2021年浙江三位一體自主招生數(shù)學(xué)測試試卷74有答案解析

2021年浙江省“三位一體”自主招生數(shù)學(xué)測試試卷（74）（有答案解析）2021年浙江省“三位一體”自主招生綜合測試試卷（74）一、選擇題（本大題共9小題，共36.0分）.“割圓術(shù)”是求圓周率的一種算法．公元263年左右，我國一位著名的數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)當(dāng)圓的內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無限增加時，多邊形面積可無限逼近圓面積，即所謂“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”請問上述著名數(shù)學(xué)家為劉徽祖沖之楊輝秦九昭.某校食堂有4元、5元、6元三種價格的飯菜供學(xué)生們選擇每人限購一份三月份銷售該三種價格飯菜的學(xué)生比例分別為、、，則該校三月份學(xué)生每餐購買飯菜的平均費(fèi)用是元元5元元.在初中已學(xué)過的一次函數(shù)、反比例函數(shù)和二次函數(shù)等函數(shù)中，它們的圖象與任意一條直線是任意實(shí)數(shù)交點(diǎn)的個數(shù)為必有一個一個或兩個至少一個至多一個.同時擲兩個骰子，其中向上的點(diǎn)數(shù)之和是5的概率是A.B.C.D..給你一列數(shù)：1,l,2,6,24,請你仔細(xì)觀察這列數(shù)的排列規(guī)則，然后從四個供選擇單選項(xiàng)中選出一個你認(rèn)為最合理的一項(xiàng),來填補(bǔ)其中的空缺項(xiàng),使之符合原數(shù)列的排列規(guī)律．4896120144.已知．二次函數(shù)是實(shí)數(shù),當(dāng)自變量任取,時,分別與之對應(yīng)的函數(shù)值,滿足,則,應(yīng)滿足的關(guān)系式是A.B.C.D..在8個銀元中混進(jìn)了一個大小形狀顏色完全一樣的假銀元,已知7個真銀元的重量完全相同,而假銀元比真銀元稍輕點(diǎn)兒,你用一臺天平最少次就能找出這枚假銀元．l234.如圖，P是圓D的直徑AB的延長線上的一點(diǎn)，PC與圓D相切于點(diǎn)C,的平分線交AC于點(diǎn)Q,則C.D.9.十進(jìn)制***-*****二進(jìn)制***-********-**********觀察二進(jìn)制為1位數(shù)、2位數(shù)、3位數(shù)時，對應(yīng)的十進(jìn)制的數(shù)，當(dāng)二進(jìn)制為6位數(shù)時，能表示十進(jìn)制中的最大數(shù)是A.61B.626364二、填空題（本大題共7小題，共21.0分）10.某校去年投資2萬元購買實(shí)驗(yàn)器材，預(yù)計(jì)今明2年的投資總額為8萬元．若該校這兩年購買的實(shí)驗(yàn)器材的投資年平均增長率為x，則可列方程為．1L如圖，在平行四邊形ABCD中，于E,于F,且，則平行四邊形ABCD的周長是..在一個木制的棱長為3的正方體的表面涂上顏色，將它的棱三等分，然后從等分點(diǎn)把正方體鋸開，得到27個棱長為l的小正方體，將這些小正方體充分混合后，裝入口袋，從這個口袋中任意取出一個小正方體，則這個小正方體的表面恰好涂有兩面顏色的概率TOC\o"1-5"\h\z是 ．.已知關(guān)于x的一元二次方程與有一個公共實(shí)數(shù)根，則 ．.一個樣本為1、3、2、2、a,b,已知這個樣本的眾數(shù)為3,平均數(shù)為2，那么這個樣本的方差為 ．15如圖，在梯形ABCD中，一，，則該梯形的面積 ．.某計(jì)算機(jī)用戶計(jì)劃用不超過500元的資金購買單價分別為60元、70元的A類軟件和B類軟件，根據(jù)需要A類軟件至少買3片，B類軟件至少買2片，則不同的選購方式共有種.三、計(jì)算題（本大題共1小題，共10.0分）.已知，求的值．四、解答題（本大題共5小題，共53.0分）.在凸四邊形ABCD中，，且四個內(nèi)角中有一個角為，求其余各角的度數(shù)．.某商店若將進(jìn)價為100元的某種商品按120元出售，一天就能賣出300個．