2.2.1 直線的點斜式方程 教案-2022-2023學年高二上學期數學人教A版（2019）選擇性必修第一冊

.2.1直線的點斜式方程教學設計一、教學目標1.掌握直線方程的點斜式與斜截式方程；2.了解斜截式方程與一次函數的關系.二、教學重難點1.教學重點直線的點斜式方程.2.教學難點直線的點斜式、斜截式方程的應用.三、教學過程（一）新課導入問題1怎樣確定一條直線？（要求學生自主思考，舉手回答，教師總結）除了兩點確定一條直線，給定一點和一個方向也可以唯一確定一條直線.這樣，在平面直角坐標系中，給定一個點和斜率k（或傾斜角），就能唯一確定一條直線.也就是說，這條直線上任意一點的坐標(x，y)與點的坐標和斜率k之間的關系是完全確定的.那么，這一關系如何表示呢？下面我們來研究這個問題.（二）探索新知如下圖，直線l經過點，且斜率為k.設是直線l上不同于點的任意一點，因為直線l的斜率為k，由斜率公式得，即.由上述推導過程可知：（1）直線l上每一個點的坐標(x，y)都滿足關系式；（2）反過來，坐標滿足關系式的每一個點都在直線l上.驗證（2）：事實上，若點的橫縱坐標滿足關系式，則.當時，，這時點與重合，顯然有點在直線l上；當時，有，這表明過點，的直線的斜率為k.因為直線l，的斜率都為k，且都過點，所以它們重合.所以，點在直線l上.由（1）（2）可得：坐標滿足關系式的點一定在直線l上；直線l上任意一點的坐標一定滿足關系式.我們把方程稱為過點，斜率為k的直線l的方程.定義：方程由直線上一個定點及該直線的斜率k確定，我們把它叫做直線的點斜式方程，簡稱點斜式.問題2（1）當直線l的傾斜角為0°時，直線l的方程是什么？為什么？（2）當直線l的傾斜角為90°時，直線l的方程如何表示？為什么？（要求學生以小組為單位討論，每組選出代表回答，教師引導、總結）如下圖，當直線l的傾斜角為0°時，，即，這時直線l與x軸平行或重合，直線l的方程是，即.如下圖，當直線l的傾斜角為90°時，由于無意義，直線沒有斜率，這時直線l與y軸平行或重合，它的方程不能用點斜式表示.又因為這時直線l上每一點的橫坐標都等于，所以它的方程是，即.例1直線l經過點，且傾斜角，求直線l的點斜式方程，并畫出直線l.解：直線l經過點，斜率，代入點斜式方程得.畫圖時，只需再找出直線l上的另一點，例如，取，則，得點的坐標為，過，兩點的直線即為所求，如下圖所示.如果斜率為k的直線l過點，這時是直線l與y軸的交點，代入直線的點斜式方程，得，即.我們把直線l與y軸的交點的縱坐標b叫做直線l在y軸上的截距.這樣，方程由直線的斜率k與它在y軸上的截距b確定，我們把方程叫做直線的斜截式方程，簡稱斜截式.其中，k和b均有明顯的幾何意義：k是直線的斜率，b是直線在y軸上的截距.例2已知直線，試討論：（1）的條件是什么？（2）的條件是什么？解：（1）若，則，此時與y軸的交點不同，即；反之，若，且，則.（2）若，則；反之，若，則.由例2得到，對于直線，，且；.（三）課堂練習1.已知直線的方程為，則()A.該直線過點，斜率為 B.該直線過點，斜率為1C.該直線過點，斜率為 D.該直線過點，斜率為1答案：C解析：直線的方程可化為點斜式，故直線過點，斜率為.故選C.2.經過點，傾斜角為的直線方程是()A． B．C． D．答案：C解析：，由點斜式可知直線方程為.故選C.3.已知直線過點，且與直線垂直，則直線的方程為()A. B. C. D.答案：B解析：因為直線的斜率為2，所以直線的斜率為.又直線過點，故所求直線的方程為，故選B.4.已知直線的傾斜角是直線的傾斜角的2倍，且過點，則直線的方程為________________.答案：解析：直線的傾斜角是45°，且直線的傾斜角是直線的傾斜角的2倍，直線的傾斜角是90°.又直線過點，直線的方程為.5.已知點和直線.（1）求過點且與直線平行的直線的點斜式方程；（2）求過點且與直線垂直的直線的點斜式方程.答案：（1）因為直線的方程為，所以該直線的斜率，所以過點且與直線平行的直線的點斜式方程為.（2）易知與直線垂直的直線的斜率為，所以過點且與直線垂直的直線的點斜式方程為.（四）小