2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中期末高效復(fù)習(xí)課1第四章數(shù)列典型例題講解Word版含解析

1第四章數(shù)列典型例題講解目錄一、基本概念回歸二、重點(diǎn)例題（高頻考點(diǎn)）高頻考點(diǎn)一：根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)求通項(xiàng)公式高頻考點(diǎn)二：數(shù)列的單調(diào)性的判斷及其應(yīng)用高頻考點(diǎn)三：求數(shù)列中的最大(小)項(xiàng)高頻考點(diǎn)四：等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用高頻考點(diǎn)五：等差數(shù)列的綜合問(wèn)題高頻考點(diǎn)六：等差數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)及其應(yīng)用角度1：等差數(shù)列片段和性質(zhì)角度2：比值問(wèn)題（含同角標(biāo)和不同角標(biāo)）高頻考點(diǎn)七：等差數(shù)列前項(xiàng)和的最值問(wèn)題高頻考點(diǎn)八：等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用高頻考點(diǎn)九：等比數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)高頻考點(diǎn)十：數(shù)列求通項(xiàng)五類(lèi)高頻考點(diǎn)十一：數(shù)列求和六類(lèi)一、基本概念回歸知識(shí)回顧1：數(shù)列的單調(diào)性若數(shù)列滿足對(duì)一切正整數(shù)，都有（或者），則稱(chēng)數(shù)列為遞增數(shù)列（遞減數(shù)列）；（1）求數(shù)列中最大項(xiàng)方法：當(dāng)時(shí)，則是數(shù)列最大項(xiàng)；（2）求數(shù)列中最小項(xiàng)方法：當(dāng)時(shí)，則是數(shù)列最小項(xiàng)；知識(shí)回顧2：數(shù)列的前項(xiàng)和（1）數(shù)列前項(xiàng)和的概念我們把數(shù)列從第1項(xiàng)起到第項(xiàng)止的各項(xiàng)之和，稱(chēng)為數(shù)列的前項(xiàng)和，記作，即（2）數(shù)列前項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，用化簡(jiǎn)得：所以：知識(shí)回顧3：等差數(shù)列的四種判斷方法(1)定義法（或者）(是常數(shù))是等差數(shù)列．(2)等差中項(xiàng)法：()是等差數(shù)列．(3)通項(xiàng)公式：(為常數(shù))是等差數(shù)列．（可以看做關(guān)于的一次函數(shù)）(4)前項(xiàng)和公式：(為常數(shù))是等差數(shù)列．(可以看做關(guān)于的二次函數(shù)，但是不含常數(shù)項(xiàng)）提醒;證明一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列,只能用定義法或等差中項(xiàng)法知識(shí)回顧4：等差數(shù)列的性質(zhì)①②，則（特別的，當(dāng)，有）③若是等差數(shù)列,公差為,則也是等差數(shù)列,公差為.④若是公差為的等差數(shù)列,則，，,…()組成公差為的等差數(shù)列.⑤若數(shù)列為等差數(shù)列,公差為,則(為常數(shù))是公差為的等差數(shù)列.⑥若,分別是以,為公差的等差數(shù)列,則是以為公差的等差數(shù)列.知識(shí)回顧5：等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式（1）首項(xiàng)為，末項(xiàng)為的等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式（2）首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式知識(shí)回顧6：等差數(shù)列前項(xiàng)和性質(zhì)(1)若數(shù)列是公差為的等差數(shù)列,則數(shù)列也是等差數(shù)列,且公差為(2)設(shè)等差數(shù)列的公差為,為其前項(xiàng)和,則，，，,…組成公差為的等差數(shù)列(3)在等差數(shù)列，中，它們的前項(xiàng)和分別記為則(4)若等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為,則，。(5)若等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為,則，，，知識(shí)回顧7：等比數(shù)列的判斷（證明）1、定義：（或者）（可判斷，可證明）2、等比中項(xiàng)法：驗(yàn)證（特別注意）（可判斷，可證明）3、通項(xiàng)公式法：驗(yàn)證通項(xiàng)是關(guān)于的指數(shù)型函數(shù)（只可判斷）知識(shí)回顧8：等比數(shù)列常用性質(zhì)設(shè)數(shù)列是等比數(shù)列，是其前項(xiàng)和．（1）(2)若，則，其中.特別地，若，則，其中.(3)相隔等距離的項(xiàng)組成的數(shù)列仍是等比數(shù)列，即，，，…仍是等比數(shù)列，公比為().(4)若數(shù)列，是兩個(gè)項(xiàng)數(shù)相同的等比數(shù)列，則數(shù)列，和(其中，，是非零常數(shù))也是等比數(shù)列．知識(shí)回顧9：等比數(shù)列前項(xiàng)和公式若等比數(shù)列的首項(xiàng)為,公比為,則它的前項(xiàng)和知識(shí)回顧10：等比數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)公比為的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,關(guān)于的性質(zhì)?？