北師大九下數(shù)學(xué)剎車距離與二次函數(shù)導(dǎo)學(xué)案

剎車距離與二次函數(shù)學(xué)習(xí)目標(biāo)、重點(diǎn)、難點(diǎn)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．能作出函數(shù)y=ax2和y=ax2+c的圖象并研究它們的性質(zhì)。2．能比較y=ax2和y=ax2+c的圖象與y=x2的異同，理解a與c對二次函數(shù)圖象的影響?！局攸c(diǎn)難點(diǎn)】1.

能作出和的圖象，能比較y=ax2和y=ax2+c的圖象與y=x2的異同，理解a與c對二次函數(shù)圖象的影響。2．能說出y=ax2和y=ax2+c圖象的開口方向、對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)。3．能作出y=ax2和y=ax2+c的圖象，并總結(jié)其性質(zhì)還能和y=x2作比較。知識概覽圖二次函數(shù)y=ax2＋c的圖象與性質(zhì)新課導(dǎo)引【生活鏈接】在公路上，我們會發(fā)現(xiàn)這樣的警示牌“保持車距，謹(jǐn)防追尾”．這說明兩輛汽車在行駛中應(yīng)保持一定的距離．【問題探究】請你想一想，剎車距離與什么因素有關(guān)?教材精華知識點(diǎn)1在同一坐標(biāo)系中作出S1=v2，S2=v2的圖象在物理學(xué)中，當(dāng)物體勻速運(yùn)動時，路程與時間之間的關(guān)系是一次函數(shù)．兩輛汽車在行駛中必須保持一定的距離，即汽車剎車時向前滑行的距離，稱為剎車距離．影響剎車距離的主要因素是汽車行駛的速度及路面的摩擦因數(shù)．有研究表明，晴天汽車在某段公路上行駛時，速度為v(km／h)的汽車的剎車距離S(m)可以由公式S＝v2確定；雨天行駛時，這一公式為S＝v2．例如：在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出S1=v2和S2=v2的圖象，并回答下列問題．(1)S1=v2和S2=v2的圖象有什么相同與不同?(2)如果行車速度為60km／h解：列表時應(yīng)注意是在a>0的前提下，且v取正數(shù)．v2只需把v2乘以2，這樣列表會快捷一些．兩者均位于S軸的右側(cè)，函數(shù)值都隨v值的增大而增大，S2=v2的圖象在S1=v2的圖象的內(nèi)側(cè)，說明前者函數(shù)值的增長速度較快．求剎車距離只要把v的值分別代入S1=v2和S2=v2中，即可求出相差多少．列表如下．v(km/h)02040608004163664083272128描點(diǎn)、連線，并作圖象，如圖2-21所示．(1)兩個圖象都位于S軸的右側(cè)，函數(shù)值都隨v值的增大而增大．在v2的系數(shù)為正數(shù)的情況下，當(dāng)其系數(shù)較小時，拋物線開口相對較大，或者說當(dāng)v2的系數(shù)較小時，拋物線與y軸距離較大.S2=v2的圖象在S1=v2圖象的內(nèi)側(cè)，說明前者函數(shù)值的增長速度較快．(2)當(dāng)v=60時，S1=×602=36(m),S2=×3600=72(m)．∴S2－S1=72－36＝36(m)．∴剎車距離相差36m拓展二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開口方向與大小．當(dāng)a＞0時，開口向上；當(dāng)a＜0時，開口向下.┃a┃越大，開口越窄；┃a┃越小，開口越寬．知識點(diǎn)2二次函數(shù)y＝ax2＋c的圖象對y＝ax2＋c型的二次函數(shù)，相對來說比較簡單，它的圖象相對于函數(shù)y＝ax2的圖象來說，只是上下平移，開口方向、對稱軸都一樣．例如：作出y=x2，y＝x2＋1與y=x2－1的圖象，可以得到哪些結(jié)論?解：列表如下．x－3－210123y=x29410149y=x2+1105212510y=x2－1830－1038描點(diǎn)、連線，并作圖象，如圖2-22所示．