高中數(shù)列問題中的數(shù)學(xué)思想方法

高中數(shù)列問題中的數(shù)學(xué)思想方法摘要數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，在高考中占有重要的地位.數(shù)列問題中蘊(yùn)含思想方法十分豐富，掌握這些思想方法有助于提高解決數(shù)列問題的能力.本文分析了高中數(shù)列知識(shí)的重點(diǎn)，難點(diǎn)，熱點(diǎn)等問題，研究了數(shù)列問題中蘊(yùn)含的函數(shù)思想、方程思想、分類討論思想等數(shù)學(xué)思想方法，并給出了一些典型例題.這些研究將有助于提高老師對(duì)數(shù)列知識(shí)的教學(xué)水平，并且提高了學(xué)生解決數(shù)列問題的能力.關(guān)鍵詞：數(shù)列問題；數(shù)學(xué)思想；方法ThenumberofcolumnsinhighschoolmathematicalthinkingproblemAbstract：Thenumberofcolumnsisanimportantpartofhighschoolmathematics,occupieanimportantpositionintheentrance.Thenumberofcolumnsinquestioncontainsawathinkingisveryrich,mastertheseideologicalapproachhelpsimprovetheabilitytosseriesproblem.Thispaperanalyzesthehighschoolseriesknowledgeofmajoranddiffihotspotsandotherissues,thenumberofcolumnstostudythefunctionofideologicalinherentintheequationthinking,thinking,etc.classificationdiscussionofmathematicalthinking,andgivessometypicalexamples.thesestudieswillhelptoincreasethenumcolumnsteacherteachingknowledgelevel,andimprovetheabilityofstudentstosolvetheproblemofthenumberofcolumns.Keywords:NumberSequence;mathematicalthinking;method目錄引言........................................................................................文獻(xiàn)綜述....................................................................................國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀...............................................................................國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀評(píng)估..........................................................................提出問題....................................................................................數(shù)列的重點(diǎn)，難點(diǎn)，熱點(diǎn)問題.................................................................重點(diǎn)——等差與等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)...........................................................熱點(diǎn)——數(shù)列求和與求通項(xiàng)....................................................................難點(diǎn)——和項(xiàng)與通項(xiàng)間的遞推關(guān)系............................................................數(shù)列問題中的數(shù)學(xué)思想方法....................................................................