性模量則平均正應(yīng)力與平均正應(yīng)變的關(guān)系：②可用應(yīng)力偏量表示應(yīng)變偏量當(dāng)前117頁(yè)，總共150頁(yè)。③由等效應(yīng)力和等效應(yīng)變的關(guān)系：或可得：④當(dāng)應(yīng)力從加載面（后繼屈服面）卸載時(shí)：應(yīng)力和應(yīng)變的全量不滿足廣義Hooke定律，但它們的增量仍滿足廣義Hooke定律。當(dāng)前118頁(yè)，總共150頁(yè)。Mises屈服條件的物理解釋中將彈性應(yīng)變能分解為體積應(yīng)變能和形狀改變比能。這里，由彈性本構(gòu)關(guān)系將三者表示為：⑤彈性應(yīng)變能當(dāng)前119頁(yè)，總共150頁(yè)。2、Drucker公設(shè)兩類力學(xué)量外變量：能直接從外部可以觀測(cè)得到的量。如總應(yīng)變，應(yīng)力等。內(nèi)變量：不能直接從外部觀測(cè)的量。如塑性應(yīng)變，塑性功。內(nèi)變量只能根據(jù)一定的假設(shè)計(jì)算出來(lái)。關(guān)于塑性應(yīng)變和塑性功的假設(shè)：①材料的塑性行為與時(shí)間，溫度無(wú)關(guān)。②應(yīng)變可分解為彈性應(yīng)變和塑性應(yīng)變。③材料的彈性變形規(guī)律不因塑性變形而改變。當(dāng)前120頁(yè)，總共150頁(yè)。根據(jù)以上假設(shè)，內(nèi)變量可以由外變量表示出來(lái)。對(duì)于各向同性材料：將總功分解為彈性功和塑性功。這樣，內(nèi)變量也可以由外變量表示出來(lái)。當(dāng)前121頁(yè)，總共150頁(yè)。對(duì)于各向同性材料：Drucker公設(shè)對(duì)于處于在某一狀態(tài)下的材料質(zhì)點(diǎn)（或試件），借助一個(gè)外部作用，在其原有的應(yīng)力狀態(tài)之上，緩慢地施加并卸除一組附加應(yīng)力，在這附加應(yīng)力的施加和卸除的循環(huán)內(nèi)，外部作用所做的功是非負(fù)的。當(dāng)前122頁(yè)，總共150頁(yè)。應(yīng)力循環(huán)1(4）23單元體在應(yīng)力狀態(tài)下處于平衡。在單元體上施加一附加力，使應(yīng)力達(dá)到，剛好在加載面上，即開(kāi)始發(fā)生塑性變形。繼續(xù)加載至，在這期間，將產(chǎn)生塑性應(yīng)變。最后，將應(yīng)力又卸回到。完成應(yīng)力循環(huán)。1234加載面當(dāng)前123頁(yè)，總共150頁(yè)。在應(yīng)力循環(huán)中，應(yīng)力在彈性應(yīng)變上的功為0，即1234以表示應(yīng)力循環(huán)過(guò)程中任一時(shí)刻的瞬時(shí)應(yīng)力狀態(tài)。按Drucker公設(shè)，附加應(yīng)力在應(yīng)力循環(huán)中所作的功非負(fù)。當(dāng)前124頁(yè)，總共150頁(yè)。在整個(gè)應(yīng)力循環(huán)中，只在應(yīng)力從到的過(guò)程中產(chǎn)生塑性應(yīng)變。1234當(dāng)為小量時(shí)，上述積分變?yōu)椋杭磮D所示的陰影部分面積。當(dāng)前125頁(yè)，總共150頁(yè)。兩個(gè)重要的不等式：①當(dāng)處于加載面的內(nèi)部，即，由于是高階小量，則②當(dāng)正處于加載面上，即，則由此可對(duì)屈服面形狀與塑性應(yīng)變?cè)隽康奶匦詫?dǎo)出兩個(gè)重要的結(jié)論。①屈服曲面的外凸性。②塑性應(yīng)變?cè)隽肯蛄颗c加載面的外法線方向一致~正交性法則。當(dāng)前126頁(yè)，總共150頁(yè)。可見(jiàn)，應(yīng)力增量向量與塑性應(yīng)變?cè)隽肯蛄恐g的夾角必須小于90°。①屈服曲面的外凸性。oA0AoA0A

