2019-2020學(xué)年北師大版數(shù)學(xué)必修四教師用書第2章22.1向量的加法

§2從位移的合成到向量的加法2.1向量的加法學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.掌握向量加法的定義，會(huì)用向量加法的三角形法則和向量加法的平行四邊形法則作兩個(gè)向量的和向量．(重點(diǎn))2．掌握向量加法的交換律和結(jié)合律，并會(huì)用它們進(jìn)行向量計(jì)算．(難點(diǎn))1.通過(guò)學(xué)習(xí)向量加法的定義及三角形法則與平行四邊形法則，體會(huì)數(shù)學(xué)直觀素養(yǎng)．2．通過(guò)運(yùn)用交換律、結(jié)合律進(jìn)行向量加法運(yùn)算、提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).向量求和法則及運(yùn)算律類別圖示幾何意義向量求和的法則三角形法則已知向量a，b，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)A，作eq\o(AB,\s\up9(→))＝a，eq\o(BC,\s\up9(→))＝b，再作向量eq\o(AC,\s\up9(→))，則向量eq\o(AC,\s\up9(→))叫作a與b的和，記作a＋b，即a＋b＝eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\o(BC,\s\up9(→))＝eq\o(AC,\s\up9(→))向量求和的法則平行四邊形法則已知向量a，b，作eq\o(AB,\s\up9(→))＝a，eq\o(AD,\s\up9(→))＝b，再作平行eq\o(AD,\s\up9(→))的eq\o(BC,\s\up9(→))＝b，連接DC，則四邊形ABCD為平行四邊形，向量eq\o(AC,\s\up9(→))叫作向量a與b的和，表示為eq\o(AC,\s\up9(→))＝a＋b向量加法的運(yùn)算律交換律a＋b＝b＋a結(jié)合律(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)思考：根據(jù)圖中的四邊形ABCD，驗(yàn)證向量加法是否滿足結(jié)合律．(注：eq\o(AB,\s\up9(→))＝a，eq\o(BC,\s\up9(→))＝b，eq\o(CD,\s\up9(→))＝c)[提示]∵eq\o(AD,\s\up9(→))＝eq\o(AC,\s\up9(→))＋eq\o(CD,\s\up9(→))＝(eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\o(BC,\s\up9(→)))＋eq\o(CD,\s\up9(→))，∴eq\o(AD,\s\up9(→))＝(a＋b)＋c，又∵eq\o(AD,\s\up9(→))＝eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\o(BD,\s\up9(→))＝eq\o(AB,\s\up9(→))＋(eq\o(BC,\s\up9(→))＋eq\o(CD,\s\up9(→)))，∴eq\o(AD,\s\up9(→))＝a＋(b＋c)，∴(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．1．作用在同一物體上的兩個(gè)力F1＝60N，F(xiàn)2＝60N，當(dāng)它們的夾角為120°時(shí)，這兩個(gè)力的合力大小為()A．30N B．60NC．90N D．120N[答案]B2．在△ABC中，必有eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\o(CA,\s\up9(→))＋eq\o(BC,\s\up9(→))等于()A．0 B．0C．任一向量 D．與三角形形狀有關(guān)[答案]B3．化簡(jiǎn)下列各向量：(1)eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\o(BC,\s\up9(→))＝________.(2)eq\o(PQ,\s\up9(→))＋eq\o(OM,\s\up9(→))＋eq\o(QO,\s\up9(→))＝________.(1)eq\o(AC,\s\up9(→))(2)eq\o(PM,\s\up9(→))[根據(jù)向量加法的三角形法則及運(yùn)算律得：(1)eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\o(BC,\s\up9(→))＝eq\o(AC,\s\up9(→)).