函數(shù)思想....................................................................................4.2方程思想......................................................................................分類討論思想................................................................................等價(jià)轉(zhuǎn)化思想................................................................................整體思想....................................................................................遞推思想....................................................................................4.7歸納、猜想與證明思想........................................................................115結(jié)論........................................................................................5.1主要發(fā)現(xiàn)...................................................................................啟示........................................................................................局限性......................................................................................5.4努力方向...................................................................................參考文獻(xiàn)：...................................................................................1引言數(shù)列問題在高中主要考察學(xué)生的邏輯思維能力和分析問題解決問題的能力.在解決數(shù)列問題時(shí)注意應(yīng)用通性通法，不宜考慮的太復(fù)雜，考慮的太難；題目構(gòu)造上有時(shí)以函數(shù)、不等式、解析幾何等為背景，因此題目包含了方程的思想、函數(shù)數(shù)學(xué)思想等.數(shù)列中涉及累加、累乘、錯(cuò)位相減等多種計(jì)算方法，這些方法，不僅提高了學(xué)生的思維能力，讓學(xué)生看到了數(shù)學(xué)的神奇；數(shù)列問題中滲透遞歸的思想、極限思想，這些都是初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)重要的銜接點(diǎn)，在教學(xué)中適當(dāng)?shù)臐B透對(duì)培養(yǎng)學(xué)生思維能力、做好初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的銜接有積極意義.學(xué)好數(shù)列知識(shí)不僅在個(gè)人投資理財(cái)方面有較為廣泛的應(yīng)用外，在企業(yè)經(jīng)營(yíng)管理上也是不可或缺的.需要中學(xué)生做過大量的數(shù)列問題的題吧！雖然這些問題是從實(shí)際生活中抽象出的略高于生活的問題，但他們是數(shù)學(xué)習(xí)題中最能反映數(shù)學(xué)知識(shí)與實(shí)際生活密切關(guān)系的一類問題.因此，解答數(shù)列有關(guān)的應(yīng)用問題學(xué)會(huì)這些思想將有助于中學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)在日常生活中廣泛應(yīng)用的理解和認(rèn)識(shí).2文獻(xiàn)綜述2.1國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀現(xiàn)查閱到的參考文獻(xiàn)中，分別就數(shù)學(xué)思想方法解題中的應(yīng)用做出了說明.其中在文獻(xiàn)[1]、[4]、[8]中關(guān)于數(shù)列問題的解決過程中提出了很多種數(shù)學(xué)思想方法，還考察了數(shù)學(xué)思維能力和數(shù)學(xué)思想方法的好素材.楊亢爾在文獻(xiàn)[2]中一個(gè)數(shù)列遞推公式和一類應(yīng)用題的解法中，把遞推思想方法呈現(xiàn)出了這種方法在解決數(shù)列問題上的新穎性。