北郵課本課后習(xí)題答案第三章隨機(jī)過程

1．設(shè)YtXtcos2fctX

與X

0過程，自相關(guān)函數(shù)與功率譜密度分別為RX 若為常數(shù)，求YtRYEYtYt1

p() Ecos4ft22f cos4ft22fd 2 R1

Xcos2 Rcos2f

ej2fd

cej2f2

PXffcPXffc4R1

cos2f1

cos4ft22fYYt

cos4fct22fc

Yt表

R1

Xcos2YPfPXffcYN0雙邊功率譜密度為

H 的白噪聲經(jīng)過傳遞函數(shù) Ts1cosfT

fsH(f)s

XX解

N

2NT s 0s1cosNT s

fX

Pf

Hf

P

NfdfN0s0T TsY圖b示， 的同相分量及正交分量的功率譜密度，并畫出圖形圖圖Yt s scc

Pf

Pff

fP(f)

(f)

Pf

H(f)

Bj2B

f

ffc

0 T ntt T

ntt

nt 設(shè)

，

T 是雙邊功率譜密度為2白TTTEETnttdt

Enttdt

E

nt

TT TT又因?yàn)閚t 過程，所以1,2是服從聯(lián) 分布的 量，故欲1和2統(tǒng)計(jì)E立， E Ent1tdtnt2tdt ETTntntt

tTE

tnttt0

TTN0ttt

t0

2TtT

t所以1和2統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的條件為即1t,2t正交。

2 T1t0隨1和t2 2 量，其均值是0，方差是2（參 第六章設(shè)X(t)Xctcos2fctXstsin2fct為窄 2差為

。信號(hào)

Acos2fctX

utAcos2

v

XctXst若為常數(shù)，求ut和vt若是與X 獨(dú)立的0均值 解utAcos2ftcos2ft A vtXctcos2fctXstsin2fctcos2fct1

tcos1

t給定時(shí)utvt

PvX

P

cosvt

ut 的平均功率仍然 ，但此 的平均功率

P

Acos cos

e22

P 2 u

cos

2 A

cos

e22dA1e2222

N0106

設(shè)nt0

22

j2

222Nf23.95105f0 0yoPyo

222 設(shè)t是 白噪聲通過截止頻率為fH的理想低通濾波器后的輸出，今以2fH的速率對(duì)t抽樣，1,2, ,n是其中的n個(gè)抽樣值，求這n個(gè)抽樣值的聯(lián)合概率密度。 是

是0均值 t

N0

t白噪聲的功率譜密度 ， 的功率 ，所 的一維概率密度

px 2N0

2N0

fPf

Pfej2f

Nfsinc2fk

0 t

sinck

kk12說明對(duì) H的整倍數(shù)，則這兩個(gè)樣, n , n 1 22 nn 0

x2Hn1 Hp,,

f2

2N011 已知btbtb畫出 匹配的匹配濾波器的沖激響應(yīng)波形求匹配濾波器的最大輸出信噪比max

的白噪聲A0Tct解取最佳抽樣時(shí)刻為t0ThtbTt

A0t信號(hào)分量在最佳取樣點(diǎn)tTbThdTbTbTd

max

A2T

2N

byA2Tb 2N00方差為py

量。因此y的概率yA2TNA20NA20已知X1為瑞利分布的 量，其概率密度函數(shù) xx1 22, X2為萊斯分布的 量，其概率密度函數(shù)x2x Axx2pXx22

2e

I02,x2 2X1X2X1X211

pxx1pXx2

1 x

x dx x 1e

22dx

2

2x2 2x222 2

Ax

Ax22e2

I02e

dx2

2

I02 2 2x

A A0,20

x2 0故

xdx1

2

0202

P

X

1e2

1

N下圖中，功率譜密度為

n 白噪 通過線性網(wǎng)

和

E*t

tEh*untu

hvntvdv

E h*uhvEntvntu h*uhvN0uv

h*u

uPaserval

2

t h*u

u

2

H*f

fej2fdfH*fHfej2fdf

2

f 是

即是說0的傅氏變換是

f,H*fHf X Yt和t1,t2，Xt1,Xt2都不相關(guān)。如果我們想說對(duì)于給定的時(shí)間t，兩個(gè) X Yt和X Yt和 tej2fct

0,3,3

t 設(shè)有復(fù)隨機(jī)信 Et Ett 的均 和自相關(guān)函 是不是廣義平穩(wěn)過程 tejej2 解 ，其 是隨機(jī)的

11

j3

j3ej2fct

2ej23 j雖然t的自相關(guān)函數(shù)與t無(wú)關(guān)，但因?yàn)閿?shù)學(xué)期望是txt1 其中i,i1, ,N是一組獨(dú)立同分布的 量i均勻分布在0, 內(nèi)Nxt

mtExt1Ecos2itN iN1

2cos2it dNi1 N1E

cos2it

cos2jt2j

ij

j1EN

cos2itcos2jt2j

j1

NN

Ecos2itcos2jt2jN

j由于i與jiiEcos2itcos2it2i1Ecos2icos4it2i i i1Ecos2i1Ecos4it2i icos22xt

Rt,t1x2Nx

上述結(jié)果表 是廣義平穩(wěn)過程(3)由中心極限定律知，N時(shí)，xt將趨向 分布。其均值為mx0，方差R0 2

px

e

DtangtnTt0

an等概取值于1an

n

，t0是在0,T內(nèi)均勻分布的 量且，D 的自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度解

gt 0an獨(dú)立 為碼元波形E E n E nE

DtD

RDt,tRDtT,tT所 是循環(huán)平穩(wěn)過程，其平均自相關(guān)函數(shù)DT0RDT0

1T

0

RD

T

tE

tT

E

T

1T

T01Tgxgxdx1

T

。。

N0已知平穩(wěn)遍歷白噪聲的功率譜密度為2此噪聲經(jīng)過一個(gè)帶寬為B的濾波器后 平穩(wěn)遍歷隨機(jī)過程，其方差為N0B，其一維概率密度函數(shù) pnx exp 2N0BPn212

1222N0B2N0B若 量z~N0,12，x0，則互補(bǔ)誤差函數(shù)定義erfc Pzerf Pzx1erfcpzerfPzx1erfc2許多求解誤碼率的問題可歸結(jié)為求概率或的問題，其中a， u~N0,2aPu zuz~N ， ，因PuaPza21a22已知復(fù)平穩(wěn)遍 噪聲ntx

的實(shí)部和虛部是平穩(wěn)遍歷的過程2n解 的

8ntRayleighpAAAe n 的相 服從均勻分布，其概率密度函數(shù)p 2

A與22 PA2, PA2P Ae2 2 8 2

8

X(tR(tXtXt當(dāng)X(t解：X 的平均功率

RlimEXtXtlimEXtEXtR

即直流功率 。交流功率是總功率扣除直流功率， ,bn 設(shè)有隨機(jī)序列an,bn

E，其中的元素兩兩不相關(guān) Ea2

bb,b,b

b

ba n

01Eb2

，其中

， nn1中的元素兩兩不相關(guān) 證：對(duì)于任意的n

n nbnanbn1anan1bn2