若該商品在120元的基礎(chǔ)上每漲價l元，一天就要少賣出10個，而每減價l完，一天贏可多賣出30個.問：為使一天內(nèi)獲得最大利潤，商店應(yīng)將該商品定價為多少？.如圖，，是等邊三角形，點(diǎn)，在函數(shù)的圖象上，點(diǎn)，在x軸的正半軸上，分別求，的面積..如圖，在中，O是內(nèi)心，點(diǎn)E,F都在大邊BC上，已知，．求證：O是的外心；若，，求的大小．如圖，正三角形ABC的邊長為1,點(diǎn)M,N,P分別在邊BC,AB上，設(shè)，，，且.試用x,y,z表示的面積求面積的最大值．答案和解析.A解：上述著名數(shù)學(xué)家是劉徽．故選：A.根據(jù)數(shù)學(xué)史的了解進(jìn)行選擇．此題考查了數(shù)學(xué)常識的知識，要多讀書，了解一些有關(guān)數(shù)學(xué)的故事等．2.B解：平均費(fèi)用為元．故選：B.用加權(quán)平均數(shù)的計(jì)算方法計(jì)算即可．此題考查了加權(quán)平均數(shù)的知識，屬于簡單題目.把所有數(shù)據(jù)相加后再除以數(shù)據(jù)的個數(shù)即得平均數(shù)..D解：任意一條直線是任意實(shí)數(shù)是平行于y軸的一條直線，在初中已學(xué)過的一次函數(shù)、反比例函數(shù)和二次函數(shù)等函數(shù)中，只有反比例函數(shù)與時，沒有交點(diǎn)，其他只有一個交點(diǎn).它們的圖象與任意一條直線交點(diǎn)的個數(shù)至多有一個.故選：D.根據(jù)直線是任意實(shí)數(shù)的性質(zhì)，得出一次函數(shù)、反比例函數(shù)和二次函數(shù)等函數(shù)中與它的關(guān)系，直接得出答案.此題主要考查了函數(shù)圖象與直線是任意實(shí)數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)已知得出任意一條直線是任意實(shí)數(shù)是平行于y軸的一條直線是解決問題的關(guān)鍵..C解：列表得：共有種等可能的結(jié)果，向上的點(diǎn)數(shù)之和是5的情況有4種，兩個骰子向上的一面的點(diǎn)數(shù)和為5的概率為.故選：C.列舉出所有情況，看點(diǎn)數(shù)之和為5的情況占總情況的多少即可.此題考查了樹狀圖法與列表法求概率.列表法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件.樹狀圖法適用于兩步或兩步以上完成的事件.解題時還要注意是放回實(shí)驗(yàn)還是不放回實(shí)驗(yàn).用到的知識點(diǎn)為：概率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.5c解：觀察所給數(shù)字可知，第二個數(shù)，第三個數(shù)，第四個數(shù)，第五個數(shù)，故可知第六個數(shù)．故選：C觀察所給數(shù)字可知，第二個數(shù)，第三個數(shù)，第四個數(shù)，第五個數(shù)，故可知第六個數(shù)，繼而即可得出答案．本題考查規(guī)律型中的數(shù)字變化問題，仔細(xì)觀察題中所給數(shù)字，可知第n個數(shù)第個數(shù)．6.D解：，拋物線對稱軸為，開口向上，離對稱軸越遠(yuǎn)，函數(shù)值越大，又，滿足，可得，故選：D.在利用二次函數(shù)的增減性解題時，對稱軸是非常重要的．根據(jù)、、，與對稱軸的大小關(guān)系，判斷、、的大小關(guān)系．本題主要考查了函數(shù)的對稱軸求法和函數(shù)的單調(diào)性，難度一般，解答本題的關(guān)鍵是正確尋找出對稱軸，這是解答本題的突破口．7.B解：8個銀元分成4組，將其中的兩組放在天平的兩邊進(jìn)行第一次測量，天平平衡的一組沒有假銀元，天平不平衡，那么假銀元就在較輕的那組，再一次把較輕的一組分開放在天平的兩邊進(jìn)行第二次測量，則較輕的是假銀元，所以用一臺天平最少2次就能找出這枚假銀元．故選：B.可以把8個銀元分成4組，將其中的兩組放在天平的兩邊進(jìn)行第一次測量，天平平衡的一組沒有假銀元，天平不平衡，那么假銀元就在較輕的那組；再把這組分開用天平測，可找出假銀元.