嫉挠幸韵滤念?lèi):(1)數(shù)列，，，,…組成公比為（）的等比數(shù)列(2)當(dāng)是偶數(shù)時(shí),當(dāng)是奇數(shù)時(shí),高頻考點(diǎn)一：根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)求通項(xiàng)公式1．（2022·甘肅·蘭州一中高二期中）數(shù)列1,,,，的第n項(xiàng)為（）A．B．C．D．【答案】D【詳解】底數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，第n項(xiàng)為；指數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，第n項(xiàng)為.所以數(shù)列1,,,，的第n項(xiàng)為.故選：D2．（2022·重慶南開(kāi)中學(xué)高二階段練習(xí)）數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為（）A．B．C．D．【答案】D【詳解】由題意得，令，A選項(xiàng)：，不合題意；B選項(xiàng)：，不合題意；C選項(xiàng)：，不合題意；D選項(xiàng)：，符合題意故選：D.3．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式是（）A．B．C．D．【答案】C【詳解】根據(jù)題意可知，，……，所以．故選：C．4．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）寫(xiě)出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，使它的前4項(xiàng)分別是下列各數(shù)．(1)，，，；(2)，，，；(3)3，4，3，4；(4)6，66，666，6666．【答案】(1)；(2)；(3)；(4).（1）4個(gè)項(xiàng)都是分?jǐn)?shù)，它們的分子依次為，分母是正奇數(shù)，依次為，所以給定4項(xiàng)都滿足的一個(gè)通項(xiàng)公式為.（2）4個(gè)項(xiàng)按先負(fù)數(shù)，后正數(shù)，正負(fù)相間排列，其絕對(duì)值的分子依次為，分母比對(duì)應(yīng)分子多1，所以給定4項(xiàng)都滿足的一個(gè)通項(xiàng)公式為.（3）4個(gè)項(xiàng)是第1，3項(xiàng)均為3，第2，4項(xiàng)均為4，所以給定4項(xiàng)都滿足的一個(gè)通項(xiàng)公式為.（4）4個(gè)項(xiàng)，所有項(xiàng)都是由數(shù)字6組成的正整數(shù)，其中6的個(gè)數(shù)與對(duì)應(yīng)項(xiàng)數(shù)一致，依次可寫(xiě)為，所以給定4項(xiàng)都滿足的一個(gè)通項(xiàng)公式為.高頻考點(diǎn)二：數(shù)列的單調(diào)性的判斷及其應(yīng)用1．（2022·河南·高三階段練習(xí)（文））已知數(shù)列的前項(xiàng)和，且對(duì)任意，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】A【詳解】因?yàn)?，所以?shù)列為遞減數(shù)列，當(dāng)時(shí)，，故可知當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，故為遞減數(shù)列，只需滿足，因?yàn)?所以,解得，.故選:.2．（2022·河北·高三階段練習(xí)）已知數(shù)列為遞減數(shù)列，其前項(xiàng)和，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________.【答案】【詳解】①當(dāng)時(shí)，，②當(dāng)時(shí)，，∴當(dāng)時(shí)，，數(shù)列遞減，綜上所述，若使為遞減數(shù)列，只需滿足，即，解得，故答案為：.3．（2022·上海師大附中高二期中）已知為遞減數(shù)列，且對(duì)于任意正整數(shù)n，恒成立，恒成立，則的取值范圍是______.【答案】【詳解】∵恒成立，又由，∴恒成立，即對(duì)于任意正整數(shù)n恒成立，∴，所以的取值范圍是.故答案為：.4．（2022·黑龍江·大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，若數(shù)列是嚴(yán)格遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_________．【答案】【詳解】解：∵數(shù)列嚴(yán)格遞增，當(dāng)時(shí)，，，∴當(dāng)時(shí)，遞增，，即，解得，∴．故答案為：．5．（2022·北京師大附中高二期中）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，.請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)滿足條件的數(shù)列的通項(xiàng)公式______.【答案】（答案不唯一）【詳解】因?yàn)?，則數(shù)列是遞增的，又，所以最小，數(shù)列從第7項(xiàng)開(kāi)始為正，而，因此不妨設(shè)數(shù)列為等差數(shù)列，公差為1，，所以，滿足條件的數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式.故答案為：（答案不唯一）.高頻考點(diǎn)三：求數(shù)列中的最大(小)項(xiàng)1．（2022·江西·高三階段練習(xí)（文））記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，數(shù)列是公差為7的等差數(shù)列，則的最小項(xiàng)為（）A．B．C．D．【答案】C【詳解】依題意，，因數(shù)列是公差為7的等差數(shù)列，則，因此，當(dāng)時(shí)，，而不滿足上式，當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，，于是當(dāng)時(shí)，數(shù)列是遞增的，而，，則，所以的最小項(xiàng)為.