2022年高考藝術(shù)生專(zhuān)用數(shù)學(xué)講義-第28講等差數(shù)列（教師版）

第28講等差數(shù)列

1、等差數(shù)列的概念

一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列,

這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母d表示.

2、等差數(shù)列的四種判斷方法

⑴定義法。川一?！?4(或者%-。“7="〃22))("是常數(shù))=｛4｝是等差數(shù)列.

(2)等差中項(xiàng)法：2a“=a,i+a,+|(〃N2)(〃6"")=｛4｝是等差數(shù)列.

(3)通項(xiàng)公式：a,=pn+q(P，q為常數(shù))o｛%｝是等差數(shù)列.

(4)前〃項(xiàng)和公式：S“=4〃2+3〃(4,3為常數(shù))0伍“｝是等差數(shù)列.

3、若等差數(shù)列｛4｝的公差為4則d>0時(shí)｛。“｝遞增；d<0時(shí)｛《,｝遞減；4=0時(shí)｛4｝是常數(shù)數(shù)列.

4、對(duì)于任意數(shù)列｛/｝,

｛%｝為遞增數(shù)列=凡+1-/20；(%+1-%>0時(shí),數(shù)列｛%｝嚴(yán)格遞增)

｛%｝為遞減數(shù)列=。,用一4,40；(”,加一/<0時(shí)，數(shù)列｛q｝嚴(yán)格遞減)

5、等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式：S?=；S"=也|+

6、等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和S,的性質(zhì)

(1)等差數(shù)列中依次加項(xiàng)之和S,“，S2m-Sm,S.m-S2m,S旃-S3nl，…組成公差為加2d的等差數(shù)列

(2)在等差數(shù)列列“｝,｛么｝中,它們的前〃項(xiàng)和分別記為Sn,Tn則?=”

，2〃一1

7、等差數(shù)列前〃項(xiàng)和的最值

在等差數(shù)列僅“｝中，

[a>0

(1)若q>0,1<0,5.有最大值,可由不等式組《n八來(lái)確定〃；

口+T0

a<0

(2)若％<0,d>0,5〃有最小值,可由不等式組《八來(lái)確定〃

U+IN。

(3)求等差數(shù)列前”項(xiàng)和的最值也可以把前〃項(xiàng)和化為關(guān)于〃的二次函數(shù)，通過(guò)配方求最值

題型一：等差數(shù)列通項(xiàng)公式

1.（2021?寧德市第九中學(xué)高二月考）已知等差數(shù)列｛叫的前〃項(xiàng)和為S“，若57=14,%=10,則｛4｝的公

差為（）

【答案】A

【詳解】

q=-10

由題設(shè),

d=4

故選：A

2.（2021?全國(guó)高二單元測(cè)試）在數(shù)列｛4｝中，4=1,-3=%，若勺=2020,則〃=（）

B.672C.673D.674

【答案】1）

【詳解】

*,4=1，?！?1-3=4〃

，數(shù)列｛勺｝是以1為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，

/.4=4=1+3（/1-1）=2020,解得〃=674.

故選：D.

3.（2021?江西南昌?高三開(kāi)學(xué)考試（理））設(shè)S.為數(shù)列｛凡｝的前〃項(xiàng)和，若q=1,5。田=54+2,則S$=

（）

A.史B.竺C.10D.史

555

【答案】C

【詳解】

解：因?yàn)?a,,"=5%+2,所以有%=4+],即數(shù)列｛叫是以《為首項(xiàng)，以|為公差的等差數(shù)列，所以

5x42

S5=5<z,+—-d=6+10x—=10.

故選：C.

4.（2021?北京牛欄山一中）已知數(shù)列｛《,｝中，4=2,an+l=an-2,則如等于（）

A.-12B.12C.-16D.16

【答案】A

【詳解】

解：數(shù)列｛七｝中，4=2,an+l=a?-2,即.用=-2,

所以數(shù)列｛七｝為等差數(shù)列，公差為-2,

所以4,=-2〃+4，

所以%=—2x8+4=-12.

故選：A.

5.（2021?慶陽(yáng)第六中學(xué)高一期末）已知等差數(shù)列｛。,,｝的前〃項(xiàng)和為"，若y=12,4=10,則｛q｝的公

差為（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】B

【詳解】

由$3=33；%）=3生=12,得生=4.

-,.b,”（a、-a、10—4

又見(jiàn)=1A0,所以d=+~-=-^—=3.

故選：B

題型二：等差中項(xiàng)

1.（2021?全國(guó)高二單元測(cè)試）在等差數(shù)列｛%｝中，%+%=18-%），則4+4=（）

A.8B.12C.16D.20

【答案】B

【詳解】

由題意，數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)得，生+4+4。=3a（,=運(yùn)，

貝|J4=6,所以4+%=2%=12.

故選：B.

2.（2021?北京房山?）8,2的等差中項(xiàng)是（）

A.±5B.±4C.5D.4

【答案】C

【詳解】

QI9

8,2的等差中項(xiàng)為姿=5.

