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文檔簡介
濾波器模型與仿真演示文稿當(dāng)前1頁,總共120頁。濾波器模型與仿真當(dāng)前2頁,總共120頁。引言本章主要討論濾波器仿真模型的開發(fā)。濾波器是組成通信系統(tǒng)的許多子系統(tǒng)中的重要部分。為了便于仿真:模擬濾波器映射數(shù)字濾波器。這些映射方法都涉及到近似并且都會在仿真結(jié)果中引入誤差。本章將探討許多非常有用的濾波器綜合與仿真方法,尤其感興趣的是這些方法的局限性和固有誤差源。根據(jù)定義,濾波器具有頻率選擇性,并且具有有限時(shí)間沖激響應(yīng)或者無限時(shí)間沖激響應(yīng)。當(dāng)前3頁,總共120頁。由于濾波器具有頻率選擇性,它們引入了記憶,而由于這種記憶,需要濾波器過去的輸入和/或輸出來計(jì)算給定時(shí)刻的濾波器輸出。因此,濾波器需要存儲,而存儲和恢復(fù)采樣值會大大地增加仿真程序的計(jì)算量,而這就會增加仿真程序的運(yùn)行時(shí)間。因此,我們將尋求較好的仿真結(jié)構(gòu)以獲得減少計(jì)算量的算法。本章的目的并不是要詳細(xì)描述數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法。本章的目的是回顧一些在仿真中最有用的方法,并提供幾個(gè)簡單的例子,從這些例子的結(jié)果中,讀者將體會到通常出現(xiàn)在仿真應(yīng)用中的近似誤差。當(dāng)前4頁,總共120頁。一、概述如圖5-1所示為用于開發(fā)數(shù)字濾波器的一些方法。數(shù)字濾波器的經(jīng)典綜合方法通常都是基于模擬濾波器原型之上的。在這種情況下,仿真模型所要求的數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì),從模擬濾波器的S(拉普拉斯)域傳遞函數(shù)著手,來尋求等價(jià)的數(shù)字濾波器。于是,問題就退化為尋找在某種合適意義上等價(jià)于模擬原型的數(shù)字濾波器。等價(jià)的基本方法是基于時(shí)域判據(jù)或頻域判據(jù)來衡量其等價(jià)性。盡管我們提到濾波時(shí)通常會想到定義在頻域的頻率選擇特性,但時(shí)域判據(jù)經(jīng)常用到,并且能給出有效而有用的濾波器設(shè)計(jì)。通過要求數(shù)字濾波器的輸出與作為設(shè)計(jì)基礎(chǔ)的模擬原型的采樣輸出相匹配,來運(yùn)用時(shí)域判據(jù)進(jìn)行濾波器的設(shè)計(jì)。當(dāng)前5頁,總共120頁。當(dāng)前6頁,總共120頁?;跁r(shí)域判據(jù)的兩種基本綜合方法:沖激不變和階躍不變數(shù)字濾波器?!皼_激不變法”是使數(shù)字濾波器的沖激響應(yīng)與模擬原型的沖激響應(yīng)的采樣相匹配的一種設(shè)計(jì)方法?!半A躍不變法”則是數(shù)字濾波器的階躍響應(yīng)與對應(yīng)的模擬原型濾波器階躍響應(yīng)的采樣相匹配。采用沖激或單位階躍之外的“測試信號”,可得到許多其他設(shè)計(jì)方法。我們將可以看到,如果模擬原型和得到的數(shù)字濾波器在時(shí)域上是等價(jià)的,則它們在頻域上也近似等價(jià)。當(dāng)前7頁,總共120頁。將模擬原型映射到數(shù)字等價(jià)模型最常用的方法是通過雙線性z變換。雙線性z變換的綜合方法嚴(yán)格地講是一種代數(shù)方法,它允許對頻率響應(yīng)上的點(diǎn)進(jìn)行匹配,使得模擬原型和所得數(shù)字濾波器在某些指定頻率值上具有相同的頻率響應(yīng)(包括幅度和相位)。雙線性z變換法以引入非線性頻率畸變(Warping)為代價(jià)消除了混疊誤差。雙線性z變換濾波器在仿真中已經(jīng)得到了廣泛的應(yīng)用。當(dāng)前8頁,總共120頁?;谀M原型的綜合方法給出無限時(shí)間沖激響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波器。因?yàn)槟M濾波器的沖激響應(yīng)會漸近趨于零,但嚴(yán)格地說,這種沖激響應(yīng)在持續(xù)時(shí)間上是無限長的。為了獲得用于仿真程序的有限時(shí)間沖激響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器,由標(biāo)準(zhǔn)的IIR設(shè)計(jì)方法所產(chǎn)生的沖激響應(yīng)可能需要截短。通過在FIR濾波器的沖激響應(yīng)中包含足夠多的項(xiàng)數(shù),由截短引起的誤差可以降低到一個(gè)允許水平下。當(dāng)前9頁,總共120頁。數(shù)字濾波器的一個(gè)重要特性是,在沒有對應(yīng)的模擬濾波器時(shí)也可設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器。在這類濾波器中,最重要的濾波器是允許近似給定的幅度響應(yīng),而要保持一個(gè)完全線性的相位響應(yīng),這種濾波器為FIR濾波器,可通過橫向延時(shí)線(TDL)結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)。FIR濾波器最基本的設(shè)計(jì)方法是將以采樣頻率為周期的期望幅度響應(yīng)展開成為傅里葉級數(shù),所得傅里葉級數(shù)的系數(shù)確定了數(shù)字濾波器的沖激響應(yīng)。當(dāng)前10頁,總共120頁??焖俑道锶~變換(FFT)可用于完成這項(xiàng)運(yùn)算。它是頻率采樣的一個(gè)例子—因?yàn)樵诟黝l率點(diǎn)上對期望頻率響應(yīng)進(jìn)行“采樣”,對這些頻率采樣點(diǎn)進(jìn)行傅里葉反變換(IFFT)之后,就獲得了濾波器的時(shí)域沖激響應(yīng)。將濾波器的輸入信號與沖激響應(yīng)進(jìn)行卷積運(yùn)算,就實(shí)現(xiàn)了仿真濾波器模型并且獲得了濾波器的輸出信號。計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)(CAD)方法:第一種給出IIR濾波器,而另一種則給出線性相位FIR濾波器。當(dāng)前11頁,總共120頁。二、IIR與FIR濾波器數(shù)字濾波器通常根據(jù)沖激響應(yīng)的持續(xù)時(shí)間分為IIR濾波器和FIR濾波器。和沖激響應(yīng)分類緊密聯(lián)系的是濾波器的實(shí)現(xiàn)或結(jié)構(gòu)。下面我們先來看不同的濾波器模型。(一)IIR濾波器線性數(shù)字信號處理器(數(shù)字濾波器)計(jì)算過去的N個(gè)輸出采樣點(diǎn)y[n-k](1≦k≦N)、當(dāng)前的輸入采樣點(diǎn)x[n],以及過去的N個(gè)輸入采樣點(diǎn)x[n-k]((1≦k≦N)的加權(quán)和作為當(dāng)前的輸出采樣點(diǎn)y[n]。也就是說,根據(jù)過去的輸入信號及輸出信號計(jì)算當(dāng)前輸出信號算法如:當(dāng)前12頁,總共120頁。我們將會從仿真程序中看到實(shí)現(xiàn)式(5-1)所定義的計(jì)算的高效算法。如果式(5-1)中的任何權(quán)值bk或ak(k≧1)具有非零值,處理器就會有記憶,因而具有頻率選擇性,我們稱之為“濾波器”。在時(shí)變系統(tǒng)中,其中的一個(gè)或多個(gè)權(quán)值還會是序數(shù)n的函數(shù)。對(5-1)式兩邊進(jìn)行z變換,可以得到傳遞函數(shù)H(z)。記住,z變換是一種線性運(yùn)算,和的變換等于變換的和,k個(gè)采樣周期的延時(shí)等價(jià)于乘以因子z-k。由此有當(dāng)前13頁,總共120頁。此即線性時(shí)不變?yōu)V波器傳遞函數(shù)的一般形式。我們通常對所研究的濾波器的沖激響應(yīng)以及頻率響應(yīng)感興趣。沖激響應(yīng)(記為h[n])是傳遞函數(shù)H(z)的逆Z變換,用exp(j2fT)替代傳遞函數(shù)中的變量z,就可得頻率響應(yīng)。也即當(dāng)前14頁,總共120頁。數(shù)字濾波器的沖激響應(yīng)記作h[n],只要令x[n]=[n]就可得到它。這里由于式(5-1)的遞歸性(y[n]是y[n-1]的函數(shù)),沖激響應(yīng)h[n]通常是無限長的,因此稱之為IIR濾波器。注意,沖激響應(yīng)h[n]是序數(shù)n的離散函數(shù),而頻率響應(yīng)是連續(xù)變量f的連續(xù)函數(shù)。當(dāng)前15頁,總共120頁。(二)FIR濾波器若在式(5-1)或其等價(jià)式(5-3)中,對于k≧1有ak=0,則得到FIR濾波器。