初中數學競賽專題講解最短路徑問題(資料)

精選初中數學比賽專題解說最短路徑問題(最全資料)初中數學比賽專題解說最短路徑問題【問題概括】最短路徑問題是圖論研究中的一個經典算法問題，旨在找尋圖（由結點和路徑構成的）中兩結點之間的最短路徑．算法詳細的形式包含：①確立起點的最短路徑問題-即已知開端結點，求最短路徑的問題．②確立終點的最短路徑問題-與確立起點的問題相反，該問題是已知終結結點，求最短路徑的問題．③確立起點終點的最短路徑問題-即已知起點和終點，求兩結點之間的最短路徑．④全局最短路徑問題-求圖中全部的最短路徑．【問題原型】“將軍飲馬”，“造橋選址”，“費馬點”．【波及知識】“兩點之間線段最短”，“垂線段最短”，“三角形三邊關系”，“軸對稱”，“平移”．【出題背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圓、坐標軸、拋物線等．【解題思路】找對稱點實現“折”轉“直”，近兩年出現“三折線”轉“直”等變式問題考察．【十二個基本問題】【問題1】作法圖形原理AA兩點之間線段最短．連AB，與l交點即為P．lPPA+PB最小值為AB．lBB-2-在直線l上求一點P，使PA+PB值最?。締栴}2】“將作法軍飲馬”

圖形原理ABl作B對于l的對稱點B＇連AB＇，與l交點即為P．在直線l上求一點P，使PA+PB值最小．

AP

BlB'兩點之間線段最短．PA+PB最小值為AB＇．【問題3】作法l1Pl2分別作點P對于兩直線的對稱點P＇和P＇，連P＇P＇，與兩直線交點即為M，N．在直線l1、l2上分別求點M、N，使△PMN的周長最?。締栴}4】作法l1Q分別作點Q、P對于直P線l1、l2的對稱點Q＇和l2P＇連Q＇P＇，與兩直線交點即為M，N．

圖形原理P'l1MPNl2兩點之間線段最短．P''PM+MN+PN的最小值為線段P＇P＇＇的長．圖形原理Q'l1MQ兩點之間線段最短．P四邊形PQMN周長的最小Nl2值為線段P＇P＇＇的長．P'-3-在直線l1、l2上分別求點M、N，使四邊形PQMN的周長最?。締栴}5】“造橋選址”作法AMmNnB將點A向下平移MN的長度單位得A＇，連A＇B，交n于點N，過N作NM⊥m于M．直線m∥n，在m、n，上分別求點M、N，使MN⊥m，且AM+MN+BN的值最?。締栴}6】作法ABMaNl將點A向右平移a個長度單位得A＇，作A＇關于l的對稱點A＇，連A＇B，交直線l于點N，將N點向左平移a個單位得M．在直線l上求兩點M、N（M在左），使MNa，并使AM+MN+NB的值最?。締栴}7】作法l1P作點P對于l1的對稱點l2P＇，作P＇B⊥l2于B，交l2于A．

圖形原理AA'MmnNB兩點之間線段最短．AM+MN+BN的最小值為A＇B+MN．圖形原理AA'BlMN兩點之間線段最短．A''AM+MN+BN的最小值為A＇B+MN．圖形原理l1P'P點到直線，垂線段最短．APA+AB的最小值為線段P＇l2B的長．B-4-在l1上求點A，在l2上求點B，使PA+AB值最?。締栴}8】作法l1NAl2MB作點A對于l2的對稱點A＇，作點B對于l1的對稱點B＇，連A＇B＇交l2于M，交l1于N．為l1上必定點，B為l2上必定點，在l2上求點M，在l1上求點N，使AM+MN+NB的值最小．

圖形原理B'l1ANMBl2兩點之間線段最短．A'AM+MN+NB的最小值為線段A＇B＇的長．【問題9】作法圖形原理AABlBlP連AB，作AB的中垂線與直線l的交點即為P．在直線l上求一點P，使PAPB的值最?。?/p>

垂直均分上的點到線段兩端點的距離相等．PAPB＝0．【問題10】作法圖形原理ABAlB作直線AB，與直線l的交l點即為P．P

三角形隨意兩邊之差小于第三邊．PAPB≤AB．PAPB的最大值＝AB．-5-在直線l上求一點P，使PAPB的值最大．【問題11】作法圖形原理AAlB'BlPB作B對于l的對稱點B＇作直線AB＇，與l交點即為P．在直線l上求一點P，使PAPB的值最大．

三角形隨意兩邊之差小于第三邊．PAPB≤AB＇．PAPB最大值＝AB＇．【問題12】作法“費馬點”ABC所求點為“費馬點”，即滿足∠APB＝∠BPC＝∠APC＝120°．以AB、AC為邊向外作等邊△ABD、△ACE，連CD、BE訂交于P，點P即為所求．△ABC中每一內角都小于120°，在△ABC內求一點P，使PA+PB+PC值最?。?/p>

圖形原理DAEPBC兩點之間線段最短．PA+PB+PC最小值＝CD．一、基礎過關如下圖，是一個圓柱體，底面周長為10,高為6,一只螞蟻要從外壁的A處到內壁的B處吃一食品,求螞蟻所走的最短程.如右圖是一個長方體木塊，已知AB3,BC4,CD2，假定一只螞蟻在點A處，它要沿著木塊側面爬到點D處，則螞蟻爬行的最短路徑是。-6-3.正方形ABCD的邊長為8，M在DC上，且DM2，N是AC上的一動點，DNMN的最小值為在菱形ABCD中，AB2，BAD對角線AC上的一個動點，則PE5.如圖，在ABC中，ACBC2，