結(jié)合圖象可得到以下結(jié)論．(1)三條拋物線的形狀相同，位置不同，即三個圖象之間上、下平移后可重合．(2)y＝x2＋1的開口向上，對稱軸是y軸(x＝0)，頂點(diǎn)坐標(biāo)是(0，1)．y＝x2－1的開口向上，對稱軸是y軸(x＝0)，頂點(diǎn)坐標(biāo)是(0，－1)．拓展y＝ax2＋c的圖象可由拋物線y＝ax2的圖象向上(或向下)平移而得到．當(dāng)c＞0時，拋物線y＝ax2向上平移┃C┃個單位，得到拋物線y＝ax2＋c；當(dāng)c＜0時，拋物線y＝ax2向下平移┃C┃個單位，得到拋物線y＝ax2＋c．知識點(diǎn)3二次函數(shù)y＝ax2＋c的圖象的性質(zhì)二次函數(shù)y＝x2＋1，y＝x2－1的圖象與y=x2的圖象形狀相同，開口方向、對稱軸也都相同，但頂點(diǎn)坐標(biāo)不同．┃規(guī)律方法小結(jié)┃(1)類比的方法：類比的方法在學(xué)習(xí)中常用在兩類對象之間，通過對其特征、屬性、關(guān)系的比較，找出它們的異同點(diǎn)，我們在學(xué)習(xí)y＝ax2＋c的圖象時，就是和y＝ax2的圖象進(jìn)行比較，從而歸納出規(guī)律．(2)拋物線y=ax2＋c的對稱軸是y軸，頂點(diǎn)坐標(biāo)是(0，c)，當(dāng)a＞0時，拋物線y＝ax2＋c的開口向上；當(dāng)a＜0時，拋物線y＝ax2＋c的開口向下．課堂檢測基礎(chǔ)知識應(yīng)用題1、拋物線y=x2－6可由拋物線y＝x2沿軸向平移個單位而得到，它的開口向，頂點(diǎn)坐標(biāo)是，對稱軸是，當(dāng)x時，y最小值＝；當(dāng)x時,y隨x的增大而增大，當(dāng)x時，y隨x的增大而減?。?、已知函數(shù)①y＝x2＋1；②)y=－2x2＋x.函數(shù)(填序號)有最小值，當(dāng)x＝時，該函數(shù)的最小值是．3、如圖2-24所示，有一塊較大的拱形鐵皮，其拱形邊緣成拋物線狀，MN=4m，拋物線頂點(diǎn)處到邊MN的距離為4m，要在鐵皮上截下一矩形ABCD，使矩形頂點(diǎn)B，C落在邊MN上，A，4、如圖2-26所示，拋物線y＝－mx2＋4m的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0，2)，矩形ABCD的頂點(diǎn)B，C在x軸上，A，D在拋物線上，矩形ABCD在拋物線與x(1)求拋物線的解析式；(2)設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x，y)，試求矩形ABCD的周長P關(guān)于自變量x的函數(shù)解析式，并求自變量的取值范圍；(3)是否存在這樣的矩形ABCD，使它的周長為9?試證明你的結(jié)論．綜合應(yīng)用題5、如圖2-27所示的是連接著漢口集家咀和漢陽南岸咀的江漢三橋(晴川橋)，是一座下承式鋼管混凝土系桿拱橋，它猶如一道美麗的彩虹跨越漢江，是江城武漢的一道靚麗景觀，橋的拱肋ACB視為拋物線的一部分．橋面(視為水平的)與拱肋用垂直于橋面的系桿連接，相鄰系桿之間的間距均為5米(不考慮系桿的粗細(xì))，拱肋的跨度AB為280米，距離拱肋的右端70米處的系桿EF的長度為42米．以AB所在直線為x軸，拋物線的對稱軸為y軸建立如圖2-27所示的平面直角坐標(biāo)系．(1)求拋物線的解析式；(2)正中間系桿OC的長度是多少米?是否存在一根系桿，使它的長度恰好是OC長度的一半?說明理由．探索與創(chuàng)新題6、直線AB交x軸于點(diǎn)A(2，0)，交拋物線y＝ax2于點(diǎn)B(1，)，點(diǎn)C到△OAB各頂點(diǎn)的距離相等，直線AC交y軸于點(diǎn)D．當(dāng)x＞0時，在直線OC和拋物線y=ax2上是否分別存在點(diǎn)P和點(diǎn)Q，使四邊形DOPQ為特殊的梯形?