故選：C2．（2022·江蘇·常熟市王淦昌高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，則數(shù)列的最大項(xiàng)為第________項(xiàng)．【答案】4【詳解】由題意，，故，令，解得；令，解得；故時(shí)，；時(shí)，，故數(shù)列的最大項(xiàng)為第4項(xiàng).故答案為：43．（2022·上?！じ叨谥校┮阎獢?shù)列的通項(xiàng)公式為，則取最大值時(shí)，___________.【答案】或.【詳解】由可得當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故取最大值時(shí)，一定有，設(shè)為數(shù)列的最大項(xiàng)，則，即，解得，則或，此時(shí)，故答案為：或.4．（2022·四川·攀枝花市第三高級(jí)中學(xué)校高一階段練習(xí)（理））已知數(shù)列是等差數(shù)列，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求的最大項(xiàng)．【答案】(1)；(2).(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為，所以有，所以；(2)由（1）可知：，當(dāng)時(shí)，有最大項(xiàng)，最大項(xiàng)為：.5．（2022·重慶八中高三階段練習(xí)）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，數(shù)列滿足，當(dāng)最大時(shí)，的值為_(kāi)_________.【答案】3【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由題意可得：.所以，兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)得：令，則.令得：；令得：，所以在上單增，在上單減，所以的最大值在或處取得.而，所以.所以當(dāng)最大時(shí)，的值為3.故答案為：3．6．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，(1)討論數(shù)列的單調(diào)性；(2)求數(shù)列的最大項(xiàng)和最小項(xiàng).【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)最大項(xiàng)為，最小項(xiàng)為.(1)故，當(dāng)即時(shí)，即，但此時(shí)，當(dāng)即時(shí)，即，但此時(shí)，而，綜上，當(dāng)時(shí)，為減數(shù)列，當(dāng)時(shí)，為減數(shù)列，即，.(2)由（1）可得中的最大項(xiàng)為，最小項(xiàng)為.高頻考點(diǎn)四：等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用1．（2022·貴州·貴陽(yáng)一中高三階段練習(xí)（理））已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．若，則（）A．116B．232C．58D．87【答案】A【詳解】∵，∴，∴為等差數(shù)列，∴，∵，∴，∴，故選:A．2．（2022·吉林·遼源市第五中學(xué)校高二期中）在等差數(shù)列中，若，則等于（

）A．30B．40C．60D．80【答案】C【詳解】解：因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，又，且，所以，所以；故選：C3．（2022·甘肅·永昌縣第一高級(jí)中學(xué)高二期中）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若與方程的兩個(gè)實(shí)根，則（）A．46B．44C．42D．40【答案】B【詳解】因?yàn)榕c方程的兩個(gè)實(shí)根，所以.由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：，所以.故選：B4．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若是等差數(shù)列，首項(xiàng)，，，則使前項(xiàng)和成立的最小正整數(shù)是A．B．C．D．【答案】D【詳解】因?yàn)榈炔顢?shù)列中，，，所以公差，，，因?yàn)椋?，因?yàn)椋?，根?jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可知，時(shí)，；時(shí)，.故使前項(xiàng)和成立的最小正整數(shù)是.故選：D.5．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知等比數(shù)列的各項(xiàng)都是正數(shù)，且成等差數(shù)列，則A．B．C．D．【答案】D【詳解】設(shè)各項(xiàng)都是正數(shù)的等比數(shù)列{an}的公比為q，（q＞0）由題意可得即q2-2q-3=0，解得q=-1（舍去），或q=3，故故選D．高頻考點(diǎn)五：等差數(shù)列的綜合問(wèn)題1．（2022·黑龍江·哈爾濱三中模擬預(yù)測(cè)）南宋數(shù)學(xué)家在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中提出了一些新的垛積公式，所討論的高階等差數(shù)列與一般等差數(shù)列不同，高階等差數(shù)列中前后兩項(xiàng)之差并不相等，但是逐項(xiàng)差數(shù)之差或者高次差成等差數(shù)列.現(xiàn)有高階等差數(shù)列，其前7項(xiàng)分別為1，2，4，7，11，16，22，則該數(shù)列的第20項(xiàng)為（）A．172B．183C．191D．211【答案】C【詳解】高階等差數(shù)列：1，2，4，7，11，16，22，，令，則數(shù)列：1，2，3，4，5，6，，則數(shù)列為等差數(shù)列，首項(xiàng)，公差，，則則故選：C2．