林明霞在文獻(xiàn)[3]中應(yīng)用了典型的例題來說明相關(guān)數(shù)學(xué)思想方法在解決數(shù)列問題的優(yōu)越性.在參考文獻(xiàn)[5]中單獨(dú)就說明了數(shù)形結(jié)合思想在解決數(shù)列問題的獨(dú)特性.田照亮在文獻(xiàn)[6]中談到應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法的經(jīng)典例題來解決了數(shù)列問題.在文獻(xiàn)[7]中就數(shù)列中的數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行了說明.在文獻(xiàn)[9-15]中都在應(yīng)用近幾年在高考數(shù)學(xué)中就數(shù)列問題中出現(xiàn)的七種數(shù)學(xué)思想方法題型進(jìn)行了分析總結(jié).2.2國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀評(píng)估文獻(xiàn)[1-15]中分別就數(shù)學(xué)思想方法的重要性及數(shù)學(xué)思想方法在數(shù)列解題中的應(yīng)用舉例做出了說明.文獻(xiàn)中主要闡述了七種數(shù)學(xué)思想方法在數(shù)列解題中的應(yīng)用，沒有介紹關(guān)于七種數(shù)學(xué)思想方法的經(jīng)典例題及解題技巧.對(duì)中學(xué)和大學(xué)數(shù)學(xué)課程中數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用沒有做系統(tǒng)全面的概述總結(jié)，同時(shí)在學(xué)生具體解題應(yīng)用中出現(xiàn)的問題也沒有更加深入的闡述．2.3提出問題部分高中生已掌握在數(shù)列問題中的數(shù)學(xué)思想方法，有較強(qiáng)的學(xué)習(xí)能力，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中也會(huì)根據(jù)教師的指導(dǎo)，除學(xué)好基礎(chǔ)知識(shí)外，還會(huì)總結(jié)數(shù)學(xué)思想方法在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用，很多學(xué)生僅僅只是理解高中的基礎(chǔ)知識(shí)都很困難，更談不上用數(shù)學(xué)思想方法來解決數(shù)列中的問題．在利用數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行解題的時(shí)候常常難以掌握各種思想的度.因此，除對(duì)數(shù)學(xué)思想方法在高中數(shù)學(xué)中的具體應(yīng)用作介紹外，還需對(duì)應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法過程中學(xué)生可能遇到的難點(diǎn)及解決辦法作探討，包括對(duì)使用這些方法的目的、作用作闡述．3數(shù)列的重點(diǎn)，難點(diǎn)，熱點(diǎn)問題數(shù)列在高中的課程中尤其重要，然而就數(shù)列有關(guān)問題我們從它的重點(diǎn)，難點(diǎn)，熱點(diǎn)等問題進(jìn)行解析，應(yīng)用七種數(shù)學(xué)思想方法來探討它們?cè)跀?shù)列問題中的解法及其應(yīng)用.通過這些思想方法我們可以來了解數(shù)列的重點(diǎn)，難點(diǎn)，熱點(diǎn)問題，從而突顯出數(shù)學(xué)思想方法的重要性.3.1重點(diǎn)——等差與等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)（一）基礎(chǔ)知識(shí)從第二項(xiàng)起每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差是同一個(gè)常數(shù)，這是等差數(shù)列的本質(zhì)，其符號(hào)語言：aad(nN*,n2)或aaaa(nN*)則是學(xué)生邏輯思維的基礎(chǔ)，從nn1n2n1n1naaaa(nN*)中雖未看到常數(shù)，但卻深信“差等”的事實(shí)，不能不說是抽n2n1n1n象符號(hào)的神奇；而由定義出發(fā)產(chǎn)生的等差數(shù)列的通項(xiàng)公式卻隱藏著研究數(shù)列問題的諸多方法：歸納法、迭加法、迭乘法、迭代法，為學(xué)習(xí)一般數(shù)列提供了知識(shí)保障；等差數(shù)列前n和公式的推導(dǎo)過程中使用了加兩次（倒加法）的思想方法，其幾何特征類似于梯形的面積公式.（二）基本思維橫向類比思維可輕松地掌握等比數(shù)列相關(guān)知識(shí)及其產(chǎn)生過程中的數(shù)學(xué)方法；若能感悟出兩種數(shù)列間類比的“規(guī)則”，便可從等差數(shù)列相關(guān)知識(shí)出發(fā)經(jīng)大膽猜想發(fā)現(xiàn)等比數(shù)列可能具有的相應(yīng)知識(shí).