若存在，求出點(diǎn)P，Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．體驗(yàn)中考一座拱橋的輪廓是拋物線形(如圖2-34所示)，拱高6m，跨度20m，相鄰兩支柱間的距離均為5m．(1)將拋物線放在平面直角坐標(biāo)系中(如圖2-35所示)，求拋物線的解析式；(2)求支柱EF的長度；(3)拱橋下面是雙向行車道(正中間是一條寬2m的隔離帶)，其中的一條行車道能否并排行駛寬2m、高學(xué)后反思 附：課堂檢測及體驗(yàn)中考答案課堂檢測1、┃分析┃如圖2-23所示，拋物線y＝x2－6與y＝x2的形狀相同，只是位置不同，拋物線y=x2－6可由拋物線y＝x2沿y軸向下平移6個單位而得到．故依次填y；下；6；上；(0，－6)；y軸；＝0；－6；＞0；＜0．【解題策略】正確理解y=ax2＋c與y=ax2之間的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．2、┃分析┃函數(shù)有最大值或最小值，取決于a的正負(fù)．當(dāng)a＞0時，y有最小值，最小值即為頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)；當(dāng)a＜0時，y有最大值，最大值也是頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)．故填①；0；1．【解題策略】解此題的關(guān)鍵是確定二次項(xiàng)系數(shù)a的符號．由a的符號確定拋物線的開口方向，即可確定函數(shù)有最大值(或最小值)．3、┃分析┃本題主要考查利用拋物線解實(shí)際問題．解：取MN中點(diǎn)0為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖2-25所示的平面直角坐標(biāo)系．∵拋物線頂點(diǎn)處到邊MN的距離是4m，∴其頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0，4)．又∵M(jìn)N=4m，則N設(shè)拋物線的解析式為y＝ax2＋k．把(0，4)，(2，0)代入y＝ax2＋k，得解得∴拋物線的解析式為y＝－x2＋4．設(shè)A(m，－m2＋4)，則B(m，0)，D(－m，－m2＋4)，∴AB＝4－m2，AD=2m∴矩形周長＝2(AB＋AD)＝2(4－m2＋2m)＝－2m2＋4m＋8＝－2(m2－2m∴當(dāng)m=1時，矩形周長有最大值為10m∴A(1，3)，B(1，0)，D(－1，3)，∴在MN上截BC＝2m，AB＝3m得到的矩形周長最大，最大周長為4、┃分析┃(1)由y＝－mx2＋4m可得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0，4m)，所以4m＝2，m＝，所以拋物線的解析式為y＝－x2＋2．(2)A點(diǎn)在拋物線上，所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x，－x2＋2)，矩形ABCD的周長P＝2(－x2＋2)＋4┃x┃，要確定x的取值范圍，應(yīng)先求出拋物線與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)．(3)先假設(shè)存在，再推證假設(shè)正確與否．解：(1)∵拋物線y＝－mx2＋4m的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0，2)，∴4m＝2，m＝∴拋物線的解析式為y＝－x2＋2．(2)∵AD=BC＝2┃x┃，∴AD＋BC＝4┃x┃．∵AB=CD＝┃y┃＝y(tǒng)，∴AB＋CD＝2y＝2(－x2＋2)，∴P＝2(－x2＋2)＋4┃x┃=－x2＋4┃x┃＋4．對于拋物線y=－x2＋2，令y＝0，則－x2＋2＝0，∴x＝±2，∴拋物線y＝－x2＋2與x軸的兩個交點(diǎn)是(－2，0)，(2，0)，∴x的取值范圍是－2＜x＜2，且x≠0．