（多選）（2022·浙江·鎮(zhèn)海中學(xué)高二期中）已知等差數(shù)列的公差，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，的前項(xiàng)和最大，則（）A．B．C．D．【答案】ABD【詳解】當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，最大，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，，解得：，；；；；ABD正確；，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；C錯(cuò)誤.故選：ABD.3．（2022·上海中學(xué)高二期中）已知等差數(shù)列滿足，，記表示數(shù)列的前n項(xiàng)和，則當(dāng)時(shí)，n的取值為_(kāi)_____.【答案】【詳解】，故，，故，故，，.，故.故答案為：4．（2022·北京市翔宇中學(xué)高三期中）等差數(shù)列滿足，.(1)求的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和；(2)設(shè)等比數(shù)列滿足，，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)；(2)【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，可得，，解得：，可得：，.（2）設(shè)等比數(shù)列的公比為，由足，，可得：，，解得：，則數(shù)列的前項(xiàng)和為：.5．（2022·陜西西安·高二期中）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，.(1)求的值及數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)判斷這個(gè)數(shù)列是否是等差數(shù)列.【答案】(1)，.(2)數(shù)列為等差數(shù)列，理由見(jiàn)解析【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且時(shí)，，也滿足，故對(duì)任意的，.（2）解：對(duì)任意的，.因此，數(shù)列為等差數(shù)列.6．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為.(1)已知，，求.(2)已知，，求.(3)已知，求.【答案】(1)2700(2)(3)66【詳解】（1）由題意得：（2）由題意得：公差，故（3）由題意得：7．（2022·福建莆田·高二期中）設(shè)是等差數(shù)列，，且，，成等比數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記的前項(xiàng)和為，求當(dāng)為何值時(shí)，取得最小值.(3)求數(shù)列的前項(xiàng)和的值.【答案】(1)(2)或(3)【詳解】（1），，成等比數(shù)列，，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，解得：，.（2）由（1）得：，當(dāng)或時(shí)，取得最小值.（3），，是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，.高頻考點(diǎn)六：等差數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)及其應(yīng)用角度1：等差數(shù)列片段和性質(zhì)1．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，則（）A．15B．23C．28D．30【答案】D【詳解】由等差數(shù)列片段和的性質(zhì)：成等差數(shù)列，∴，可得，同理可得，∴，可得.故選：D2．（2022·江蘇·西安交大蘇州附中高二階段練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則（）A．28B．32C．16D．24【答案】B【詳解】由等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)，可得，，，成等差數(shù)列，∴，解得.∴2，6，10，成等差數(shù)列，可得，解得.故選：B3．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則等于（）A．-3B．-12C．-21D．-30【答案】D【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)知：成等差數(shù)列，∴，則，可得.同理：，即，得.故選：D4．（2022·上?！じ叨n時(shí)練習(xí)）等差數(shù)列前10項(xiàng)的和為10，第11項(xiàng)至第20項(xiàng)的和為，則第21項(xiàng)至第30項(xiàng)的和是_______．【答案】【詳解】設(shè)該等差數(shù)列為，其公差為，前項(xiàng)和為.前10項(xiàng)的和為，則由第11項(xiàng)至第20項(xiàng)的和為，所以，即，所以則第21項(xiàng)至第30項(xiàng)的和是：故答案為：角度2：比值問(wèn)題（含同角標(biāo)和不同角標(biāo)）1．（2022·北京·北理工附中高二期中）已知兩等差數(shù)列，，前n項(xiàng)和分別是，，且滿足，則（）A．B．C．D．【答案】B【詳解】?jī)傻炔顢?shù)列，，前n項(xiàng)和分別是，，滿足，所以.故選：B2．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知等差數(shù)列和的前項(xiàng)和分別為和，且滿足，則（）A．B．C．D．1【答案】D【詳解】由題意，令，∴，故選：D3．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）等差數(shù)列和的前n項(xiàng)和分別為與，對(duì)一切正整數(shù)n，都有，則等于（）A．B．C．D．【答案】A【詳解】由等差數(shù)列的求和公式得，即滿足型則可令，故選：A4．