如上海高考題:“在等差數(shù)列a中，若a0， n 10則有等式aaaaaa(n〈19，n是正整數(shù)). 1 2 n 1 2 19n而逆向探索思維則可深化兩數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)，下僅以等差數(shù)列為例說明之：從等差數(shù)列的通項(xiàng)公式出發(fā)逆向探索發(fā)現(xiàn)，若aab，則數(shù)列{a}是等差數(shù)列；可見，等n n n差數(shù)列就是一次函數(shù)或常函數(shù).從前n項(xiàng)和公式出發(fā)探索發(fā)現(xiàn),若數(shù)列{a}的前n項(xiàng)和nn(aa)為S=an2+bn,則數(shù)列{a}是等差數(shù)列；若數(shù)列{a}的前n項(xiàng)和S1n，則數(shù)列nnnn2{a}是等差數(shù)列.前者不僅告訴我們等差數(shù)列與二次函數(shù)密切相關(guān),而且教會(huì)我們?cè)鯓佑蒼和項(xiàng)去求通項(xiàng)；而后者則結(jié)出了處理涉及和項(xiàng)與通項(xiàng)的遞推公式的一般思維方法.（3）基本方法因等差(比)數(shù)列是由首項(xiàng)與公差(比)確定的,故稱首項(xiàng)與公差(比)為等差(比)數(shù)列的基本量；因此，大凡涉及等差(比)數(shù)列的數(shù)學(xué)問題,我們總希望通過等差(比)數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)并結(jié)合條件去求出首項(xiàng)與公差(比)、或它們間關(guān)系，從而達(dá)到解決問題之目的，這種方法就是等差（比）數(shù)列特有的基本量方法；簡(jiǎn)言之,就是用基本量去統(tǒng)一條件與結(jié)論而達(dá)到解決等差（比）數(shù)列相關(guān)問題的方法.3.2熱點(diǎn)——數(shù)列求和與求通項(xiàng)通過兩個(gè)基本數(shù)列的學(xué)習(xí)，在化歸與轉(zhuǎn)化中認(rèn)識(shí)更多的數(shù)列，是數(shù)列教學(xué)的隱性目標(biāo).而在數(shù)列的學(xué)習(xí)中最能充分體現(xiàn)知識(shí)應(yīng)用的沒過于數(shù)列求和與求通項(xiàng)了,它們也恰好構(gòu)成了數(shù)列研究的熱點(diǎn).數(shù)列求和這里系指求數(shù)列的有限的前n項(xiàng)之和.若為等差(比)數(shù)列,則直接用公式求和；若非等差（比）數(shù)列，則需尋找間接求和的方法.一般地,當(dāng)數(shù)列的通項(xiàng)為分式時(shí),?？紤]用“裂項(xiàng)相消法”去求前n項(xiàng)和；當(dāng)數(shù)列的通項(xiàng)恰好是等差數(shù)列與等比數(shù)列相應(yīng)項(xiàng)的積時(shí)，則必用“錯(cuò)位相減法”，此乃推導(dǎo)等比數(shù)列求和公式時(shí)的數(shù)學(xué)方法；當(dāng)通項(xiàng)可分解成等差或等比數(shù)列相應(yīng)項(xiàng)的代數(shù)和時(shí)，一般選用“分組求和法”.通過數(shù)列求和的復(fù)習(xí)教學(xué),務(wù)必讓學(xué)生把握求和的基本思維途徑:抓通項(xiàng)—思變形—選方法.數(shù)列通項(xiàng)已知數(shù)列的前幾項(xiàng),寫出它的一個(gè)通項(xiàng)公式時(shí),通常用觀察法.我們有時(shí)未必能觀察出它的通項(xiàng)公式,這時(shí)不妨嘗試觀察它們?nèi)我庀噜弮身?xiàng)間的相依關(guān)系,如對(duì)于數(shù)列1,3,7,13,21,31,…，若不能直接發(fā)現(xiàn)a=n(n-1)+1,則通過觀察出遞推關(guān)系na-a=2(n-1)再用迭加或迭代法便可求出通項(xiàng)公式, .總之,觀察是一切能力的基礎(chǔ),n n1在數(shù)列學(xué)習(xí)中顯得尤其珍貴.已知數(shù)列{a}的前n項(xiàng)和S,求a,用公式法,即ass(n2).具體解題時(shí)需n n n n n n1看清問題的本質(zhì)并注意分類討論.已知遞推公式求通項(xiàng)公式,常考慮用轉(zhuǎn)化法.一個(gè)數(shù)列可以不是等差或等比數(shù)列,但通過代數(shù)變行或變換,其倒數(shù)、平方產(chǎn)生的相應(yīng)數(shù)列卻可能是等差數(shù)列，其相應(yīng)項(xiàng)加1后產(chǎn)生的數(shù)列可能恰好是等比數(shù)列…….通過學(xué)習(xí)積累對(duì)遞推公式轉(zhuǎn)換的經(jīng)驗(yàn),乃至發(fā)現(xiàn)較一般的解題模型顯得尤為重要.