(3)假設(shè)存在矩形ABCD，其周長為9．當(dāng)0＜x＜2時，P=－x2＋4x＋4＝9，即－x2＋4x－5＝0．∵△＜0,∴方程無實(shí)數(shù)根．當(dāng)－2＜x＜0時，P=－x2－4x＋4=9，即x2＋4x＋5＝0．∵△＜0,∴方程無實(shí)數(shù)根．綜上所述，在拋物線與x軸所圍成的圖形內(nèi)不存在周長為9的矩形ABCD．【解題策略】解此題中的第(3)問的關(guān)鍵是由一元二次方程的根的判別式來分析、解答．5、┃分析┃先設(shè)出拋物線的解析式為y＝ax2＋c，然后求解．解：(1)根據(jù)題意可設(shè)拋物線的解析式為y＝ax2＋c．∵B(140，0)，E(70，42)，∴∴y=(2)當(dāng)x＝0時，y=56，∴OC=56．設(shè)存在一根系桿的長度是OC的一半，即這根系桿的長度是28米，則28＝，解得x=±70．∵相鄰系桿之間的間距均為5米，最中間系桿OC在y軸上，∴每根系桿上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)均為整數(shù)，∴x=±70與實(shí)際不符，∴不存在一根系桿的長度恰好是OC長度的一半．【解題策略】仔細(xì)分析題意，觀察圖形，建立二次函數(shù)模型，這是解此題的關(guān)鍵．6、┃分析┃利用已知條件求出直線AB和拋物線的解析式是解題的關(guān)鍵．解：如圖2-28所示．設(shè)直線AB的解析式為y＝k1x＋b1，∵直線AB經(jīng)過點(diǎn)A(2，0)，B(1，)，∴∵拋物線y=ax2經(jīng)過點(diǎn)B(1，)，∴=a×12，∴a=，∴y=x2．又∵點(diǎn)C到△OAB各頂點(diǎn)的距離相等，即點(diǎn)C是△OAB三邊的垂直平分線的交點(diǎn)，作BE⊥OA，垂足為E．∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(1，0)．由勾股定理得BO=BA=2=OA，∴點(diǎn)C在BE上，∴OE＝AE．在Rt△OEC中，CE=OEtan30°=,∴C(1，)．設(shè)直線OC的解析式為y＝k2x，∴=k2·1,∴k2=，∴y＝x．設(shè)直線AC的解析式為y＝k3x＋b3，∴解得∵直線AC交y軸于點(diǎn)D，則點(diǎn)D(0，)，∴OD=．當(dāng)OD∥PQ時．①若DQ=OP，則四邊形DOPQ為等腰梯形由上述解題過程可知點(diǎn)C是等邊三角形OAB的垂心，∴∠COD=60°，OC=OD=，∴△OCD為等邊三角形，∴∠CDO=∠COD，∴Q是直線AD與拋物線的交點(diǎn)，∴當(dāng)x=時,x2=，∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為()．當(dāng)x=時,x=,∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為()．②若∠ODQ=90°，則四邊形DOPQ為直角梯形(如圖2-30所示)．過點(diǎn)D(0，)且平行于x軸的直線交拋物線y＝x2于點(diǎn)Q，∴=x2,解得x1=，x2=－(舍)．∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(，)．把x=代入直線y=x，得y=，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，)．當(dāng)DQ∥OP時．①若OD＝PQ，則四邊形DOPQ是等腰梯形過點(diǎn)D(0，)且平行于OC的直線為y＝x＋，設(shè)該直線交拋物線y＝x2于點(diǎn)Q，∴x＋=x2，解得x1＝1或x2=－(舍)．把x=1代入y＝x2，得y＝，∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(1，)(與點(diǎn)B重合)．又∵△OCD為等邊三角形，∴∠DOC＝∠BPO＝60°．設(shè)