（多選）（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）(多選)已知兩個(gè)等差數(shù)列和的前項(xiàng)和分別為，，且，則使得為整數(shù)的正整數(shù)可能是（）A．B．C．D．【答案】AC【詳解】由題意，可得，∵和均為等差數(shù)列，∴，同理，，∴，若為整數(shù)，則只需，，，.故選：AC.5．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)Sn是等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和，若，則＝【答案】【詳解】試題分析：若Sn是等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和，則也是等差數(shù)列；所以也是等差數(shù)列，由可設(shè)，則，于是可得相鄰三項(xiàng)和依次為，即，所以.6．（2022·江蘇省蘇州第十中學(xué)校高二階段練習(xí)）數(shù)列與均為等差數(shù)列，其前項(xiàng)和分別為與，若，則__________，使得為整數(shù)的值個(gè)數(shù)__________.【答案】

【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，，若為整數(shù)，且，故能被整除，故或，解得或，所以，使得為整數(shù)的值個(gè)數(shù)為.故答案為：；.高頻考點(diǎn)七：等差數(shù)列前項(xiàng)和的最值問(wèn)題1．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，并且，，若對(duì)恒成立，則正整數(shù)的值為（）A．4B．5C．6D．7【答案】C【詳解】由題意可得，所以，又，所以，又可得，所以等差數(shù)列的前6項(xiàng)為正數(shù)，從第7項(xiàng)起為負(fù)數(shù)，所以，所以.故選：C.2．（多選）（2022·江蘇常州·高三期中）已知等差數(shù)列的公差，且．的前項(xiàng)和記為，若是的最大值，則k的可能值為（）A．5B．6C．10D．11【答案】AB【詳解】，即，又，故數(shù)列單調(diào)遞減，則，∴，故該數(shù)列的前項(xiàng)都為正數(shù)，且從第7項(xiàng)開(kāi)始都為負(fù)數(shù)，故是的最大值，則的可能只為或.故選：AB．3．（2022·陜西·長(zhǎng)安一中高二階段練習(xí)（文））已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，常數(shù)，且對(duì)一切正整數(shù)都成立.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，，當(dāng)為何值時(shí)，數(shù)列的前項(xiàng)和最大？【答案】(1)；(2)6.【詳解】（1）取，得，，，則，當(dāng)時(shí)，，，上述兩個(gè)式子相減得：，所以數(shù)列是等比數(shù)列,當(dāng)，則.（2）當(dāng)，且時(shí)，令，所以，所以，單調(diào)遞減的等差數(shù)列（公差為）則當(dāng)時(shí)，故數(shù)列的前6項(xiàng)的和最大.4．（2022·廣東·高三階段練習(xí)）已知是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，且．(1)若，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求當(dāng)取得最大值時(shí)n的值．【答案】(1)；(2)4或5.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為d，根據(jù)題意有，解得，則；即等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）由，得，即，從而，即，從而，則，因?yàn)?，所以，由得，解得，又，則或，所以當(dāng)取得最大值時(shí)n的值為4或5．5．（2022·福建·莆田第三中學(xué)高三期中）設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和的最大值．【答案】(1)；(2).【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，解得，故.（2）因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)或時(shí)有最大值且最大值為.高頻考點(diǎn)八：等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用1．（2022·四川·宜賓市敘州區(qū)第一中學(xué)校高一期中）在等比數(shù)列中，，則的值為（）A．48B．72C．144D．192【答案】D【詳解】數(shù)列是等比數(shù)列，則，，而，故．故選：D2．（2022·上海市行知中學(xué)高三期中）正項(xiàng)等比數(shù)列中，存在兩項(xiàng)使得，且，則最小值____.【答案】##【詳解】在正項(xiàng)等比數(shù)列中有，由等比數(shù)列的性質(zhì)知，即，解得或（舍），則，可得，其中.所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.故的最小值為：.3．（2022·陜西·武功縣普集高級(jí)中學(xué)高二期中（文））在正項(xiàng)等比數(shù)列中，，則______．【答案】2【詳解】在正項(xiàng)等比數(shù)列中，，所以，所以，，．故答案為：24．（2022·四川省通江中學(xué)高二期中（文））若等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，則___________.【答案】2022【詳解】因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，所以，即，所以故答案為：20225．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，，則的最大值是__．