此題考查的知識點(diǎn)是推理與論證，關(guān)鍵是首先分成4組，先找出較輕的一組，再測即得.8.B解：連接BC交PQ于E,與圓D相切于點(diǎn)C,，為直徑，，平分，，，，.故選：B.首先連接BC交PQ于E,由PC與圓D相切于點(diǎn)C,根據(jù)弦切角定理，即可得，又由AB為直徑，即可得，然后由PQ平分與三角形外角的性質(zhì)，即可證得，則可求得的度數(shù).此題考查了圓的切線的性質(zhì)，圓周角的性質(zhì)，弦切角定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，以及三角形外角的性質(zhì)等知識.此題綜合性較強(qiáng)，難度適中，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.9.C解：表示十進(jìn)制中表示的數(shù)最大時，則二進(jìn)制數(shù)是*****，能表示十進(jìn)制是：.故選：C.根據(jù)表可以得到二進(jìn)制的數(shù)轉(zhuǎn)化十進(jìn)制的數(shù)，，，，；表示十進(jìn)制中表示的數(shù)最大時，則二進(jìn)制數(shù)是*****，根據(jù)規(guī)律即可求得十進(jìn)制表示的數(shù)．本題考查了有理數(shù)的計(jì)算，關(guān)鍵是正確觀察圖表，理解二進(jìn)制的數(shù)寫成十進(jìn)制的數(shù)的方法．10.解：設(shè)該校這兩年購買的實(shí)驗(yàn)器材的投資年平均增長率為X,今年的投資金額為：；明年的投資金額為：；所以根據(jù)題意可得出的方程：．故答案為：．本題為增長率問題，一般用增長后的量增長前的量增長率，如果該校這兩年購買的實(shí)驗(yàn)器材的投資年平均增長率為X,根據(jù)題意可得出的方程．增長率問題，一般形式為，a為起始時間的有關(guān)數(shù)量，b為終止時間的有關(guān)數(shù)量．11.8要求平行四邊形的周長就要先求出AB、AD的長，利用平行四邊形的性質(zhì)和勾股定理即可求出．解題關(guān)鍵是利用平行四邊形的性質(zhì)結(jié)合等角對等邊、勾股定理來解決有關(guān)的計(jì)算和證明．解：,,,則,,設(shè),則,在中,根據(jù)勾股定理可得,同理可得則平行四邊形ABCD的周長是故答案為8．解：在27個小正方體中，恰好有三個面都涂色有顏色的共有8個，恰好有兩個都涂有顏色的共12個，恰好有一個面都涂有顏色的共6個，表面沒涂顏色的1個．由題意知本題是一個等可能事件的概率，試驗(yàn)發(fā)生包含的事件是從27個小正方體中選一個正方體，共有27種結(jié)果，滿足條件的事件是選出的是恰好涂有兩面顏色的正方體，有12種結(jié)果，故概率為．故答案為．本題是一個等可能事件的概率，試驗(yàn)發(fā)生包含的事件是從27個小正方體中選一個正方體，共有27種結(jié)果，滿足條件的事件是選出的是表面恰好涂有兩面顏色的正方體，有12種結(jié)果，根據(jù)等可能事件的概率得到結(jié)果．本題考查等可能事件的概率，考查計(jì)數(shù)原理，考查正方體的結(jié)構(gòu)特征，是一個綜合題目，在解題時注意分割后的小正方體一定要數(shù)清楚，本題是一個易錯題．解：與有一個公共實(shí)數(shù)根，有一個實(shí)數(shù)根，，把代入得：．故答案為：．本題需先根據(jù)與有一個公共實(shí)數(shù)根，求出x的值，再把x的值代入原方程即可求出m的值.本題主要考查了一元二次方程的解的概念，在解題時要能夠靈活應(yīng)用解的概念求出結(jié)果是本題的關(guān)鍵．解：因?yàn)楸姅?shù)為3,可設(shè)，，c未知平均數(shù)，解得根據(jù)方差公式故填．因?yàn)楸姅?shù)為3，表示3的個數(shù)最多，因?yàn)?出現(xiàn)的次數(shù)為二，所以3的個數(shù)最少為三個，則可設(shè)a,b,c中有兩個數(shù)值為另一個未知利用平均數(shù)定義求得，從而根據(jù)方差公式求方差．本題考查了眾數(shù)、平均數(shù)和方差的定義．