用矢量表示，用矢量表示,

用矢量表示，用矢量表示。加載面加載面表示為屈服曲面必須是凸的。當(dāng)前127頁(yè)，總共150頁(yè)。

可表示為：即應(yīng)力增量向量與塑性應(yīng)變?cè)隽肯蛄恐g的夾角必須大于90°。如果與n不重合，則總可以找到A0，使式不成立。②塑性應(yīng)變?cè)隽肯蛄颗c加載面的外法線方向一致—正交性法則。A0Ann—加載面在A點(diǎn)的法向矢量。加載面因此，必須與加載面的外法線n重合。當(dāng)前128頁(yè)，總共150頁(yè)。3、加載、卸載準(zhǔn)則Drucker穩(wěn)定性條件：由于與外法線n同向，上式改寫成：只有當(dāng)應(yīng)力增量指向加載面外部時(shí)，材料才能產(chǎn)生塑性變形。判斷能否產(chǎn)生新的塑性變形，需判斷：加卸載準(zhǔn)則卸載：材料產(chǎn)生從塑性狀態(tài)回到彈性狀態(tài)的應(yīng)力改變。①是否在上。②是否指向的外部。加載：材料產(chǎn)生新的塑性變形的應(yīng)力改變。當(dāng)前129頁(yè)，總共150頁(yè)。用表示屈服面，則可以把加卸載準(zhǔn)則用數(shù)學(xué)形式表示如下：(1)理想材料的加載、卸載準(zhǔn)則理想材料的加載面與初始屈服面是一樣的。當(dāng)前130頁(yè)，總共150頁(yè)。n加載卸載由于屈服面不能擴(kuò)大，所以當(dāng)應(yīng)力點(diǎn)達(dá)到屈服面上，應(yīng)力增量不能指向屈服面外，而只能沿屈服面切線。加載卸載在應(yīng)力空間中，上述加載準(zhǔn)則可用矢量乘積表示為對(duì)于Tresca屈服面：加載卸載nlnm加載加載卸載應(yīng)力點(diǎn)當(dāng)前131頁(yè)，總共150頁(yè)。加載卸載在應(yīng)力空間中，上述加載準(zhǔn)則可用矢量乘積表示為總之只要應(yīng)力增量保持在屈服面上就稱為加載;返到屈服面以內(nèi)時(shí)就稱為卸載。當(dāng)前132頁(yè)，總共150頁(yè)。n加載曲面(2)強(qiáng)化材料的加載、卸載準(zhǔn)則強(qiáng)化材料的加載面在應(yīng)力空間不斷擴(kuò)張或移動(dòng)。這里，中性變載相當(dāng)于應(yīng)力點(diǎn)沿加載面切向變化，應(yīng)力維持在塑性狀態(tài)但加載面并不擴(kuò)張的情況。加載卸載中性變載當(dāng)前133頁(yè)，總共150頁(yè)。上述加載準(zhǔn)則的數(shù)學(xué)表達(dá)式為n加載曲面當(dāng)前134頁(yè)，總共150頁(yè)。4、理想塑性材料的增量本構(gòu)關(guān)系塑性本構(gòu)關(guān)系即材料超過(guò)彈性范圍之后的本構(gòu)關(guān)系。此時(shí)，應(yīng)力與應(yīng)變之間不存在一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，只能建立應(yīng)力增量與應(yīng)變?cè)隽恐g的關(guān)系。這種用增量形式表示的塑性本構(gòu)關(guān)系，稱為增量理論或流動(dòng)理論。進(jìn)入塑性階段后，應(yīng)變?cè)隽靠梢苑纸鉃閺椥圆糠趾退苄圆糠帧．?dāng)前135頁(yè)，總共150頁(yè)。由Hooke定律由Drucker公設(shè)流動(dòng)法則增量形式的塑性本構(gòu)關(guān)系：當(dāng)前136頁(yè)，總共150頁(yè)。②當(dāng)加載面和塑性應(yīng)變?cè)隽坎徽?，此時(shí)上式稱為與加載條件非關(guān)連的流動(dòng)法則。主要用于巖土材料。①服從Drucker公設(shè)的材料，塑性勢(shì)函數(shù)g就是加載函數(shù)φ，即，此時(shí)上式稱為與加載條件相關(guān)連的流動(dòng)法則。由于加載面和塑性應(yīng)變?cè)隽空?，也稱為正交流動(dòng)法則。塑性位勢(shì)理論將塑性應(yīng)變?cè)隽勘硎緸樗苄晕粍?shì)函數(shù)對(duì)應(yīng)力取微商。兩種情況：其中是塑性位勢(shì)函數(shù)。當(dāng)前137頁(yè)，總共150頁(yè)。（1）理想塑性材料與Mises屈服條件相關(guān)連的流動(dòng)法則對(duì)于理想塑性材料，屈服函數(shù)f就是加載函數(shù)φ。流動(dòng)法則寫成：Mises屈服條