【答案】【詳解】根據(jù)題意，在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，，即，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即公比為1時(shí)等號(hào)成立，故的最大值是.故答案為：.高頻考點(diǎn)九：等比數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)1．（2022·陜西·虢鎮(zhèn)中學(xué)高二階段練習(xí)）一個(gè)等比數(shù)列的前7項(xiàng)和為48，前14項(xiàng)和為60，則前21項(xiàng)和為（）A．180B．108C．75D．63【答案】D【詳解】由題意得S7，S14－S7，S21－S14組成等比數(shù)列48，12，3，即S21－S14＝3，∴S21＝63.故選：D2．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（）A．B．C．D．【答案】C【詳解】解：因?yàn)閿?shù)列為等比數(shù)列，則，，成等比數(shù)列，設(shè)，則，則，故，所以，得到，所以.故選：C.3．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則的值為（）A．12B．30C．45D．81【答案】C【詳解】顯然公比不為-1，是等比數(shù)列，則也成等比數(shù)列，，，，則，，則.故選：C.4．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）等比數(shù)列的首項(xiàng)為1，項(xiàng)數(shù)是偶數(shù)，所有得奇數(shù)項(xiàng)之和為85，所有的偶數(shù)項(xiàng)之和為170，則這個(gè)等比數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為（）A．4B．6C．8D．10【答案】C【詳解】設(shè)等比數(shù)列項(xiàng)數(shù)為2n項(xiàng),所有奇數(shù)項(xiàng)之和為,所有偶數(shù)項(xiàng)之和為，則,所以，結(jié)合等比數(shù)列求和公式有：，解得n=4，即這個(gè)等比數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為8.本題選擇C選項(xiàng).5．（2022·吉林·輝南縣第六中學(xué)高二期中）設(shè)等比數(shù)列的公比為，其前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，并滿足條件，，，下列結(jié)論正確的是（）A．B．C．是數(shù)列中的最大值D．?dāng)?shù)列無(wú)最大值【答案】A【詳解】根據(jù)題意，等比數(shù)列中，，則有，有，又由0，即，必有，由此分析選項(xiàng)：對(duì)于A，，故，A正確；對(duì)于B，等比數(shù)列中，，，則，則，即，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，則是數(shù)列中的最大項(xiàng)，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由C的結(jié)論，D錯(cuò)誤；故選：A.6．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知是等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若存在，滿足，則數(shù)列的公比為（）A．B．2C．D．3【答案】B【詳解】設(shè)數(shù)列的公比為，若，則，與題中條件矛盾，故.故選：B7．（多選）（2022·遼寧·阜新市第二高級(jí)中學(xué)高二期末）已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，公比為q，若，則（）A．B．C．D．【答案】BC【詳解】因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，所以也構(gòu)成等比數(shù)列.因?yàn)?，所以，?因?yàn)?，所以，解?因?yàn)?，所以，，故A錯(cuò)誤，B正確；因?yàn)?，且，所以，故C正確，D錯(cuò)誤.故選：BC8．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知首項(xiàng)均為的等差數(shù)列與等比數(shù)列滿足，，且的各項(xiàng)均不相等，設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，則的最大值與最小值之差為_(kāi)_________．【答案】##0.75【詳解】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為d，等比數(shù)列的公比為q，則解得或,又因?yàn)榈母黜?xiàng)均不相等，所以，則．當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，易知單調(diào)遞減，最大值為，且；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，易知單調(diào)遞增，最小值為，且．所以的最大值為，最小值為，所以的最大值與最小值之差為．故答案為：.9．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）在等比數(shù)列中，若，且公比，則數(shù)列的前100項(xiàng)和為_(kāi)_____．【答案】450【詳解】在等比數(shù)列中，公比，則有，而，于是得，所以數(shù)列的前100項(xiàng)和．故答案為：45010．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)Sn是等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，則________.【答案】【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為q，由已知，因?yàn)?