FIR數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)如下:其對應(yīng)的沖激響應(yīng)如下:當(dāng)前16頁,總共120頁。僅在取值范圍0≦n≦N內(nèi),沖激響應(yīng)具有非零值。因此,沖激響應(yīng)最多有N+1個(gè)非零項(xiàng),它是有限長的。由輸入序列x[n]產(chǎn)生濾波器輸出序列y[n]的算法是離散卷積運(yùn)算:在式(5-1)中,k>0時(shí)令ak=0,也可直接得到以上結(jié)果。當(dāng)前17頁,總共120頁。(三)綜合與仿真在仿真程序中使用濾波器涉及兩種截然不同的運(yùn)算操作。第一種叫做綜合。在綜合運(yùn)算中,給定了濾波要求,并確定了滿足這些要求的濾波器的傳遞函數(shù)H(z),這就建立了仿真模型。綜合運(yùn)算所得結(jié)果通常表示成兩個(gè)向量:一個(gè)包含分母系數(shù)ak,另一個(gè)則包含分子系數(shù)bk。這兩個(gè)向量定義了傳遞函數(shù)式(5-3),以及給定濾波器的輸入產(chǎn)生濾波器輸出的算法。綜合操作的計(jì)算量通常不大,因?yàn)闉V波器的綜合運(yùn)算只進(jìn)行一次,因而發(fā)生在仿真程序主循環(huán)的外部。第二種運(yùn)算操作涉及在每一個(gè)仿真時(shí)間步(即仿真時(shí)鐘的每個(gè)滴答)計(jì)算濾波器的輸出。這種運(yùn)算在蒙特卡羅仿真程序中要重復(fù)進(jìn)行數(shù)百萬次,甚至數(shù)十億次,因此,要盡可能地減小這種運(yùn)算的計(jì)算量。下節(jié)考慮的轉(zhuǎn)置濾波器結(jié)構(gòu)就是為應(yīng)對這方面問題。當(dāng)前18頁,總共120頁。三、IIR與FIR濾波器的實(shí)現(xiàn)現(xiàn)在簡要考察一下數(shù)字濾波器在仿真程序中的實(shí)現(xiàn)方式。目標(biāo)是最小化計(jì)算量,從而使仿真程序的運(yùn)行時(shí)間最短。(一)直接II型與轉(zhuǎn)置直接II型的實(shí)現(xiàn)常見的IIR濾波器基本結(jié)構(gòu):直接I型、直接II型、級聯(lián)型、并聯(lián)型等。在仿真程序中實(shí)現(xiàn)IIR數(shù)字濾波器的一種有效方法是采用轉(zhuǎn)置直接II型結(jié)構(gòu)。如圖5-2所示為轉(zhuǎn)置直接II型濾波器結(jié)構(gòu)的信號流圖,及推導(dǎo)出這種結(jié)構(gòu)的直接II型結(jié)構(gòu)的信號流圖。我們從直接II型結(jié)構(gòu)著手,因?yàn)樗梢灾苯訉?shí)現(xiàn)由表達(dá)式(5-1)所定義的差分方程。當(dāng)前19頁,總共120頁。由于運(yùn)行速度快,轉(zhuǎn)置直接II型結(jié)構(gòu)是濾波器仿真中最常使用的結(jié)構(gòu),而且它可以很容易地從直接II型濾波器的結(jié)構(gòu)推導(dǎo)出來。由給定濾波器結(jié)構(gòu)產(chǎn)生轉(zhuǎn)置直接II型濾波器規(guī)則:1.重畫原有(直接II型)信號流圖,保持結(jié)構(gòu)(所有鏈路的相對位置不變)。2.將每條鏈路中的信號流反向。3.對新鏈路賦上與原有鏈路相同的運(yùn)算(乘以一個(gè)常數(shù)、時(shí)延等)。4.如有需要,翻轉(zhuǎn)(從左到右)新構(gòu)造的信號流圖,使得輸入/輸出信號流的方向與原始信號流圖一致(注:信號流的方向通常是從左向右)。當(dāng)前20頁,總共120頁。當(dāng)前21頁,總共120頁。新獲得的信號流圖叫做轉(zhuǎn)置直接II型(DFII)結(jié)構(gòu),其傳遞函數(shù)與原始信號流圖相同。[逐點(diǎn)處理]為了展現(xiàn)轉(zhuǎn)置直接II型結(jié)構(gòu)的優(yōu)勢,考慮如圖5-2所示的四階轉(zhuǎn)置直接II型濾波器。(可以很方便地?cái)U(kuò)展到高階濾波器。)給定輸入采樣x[n],要計(jì)算輸出信號y[n],第一步,計(jì)算狀態(tài)變量wj[n],J=0,1,…,4。注意,對于四階濾波器,在我們的公式中有五個(gè)狀態(tài)變量。這五個(gè)狀態(tài)變量的計(jì)算式如下:當(dāng)前22頁,總共120頁。接下來考慮上述這些方程所定義的轉(zhuǎn)置結(jié)構(gòu)在計(jì)算方面的優(yōu)勢。表達(dá)式(5-9)到式(5-13)中的狀態(tài)變量可以依次計(jì)算。例如,注意到因?yàn)閣1[n-1]可以通過上一次仿真循環(huán)獲得,于是給定輸入x[n]就可以計(jì)算出w0[n]。一旦已知了w0[n],就可以計(jì)算出w1[n]。繼續(xù)計(jì)算,我們看出wj[n]僅取決于wk[n],這里k<j。這樣,每個(gè)狀態(tài)變量的計(jì)算只需要知道在它之前計(jì)算出來的量就可以了。事實(shí)上,可用如下MATLAB代碼在一個(gè)仿真循環(huán)中實(shí)現(xiàn)式(5-9)到式(5-13):當(dāng)前23頁,總共120頁。w1=0;w2=0;w3=0;w4=0;%initializestatevariablesfork=1:npts%beginningofsimulationloopw0=w1+b0*x;wl=-al*w0+w2+b1*x;w2=-a2*w0+w3+b2*x;w3=-a3*w0+w4+b3*x;w4=-a4*w0+b4*x;y=w0;End%endofsimulation-loop當(dāng)前24頁,總共120頁。以上代碼中,x和y分別代表濾波器的當(dāng)前輸入x[k]和當(dāng)前輸出y[k]。注意到式(5-9)到式(5-13)所示的一個(gè)采樣步長的延時(shí),可以通過狀態(tài)變量的計(jì)算順序來實(shí)現(xiàn),這里不需要存儲和恢復(fù),因此,這種算法要比基于其他結(jié)構(gòu)的算法快,這也是MATLAB子程序filter要基于轉(zhuǎn)置直接II型結(jié)構(gòu)的原因。同時(shí),注意到狀態(tài)變量w1,w2,w3,w4在首次進(jìn)入仿真循環(huán)之前必須進(jìn)行初始化,這一初始化導(dǎo)致濾波器輸出一個(gè)瞬態(tài)響應(yīng)。一般必須執(zhí)行仿真循環(huán)多次之后,才能從仿真的輸出中采集到有用數(shù)據(jù),這段時(shí)間通常稱為“穩(wěn)定時(shí)間”,其大小為濾波器帶寬倒數(shù)的若干倍。下面討論這些計(jì)算的向量形式。[塊處理]當(dāng)前25頁,總共120頁。數(shù)字濾波器的狀態(tài)方程通常使用矩陣形式來表達(dá)。當(dāng)濾波器具有多個(gè)輸入及多個(gè)輸出時(shí),狀態(tài)變量的矩陣形式非常有用。但目前我們感興趣的主要是具有單輸入x[n]與單輸出y[n]的濾波器。單輸入濾波器的一般表達(dá)式如下:濾波方程其中W[n]和W[n-1]是k×1的列向量,分別表示當(dāng)前及過去的狀態(tài)變量。Fc和Fd是k×k的系數(shù)矩陣,B是k×l的列向量,用來將輸入x[n]耦合到狀態(tài)變量。單輸出信號y[n]的輸出方程為:當(dāng)前26頁,總共120頁。這里C是一個(gè)l×k的行向量。方程(5-9)到(5-13)可以表示為矩陣形式:這里術(shù)語“可算”的意思不是指一定要具有這種形式才能在給定輸入信號的情況下計(jì)算出輸出信號。這點(diǎn)很容易看出來,因?yàn)橹灰唵蔚刂匦聵?biāo)記狀態(tài),就會破壞原來矩陣的上三角結(jié)構(gòu)。相反,術(shù)語“可算”只是意味著如式(5-9)到式(5-13)一樣,狀態(tài)變量可以依次計(jì)算出來。可以證明,存在這種可算形式的充分必要條件是:每一個(gè)閉合回路中的路徑上至少含有一個(gè)延時(shí)單元,即z-1。當(dāng)前27頁,總共120頁。稍加思索,可知狀態(tài)變量可以依次計(jì)算出來,是因?yàn)槭剑?-16)中關(guān)聯(lián)wj[n]和wk[n]的矩陣Fc,在主對角線及其上方元素全部為零,具有這種屬性的信號流圖稱為“可算圖”。使用MATLAB的一個(gè)方便之處在于:對于大量不同的模擬原型,都可以輕易地算出濾波器系數(shù)ak和bk。盡管生成的這些濾波器系數(shù)通常會用于MATLAB子程序filter(一個(gè)為分塊處理開發(fā)的子程序),但是使用下列三行簡單的MATLAB程序,就可以逐個(gè)采樣點(diǎn)地仿真IIR濾波器。out=b(1)*in+sreg(1,1);%computefilteroutputsreg=in*b-out*a+sreg;%updateshiftregistercontentssreg=[sreg(1,2:(order+1)),0];%cycleshiftregister當(dāng)前28頁,總共120頁。其中a和b在仿真循環(huán)外確定。