在此,作為線性遞推公式:apaq(p0,q0,p1),便是我們學(xué)習(xí)與積累的基點(diǎn). n1 n由aap(aa)知{a-a}是等比數(shù)列,從而可用迭加法求通項(xiàng)公式；n2n1n1nn+1n由apaqp(paq)qp2apqqn n1 n2 n2p2(paq)pqqp3ap2qpqq=…n3 n3 q(1pn1)pn1apn2qpn1qLqpn1a，通過有限次迭代便產(chǎn)生一 1 1 1p個(gè)對(duì)于所有正整數(shù)都成立的無窮的結(jié)論；將apaq用待定系數(shù)法變形為n1 n q q qap(a)，則{a}是公比為p的等比數(shù)列，問題也可迎刃而解.n1p1 np1 np1總之,線性遞推既給我們微觀上提供了轉(zhuǎn)換的三種基本方法,又為我們宏觀上把握一類問題提供了一般規(guī)律.例1由原點(diǎn)i向曲線y=f(x)=x3-3ax2+bx(a是正常數(shù))引切線,切于不同于點(diǎn)i的點(diǎn)P(x,y),再由P引此曲線的切線,切于不同于P的點(diǎn)P(x,y),如此繼續(xù)下 1 1 1 1 1 2 2 2去……，得到點(diǎn)列{P(x,y)}.(1)求x與x的關(guān)系；(2)求證：當(dāng)n為正偶數(shù)時(shí)， n n n n n+1x〈a；當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，x〉a.n n解:(1)設(shè)過P的切線與曲線y=f（x）相切于（x，y），則切線方程為 n 0 0yyyf(x)(xx)，因點(diǎn)P上此切線上，故yyf(x)(xx)，0 0 0 n n 0 0 n 0又yx33ax2bx,yx33ax2bx， 0 0 0 0 n n n n所以(x33ax2bx)(x33ax2bx)(3x26axb)(xx), n n n 0 0 0 0 0 n 0 1 3整理得：(xx)2(2xx3a)0，解得，xx或xxa.n 0 n 0 n 0 2n23故由題設(shè)知,xxa. n1 2n2 1 1(2)題(1)中的遞推公式可變形成xa(xa),可見{x-a}是公比為的 n1 2n n 2 1 1等比數(shù)列,由題意可令x=0,則x-a=(-a)()n,即x=[1-()n]a.從而,當(dāng)n為正n 2 n 21偶數(shù)時(shí)，∵()n>0,∴x〈a；當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，∵()n<0,∴x〉a.n 2 n說明:本例關(guān)鍵在于尋找相鄰兩次離散現(xiàn)象間的相依關(guān)系.如果你不能像本例那樣直接求出遞推公式，那么不妨嘗試由x去推x，x去推x…，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)一般方法與 1 2 2 3結(jié)論.3.3難點(diǎn)——和項(xiàng)與通項(xiàng)間的遞推關(guān)系涉及和項(xiàng)與通項(xiàng)間的遞推關(guān)系問題，常成為學(xué)生學(xué)習(xí)的疑點(diǎn)或盲點(diǎn).一方面,他們未能牢固掌握解決此類問題的一般的思維方式:即首先利用公式bss(n2) n n n1從遞推式f(bn,sn)0中消去bn或sn使遞推式得以簡(jiǎn)化，再思考能否從簡(jiǎn)化的遞推式中發(fā)現(xiàn)與b或sn相關(guān)的特殊數(shù)列,甚至是走“實(shí)驗(yàn)—觀察—?dú)w納—猜想—證明”的n探索之路；另一方面,在應(yīng)用公式bss(n2)對(duì)遞推式f(b,s)0進(jìn)行變換 n n n1 n n的過程中，常忽視n取值范圍（函數(shù)觀點(diǎn)下的定義域）的變化，而使求解與論證失去嚴(yán)謹(jǐn)性.2n1例2已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為s，且s1b(nN).(1)設(shè)x=（2n+1） n n n 2 n ns，求證：數(shù)列{x}為等差數(shù)列；(2)當(dāng)n2時(shí)，求證：n n1 1 1 1 5 L .x2x2x2 x232n n1 n2 2n2n1證明：（1）因bSS，故由條件知：s1(ss)(n1)，整理 n n n1 n 2 n n1得(2n1)s(2n1)s2，即x=x+2，故數(shù)列{x}是公差為2的等差數(shù)列. n n1 n+1 n n2n1(2)在s1b(nN)中令n=1，得s=2/3,再據(jù)（1）知，x=3s+2（n-1） n 2 n 1 n 1=2n，故當(dāng)n2時(shí)， 1 1 1 1 11 1 1 1 L [ L ]x2x2x2 x24n2(n1)2(n2)2 (2n)2n n1 n2 2n 11 1 1 1 [ L ]= 4n21(n1)21(n2)21 (2n)21 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 [( )( )( )L()( )]8n1n1 nn2 n1n3 2n22n 2n12n111 11 1 11 1 1 11 1 =( )=( )()8n1n2n2n18n12n2n18n12n11 1 5 ( ).8212232說明：對(duì)第(2)小題，可證原不等式左邊是關(guān)于n的遞減函數(shù)，從而求出n=2時(shí)左邊的最大值，并證明此值小于5/32.4數(shù)列問題中的數(shù)學(xué)思想方法數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)知識(shí)的精髓,是知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力橋梁.