，，，，，．∴．故答案為：．高頻考點(diǎn)十：數(shù)列求通項(xiàng)五類(lèi)1．（2022·福建省華安縣第一中學(xué)高二階段練習(xí)）已知正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且和滿足：（，2，3，…）．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，的前n項(xiàng)和，求證：【答案】(1)；(2)見(jiàn)解析.【詳解】（1）解：∵，∴，①∴，②①－②得，∴，化簡(jiǎn)．∵，∴，∴是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，∴；（2）證明：由（1）可得，∴∵，∴，∴，即.2．（2022·江蘇·南京市勵(lì)志高級(jí)中學(xué)高三階段練習(xí)）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，又的各項(xiàng)均為正數(shù)，所以；當(dāng)時(shí)，得，所以，又的各項(xiàng)均為正數(shù)，所以，所以，所以是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，所以；（2）由（1）知，，所以，①，②①-②得：所以.3．（2022·新疆·高三期中（文））已知等差數(shù)列滿足，，數(shù)列滿足，．(1)求，的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)，；(2).【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，由題可得，解得，故；因?yàn)闈M足，，故當(dāng)時(shí)，，故，符合該式，所以；（2）由題可得，設(shè)的前項(xiàng)和為，則，故，則即，故.故數(shù)列的前項(xiàng)和為.4．（2022·黑龍江·佳木斯一中高三期中）設(shè)數(shù)列滿足，且．等差數(shù)列的公差d大于0．已知，且成等比數(shù)列．(1)求證：數(shù)列為等差數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)證明見(jiàn)解析，(2)【詳解】（1）證明：因?yàn)?，所以，又，所以?shù)列是以4為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，則，當(dāng)則，n=1成立所以；（2）解：由，得，又成等比數(shù)列，使用，即，解得（舍去），所以，則，所以.5．（2022·山西大同·高三階段練習(xí)）已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，數(shù)列滿足，，其中．(1)分別求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列前n項(xiàng)和．【答案】(1)，(2)【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為q，由，得，所以，即，故，當(dāng)時(shí)，，故，故數(shù)列的通項(xiàng)公式為；由得，故，，，…，，，以上個(gè)式子相乘得，，故，驗(yàn)證也符合上式，所以．（2）由，結(jié)合（1）可得，所以，，兩式相減得，所以，故．6．（2022·福建·福州三中高三階段練習(xí)）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，是公差為的等差數(shù)列.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由是公差為的等差數(shù)列，且，則，即，當(dāng)時(shí)，，兩式相減可得：，整理可得，故，將代入上式，，故的通項(xiàng)公式為.（2）由，則.7．（2022·陜西·鎮(zhèn)巴中學(xué)高二期中（文））已知數(shù)列滿足，(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，則，所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，故.（2）由（1）得，所以.8．（2022·黑龍江·建三江分局第一中學(xué)高三期中）已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足.(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列：(2)若，求滿足條件的最大整數(shù).【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)50【詳解】（1）證明：由，可得，又故數(shù)列為等比數(shù)列.（2）由（1）可知，故.令，易知隨的增大而增大，，故滿足的最大整數(shù)為50.9．（2022·安徽宿州·高二期中）已知數(shù)列的首項(xiàng)，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)(2)(1)∵，等式兩邊同時(shí)加1整理得又∵，∴∴是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列．∴，∴(2)∵，∴.記的前n項(xiàng)和為則所以相減得整理得.所以10．（2022·黑龍江·龍江縣第一中學(xué)高二階段練習(xí)）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式.(2)若，求滿足條件的最大整數(shù)值.【答案】(1)(2)99(1)解：因?yàn)?，所以，則，又，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，所以，所以；(2)解：由（1）可得，則，由，則，因?yàn)楹瘮?shù)是增函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以滿足的最大正整數(shù)的值為99.高頻考點(diǎn)十一：數(shù)列求和六類(lèi)1．