在上面的代碼中,參數(shù)sreg代表長度為order+1的移位寄存器,其中order是濾波器階數(shù)。上述方法的一個(gè)優(yōu)點(diǎn)是:可使用MATLAB濾波器綜合子程序,如butter(巴特沃思濾波器)、chebyl(切比雪夫1型濾波器)及elliptic(橢圓濾波器),來計(jì)算濾波器系數(shù)向量a和b。必須小心以確保存放分子系數(shù)和分母系數(shù)的向量保持相同的長度,如果這兩個(gè)向量長度不相等,較短的向量應(yīng)該進(jìn)行補(bǔ)零,使之與較長向量的長度相等。例5-1為了說明前面談到的方法,考慮以下MATLAB程序代碼。它采用了塊處理和串行(逐個(gè)采樣點(diǎn))處理方法,來確定一個(gè)四階巴特沃思濾波器的沖激響應(yīng);上面所給程序的運(yùn)行結(jié)果如圖5-3所示。可以看到,塊處理和串行處理方法得到的結(jié)果是相同的。■當(dāng)前29頁,總共120頁。%File:c5_filterex1.mn=40; %numberofsamplesorder=4; %filterorder[b,a]=butter(order,0.1); %prototype%blockimplementation=======================in1=[1,zeros(1,n-1)]; %inputvectorout1=filter(b,a,in1); %outputvector%pointimplementation=======================sreg=zeros(1,order+1); %initializeshiftregisterfork=1:nifk==1in=1; %impulseinputelsein=0;endout=b(1)*in+sreg(1,1); %determineoutputsreg=in*b-out*a+sreg; %updateregistersreg=[sreg(1,2:(order+1)),0]; %shiftout2(k)=out; %createoutputvectorend%===========================subplot(2,1,1)index=0:n-1;stem(index,out1)xlabel('SampleIndex')ylabel('BlockProcessing')subplot(2,1,2)stem(index,out2)xlabel('SampleIndex')ylabel('SerialProcessing')當(dāng)前30頁,總共120頁。圖5-3塊處理與串行處理的比較當(dāng)前31頁,總共120頁。(二)FIR濾波器的實(shí)現(xiàn)常見的FIR濾波器基本結(jié)構(gòu):橫截型(卷積型、直接型)、級聯(lián)型、頻率抽樣型等。令ak=0,k≧1,可從圖5-2直接得出FIR數(shù)字濾波器的實(shí)現(xiàn)策略。所得到的兩種結(jié)構(gòu)很明顯,如圖5-4所示,通常稱之為抽頭延時(shí)線或橫向延時(shí)線(TDL)結(jié)構(gòu),因?yàn)樗鼈冇脦С轭^的延時(shí)線(級聯(lián)式z-1單元)來實(shí)現(xiàn),其中的抽頭乘上了權(quán)值bk。當(dāng)前32頁,總共120頁。當(dāng)前33頁,總共120頁。四、IIR濾波器:綜合方法與濾波器特性無限時(shí)間沖激響應(yīng)(IIR)濾波器通常根據(jù)模擬原型(巴特沃思、切比雪夫、橢圓等)來進(jìn)行設(shè)計(jì),并采用遞歸結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)??赡艹漕l端以外,現(xiàn)代通信系統(tǒng)已經(jīng)不像幾十年前那樣地依賴于模擬原型。許多現(xiàn)代通信系統(tǒng),比如軟件無線電,廣泛采用DSP技術(shù)來實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的構(gòu)建模塊(包括濾波器)。在基于DSP技術(shù)的系統(tǒng)中,開發(fā)模擬原型對應(yīng)的數(shù)字等價(jià)并不存在什么困難,因?yàn)橛糜谖锢碛布V波器已經(jīng)是數(shù)字形式了,因此,以模擬原型為起點(diǎn)的數(shù)字濾波器綜合的經(jīng)典方法,就變得不太重要。當(dāng)前34頁,總共120頁。然而,根據(jù)模擬原型進(jìn)行的設(shè)計(jì)仍然有著很多的應(yīng)用,所以這些方法還是值得考慮的。人們已經(jīng)為IIR濾波器開發(fā)了一些計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)方法,這里只討論其中一種。由于本章目的在于講解基礎(chǔ)方法及討論這些方法用于仿真時(shí)所引入的誤差,所以僅考慮這些方法非常簡單的應(yīng)用。(一)沖激不變?yōu)V波器
假設(shè)數(shù)字濾波器的單位沖激響應(yīng),除了幅度比例有差別外,等于模擬濾波器沖激響應(yīng)的采樣,這樣的數(shù)字濾波器就稱為模擬濾波器的沖激不變實(shí)現(xiàn)。也就是說,該數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)可定義為當(dāng)前35頁,總共120頁。這里L(fēng)-1(·)表示拉普拉斯反變換,Z(·)表示z變換,Ha(s)表示模擬原型的傳遞函數(shù),T表示采樣周期,同時(shí)還是幅度比例系數(shù)。為了闡明沖激不變方法,這里考慮最簡單的模擬濾波器,即注意,這是一個(gè)一階低通濾波器,其直流增益(f=0)為1。例5-2由式(5-17),首先對Ha(s)進(jìn)行拉普拉斯反變換。由此得到如下沖激響應(yīng):當(dāng)前36頁,總共120頁。其中,U(t)為單位階躍函數(shù),表示所得的濾波器是因果的。在進(jìn)行z變換之前,要對沖激響應(yīng)在采樣時(shí)刻t=nT進(jìn)行采樣,于是有Ha[n]的z變換為進(jìn)行求和并乘上采樣周期得:此即式(5-18)的沖激不變等價(jià)。該濾波器的頻域特性分析將在例5-5中探討。■當(dāng)前37頁,總共120頁。(二)階躍不變?yōu)V波器階躍不變?yōu)V波器常用于仿真系統(tǒng)中。對階躍不變?yōu)V波器而言,數(shù)字濾波器的單位階躍響應(yīng)等價(jià)于模擬濾波器階躍響應(yīng)的采樣。模擬濾波器階躍響應(yīng)的頻域表示式為Ha(s)/s,其階躍不變?yōu)V波器的傳遞函數(shù)如下:注意,式(5-23)左邊是傳遞函數(shù)為H(z)的數(shù)字濾波器對采樣后的單位階躍信號的響應(yīng),式(5-23)右邊表示原型模擬濾波器單位階躍響應(yīng)采樣的z變換。當(dāng)前38頁,總共120頁。例5-3在這個(gè)例子中,再次采用(5-18)式作為模擬原型。這個(gè)模擬原型的階躍響應(yīng)如下:使用部分分式展開可得取拉普拉斯反變換,并在t=nT采樣得當(dāng)前39頁,總共120頁。再進(jìn)行z變換得階躍不變數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)為:將上式寫成式(5-3)定義的標(biāo)準(zhǔn)形式有該濾波器的頻域特性分析將在例5-5中探討。所得結(jié)果將與沖激不變法的結(jié)果進(jìn)行比較?!霎?dāng)前40頁,總共120頁。(三)雙線性z變換濾波器雙線性z變換濾波器可能是仿真程序中使用最普遍的濾波器了,這有幾方面的原因。首先,采用雙線性z變換方法的數(shù)字濾波器綜合很直觀并且完全是代數(shù)形式的。另外,可以看到雙線性z變換不會表現(xiàn)出混疊現(xiàn)象。綜合方法雙線性z變換綜合方法采用簡單的代數(shù)變換,將模擬原型Ha(s)映射為一個(gè)數(shù)字濾波器。具體來說,該數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)H(z)定義為當(dāng)前41頁,總共120頁。這里C為常數(shù)。下文很快會討論確定合適的C所用的方法,因?yàn)镠a(s)通常定義為s的多項(xiàng)式之比,式(5-31)定義的代數(shù)映射剛好給出H(z)的合適形式,z-1的多項(xiàng)式之比。如上節(jié)所討論,就得到了該濾波器的實(shí)現(xiàn)。為了說明所得數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)具有理想的屬性,使用exp(SdT)來替換雙線性Z變換中的變量z,這里Sd是數(shù)字濾波器的復(fù)頻域變量,得:用j2fa替換s,用j2fd替換sd,有當(dāng)前42頁,總共120頁。這定義了原型模擬濾波器和所得數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)之間關(guān)系。