能否有意識(shí)地正確運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法解答數(shù)學(xué)問題，是衡量數(shù)學(xué)素質(zhì)和數(shù)學(xué)能力的重要標(biāo)志．?dāng)?shù)列中蘊(yùn)涵了許多重要的數(shù)學(xué)思想，在數(shù)列教學(xué)中注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的挖掘與滲透具有十分重要的意義．4.1函數(shù)思想函數(shù)思想是用聯(lián)系和變化的觀點(diǎn)考察數(shù)學(xué)對(duì)象.數(shù)列是一類特殊的函數(shù),以函數(shù)的觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)理解數(shù)列，是解a決數(shù)列問題的有效方法.n例3等差數(shù)列a的前n項(xiàng)和為s.已知a=25，s=s問數(shù)列的多少項(xiàng)和最大?n n 1 9 17分析:易知所給數(shù)列a不是常數(shù)列,等差數(shù)列的前n項(xiàng)和s是n的二次函數(shù)，且常n n數(shù)項(xiàng)為零,所以可利用函數(shù)思想研究s的最值.n解:由a=25，s=s得 1 9 1798 17161 2 1 2n(n1)9a d17ad,d2.從而s25n(2)(n13)2169;n 2故前13項(xiàng)的和最大,其最大值為169.小結(jié)：利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的最值問題，避免了復(fù)雜的運(yùn)算過程.4.2方程思想方程思想就是通過設(shè)元建立方程,研究方程解決問題的方法.在解數(shù)列問題時(shí),利用等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式及性質(zhì)構(gòu)造方程（組），是解數(shù)列問題基本方法.例4等差數(shù)列a的前n項(xiàng)和為s，若s84,s460，求s. n n 12 20 28分析:解此題的關(guān)鍵是求出數(shù)列的通項(xiàng)公式,可利用已知條件列出關(guān)于a和d的方1程組求出基本量a和d,也可用待定系數(shù)法確定s. 1 n解法1:設(shè)等差數(shù)列a的首項(xiàng)為a,公差為d,根據(jù)已知條件和等差數(shù)列的前n項(xiàng)和n 1公式得 1211 s1212a12d84, a15 解得 s2020a120219d460, d4n(n1)s15n42n217n. n 2從而s228217281092.28解法2:易知所給等差數(shù)列不是常數(shù)列,所以它的前n項(xiàng)和s可設(shè)為san2bn,由n n已知條件得122a12b84, a2 解得1 20220b460, b17∴s2n217n,s228217281092.n 28小結(jié)：方程思想是數(shù)學(xué)解題中常用的基本思想方法之一，注意到方程思想在數(shù)列間題中的應(yīng)用.?？梢院?jiǎn)潔處理一些其他思想方法難以解決的數(shù)列問題4.3分類討論思想復(fù)雜問題無法一次性解決,常需分類研究,化整為零,各個(gè)擊破.數(shù)列中蘊(yùn)含著豐富的分類討論的問題.分類討論是一種邏輯方法,同時(shí)又是一種重要的解題策略,在數(shù)學(xué)解題中有廣泛的應(yīng)用.所謂分類討論,是在討論對(duì)象明確的條件下,按照同一的分類標(biāo)準(zhǔn),不重復(fù)、不遺漏、不越級(jí)的原則下進(jìn)行的.它體現(xiàn)了化整為零、積零為整的思想與歸類整理的方法.例5已知數(shù)列b的前n項(xiàng)和sn218n，試求數(shù)列b的前n項(xiàng)和T的表達(dá)式. n nn n分析:解題的關(guān)鍵是求出數(shù)列b的通項(xiàng)公式,并弄清數(shù)列b中各項(xiàng)的符號(hào)以便化 n n去b的絕對(duì)值.故需分類探討．n解:當(dāng)n=1時(shí),bs1218117; 1 1當(dāng)n≥2時(shí),bssn218nn1218n192n.n n n1∴當(dāng)1≤n≤9時(shí),b0,當(dāng)n≥10時(shí),b0.