15.18解：取CD的中點(diǎn)￡，連接BE，,是菱形,,,,,,,．四邊形ABCD的面積是18.故答案為18．取CD的中點(diǎn)￡,連接BE,從而得到進(jìn)而判定四邊形ABED是菱形,得到,從而得到然后得到：.本題考查了梯形的性質(zhì),解題的關(guān)鍵是正確地作出輔助線,熟記梯形中常用輔助線的作法對解決此類題目有很大的幫助.16.7解：設(shè)購買A、B類軟件分別為x,y片，根據(jù)題意得：，，，當(dāng)，時，，當(dāng)，時，，當(dāng)，時，，當(dāng)，時，，當(dāng)，時，，當(dāng)，時，舍去，當(dāng)，時，，當(dāng)，時，舍去，當(dāng)，時，舍去，當(dāng)，時，，當(dāng)，時，舍去，當(dāng)，時，舍去，不同的選購方式共有7種．故答案為：7．首先設(shè)購買A、B類軟件分別為x,y片，根據(jù)題意即可得不等式組：，解此不等式組,然后根據(jù)分類討論的思想求解即可求得答案．此題考查了不等數(shù)組的實(shí)際應(yīng)用問題．此題難度較大,解題的關(guān)鍵是注意理解題意,根據(jù)題意求得方程組,然后根據(jù)其性質(zhì)解題,注意分類討論思想的應(yīng)用．.解：,,原式．先化簡,再代入求值即可．本題考查了二次根式的化簡與求值，將二次根式的化簡是解此題的關(guān)鍵．.解：設(shè)，則，，，，．1、時，，，，；2、時，，，，，．3、時，，，，，4、，，，，，．可設(shè)，根據(jù)四邊形內(nèi)角和等于，分四種情況進(jìn)行討論，從而求解．本題考查了多邊形內(nèi)角與外角，四邊形內(nèi)角和等于，由于四個內(nèi)角中有一個角為，不確定，故應(yīng)該分類討論．.解：按120元出售，一天就能賣出300個，可獲得利潤：元；設(shè)漲價為x元，則可賣出個，設(shè)利潤為y元，則*；若設(shè)降價x元，則可以賣出個，設(shè)利潤為y元，則：*；，所以當(dāng)售價定為115元獲得最大為6750元．綜上所述，當(dāng)定價為115元時，商店可獲得最大利潤6750元．分別以120元為基礎(chǔ)，當(dāng)漲價時，大于120元，當(dāng)降價時，小于120元，利用每個商品的利潤賣出數(shù)量總利潤分別寫出函數(shù)關(guān)系式；利用配方法求得兩個函數(shù)解析式的最大值，比較得出答案．此題主要考查了二次函數(shù)在實(shí)際問題中的運(yùn)用，根據(jù)利潤售價進(jìn)價賣的件數(shù)，列出函數(shù)解析式，求最值是解題關(guān)鍵．.解：分別過、作x軸的垂線，垂足分別為D、E,如圖，設(shè)，．，是等邊三角形，，，，，的坐標(biāo)為，的坐標(biāo)為，又點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，，解得舍去，，．點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，，解得，舍去，，，的面積，的面積．分別過、作x軸的垂線，垂足分別為D、E,設(shè)，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到，，，得到的坐標(biāo)為，的坐標(biāo)為，然后先把的坐標(biāo)代入反比例解析式求得m的值，再把的坐標(biāo)代入反比例解析式得到n的值，這樣就確定兩等邊三角形的邊長，然后根據(jù)等邊三角形的面積等于其邊長的平方的倍計(jì)算即可．本題考查了點(diǎn)在反比例函數(shù)圖象上，則點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)滿足其解析式．也考查了含30度的直角三角形三邊的關(guān)系以及等邊三角形的性質(zhì)．.解：證明：連接OA、OB、OC、OE、OF,是的內(nèi)心，，在和中S，，同理，，是的外心．是的外心，，在等腰三角形，，同理，，答：的度數(shù)是．連接OA、OB、OC、OE、OF,證經(jīng)，推出，即可；根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出，，再根據(jù)三角形的內(nèi)