調(diào)節(jié)C值使得對任意采樣頻率都有fa=fd的方法稱為預(yù)畸變。fa和fd之間的變換關(guān)系很顯然是非線性的。在建立通信系統(tǒng)和其他類型系統(tǒng)仿真模型的過程中,通常都希望在將模擬濾波器映射成其數(shù)字等價(jià)時(shí)保持傳遞函數(shù)的形狀不變,這包括幅度及相位均不變。而保持傳遞函數(shù)形狀不變,要fa和fd之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系盡可能為線性。由于當(dāng)x很小的時(shí)候,tan(x)=x,近似線性變換要求fdT<<1或當(dāng)前43頁,總共120頁。這里fd落在我們感興趣的頻率范圍內(nèi),而fs是采樣頻率。滿足fd≈fa的近似線性關(guān)系所需C值,也很容易確定。線性關(guān)系要求若還要求fd≈fa,則有不幸的是,通常需要非常高的采樣頻率,才能夠使fd≈fa在一定的頻率范圍內(nèi)(比如濾波器的帶通頻率范圍)。但這通常會導(dǎo)致仿真運(yùn)行時(shí)間是不現(xiàn)實(shí)的。當(dāng)前44頁,總共120頁。例5-4為了說明雙線性Z變換綜合方法,這里再次使用式(5-18)定義的簡單一階模擬原型。根據(jù)定義,雙線性Z變換濾波器的傳遞函數(shù):當(dāng)前45頁,總共120頁。例5-5這個(gè)例子將對前面三個(gè)例子中設(shè)計(jì)的三種濾波器的響應(yīng)進(jìn)行比較。假設(shè)采樣頻率為100Hz(T=O.Ols),參數(shù)a為2×10,從而使模擬濾波器的3dB頻率為lOHz。作了以上假設(shè)后可以得因此,從式(5-22)得,沖激不變?yōu)V波器的傳遞函數(shù)為:從式(5-30)得,階躍不變?yōu)V波器的傳遞函數(shù)為:當(dāng)前46頁,總共120頁。下面將給出雙線性Z變換濾波器的兩種形式。第一種,如果不采用頻率預(yù)畸變,那么模擬濾波器原型與對應(yīng)數(shù)字濾波器的幅度響應(yīng)在低頻段非常吻合,有將C,a的值代入式(5-41),得現(xiàn)假設(shè)選擇C值,使得頻率響應(yīng)在模擬濾波器的3dB頻率處相匹配。在這種情況下有當(dāng)前47頁,總共120頁。現(xiàn)假設(shè)選擇C值,使得頻率響應(yīng)在模擬濾波器的3dB頻率處相匹配。在這種情況下有現(xiàn)假設(shè)選擇C值,使得頻率響應(yīng)在模擬濾波器的3dB頻率處相匹配。在這種情況下有當(dāng)前48頁,總共120頁。采用下面的MATLAB代碼可以產(chǎn)生沖激不變?yōu)V波器、階躍不變?yōu)V波器,以及由式(5-47)所定義的第一個(gè)雙線性Z變換濾波器的幅度響應(yīng)。%File:c5_threefilters.mT=0.01;f=0:0.1:50;z=exp(-i*2*pi*f*T);%see(5.4)a0=0.239057;a1=0.239057;b1=0.521886;%bilinearinvariantnum=a0+a1*z;den=1-b1*z;ampx=abs(num./den);a0=0.628319;b1=0.533488; %impulseinvariantnum=a0;den=1-b1*z;ampy=abs(num./den);a0=1.0;a1=0.533488;b1=0.533488; %stepinvriant num=(a0-a1)*z;den=1-b1*z;ampz=abs(num./den);plot(f,ampx,f,ampy,f,ampz)xlabel('Frequency-Hz')ylabel('AmplitudeResponse')%Endofscriptfile.當(dāng)前49頁,總共120頁。運(yùn)行結(jié)果如圖5-5所示。注意,階躍不變?yōu)V波器和雙線性Z變換濾波器都具有單位直流增益。由于混疊的影響,沖激不變?yōu)V波器的直流增益比1大許多。同時(shí)也要注意到,雙線性z變換濾波器在奈奎斯特頻率(fs/2)處存在一個(gè)零點(diǎn),這是因?yàn)閷?yīng)的模擬原型在f=∞處有一個(gè)零點(diǎn),而這個(gè)零點(diǎn)在雙線性之變換時(shí)被映射到了奈奎斯特頻率處?!霎?dāng)前50頁,總共120頁。圖5-5幅度響應(yīng)比較圖當(dāng)前51頁,總共120頁。例5-6在前面各例子中開發(fā)的濾波器僅基于一個(gè)非常簡單的一階原型,而且ak和bk的值不必利用計(jì)算機(jī)輔助就能確定。在這個(gè)例子中,考慮一個(gè)五階橢圓濾波器,具有1dB通帶波紋和一個(gè)最小20dB的阻帶衰減。雖然肯定可以采用前面例子討論的分析方法來確定濾波器系數(shù),但是由于模擬原型傳遞函數(shù)的復(fù)雜性,這樣做相當(dāng)費(fèi)力。不過,MATLAB信號與系統(tǒng)工具箱中具有大量的數(shù)字濾波器綜合工具,其中就有沖激不變和雙線性z變換數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)的子程序。進(jìn)行五階橢圓濾波器綜合設(shè)計(jì)的MATLAB代碼如下頁示:當(dāng)前52頁,總共120頁。%File:c5_ellipexam.mfs=100; %setsamplingfrequencyfc=20; %setcuttofffrequencyf=0:0.1:50; %definefrequencyvector[b,a]=ellip(5,1,20,2*pi*fc,'s'); %synthesizeellipticfilterh=freqs(b,a,2*pi*f); %amp.resp.ofanalogfilter[bz1,az1]=impinvar(b,a,fs); %impulseinvariantdigitalfilterh1=freqz(bz1,az1,f,fs); %amplituderesponseofabove[bz2,az2]=bilinear(b,a,fs); %bilinearzfilter(notprewarped)h2=freqz(bz2,az2,f,fs); %amplituderesponseofabove[bz3,az3]=bilinear(b,a,fs,fc); %bilinearzfilter(prewarped)h3=freqz(bz3,az3,f,fs); %amplituderesponseofabovesubplot(211) %subplot1plot(f,abs(h),f,abs(h1)) %plotxlabel('Frequency-Hz') %labelxaxisylabel('AmplitudeResponse') %labelyaxissubplot(212) %subplot2plot(f,abs(h2),f,abs(h3)) %plotxlabel('Frequency-Hz') %labelxaxisylabel('AmplitudeResponse') %labelyaxis當(dāng)前53頁,總共120頁。注意這里產(chǎn)生了四種頻率響應(yīng)。首先產(chǎn)生了模擬原型的幅度響應(yīng),作為比較的基礎(chǔ)。其次產(chǎn)生了沖激不變數(shù)字濾波器的幅度響應(yīng),并與模擬原型的幅度響應(yīng)畫在一起。最后綜合產(chǎn)生了兩種雙線性z變換數(shù)字濾波器,一種采用頻率畸變而另一種未采用頻率畸變,把它們畫在一起,用來說明頻率畸變的影響。在圖5-6中比較了模擬原型、沖激不變?yōu)V波器和兩種雙線性z變換的幅度響應(yīng),這里把它們分別畫在兩張圖中以避免混亂。上方的圖對模擬原型和沖激不變數(shù)字濾波器的幅度響應(yīng)進(jìn)行了比較。注意,除了帶寬,兩者差別很大,原因在于混疊誤差。橢圓濾波器存在明顯的混疊誤差,因?yàn)樗淖鑾匦允沟闷淠M原型的幅度響應(yīng)不是帶限的,這一點(diǎn),從濾波器的通帶和阻帶的幅度都有所升高就可以看出。當(dāng)前54頁,總共120頁。圖5-6幅度響應(yīng)的比較當(dāng)前55頁,總共120頁。上頁的圖表明雙線性之變換綜合方法的性能要好得多。如果沒有使用頻率畸變的話,截止頻率就會像預(yù)計(jì)的一樣,從20Hz降低到18Hz左右。將數(shù)字濾波器的截止頻率預(yù)畸變到模擬原型的截止頻率,就可以在大部分頻率范圍內(nèi)使幅度響應(yīng)與模擬原型的幅度響應(yīng)很好地匹配。然而,它們之間有一個(gè)明顯的差別。在奈奎斯特頻率(fs/2=50Hz)處,模擬原型的幅度響應(yīng)是0.1,對應(yīng)于20dB衰減,而雙線性之變換數(shù)字濾波器的幅度響應(yīng)為0(-∞dB)。模擬濾波器在f=∞處有一個(gè)零點(diǎn),經(jīng)過雙線性之變換以后,這個(gè)零點(diǎn)被映射到了奈奎斯特頻率處?!霎?dāng)前56頁,總共120頁。特殊情況:梯形積分法梯形積分法是一種重要的積分算法,經(jīng)常用于仿真程序中。