(2)eq\o(PQ,\s\up9(→))＋eq\o(OM,\s\up9(→))＋eq\o(QO,\s\up9(→))＝eq\o(PQ,\s\up9(→))＋eq\o(QO,\s\up9(→))＋eq\o(OM,\s\up9(→))＝eq\o(PO,\s\up9(→))＋eq\o(OM,\s\up9(→))＝eq\o(PM,\s\up9(→)).]4．在正方形ABCD中，|eq\o(AB,\s\up9(→))|＝1，則|eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\o(AD,\s\up9(→))|＝________.[答案]eq\r(2)向量加法法則的應(yīng)用【例1】(1)如圖①，用向量加法的三角形法則作出a＋b；(2)如圖②，用向量加法的平行四邊形法則作出a＋b.[解](1)在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作eq\o(OA,\s\up9(→))＝a，eq\o(AB,\s\up9(→))＝b，再作向量eq\o(OB,\s\up9(→))，則eq\o(OB,\s\up9(→))＝a＋b.(2)在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作eq\o(OA,\s\up9(→))＝a，eq\o(OB,\s\up9(→))＝b，再作平行eq\o(OB,\s\up9(→))的eq\o(AC,\s\up9(→))＝b，連接BC，則四邊形OACB為平行四邊形，eq\o(OC,\s\up9(→))＝a＋b.用三角形法則求向量和，關(guān)鍵是抓住“首尾相連”，和向量是第一個(gè)向量的起點(diǎn)指向第二個(gè)向量的終點(diǎn)，平行四邊形法則注意“共起點(diǎn)”.且兩種方法中，第一個(gè)向量的起點(diǎn)可任意選取，可在某一個(gè)向量上，也可在其它位置.兩向量共線時(shí)，三角形法則仍適用，平行四邊形法則不適用.1．已知向量a，b，c，如圖，求作a＋b＋c.[解]在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作eq\o(OA,\s\up9(→))＝a，eq\o(AB,\s\up9(→))＝b，eq\o(BC,\s\up9(→))＝c，如圖，則由向量加法的三角形法則，得eq\o(OB,\s\up9(→))＝a＋b，eq\o(OC,\s\up9(→))＝a＋b＋c.向量加法及其運(yùn)算律【例2】化簡(jiǎn)下列各式：(1)eq\o(BC,\s\up9(→))＋eq\o(AB,\s\up9(→))；(2)eq\o(DB,\s\up9(→))＋eq\o(CD,\s\up9(→))＋eq\o(BC,\s\up9(→))；(3)eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\o(DF,\s\up9(→))＋eq\o(CD,\s\up9(→))＋eq\o(BC,\s\up9(→))＋eq\o(FA,\s\up9(→)).[思路探究]所給各式均為向量和的形式，因此可利用三角形法則和向量加法的運(yùn)算律求解．[解](1)eq\o(BC,\s\up9(→))＋eq\o(AB,\s\up9(→))＝eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\o(BC,\s\up9(→))＝eq\o(AC,\s\up9(→)).(2)eq\o(DB,\s\up9(→))＋eq\o(CD,\s\up9(→))＋eq\o(BC,\s\up9(→))＝(eq\o(DB,\s\up9(→))＋eq\o(BC,\s\up9(→)))＋eq\o(CD,\s\up9(→))＝eq\o(DC,\s\up9(→))＋eq\o(CD,\s\up9(→))＝0或eq\o(DB,\s\up9(→))＋eq\o(CD,\s\up9(→))＋eq\o(BC,\s\up9(→))＝(eq\o(DB,\s\up9(→))＋eq\o(CD,\s\up9(→)))＋eq\o(BC,\s\up9(→))＝(eq\o(CD,\s\up9(→))＋eq\o(DB,\s\up9(→)))＋eq\o(BC,\s\up9(→))＝eq\o(CB,\s\up9(→))＋eq\o(BC,\s\up9(→))＝0.