從而 n n當(dāng)1≤n≤9時(shí),T=bbb n 1 2n=bbbsn218n;1 2 n n當(dāng)n≥10時(shí),T=bbb n 1 2n=bbbbbs2s1 2 9 10 n n 9n218n2(92189)n218n162.n218n,(1n9)∴T= nn218n162,(n10)小結(jié)：數(shù)列中的分類討論多涉及對(duì)公差d、公比q、項(xiàng)數(shù)n的討論,特別是對(duì)項(xiàng)數(shù)n的討論成為近幾年高考的熱點(diǎn).4.4等價(jià)轉(zhuǎn)化思想等價(jià)轉(zhuǎn)化就是將研究對(duì)象在一定條件下轉(zhuǎn)化并歸結(jié)為另一種研究對(duì)象,使之成為大家熟悉的或容易解決的問題.這是解決數(shù)列問題重要方法.例6等差數(shù)列b的前n項(xiàng)和為s,b6.若中,s最大,數(shù)列b4的前多少項(xiàng)n n 1 8 n和最大?分析:求s的最大值有多種轉(zhuǎn)化方法.本題可將s滿足的要求轉(zhuǎn)化為公差d滿足的n n要求；再將k所滿足的條件轉(zhuǎn)化為它的幾何意義，借助圖示直接寫出結(jié)果.解:設(shè)數(shù)列b的公差為d,則s最大b80,67d0,6d3. n 8 b90;68d0. 7 4設(shè)b4的前k項(xiàng)和最大,則有2(k1)d0,且2kd0,故有2k12.（*）n dd6 37 287 43 d32 2所以：d,.如圖，數(shù)軸的兩個(gè)陰影區(qū)間中，左邊是的取值范圍，右邊是1的取值范圍，（*）d d的成立等價(jià)于k取兩個(gè)區(qū)間之間的自然數(shù)，所以k=3，即b4的前3項(xiàng)和最大.n小結(jié)：本題借助圖形來解決數(shù)列問題，也顯示出了等價(jià)轉(zhuǎn)換思想在解決數(shù)列問題方面的重要作用.4.5整體思想整體思想就是從整體著眼,通過問題的整體形式、整體結(jié)構(gòu)或其它整體處理后，達(dá)到簡(jiǎn)捷地解題的目的.例7已知數(shù)列b為等差數(shù)列，前12項(xiàng)和為354，前12項(xiàng)中奇數(shù)項(xiàng)和與偶數(shù)項(xiàng)和n之比為27:32,求公差d.分析:此題常規(guī)思路是利用求和公式列方程組求解，計(jì)算量較大,注意考慮用整體思想去解決,解法十分簡(jiǎn)捷.解:由題意令奇數(shù)項(xiàng)和為27x,偶數(shù)項(xiàng)和為32x.因?yàn)椋簊27x32x59x354,所以：x6.12而32x27x5x306d,d5.小結(jié)：解決此題如果不把它與整體思想聯(lián)系起來，那么直接解決要走很多彎路也不容易直接求出它的準(zhǔn)確答案，因此此題應(yīng)用了整體思想來解決了數(shù)列問題是非常重要的.4.6遞推思想遞推思想就是通過探求、構(gòu)造和運(yùn)用所給問題中的遞推關(guān)系解決問題的思想方法.數(shù)列問題，從某種意義上講是遞推關(guān)系的表現(xiàn)形式.利用遞推思想解決某些數(shù)列問題可體現(xiàn)遞推思想解決問題的優(yōu)越性.例8設(shè)數(shù)列b的前n項(xiàng)和為s,若對(duì)于所有的自然數(shù)n,都有sn(b1bn),證明n n n 2數(shù)列b是等差數(shù)列.n分析:證明等差數(shù)列一般考慮用等差數(shù)列的定義.這里可利用遞推關(guān)系,將s轉(zhuǎn)換得nb,然后再對(duì)b,b的遞推關(guān)系繼續(xù)探求.n n n1 n(bb) n(bb) (n1)(bb)解:由s1 ns1 n得s 1 n1,n 2 n 2 n1 2∴當(dāng)n≥2時(shí),n(bb)(n1)(bb)bss1 n 1 n1,n n n1 2 2即b(n2)b(n1)b0.1 n n1同理b(n1)bnb0. 1 n1 n兩式相減得(n1)b2(n1)b(n1)b0,n1 n n1即b2bb0, n1 n n1從而有bbbb(n2). n1 n n n1由此可知數(shù)列b是等差數(shù)列.n小結(jié)：應(yīng)用遞推思想來解決此數(shù)列問題顯得非常簡(jiǎn)單，如果選用其他方法顯得比較繁瑣，解決起來不是很容易，所以選擇正確的思想方法遞推思想來解決這個(gè)問題，也非常簡(jiǎn)單，避免了很多運(yùn)算.4.7歸納、猜想與證明思想通過對(duì)個(gè)別、特殊情況的分析、觀察，發(fā)現(xiàn)規(guī)律,歸納出一般的結(jié)論或性質(zhì)，再尋求證明方法.這是我們由已知探索未知的重要途徑.例9已知數(shù)列b滿足條件:b6,(n1)b(n1)(b1),試求數(shù)列b的通項(xiàng)n 2 n1 n n公式.分析:此題求解思路不清晰，從特例入手，觀察、猜想結(jié)論,再加以證明不失為一種好辦法.