通常,離散時(shí)間積分由如下的表達(dá)式定義:這里y[n]和y[n-1]分別表示積分器在序數(shù)n以及n-1時(shí)的輸出信號,△(n-1,n)表示在時(shí)間增量(n-1)T<t≦nT區(qū)間內(nèi)加到積分上的增量面積。增量面積如圖5-7所示,其值如下當(dāng)前57頁,總共120頁。對式(5-54)兩邊進(jìn)行z變換,可得梯形積分器的傳遞函數(shù),結(jié)果如下:如果基于雙線性z變換綜合方法設(shè)計(jì)一種積分算法,其結(jié)果為或者,由于積分運(yùn)算等價(jià)于除以s,于是有當(dāng)前58頁,總共120頁。圖5-7梯形積分法當(dāng)前59頁,總共120頁。上式與式(5-55)表示的梯形積分法完全相同。對應(yīng)于梯形積分法的轉(zhuǎn)置直接II型實(shí)現(xiàn)的信號流圖如圖5-8所示。注意到除了有一個(gè)幅度比例系數(shù)T/2之外,所有乘法全部是單位型的。其MATLAB仿真代碼也示于圖5-8中。可以看到,這里的延時(shí)也是通過狀態(tài)w1和w2的計(jì)算順序來實(shí)現(xiàn)的。梯形積分法只是用于仿真程序的眾多不同積分算法中的一種。有了多種不同的算法,我們就能夠在速度/性能方面進(jìn)行各種折中。當(dāng)前60頁,總共120頁。(四)IIR數(shù)字濾波器的計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)過去數(shù)十年來,人們已經(jīng)為IIR和FIR數(shù)字濾波器開發(fā)了多種計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)方法。FIR方法比IIR方法得到了更為廣泛的應(yīng)用,但是由于IIR方法能給出較小型的結(jié)構(gòu)(較少的延時(shí)單元),它有時(shí)也能派上用場。計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)方法的一個(gè)優(yōu)點(diǎn)在于:無須等價(jià)模擬原型就可以開發(fā)數(shù)字濾波器;另外,使用計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì),也便于快速而系統(tǒng)地研究實(shí)現(xiàn)中的折中,比如在復(fù)雜度(要求的系數(shù)個(gè)數(shù))和精度(實(shí)際與目標(biāo)幅度響應(yīng)之間的誤差)。當(dāng)前61頁,總共120頁。開發(fā)IIR濾波器常用的一個(gè)方法是:通過調(diào)整濾波器系數(shù)來獲得期望響應(yīng)的最佳擬合。在最常用的方法中,人們指定理想的濾波器特性,一般是期望濾波器的幅度響應(yīng)以及濾波器的階數(shù)N,這導(dǎo)致了一個(gè)帶約束的最優(yōu)化問題,其中階數(shù)N為約束,目標(biāo)是根據(jù)最小均方誤差準(zhǔn)則確定最佳擬合。下面舉一個(gè)例子進(jìn)行說明。例5-7我們將設(shè)計(jì)一個(gè)信道濾波器,具有如圖5-9所示特性。注意到這個(gè)濾波器通過兩個(gè)信道,其中只有一個(gè)轉(zhuǎn)換為直流。還注意到圖5-9中的頻率根據(jù)奈奎斯特頻率(采樣頻率的一半)進(jìn)行了歸一化。根據(jù)這個(gè)歸一化后頻率fN=l/(fs/2),濾波器幅度響應(yīng)可定義為當(dāng)前62頁,總共120頁。上面Ad(f)的表達(dá)式中未包含的三個(gè)頻帶是過渡頻帶,在圖5-9中以深黑色區(qū)域標(biāo)識出來。當(dāng)前63頁,總共120頁。設(shè)計(jì)這個(gè)濾波器的MATLAB程序如下:%Program:c5_yw.morder=20, %degreeofpolynomialsf=[00.10.120.230.250.350.371]; %frequencypointsamp=[11001100]; %amplituderesponse[b,a]=yulewalk(order,f,amp); %synthesizefilterfreqz(b,a) %displayresults%Endofscriptfile.我們注意到,本例產(chǎn)生了一個(gè)20階濾波器,使得H(z)的分子及分母多項(xiàng)式都是z-1的20次多項(xiàng)式,這個(gè)程序的運(yùn)行結(jié)果如圖5-10所示。注意這里的阻帶衰減約為30dB或者更高。對通帶進(jìn)行了合理的整形處理,通帶上的相位響應(yīng)也近似為線性的。要判斷這個(gè)濾波器是否為式(5-58)所定義理想響應(yīng)的滿意近似,可能需要對使用該濾波器的系統(tǒng)進(jìn)行仿真。增加濾波器階數(shù)可以減小近似誤差,但是代價(jià)是提高了復(fù)雜度,從而增加了仿真程序的運(yùn)行時(shí)間?!霎?dāng)前64頁,總共120頁。圖5-10-1IIR濾波器的計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)結(jié)果(20階)當(dāng)前65頁,總共120頁。圖5-10-2IIR濾波器的計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)結(jié)果(40階)當(dāng)前66頁,總共120頁。(五)IIR濾波器的誤差源本節(jié)我們總結(jié)一下使用IIR濾波器近似模擬濾波器的方法所帶來的誤差源。我們已經(jīng)看到誤差源取決于所采用的綜合方法,而在仿真中采用很高的采樣頻率,就可以在很大程度上減小這些誤差,但是過高的采樣頻率將不必要地增加仿真程序的運(yùn)行時(shí)間。跟往常一樣,仿真采樣頻率的選擇同樣涉及到在精度和仿真程序運(yùn)行時(shí)間兩者間進(jìn)行折中。誤差源小結(jié)如表5-1當(dāng)前67頁,總共120頁。五、FIR濾波器:綜合技術(shù)與濾波器特性如果一個(gè)濾波器的沖激響應(yīng)是有限長的,或者已將無限長沖激響應(yīng)截短為有限長的,則離散時(shí)域的濾波器輸出信號可表示為采用標(biāo)準(zhǔn)DSP表示法,可寫為:或?qū)懗蒢變換形式當(dāng)前68頁,總共120頁。定義FIR數(shù)字濾波器的式(5-60),是模擬(連續(xù)時(shí)間)濾波器卷積積分的離散形式。注意到式(5-60)、式(5-61)和式(5-1)、式(5-3)在ak=0,k1時(shí)定義的濾波器模型是相同的。濾波器為FIR(有限時(shí)間沖激響應(yīng)),是因?yàn)樗臎_激響應(yīng)h[n]至多只有N+1個(gè)非零項(xiàng),因?yàn)閗≥1時(shí)ak=0,F(xiàn)IR濾波器沒有反饋通道。式(5-60)所定義的時(shí)域卷積運(yùn)算可以用MATLAB函數(shù)filter進(jìn)行仿真。FIR濾波器的優(yōu)點(diǎn):
1.在一個(gè)通信系統(tǒng)中,并非所有的濾波器都可以使用拉普拉斯變換域的傳遞函數(shù)來表示,因此無法直接應(yīng)用上節(jié)所討論的IIR濾波器方法。屬于這種情況的兩個(gè)重要的濾波器是:平方根升余弦(SQRC)脈沖成形濾波器和Jakes多普勒濾波器。而采用FIR設(shè)計(jì)方法則可以輕易地實(shí)現(xiàn)這些濾波器的仿真。當(dāng)前69頁,總共120頁。2.在許多仿真應(yīng)用中,濾波器數(shù)據(jù)可能是以測量的頻率響應(yīng)或脈沖響應(yīng)的形式經(jīng)驗(yàn)性地給出。采用FIR方法仿真這些濾波器要容易得多。雖然有其他的方法可以將頻率響應(yīng)數(shù)據(jù)擬合為ARMA(自回歸--滑動平均)模型,但是當(dāng)頻率響應(yīng)數(shù)據(jù)不怎么平滑的時(shí)候,所得的近似結(jié)果不夠理想。
3.采用FIR濾波器,可以給定任意幅度響應(yīng)和相位響應(yīng),而且它們可以是相互獨(dú)立的。因此可以仿真諸如具有線性相位響應(yīng)的理想“磚墻”濾波器。
4.FIR濾波器沒有反饋,因此總是穩(wěn)定的。當(dāng)前70頁,總共120頁。FIR仿真模型的缺點(diǎn):那就是它的計(jì)算效率不如IIR濾波器實(shí)現(xiàn)的高。直接實(shí)現(xiàn)式(5-60)定義的卷積運(yùn)算,產(chǎn)生一個(gè)輸出采樣點(diǎn)就需要進(jìn)N次(復(fù)數(shù))乘法和加法運(yùn)算,如果沖激響應(yīng)非常長,比如說N>1024點(diǎn)的話,F(xiàn)IR算法運(yùn)行起來比典型的IIR濾波器算法要慢得多。對于IIR濾波器而言,產(chǎn)生一個(gè)輸出采樣點(diǎn)需要的加法和乘法運(yùn)算的次數(shù)是由濾波器的階數(shù)決定的,而不同于FIR濾波器,由沖激響應(yīng)的長度決定。