(3)eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\o(DF,\s\up9(→))＋eq\o(CD,\s\up9(→))＋eq\o(BC,\s\up9(→))＋eq\o(FA,\s\up9(→))＝eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\o(BC,\s\up9(→))＋eq\o(CD,\s\up9(→))＋eq\o(DF,\s\up9(→))＋eq\o(FA,\s\up9(→))＝eq\o(AC,\s\up9(→))＋eq\o(CD,\s\up9(→))＋eq\o(DF,\s\up9(→))＋eq\o(FA,\s\up9(→))＝eq\o(AD,\s\up9(→))＋eq\o(DF,\s\up9(→))＋eq\o(FA,\s\up9(→))＝eq\o(AF,\s\up9(→))＋eq\o(FA,\s\up9(→))＝0.向量加法運(yùn)算律的應(yīng)用原則及注意點(diǎn)1應(yīng)用原則：利用代數(shù)方法通過(guò)向量加法的交換律，使各向量“首尾相接”，通過(guò)向量加法的結(jié)合律調(diào)整向量相加的順序.2注意點(diǎn)：①三角形法則強(qiáng)調(diào)“首尾相接”，平行四邊形法則強(qiáng)調(diào)“起點(diǎn)相同”；②向量的和仍是向量；③利用相等向量轉(zhuǎn)化，達(dá)到“首尾相連”的目的.2.如圖：在平行四邊形ABCD中．(1)eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\o(AD,\s\up9(→))＝________；(2)eq\o(AC,\s\up9(→))＋eq\o(CD,\s\up9(→))＋eq\o(DO,\s\up9(→))＝________；(3)eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\o(AD,\s\up9(→))＋eq\o(CD,\s\up9(→))＝________；(4)eq\o(AC,\s\up9(→))＋eq\o(BA,\s\up9(→))＋eq\o(DA,\s\up9(→))＝________.(1)eq\o(AC,\s\up9(→))(2)eq\o(AO,\s\up9(→))(3)eq\o(AD,\s\up9(→))(4)0[(1)由平行四邊形法則知eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\o(AD,\s\up9(→))＝eq\o(AC,\s\up9(→)).(2)eq\o(AC,\s\up9(→))＋eq\o(CD,\s\up9(→))＋eq\o(DO,\s\up9(→))＝eq\o(AD,\s\up9(→))＋eq\o(DO,\s\up9(→))＝eq\o(AO,\s\up9(→)).(3)eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\o(AD,\s\up9(→))＋eq\o(CD,\s\up9(→))＝eq\o(AC,\s\up9(→))＋eq\o(CD,\s\up9(→))＝eq\o(AD,\s\up9(→)).(4)∵eq\o(BA,\s\up9(→))＝eq\o(CD,\s\up9(→))，∴eq\o(AC,\s\up9(→))＋eq\o(BA,\s\up9(→))＋eq\o(DA,\s\up9(→))＝eq\o(AC,\s\up9(→))＋eq\o(CD,\s\up9(→))＋eq\o(DA,\s\up9(→))＝eq\o(AD,\s\up9(→))＋eq\o(DA,\s\up9(→))＝0.]向量加法的實(shí)際應(yīng)用[探究問題]1．如何計(jì)算兩個(gè)向量的和？[提示]兩個(gè)向量相加，其和仍是一個(gè)向量．計(jì)算兩個(gè)向量的和需利用三角形法則或平行四邊形法則，在使用三角形法則時(shí)，應(yīng)注意“首尾相連”；在使用平行四邊形法則時(shí)，應(yīng)注意范圍的限制及和向量與兩向量起點(diǎn)相同．2．共線的兩向量相加，其結(jié)果怎樣？[提示](1)向量a與b同向(如圖①所示)，即向量a＋b與a(或b)方向相同，且|a＋b|＝|a|＋|b|.①②(2)向量a與b反向(如圖②所示)，且|a|<|b|時(shí)，a＋b與b方向相同(與a方向相反)，且|a＋b|＝|b|－|a|.【例3】在靜水中船的速度為20m/min，水流的速度為10m/min，如果船從岸邊出發(fā)沿垂直于水流的航線到達(dá)對(duì)岸，求船行進(jìn)的方向．