解:由已知條件,分別取n=1,2,3,…，得b111,b623,b1535,b2847,…1 2 3 4通過觀察、歸納、可得出猜想:bn(2n1)2n2n.n用數(shù)學(xué)歸納法容易證明這一結(jié)論是正確的.小結(jié)：在解決此題過程中我們首先對(duì)該題的題目與題型進(jìn)行觀察與分析然后再?gòu)奶乩率郑@樣解決起來就比較簡(jiǎn)單快捷.數(shù)列的工具性決定了應(yīng)用的廣泛性,注重構(gòu)建數(shù)列模型解實(shí)際問題,有利于培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的意識(shí)和數(shù)學(xué)能力的提高.還有一些重要的思想方法，如數(shù)形結(jié)合、分析與綜合、聯(lián)想與類比，構(gòu)造模型等思想方法,然而在解決數(shù)列問題中如果我們不注重以上舉出的思想方法可能會(huì)導(dǎo)致在解題中出現(xiàn)以下幾種常見錯(cuò)誤：（一）忽視了等差、等比數(shù)列的定義的條件而導(dǎo)致的錯(cuò)誤在等差（比）數(shù)列的定義中，都是“從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差（比）為同一常數(shù)”，而在解題的過程中，往往只想驗(yàn)證aad(或anq)，而不管n的值為n n1 an1多少，即不管數(shù)列是不是從第二項(xiàng)起就具有這一性質(zhì)，就盲目使用等差、等比數(shù)列公式求出通項(xiàng)公式或進(jìn)行求和，從而導(dǎo)致錯(cuò)誤結(jié)果.（二）應(yīng)用S與b關(guān)系時(shí)，盲目套用公式aSS而出現(xiàn)錯(cuò)誤 n n n n n1在S與a關(guān)系中，當(dāng)n2時(shí)，公式aSS成立；當(dāng)n1時(shí)，aS，即S與 n n n n n1 1 1 nS(n1)a關(guān)系公式a1 是分步條件公式.因此，求a要分兩步：先求n1的結(jié)n nSS(n2) nn n1果，當(dāng)n2時(shí)使用aSS，最后驗(yàn)證是否可以合并，而在解題過程中，往往只想 n n n1到aSS，而忽略了aSS成立的條件n2. n n n1 n n n1（三）忽視了等比數(shù)列中對(duì)公比q1情形的討論二出現(xiàn)錯(cuò)誤na(n1)在等比數(shù)列運(yùn)用公式S(1qn)(n2)求Sn時(shí)分兩步：即當(dāng)n1時(shí)Snna1， n 11q a(1qn) a(1qn)當(dāng)n2時(shí)使用S1 ，而在解題過程中，往往只想到S1 ，而忽略了n 1q n 1qa(1qn)S1 成立的條件n2.n 1q例10若等比數(shù)列a的首項(xiàng)為a，公比為q，求數(shù)列aa的前n項(xiàng)和. n n錯(cuò)解S(aa)(aa)L(aa)’ n 1 2 n(aaLa)(aaLa) 1 2 na(1qn) na 1qa(1qn)錯(cuò)誤剖析此題忽視了q1時(shí)的情況，因?yàn)楫?dāng)n1時(shí)，S沒有意義.所以n 1q等比數(shù)列a求和時(shí)必須注意：（1）當(dāng)條件中注明q1（或q1沒有意義）時(shí)，可直接na(1qn)使用公式S；（2）當(dāng)q1有意義時(shí)，應(yīng)分成兩種情況：當(dāng)q1時(shí)，Sna；n 1q n 1a(1qn)當(dāng)q1時(shí)，S1. n 1q數(shù)列的學(xué)習(xí)與應(yīng)用中，不僅需要對(duì)公式的記憶方法，更需要嚴(yán)密準(zhǔn)確地理解掌握定義，掌握公式和變量關(guān)系間成立的條件，做題過程中，稍不注意，就可能產(chǎn)生各種不同的錯(cuò)誤.這就要求我們，在課堂教學(xué)的過程中，不能只關(guān)注做題量的多少，還應(yīng)該通過典型問題的練習(xí)，幫助學(xué)生加強(qiáng)理解、對(duì)比和總結(jié)，使學(xué)生能舉一反三.結(jié)論主要發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法在數(shù)列解題中的應(yīng)用很廣泛，特別是在一些復(fù)雜的數(shù)列問題中尤為顯著，其思想方法主要包括函數(shù)思想；方程思想；分類討論思想；等價(jià)轉(zhuǎn)換思想；整體思想；遞推思想；歸納，猜想與證明思想；建模與解模思想等.在高考數(shù)學(xué)中常常利用數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行求解數(shù)列問題十分廣泛．啟示數(shù)列問題應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法來解決非常重要，具體應(yīng)用在數(shù)學(xué)解題中靈活多變，如果我們掌握了數(shù)學(xué)思想方法解題的一些常用技巧，在解決數(shù)列的時(shí)候認(rèn)真分析，巧妙地