通過使用DFT/FFT算子來進(jìn)行卷積運(yùn)算,可以改進(jìn)FIR模型的計(jì)算效率。當(dāng)采用DFT/FFT算子的時(shí)候,關(guān)鍵要注意以下幾點(diǎn):
1.DFT/FFT運(yùn)算具有固有的周期性,會產(chǎn)生圓周或周期卷積輸出。為了獲得線性卷積輸出,輸入序列以及沖激響應(yīng)序列必須進(jìn)行填零補(bǔ)齊(Zero-padded)。為了獲得最高的計(jì)算效率,經(jīng)過填補(bǔ)的向量擴(kuò)展后的長度必須是2的冪,以便使用基--2(Radix-2)FFT算法。
當(dāng)前71頁,總共120頁。
2.如果輸入序列很長,通常把輸入序列分成幾個(gè)較小的互不重疊的子塊,并對每個(gè)輸入子塊分別進(jìn)行卷積,以得到對應(yīng)的輸出子塊,然后將這些輸出子塊進(jìn)行適當(dāng)?shù)慕化B再相加,就得出總的輸出。如果輸入子塊的長度相對較短,比如說少于128個(gè)采樣點(diǎn),輸出子塊通??梢圆捎谩皢斡|發(fā)”方式來計(jì)算。要不然,則推薦使用疊加的方法??梢允褂肕ATLAB函數(shù)fftfilt來實(shí)現(xiàn)基于DFT/FFT疊加法的卷積。
3.基于DFT/FFT的卷積是一種分塊處理運(yùn)算。只有在輸入采樣點(diǎn)的數(shù)量累積到足夠進(jìn)行DFT/FFT運(yùn)算之后,才可以產(chǎn)生輸出子塊的第一個(gè)采樣點(diǎn)。由于這種內(nèi)置的時(shí)延,通常情況下DFT/FFT濾波器不能用于仿真反饋循環(huán)中的濾波器。當(dāng)前72頁,總共120頁。眾所周知,時(shí)域卷積與基于DFT運(yùn)算的卷積的計(jì)算效率之比值跟log2N/N成比例。如果沖激響應(yīng)長度少于128個(gè)采樣點(diǎn)的話,時(shí)域卷積與基于DFT/FFT的卷積在計(jì)算量上沒有太大的區(qū)別。如果對沖激響應(yīng)的長度進(jìn)行截短,F(xiàn)IR濾波器方法(包括時(shí)域卷積和基于DFT/FFT的卷積)的計(jì)算效率可以得到改進(jìn)。截短等價(jià)于使用一個(gè)長度為N個(gè)采樣的窗函數(shù)w[k]與沖激響應(yīng)h[k](k=0,1,2,…)相乘。通常選擇N值使得該窗函數(shù)內(nèi)至少包含有h[n]總能量的98%,即最簡單的窗函數(shù)就是矩形窗函數(shù),也即當(dāng)前73頁,總共120頁。也可采用許多其他的窗函數(shù)。時(shí)域的截短(加窗)等價(jià)于頻域的卷積,即HT(f)=H(f)W(f),這里慣常地使用表示卷積。理想情況下,窗函數(shù)的頻域表達(dá)式應(yīng)該是W(f)=(f),這樣,與沖激信號進(jìn)行卷積就不會改變H(f)。頻域沖激對應(yīng)于時(shí)域的常數(shù),但其區(qū)間是無限長而不是有限長的,這樣,頻域的理想特性就會導(dǎo)致時(shí)域的非理想特性。反之亦然。窗函數(shù)的選擇因此也是一種折中,所得窗口同時(shí)也引入了失真。合適地選擇窗函數(shù),就可以使這種失真最小化。理想的窗函數(shù)應(yīng)該具備以下特性(記住,在理想情況下我們想要一個(gè)頻域上的沖激信號):
1.頻域的“窄主瓣”包含大多數(shù)能量。2.小旁瓣。最常用的窗函數(shù)有矩形窗、漢明窗以及Kaiser窗。選擇窗函數(shù)的時(shí)候,應(yīng)該在加窗引起的信號失真和計(jì)算量之間進(jìn)行折中考慮。當(dāng)前74頁,總共120頁。(一)根據(jù)幅度響應(yīng)進(jìn)行的設(shè)計(jì)
FIR濾波器的基本設(shè)計(jì)方法基于這樣一個(gè)事實(shí):濾波器的頻率響應(yīng)(包括幅度和相位)和單位沖激響應(yīng)是一個(gè)傅里葉變換對。我們推導(dǎo)單位沖激響應(yīng)的一般做法是,給定期望的幅度響應(yīng)A(f),再計(jì)算其傅里葉反變換。通常給定目標(biāo)幅度響應(yīng)為實(shí)偶函數(shù),這樣所得的單位沖激響應(yīng)也是實(shí)偶函數(shù)型的。因?yàn)闆_激響應(yīng)是偶函數(shù),是非因果的,而為了在時(shí)域上實(shí)現(xiàn)系統(tǒng),必須對所得的沖激響應(yīng)進(jìn)行截短使其為有限長,還要在時(shí)間軸上進(jìn)行平移,使之成為因果函數(shù)。截短時(shí),必須注意以避免引入顯著的誤差,使用合適的窗函數(shù)通??梢詼p小這些誤差的影響。在時(shí)間軸上平移時(shí),相當(dāng)于使濾波器獲得一個(gè)大小等于該時(shí)間平移長度的群時(shí)延的線性相位響應(yīng),該方法可產(chǎn)生具有任意幅度和線性相位響應(yīng)的濾波器。當(dāng)前75頁,總共120頁。如果人們想要一個(gè)同時(shí)具有目標(biāo)幅度響應(yīng)和相位響應(yīng)的濾波器,就要給定一個(gè)復(fù)傳遞函數(shù)。假設(shè)對沖激響應(yīng)進(jìn)行截短操作后,所引入誤差不太顯著,則除了一個(gè)定常群時(shí)延外,最終得到的濾波器可以同時(shí)滿足目標(biāo)濾波器對幅度響應(yīng)和相位響應(yīng)要求數(shù)字濾波器的幅度響應(yīng),是頻率f的連續(xù)函數(shù),而且是具有以采樣頻率為周期的周期函數(shù),可以表示為傅里葉級數(shù)。這些離散的傅里葉級數(shù)的系數(shù),給出了期望數(shù)字濾波器的沖激響應(yīng)。正如我們將在接下來的兩個(gè)例子中所看到的那樣,正式確定期望的頻率響應(yīng)的傅里葉反變換,或者對期望的幅度響應(yīng)采樣點(diǎn)序列進(jìn)行FFT反變換,都可以獲得所要求的沖激響應(yīng)。這些方法都相當(dāng)基本,但如果小心使用會得到有用的濾波器設(shè)計(jì)。當(dāng)前76頁,總共120頁。由于數(shù)字濾波器的幅度響應(yīng)具有以采樣頻率為周期的周期性,其幅度響應(yīng)可展開為傅里葉級數(shù),如下:這里的h[n]表示傅里葉級數(shù)的系數(shù),M表示沖激響應(yīng)的長度,而T=1/fs。注意,式(5-64)剛好是式(5-4)與式(5-6)的聯(lián)立結(jié)果,用于從傳遞函數(shù)H(z)獲得穩(wěn)態(tài)頻率響應(yīng)。下面假設(shè)M=2L+1。利用這一替換并改變序數(shù)k=n-L,可得:當(dāng)前77頁,總共120頁。或又可以改寫成如下形式:顯然h1[k]=h[k+L],這是由式(5-64)所定義的因果濾波器的沖激響應(yīng)平移L個(gè)采樣點(diǎn)后得到的。注意,由式(5-68)定義的濾波器不是一個(gè)因果濾波器。然而它非常便于采用基本的傅里葉變換法進(jìn)行設(shè)計(jì),并且只要簡單地對沖激響應(yīng)進(jìn)行合適的平移就可以變?yōu)橐蚬?。?dāng)前78頁,總共120頁。假設(shè)一個(gè)濾波器將具有給定幅度響應(yīng)H1(ej2fT)=A(f)。在式(5-68)兩邊同時(shí)乘以exp(j2mfT)得很顯然,由h[n]和h1[n]所確定的濾波器的幅度響應(yīng)是相同的,而傳遞函數(shù)只是相差一個(gè)由式(5-67)所定義的線性相位平移。因此該設(shè)計(jì)過程基于式(5-68)。在一個(gè)仿真帶寬上,即H1(ej2fT)的一個(gè)周期內(nèi),對式(5-69)兩邊同時(shí)積分得當(dāng)前79頁,總共120頁。進(jìn)行積分,并注意fsT=1,得將這個(gè)結(jié)果代入式(5-70)得這是我們的基本設(shè)計(jì)方程。
