復(fù)變函數(shù)留數(shù)和留數(shù)定理

復(fù)變函數(shù)留數(shù)和留數(shù)定理第一頁(yè)，共二十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日設(shè)為的一個(gè)孤立奇點(diǎn);內(nèi)的Laurent級(jí)數(shù):在.的某去心鄰域包含的任一條正向簡(jiǎn)單閉曲線C.一Δ

、留數(shù)的定義和計(jì)算2第二頁(yè)，共二十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日0(高階導(dǎo)數(shù)公式)0(柯西積分定理)3第三頁(yè)，共二十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日1.定義

記作包含的任意一條簡(jiǎn)單閉曲線C的積分的值后所得的數(shù)以的一個(gè)孤立奇點(diǎn),如果(Residue)則沿內(nèi)，除稱為4第四頁(yè)，共二十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日2.計(jì)算留數(shù)的一般公式由Laurent級(jí)數(shù)展開定理,定義留數(shù)的積分值是f(z)在環(huán)域內(nèi)Laurent級(jí)數(shù)的負(fù)一次冪系數(shù)c-1(1)若z0為函數(shù)f(z)的可去奇點(diǎn),(負(fù)冪項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)為零個(gè)),則它在點(diǎn)z0的留數(shù)為零.注：當(dāng)z0為f(z)=g(z-z0)的孤立奇點(diǎn)時(shí),若為偶函數(shù),則f(z)在點(diǎn)z0的去心鄰域內(nèi)Laurent級(jí)數(shù)只含z-z0的偶次冪,其奇次冪系數(shù)都為0,得5第五頁(yè)，共二十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日如果為的一級(jí)極點(diǎn),那么規(guī)則1成Laurent級(jí)數(shù)求(2)如果為的本性奇點(diǎn),(3)如果為的極點(diǎn),則有如下計(jì)算規(guī)則展開則需將6第六頁(yè)，共二十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日規(guī)則2

若z0為f(z)

的m級(jí)極點(diǎn),則對(duì)任意整數(shù)有說(shuō)明

將函數(shù)的零階導(dǎo)數(shù)看作它本身,規(guī)則1可看作規(guī)則2當(dāng)n=m=1時(shí)的特殊情形,且規(guī)則2可取m=1.7第七頁(yè)，共二十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日規(guī)則3

如果設(shè)及在都解析，那么為的一級(jí)極點(diǎn),

且有8第八頁(yè)，共二十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日為的一級(jí)極點(diǎn),的一級(jí)零點(diǎn),為的一級(jí)極點(diǎn)，為證9第九頁(yè)，共二十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日3.典型例題例1求在的留數(shù).解10第十頁(yè)，共二十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日例2

求在的留數(shù).分析是的三級(jí)零點(diǎn)由規(guī)則2得計(jì)算較麻煩.11第十一頁(yè)，共二十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日如果利用Laurent展開式求較方便:解12第十二頁(yè)，共二十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日注意:

如為m級(jí)極點(diǎn)，當(dāng)m較大而導(dǎo)數(shù)又難以計(jì)算時(shí),可直接展開Laurent級(jí)數(shù)求來(lái)計(jì)算留數(shù).2.在應(yīng)用規(guī)則2時(shí),取得比實(shí)際的級(jí)數(shù)高.級(jí)數(shù)高反而使計(jì)算方便.1.在實(shí)際計(jì)算中應(yīng)靈活運(yùn)用計(jì)算規(guī)則.

為了計(jì)算方便一般不要將m但有時(shí)把m取得比實(shí)際的如上例取13第十三頁(yè)，共二十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日例3．求下列函數(shù)在指定點(diǎn)處的留數(shù)(1),;解：是函數(shù)的一級(jí)零點(diǎn),

又是函數(shù)的五級(jí)零點(diǎn).于是它是的四級(jí)極點(diǎn),可用規(guī)則計(jì)算其留數(shù),其中,為了計(jì)算簡(jiǎn)便應(yīng)當(dāng)取其中,這時(shí)有14第十四頁(yè)，共二十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日另解：在點(diǎn)的去心鄰域內(nèi)的Laurent級(jí)數(shù)為

,其中的項(xiàng)的系數(shù)為,從而也有.例3．求下列函數(shù)在指定點(diǎn)處的留數(shù)(1),;15第十五頁(yè)，共二十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日(2),;解：在點(diǎn)的去心鄰域內(nèi)的Laurent級(jí)數(shù)為顯然為它的本性奇點(diǎn),其中的項(xiàng)的系數(shù)為,于是得16第十六頁(yè)，共二十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日(3),.解：顯然是的一級(jí)極點(diǎn);可是不能用規(guī)則求其留數(shù),由規(guī)則得17第十七頁(yè)，共二十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日思考：有關(guān)因式分解問(wèn)題？1.2.18第十八頁(yè)，共二十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日二、留數(shù)定理定理1

若函數(shù)f(z)在正向簡(jiǎn)單閉曲線C上處處解析，在C的內(nèi)部除有限個(gè)孤立奇點(diǎn)z1,z2,…,zn外解析，則有留數(shù)概念的重要性在于下面的留數(shù)定理.它使得一些積分的計(jì)算變得十分容易.19第十九頁(yè)，共二十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日例4.計(jì)算下列積分(1)解：被積函數(shù)的奇點(diǎn)和都在圓的內(nèi)部,由規(guī)則1,2可得以下結(jié)果

;

于是由留數(shù)定理得積分值為20第二十頁(yè)，共二十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日(2)解：在圓的內(nèi)部有一個(gè)二級(jí)極點(diǎn)和兩個(gè)一級(jí)極點(diǎn),于是利用留數(shù)的計(jì)算規(guī)則和得21第二十一頁(yè)，共二十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日(2)最后由留數(shù)定理得積分值為22第二十二頁(yè)，共二十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日例5

計(jì)算積分C為正向圓周:解被積函數(shù)有四個(gè)一級(jí)極點(diǎn)都在圓周的內(nèi)部,所以由規(guī)則323第二十三頁(yè)，共二十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日例6

計(jì)算積分C為正向圓周:解

除被積函數(shù)點(diǎn)外,無(wú)其他奇點(diǎn)，在圓外。所以24第二十四頁(yè)，共二十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日因此25第二十五頁(yè)，共二十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日1

若z0為函數(shù)f(z)的可去奇點(diǎn)，(負(fù)冪項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)為零個(gè))，則它在點(diǎn)z0的留數(shù)為零.2

當(dāng)z0為f(z)=g(z-z0)的孤立奇點(diǎn)時(shí)，若為偶函數(shù)，則f(z)在點(diǎn)z0的留數(shù)為零.小結(jié)：留數(shù)的計(jì)算3

若z0為f(z)

的一級(jí)極點(diǎn)，則有4

若z0為f(z)

的m級(jí)極點(diǎn)，則對(duì)任意整數(shù)有26第二十六頁(yè)，共二十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日5

設(shè)f(z)=P(z)/Q(z)，其中P(z)和Q(z)在點(diǎn)z0都解析。若，Q(z0)=0且，則z0為f(z)