。600，點E是AB的中點，P是PB的最小值為ACB900，D是BC邊的中點，E是AB邊上一動點，則ECED的最小值為第1D第2第3CA

D第4第5PCAB6.AB是⊙OE的直B徑，AB2AB圖(2)OCAB，，OC是⊙O的半徑，點D在AC上，D為AC的三均分點，點P是半徑OC上的一個動點，則APPD的最小值為7.如圖，點P對于OA、OB的對稱點分別為C、D，連結CD，交OA于M，交OB于N，若CD＝18cm，則△PMN的周長為如圖，∠AOB＝30°，點M、N分別在邊OA、OB上，且OM＝1，ON＝3，點P、Q分別在邊OB、OA上，則MP＋PQ＋QN的最小值是．如圖，在銳角△ABC中，AB＝42，∠BAC＝45°，∠BAC的均分線交BC于點D，M、N分別是AD和AB上的C動點，則BM+MN的最小值是．DMADANBOCPB圖(3)第8第6第7-7-第9二、例題解說例1：已知：直線y1與y軸交于，與x軸交于，拋x12AD物線y1x2bxc與直線交于、E兩點，與x軸交于、2ABC兩點，且B點坐標為（1，0）．1）求拋物線的分析式；2）動點P在x軸上挪動，當△PAE是直角三角形且以P為直角極點時，求點P的坐標．3）在拋物線的對稱軸上找一點M，使|AMMC|的值最大，求出點M的坐標．yEABCxDO-8-例2：如圖，拋物線yax2bxc的極點P的坐標為1，43，3交x軸于A、B兩點，交y軸于點C(0，3)．（1）求拋物線的表達式．yD（2）把△ABC繞AB的中點E旋轉180°，獲得四邊形ADBC．x判斷四邊形ADBC的形狀，并說明原因．EB（3）試問在線段AC上能否存在一點AOF，使得△FBD的周長最小，C若存在，請寫出點F的坐標；若不存在，P請說明原因．-9-例3：如圖，在平面直角坐標系中，矩形OACB的極點O在座標原點，極點A、B分別在x軸、y軸的正半軸上，OA=3，OB=4，D為邊OB的中點．（1）點D的坐標為；2）若E為邊OA上的一個動點，當△CDE的周長最小時，求點E的坐標．例4：如圖，在直角坐標系中有四個點,A(-8,3),B(-4,5)C(0，n),D(m,0),當四邊形ABCD周長最短時,求m。n-10-例5：有一圓形油罐底面圓的周長為24m，高為6m，一只老鼠從距底面1m的A處爬行到對角B處吃食品，它爬行的最短路線長為多少？BBCAA-11-練習1：桌上有一個圓柱形玻璃杯（無蓋），高為12厘米，底面周長18厘米，在杯口內壁離杯口3厘米的A處有一滴蜜糖，一只小蟲從桌上爬至杯子外壁，當它正好爬至蜜糖相對方向離桌面3厘米的B處時，忽然發(fā)現了蜜糖。問小蟲起碼爬多少厘米才能抵達蜜糖所在的地點。A’AABB練習2：如圖，在一個長為2米，寬為1米的矩形草地上，如圖堆放著一根長方體的木塊，它的棱長和場所寬AD平行且＞AD，木塊的正視圖是邊長為0.2米的正方形，一只螞蟻從點A處，到達C處需要走的最短行程是米．（精準到0.01米）-12-練習3：如圖，一只螞蟻從實心長方體的極點A出發(fā)，沿長方體的表面爬到對角極點C1處（三條棱長如下圖），問如何走路線最短？最短路線長為多少？D1C1A11DB1CA24B三、課后提高1．如下圖，正方形ABCD的面積為12，△ABE是等邊AD三角形，點E在正方形ABCD內，在對角線AC上有一點P，使PD+PE的和最小，則這個最小值為（P）EA．23B．26C．3D．6BC2．如圖，在邊長為2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，若將△ACD繞點A旋轉，當AC′、AD′分別與BC、CD交于點E、F，則△CEF的周長的最小值為（）A．2B．23-13-C．23D．43．四邊形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠C＝70°，在ADBC、CD上分別找一點M、N，使△AMN的周長最小時，∠AMN+∠ANM的度數為（）BN．°B．°．°M．C°A120130C110D1404．如圖，三角形△ABC中，∠OAB＝∠AOB＝15°，點B在x軸的正半軸，坐標為B(63，0)．OC均分∠AOB，點M在OC的延伸線上，點N為邊OA上的點，則MA＋MN的最小值是______．-14-5．已知A（2，4）、B（4，2）．C在y軸上，D在x軸上，y則四邊形ABCD的周長最小值為，A此時BC、D兩點的坐標分別為．Ox6．已知A（1，1）、B（4，2）．yBP點（1）P為x軸上一動點，求PA+PB的最小值和此時的坐標；AOx（2）P為x軸上一動點，求PAPB的值最大時P點的坐標；yBAOx-15-（3）CD為x軸上一條動線段，D在C點右側且CD＝1，y求當AC+CD+DB的最小值和此時C點的坐標；BAOCDx7．點C為∠AOB內一點．（1）在OA求作點D，OB上求作點E，使△CDE的周長最小，請畫出圖形；2）在（1）的條件下，若∠AOB＝30°，OC＝10，求△CDE周長的最小值和此時∠DCE的度數．ACOB-16-8．（1）如圖①，△ABD和△ACE均為等邊三角