例5-8在這個(gè)例子中我們設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)字低通濾波器,來近似一個(gè)帶寬為fN=fs/2的理想數(shù)字濾波器,這里fN為奈奎斯特頻率,fs為采樣頻率,是介于0和1之間的一個(gè)參數(shù)。因此,期望的幅度響應(yīng)為當(dāng)前80頁,總共120頁。從式(5-73)有由于fsT=1,式(5-76)可以改寫為:注意,這里h1[0]=h[L]=下述代碼中,我們采用的L=30,=0.3。注意,為了防止當(dāng)m=0時(shí)出現(xiàn)不確定形式,在序數(shù)m中加上了eps。將沖激變成因果的所要求的L=30個(gè)采樣點(diǎn)的平移,是利用MATLAB對向量序數(shù)進(jìn)行操作的方式來完成的。當(dāng)前81頁,總共120頁。%File:c5_FIRdesign.mL=30; %2L+1totalpointslam=0.3; %normalizedcutofffrequencym=-L:1:L; %vectorofpointsbp=sin(pi*lam*(m+eps))./(pi*(m+eps)); %impulseresponsestem(0:2*L,bp,'.') %plotimpulseresponsexlabel('Sampleindex')ylabel('Impulseresponse')figure;a=1;freqz(bp,a) %plotampandphaseresponsefigure;subplot(2,1,1) %newfigure [Hw]=freqz(bp,a); plot(w/pi,abs(H));grid; %unwindowedampresponsexlabel('Frequency(normalizedtotheNyquistfrequency=fs/2)')ylabel('|H(f)|(unwindowed)')subplot(2,1,2)w=0.54+0.46*cos(pi*m/L); %Hammingwindowwbp=bp.*w; %applywindow[Hw]=freqz(wbp,a);plot(w/pi,abs(H));grid; %windowedampresponsexlabel('Frequency(normalizedtotheNyquistfrequency=fs/2)')ylabel('|H(f)|(windowed)')%Endofscriptfile.當(dāng)前82頁,總共120頁。MATLAB程序產(chǎn)生的第一個(gè)輸出信號是沖激響應(yīng),如圖5-11所示。注意,跟先前確定的一樣,h[30]=0.3。同時(shí)也注意,所得沖激響應(yīng)關(guān)于m=L=30處的中心是偶對稱的。用MATLAB命令freqz產(chǎn)生FIR濾波器的幅度響應(yīng)和相位響應(yīng),再用默認(rèn)的畫圖模式畫出,如圖5-12所示。跟預(yù)計(jì)的一樣,所得濾波器具有線性相位響應(yīng),因?yàn)闆_激響應(yīng)關(guān)于其中心偶對稱。線性相位平移操作(定常群時(shí)延)得自于將沖激響應(yīng)平移L個(gè)采樣點(diǎn)而使濾波器具有因果性。幅度響應(yīng)的符號變換會在阻帶范圍內(nèi)導(dǎo)致鋸齒狀的相位響應(yīng)。
如圖5-12所示,濾波器通帶范圍內(nèi)的幅度響應(yīng)看起來相當(dāng)平坦。為了驗(yàn)證這一點(diǎn),采用線性標(biāo)尺重新畫出幅度響應(yīng),以避免對數(shù)坐標(biāo)產(chǎn)生的幅度壓縮。結(jié)果如圖5-13的上部所示。當(dāng)前83頁,總共120頁。可以看到,在通帶范圍內(nèi)有明顯的波紋,這是因?yàn)檫M(jìn)行沖激響應(yīng)截短操作時(shí),對沖激響應(yīng)乘以一個(gè)矩形窗所造成的。這里的加窗等價(jià)于把理想頻率響應(yīng)與sin(f)/f進(jìn)行卷積(的數(shù)值由窗函數(shù)的寬度決定)??梢酝ㄟ^采用一個(gè)從w[n]=1到w[n]=0較平滑過渡的窗函數(shù),來降低矩形窗所造成的通帶波紋。注意,我們希望這里的窗函數(shù)在頻域上更接近于一個(gè)沖激函數(shù)。)一種簡單而常用的窗函數(shù)—漢明窗的權(quán)值定義如下當(dāng)前84頁,總共120頁。注意,窗函數(shù)w[n]必須在時(shí)間上平移L個(gè)采樣點(diǎn),從而使w[0]成為h[n]的中心。采用漢明窗的結(jié)果,如圖5-13下方所示。注意,采用漢明窗之后,通帶以及阻帶波紋都受到了抑制。■圖5-11FIR濾波器沖激響應(yīng)當(dāng)前85頁,總共120頁。圖5-12幅度響應(yīng)和相位響應(yīng)當(dāng)前86頁,總共120頁。圖5-13加窗效果當(dāng)前87頁,總共120頁。例5-9設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)字低通濾波器,不僅具有模擬巴特沃思濾波器的幅度響應(yīng),而且具有線性相位響應(yīng)。我們沒有該濾波器的等價(jià)模擬原型。巴特沃思濾波器通過如下幅度響應(yīng)定義:這里fc是帶寬,或稱為3dB頻率點(diǎn),n是濾波器階數(shù)。下一步是對頻率響應(yīng)進(jìn)行采樣,頻率響應(yīng)的采樣由下式給出:然后對頻率響應(yīng)采樣值進(jìn)行FFT反變換來產(chǎn)生沖激響應(yīng)。當(dāng)前88頁,總共120頁。%File:c5_firbutter.morder=30; fc=5; %setfilterparametersfmax=100; %setmaxfrequencynpts=256; %setnumberofsamplesf=(0:(npts-1))*(fmax/(npts-1)); %frequencyvectornn=2*npts; %sizeifftH=zeros(1,nn); %initializevectorHa=1./(sqrt(1+(f/fc).^order)); %amplituderesponseH=[Ha0fliplr(Ha(2:npts))]; %evenamplituderesponse[cimp_resp]=ifft(H,nn); %compleximpulseresponseimp_resp=real(cimp_resp); %takerealpartaa=imp_resp(1:npts); %time>=0bb=imp_resp((npts+1):nn); %time<0reimpulse=[bbaa]; %realandevenimp.resp.plot(reimpulse) %plotresult注意,對于N點(diǎn)FFT反變換,在序數(shù)值為(N/2)+1到N的范圍內(nèi),返回的向量中會出現(xiàn)負(fù)時(shí)間采樣點(diǎn),這時(shí)必須重新編寫序號,才能得到合適的沖激響應(yīng)。計(jì)算具有巴特沃思幅度響應(yīng)的線性相位濾波器沖激響應(yīng)采樣代碼:當(dāng)前89頁,總共120頁。order=1和order=30時(shí)的沖激響應(yīng)如圖5-14所示,所得響應(yīng)是雙邊指數(shù)遞減的(雙邊是因?yàn)檫@里假設(shè)幅度響應(yīng)A(f)為實(shí)數(shù))。對于order=30,沖激響應(yīng)相當(dāng)接近sinc函數(shù),因?yàn)殡A數(shù)極高的巴特沃思濾波器可以很好地近似理想(brickwall)濾波器。因此,如圖5-14所示的結(jié)果是正確的。實(shí)際上,人們希望通過最大限度地減少表示沖激響應(yīng)的權(quán)值(bk項(xiàng))的個(gè)數(shù),從而最小化仿真程序的計(jì)算量。通過最小化權(quán)值個(gè)數(shù),可以使得乘法運(yùn)算的數(shù)目和抽頭延時(shí)線(移位寄存器)級數(shù)最少??雌饋恚趏rder=1的沖激響應(yīng)中,系數(shù)權(quán)值都接近于零,因此可以從幅度響應(yīng)中消除,而對幅度響應(yīng)產(chǎn)生的影響可忽略不計(jì)。在order=30的沖激響應(yīng)中也是如此(只是程度輕點(diǎn))。因此人們應(yīng)該對沖激響應(yīng)加上矩形窗,具有足夠的寬度以包含沖激響應(yīng)的所有有效項(xiàng),而拋棄落在窗外的項(xiàng)?!霎?dāng)前90頁,總共120頁。Order=1Order=30圖5-14濾波器綜合的結(jié)果—沖激響應(yīng)當(dāng)前91頁,總共120頁。(二)根據(jù)沖激響應(yīng)進(jìn)行的設(shè)計(jì)通過幅度響應(yīng)和相位響應(yīng)特性的指標(biāo)來綜合數(shù)字濾波器,是頻率采樣的一個(gè)應(yīng)用。在許多應(yīng)用中,已知濾波器沖激響應(yīng)的解析表達(dá)式。此時(shí),對沖激響應(yīng)進(jìn)行時(shí)域采樣,就可以實(shí)現(xiàn)FIR濾波器的設(shè)計(jì)。用于信號傳輸中成形脈沖的濾波器尤其如此。在這種情況下,數(shù)據(jù)可以看作是在時(shí)間上以一定的脈沖周期T分隔開的沖激序列。對二進(jìn)制的情況,我們有這里dk=1對應(yīng)于二進(jìn)制數(shù)1,dk=-1對應(yīng)于二進(jìn)制數(shù)O。將它通過一個(gè)具有沖激響應(yīng)為p(t)的脈沖成形濾波器,得到以下波形當(dāng)前92頁,總共120頁。下例給出兩個(gè)常見的實(shí)例。例5-10用于數(shù)據(jù)傳輸?shù)拿}沖波形p(t),通常應(yīng)選擇具有奈奎斯特零符號間干擾(ISI)屬性的脈沖波形。升余弦脈沖即是一種具有零ISI的脈沖波形,其頻域表達(dá)如下:當(dāng)前93頁,總共120頁。這里T是脈沖周期或者稱為符號周期。對其進(jìn)行傅里葉反變換,得到脈沖波形如下:這顯然是一個(gè)非因果的脈沖。