[思路探究]速度是向量，因此需要作出船的速度與水流速度的示意圖，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為三角形中求角度問題．[解]作出圖形，如圖．船速v船與岸的方向成α角，由圖可知v水＋v船＝v實(shí)際，結(jié)合已知條件，四邊形ABCD為平行四邊形，在Rt△ACD中，|eq\o(CD,\s\up9(→))|＝|eq\o(AB,\s\up9(→))|＝v水＝10m/min，|eq\o(AD,\s\up9(→))|＝|v船|＝20m/min，∴cosα＝eq\f(|\o(CD,\s\up9(→))|,|\o(AD,\s\up9(→))|)＝eq\f(10,20)＝eq\f(1,2)，∴α＝60°，從而船與水流方向成120°的角．故船行進(jìn)的方向是與水流的方向成120°的角的方向．1．(變結(jié)論)若例3條件不變，則經(jīng)過(guò)3小時(shí)，該船的實(shí)際航程是多少？[解]由題意可知|eq\o(AC,\s\up9(→))|＝eq\f(\r(3),2)|eq\o(AD,\s\up9(→))|＝eq\f(\r(3),2)×20＝10eq\r(3)(m/min)＝eq\f(3\r(3),5)(km/h)，則經(jīng)過(guò)3小時(shí)，該船的實(shí)際航程是3×eq\f(3\r(3),5)＝eq\f(9\r(3),5)(km)．2.(變結(jié)論)若例3的條件不變，改為若船沿垂直于水流的方向航行，求船實(shí)際行進(jìn)的方向的正切值(相當(dāng)于河岸的夾角)．[解]如圖所示，|eq\o(AD,\s\up9(→))|＝|eq\o(BC,\s\up9(→))|＝|v船|＝20m/min，|eq\o(AB,\s\up9(→))|＝|v水|＝10m/min，則tan∠BAC＝2，即為所求．應(yīng)用向量解決平面幾何問題的基本步驟1表示：用向量表示有關(guān)量，將所要解答的問題轉(zhuǎn)化為向量問題.2運(yùn)算：應(yīng)用向量加法的平行四邊形法則和三角形法則，將有關(guān)向量進(jìn)行運(yùn)算，解答向量問題.3還原：根據(jù)向量的運(yùn)算結(jié)果，結(jié)合向量共線、相等等概念回答原問題.1．三角形法則和平行四邊形法則都是求向量和的基本方法，兩個(gè)法則是統(tǒng)一的．當(dāng)兩個(gè)向量首尾相連時(shí)常選用三角形法則，當(dāng)兩個(gè)向量共始點(diǎn)時(shí)，常選用平行四邊形法則．2．向量的加法滿足交換律，因此在進(jìn)行多個(gè)向量的加法運(yùn)算時(shí)，可以按照任意的次序和任意的組合去進(jìn)行．3．使用向量加法的三角形法則時(shí)要特別注意“首尾相接”．和向量的特征是從第一個(gè)向量的起點(diǎn)指向第二個(gè)向量的終點(diǎn)．向量相加的結(jié)果是向量，如果結(jié)果是零向量，一定要寫成0，而不應(yīng)寫成0.1．判斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)兩向量的和，可能是一個(gè)數(shù)量．()(2)兩向量相加，就是兩向量的模相加．()(3)eq\o(CD,\s\up9(→))＋eq\o(DE,\s\up9(→))＝eq\o(CE,\s\up9(→)).()(4)矩形ABCD中，eq\o(BA,\s\up9(→))＋eq\o(BC,\s\up9(→))＝eq\o(BD,\s\up9(→)).()[答案](1)×(2)×(3)√(4)√2．已知四邊形ABCD是菱形，則下列等式中成立的是()A.eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\o(BC,\s\up9(→))＝eq\o(CA,\s\up9(→)) B.eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\o(AC,\s\up9(→))＝eq\o(BC,\s\up9(→))C.eq\o(AC,\s\up9(→))＋eq\o(BA,\s\up9(→))＝eq\o(AD,\s\up9(→)) D.eq\o(AC,\s\up9(→))＋eq\o(AD,\s\up9(→))＝eq\o(DC,\s\up9(→))C[由加法的平行四邊形法則可知eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\o(AD,\s\up9(→))＝eq\o(AC,\s\up9(→))，即(－eq\o(B