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)證明函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng);(2)若，求；【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【詳解】（1）證明：因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，設(shè)，是函數(shù)圖像上的兩點(diǎn)，其中且，則有，因此函數(shù)圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；（2）由（1）知當(dāng)時(shí)，，①，②，①+②得，即.2．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)對(duì)任意的，都有，數(shù)列滿足….求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【答案】【詳解】因?yàn)椋?故….①….②①+②，得，.所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.3．（2022·福建莆田·高二期中）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和公式為．(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)令，求數(shù)列的前n項(xiàng)和；【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2).【詳解】（1）數(shù)列的前n項(xiàng)和，，則當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，解得，所以數(shù)列是以首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列.（2）由（1）知，，，，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，于是得，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，所以.4．（2022·河北·高三階段練習(xí)）已知在等比數(shù)列中，，且,,成等差數(shù)列，數(shù)列滿足,，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1);(2).【詳解】（1）因?yàn)?,成等差數(shù)列，所以,又因?yàn)樵诘缺葦?shù)列中，,所以，得的公比，所以,解得，故.（2）由,，，得，則是等差數(shù)列，因?yàn)?所以，則，則．5．（2022·重慶·高三階段練習(xí)）已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，前項(xiàng)和為，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求.【答案】(1)(2)【詳解】（1）依題意，當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，由，得①，所以②，①-②得：，所以，因?yàn)?，所以，所以?shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，所以；（2）由得，所以，所以.6．（2022·陜西·府谷縣府谷中學(xué)高二期中（理））在數(shù)列中，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，求的前項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)?，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，與相減，得，所以，又，所以，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，滿足上式，當(dāng)時(shí)，上式不成立，所以（2）知，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．顯然當(dāng)時(shí)，上式成立，所以．7．（2022·福建三明·高二階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，是以為首項(xiàng)且公差不為0的等差數(shù)列，成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)令，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)，；(2).【詳解】（1）由，取可得，又，所以，則.當(dāng)時(shí)，由條件可得，兩式相減可得，，又，所以，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，故，因?yàn)?，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，由成等比數(shù)列，所以，又，所以解得，故，（2），，.相減得，所以，所以所以.8．（2022·黑龍江·哈師大附中高三階段練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，，各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列滿足，．(1)求數(shù)列與的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求．【答案】(1)；(2)【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，解得，，∴；設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，解得，，，∴，（2）由（1）可知∴，則，兩式相減得：，∴．9．（2022·安徽省宿州市苐三中學(xué)高二期末）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的首