通常將這個(gè)脈沖延時(shí)符號周期的整數(shù)倍,也就是mT,并將其長度截短到2mT,m的取值應(yīng)該在便捷和精度要求之間進(jìn)行折中。然后在每個(gè)符號周期內(nèi)進(jìn)行k點(diǎn)采樣,使得T=kTs,這里Ts為采樣周期。用t-td=t-mT來進(jìn)行替換t,令t=nTs,及T=kTs得當(dāng)前94頁,總共120頁。代入式(5-84),得到表示數(shù)字濾波器沖激響應(yīng)的采樣序列如下:為了說明升余弦響應(yīng),令x[n]=[n-1]為濾波器的輸入,而該濾波器具有沖激響應(yīng)p[n]。輸出信號為對=0.32,k=10個(gè)采樣點(diǎn)每符號,m=4個(gè)符號所得結(jié)果,如圖5-15所示。顯而易見,在假設(shè)的脈沖周期T=1的整數(shù)倍處,p[n]值為零。當(dāng)前95頁,總共120頁。在許多系統(tǒng)設(shè)計(jì)中,傳遞函數(shù)P(f)通常通過兩個(gè)具有傳遞函數(shù)為sqrt[P(f)]的濾波器的級聯(lián)而來現(xiàn)。其中一個(gè)是發(fā)射器的一部分,而另一個(gè)則是接收器的一部分。于是有使用式(5-85)定義的替換可實(shí)現(xiàn)延時(shí)和采樣運(yùn)算,所得結(jié)果為當(dāng)前96頁,總共120頁。如圖5-16(上方)所示為具有沖激響應(yīng)為PSQRC[n]的濾波器對輸入信號[n-1]的響應(yīng),即濾波器的參數(shù)如下:=0.32,k=10個(gè)采樣點(diǎn)每符號,T=1,m=4個(gè)符號。注意到此時(shí)過零點(diǎn)并不是精確地位于T=1的整數(shù)倍處。如圖5-16下方所示為圖5-16上方所給的采樣序列與PSQRC[n]進(jìn)行卷積的結(jié)果,它實(shí)質(zhì)上表示PSQRC[n]與其本身進(jìn)行卷積運(yùn)算,等價(jià)于兩個(gè)SQRC濾波器的級聯(lián)。注意到過零點(diǎn)現(xiàn)在就落在T=1的整數(shù)倍處,因?yàn)閮蓚€(gè)SQRC濾波器的級聯(lián)組合,就成為一個(gè)零ISI的濾波器?!霎?dāng)前97頁,總共120頁。圖5-15升余弦脈沖實(shí)例當(dāng)前98頁,總共120頁。圖5-16平方根升余弦脈沖波形當(dāng)前99頁,總共120頁。(三)FIR濾波器仿真模型的實(shí)現(xiàn)※我們已經(jīng)看到,在通信系統(tǒng)仿真中,F(xiàn)IR模型起著關(guān)鍵的作用。前面章節(jié)中所討論的是在解析地已知傳遞函數(shù)或者沖激響應(yīng),從而可對其進(jìn)行采樣時(shí)的設(shè)計(jì)方法。FIR仿真模型的另外一個(gè)重要應(yīng)用是在設(shè)計(jì)過程的后期階段。此時(shí),濾波器也許已經(jīng)設(shè)計(jì)并制造出來,這樣就可以利用已經(jīng)測量到的頻率響應(yīng)。FIR濾波器仿真模型特別適用于頻率響應(yīng)以經(jīng)驗(yàn)形式給定(通過測量或者其他方式)的濾波器仿真。當(dāng)前100頁,總共120頁。讓我們看一下,如果頻率響應(yīng)是任意的,并且是使用表格形式經(jīng)驗(yàn)性地給定時(shí)(通??蓮木W(wǎng)絡(luò)分析儀測量值獲得),那么仿真這樣的濾波器有這么幾個(gè)重要步驟。第一大步,合理選擇兩個(gè)重要參數(shù),即采樣率和截短濾波器的持續(xù)時(shí)間。要實(shí)現(xiàn)FIR濾波器,這兩個(gè)參數(shù)就必須仔細(xì)選擇,使得在最小化計(jì)算復(fù)雜度的同時(shí),可以在時(shí)域以及頻域上獲得令人滿意的分辨率。選擇這兩個(gè)參數(shù)的準(zhǔn)則如下:采樣率fs通常應(yīng)滿足fs>16B到32B,這里B是濾波器帶寬。時(shí)間分辨率,即采樣間隔為Ts=1/fs。頻率分辨率△f=1/(NTs),這里N=fs/△f,理想的值處于B/64和B/32之間。采樣點(diǎn)/符號數(shù)量必須為整數(shù),通常是2的冪次方,最小值為8。沖激響應(yīng)的持續(xù)時(shí)間通常選擇8到16個(gè)符號。當(dāng)前101頁,總共120頁。經(jīng)過以上考慮,通常選取N=1024,N是濾波器抽頭數(shù)量或者沖激響應(yīng)的采樣點(diǎn)數(shù)。在選擇了重要參數(shù)fs和N(從而也確定Ts和與△f)之后,就要對給定的頻率響應(yīng)數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理并實(shí)現(xiàn)仿真模型。
實(shí)現(xiàn)仿真模型的第二大步涉及到對頻率響應(yīng)數(shù)據(jù)的預(yù)處理。這一步驟包括:1)進(jìn)行帶通到低通的轉(zhuǎn)換(如果濾波器是帶通濾波器);2)對頻率響應(yīng)數(shù)據(jù)進(jìn)行重新采樣;3)通過對群時(shí)延數(shù)據(jù)的數(shù)字積分將群時(shí)延轉(zhuǎn)換為相位。帶通到低通的轉(zhuǎn)換只要通過重新標(biāo)記頻率軸(fl=f-fc)就可以實(shí)現(xiàn)。當(dāng)前102頁,總共120頁。上述操作,可能導(dǎo)致低通等價(jià)濾波器不具有關(guān)于f=0的共扼對稱性。在這種情況下,低通等價(jià)濾波器的沖激響應(yīng)可能取復(fù)數(shù)值。一個(gè)實(shí)例是,當(dāng)對一個(gè)殘留邊帶濾波器進(jìn)行帶通到低通轉(zhuǎn)換的時(shí)候,就會產(chǎn)生這種影響。重采樣,諸如當(dāng)網(wǎng)絡(luò)分析儀測量結(jié)果所給出的頻率點(diǎn),跟要用于實(shí)現(xiàn)FIR濾波器的頻率點(diǎn)不同時(shí),這是必需的。例如,假設(shè)使用網(wǎng)絡(luò)分析儀收集到頻率響應(yīng)的100個(gè)采樣點(diǎn),而FIR濾波器的實(shí)現(xiàn)是基于N=1024個(gè)采樣點(diǎn)的,這種情況下,必須對所得頻率響應(yīng)進(jìn)行內(nèi)插。在大多數(shù)情況下,簡單的線性內(nèi)插就足夠了。最后一步就是群時(shí)延響應(yīng)到相位響應(yīng)的轉(zhuǎn)換,通過在頻域上對群時(shí)延進(jìn)行數(shù)字積分,群時(shí)延數(shù)據(jù)就可以轉(zhuǎn)換為相位響應(yīng)。當(dāng)前103頁,總共120頁。一旦得到低通等價(jià)濾波器的頻率響應(yīng),使用MATLAB實(shí)現(xiàn)FIR濾波器模型就包括以下步驟:1.將頻率響應(yīng)數(shù)據(jù)擴(kuò)展到-fs/2到fs/2之間,并獲得傳遞函數(shù)H(f)的采樣值,-fs/2<f<fs/2,這里f=k△f,k=-N/2到N/2-1,△f是頻率分辨率[△f=1/(NTs)]。2.將H(f)的負(fù)頻率部分平移到N/2+1與N之間,于是頻率響應(yīng)就包含在H(k△f)之中,k=1,2,…,N。3.進(jìn)行FFT反變換,就可以獲得沖激響應(yīng)[時(shí)域采樣率為Ts=1/(N△f)]。4.如果必要的話,對沖激響應(yīng)進(jìn)行加窗(確保沖激響應(yīng)作了合適旋轉(zhuǎn),且位于窗函數(shù)中心)。對加窗后的沖激響應(yīng)進(jìn)行歸一化以便獲得單位能量。當(dāng)前104頁,總共120頁。在得到截短的沖激響應(yīng)之后,可以使用參數(shù)為a=1,b=h的MATLAB函數(shù)filter來仿真濾波器,這里h是沖激響應(yīng)陣列,即可以通過使用output=filter(b,a,input)獲得濾波器的輸出信號。若輸入序列相當(dāng)長,如前所述,則輸出信號可以通過使用output=fftfilt(b,input,N)來獲得,這里使用疊加法分塊實(shí)現(xiàn)FIR濾波器,分塊大小為N。接下來的MATLAB例子表明如何仿真一個(gè)衛(wèi)星通信中使用的125MHz的帶通信道濾波器。數(shù)據(jù)的測量特性由幅度響應(yīng)和時(shí)延特性給出(見附錄C)。當(dāng)前105頁,總共120頁。例5-11采用前面討論的方法進(jìn)行FIR濾波器設(shè)計(jì)的MATLAB程序包含在附錄C中。作為設(shè)計(jì)基礎(chǔ)的測量數(shù)據(jù)也包含在附錄C中(表5-4和表5-5),所得結(jié)果如圖5-17和圖5-18所示,圖5-17給出了加窗的和未加窗的沖激響應(yīng),圖5-18給出了加窗的和未加窗的幅度響應(yīng)。加窗的和未加窗的響應(yīng)分別畫在兩張圖上,因?yàn)樗鼈儽舜撕芟嘟?,畫在一起?/p>
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