故選：C

3.（2021?全國(guó)）等差數(shù)列1+X,2+2x,l+5x,...的第四項(xiàng)等于（）

A.10B.6C.8D.12

【答案】C

【詳解】

解：由題意可得,(l+x)+(5x+l)=2(2x+2)

解得x=l

丁?這個(gè)數(shù)列為2,4,6,8,...

故選C.

4.(2021?江西省銅鼓中學(xué)(文))已知｛4｝是等差數(shù)列，且%+1是為和％的等差中項(xiàng)，則｛《,｝的公差為

()

A.1B.2C.-2D.-1

【答案】B

【詳解】

設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d.

由已知條件，得q+/=2(/+1),

即a,+(a,+34)=2(a,+d+1),解得d=2.

故選B.

題型三：等差數(shù)列性質(zhì)

1.(2021?四川省資中縣第二中學(xué)(理))在等差數(shù)列｛4｝中，4=2,/+。5=10,則%=()

A.14B.12C.10D.8

【答案】D

【詳解】

由等差數(shù)列的性質(zhì)有4+%=%+%=10,則%=8.

故選：D

2.(2021?西臧昌都市第一高級(jí)中學(xué)高二月考)在等差數(shù)列｛4｝中，若g+4=10，4=9,則4。=()

A.20B.24C.27D.29

【答案】D

【詳解】

解：出+4=2。4=1°，所以4=5,又為=9,所以d=%-4=4,

所以a”)=%+5d=9+20=29,

故選：D

3.(2021?全國(guó)高二課時(shí)練習(xí))設(shè)｛。,,｝是等差數(shù)歹1」，且4+%+%=1，生+。3+4=2,貝1］氏+%+4=()

A.5B.6C.16D.32

【答案】B

【詳解】

設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d,

因?yàn)椋?。2+%=1嗎+。3+。4=2,

解得d=；，

可得3d=(a2+%+4)一(％+/+%)=1，

乂由4+%+%=（4+卬+%）+15d=l+15x—=6.

故選：B.

4.（2021?貴州大學(xué)附屬中學(xué)高一月考）等差數(shù)列｛%｝的前加（MWM）項(xiàng)和為30,前2,”項(xiàng)和為100,則前

3機(jī)項(xiàng)和為（）

A.130B.170C.210D.260

【答案】C

【詳解】

???｛%｝為等差數(shù)列，

sm,s2m-s,?,s3m-s2,?成等差數(shù)列，

即30,70,-100成等差數(shù)列，

30+53m-100=70x2,

解得%=210.

故選：C.

5.（2021?寧德市第九中學(xué)高二月考）已知等差數(shù)列｛氏｝滿(mǎn)足%=7嗎=3,S,,是數(shù)列｛q｝的前“項(xiàng)和,

則使S“取最大值的自然數(shù)〃是（）

A.4B.5C.6D.7

【答案】B

【詳解】

設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為4依題意，［：：箕3'解得：巧=9,1=一2,

于是得?！?9+（"-1>（-2）=-2〃+11,由&>0得，n<5,

因此，數(shù)列｛%｝是遞減等差數(shù)列，其前5項(xiàng)均為正，從第6項(xiàng)開(kāi)始為負(fù)，則其前5項(xiàng)和最大，

所以使5“取最大值的自然數(shù)〃是5.

故選：B

6.（2021新蔡縣第一高級(jí)中學(xué)高二月考（文））已知等差數(shù)列｛4｝,也｝的前〃項(xiàng)和分別為S“，7”若廣=了萬(wàn),

則f=（）

a

,31、34八35r37

A.—B.—C.—D.—

17171616

【答案】A

【詳解】

+fl|5

as_2asat+al5）Sl52x15+1_31

五=五=4+九=伍十九）=刀=15+2=行，

故選：A.

7.（2021?江西九江一中高一期末）已知兩個(gè)等差數(shù)到｛為｝和揚(yáng)〃｝的前〃項(xiàng)和分別為S〃和1，且/=今寧,

唬二（

)

A.3B.4C.5D.6

【答案】D

【詳解】

伏翱在出;2as=q+%_5?4+%)_S9_63_3=

依''42bs3|@+婦④9+1-

故選：D

8.（2021?江西省蓮花中學(xué)高一月考）S,是等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，且S100Vs98,5m>5.則S,<0時(shí),

〃的最大值為（）

A.197B.198C.199D.200

【答案】B

【詳解】

解：因?yàn)镾|00<S98，SlOO>$99，即S|00—$98="IOO+”99<。，$100?$99=4（）0>。，所以49<。，所以數(shù)列的公差

d=4。。-頰>0,所以幾g=叫f產(chǎn)）=i99a1M>0,5198=像"〃）=198呼%）<。，故篦<o時(shí)，

〃的最大值為198；

故選：B

9.（2021?青銅峽市高級(jí)中學(xué)高一期中）若等差數(shù)列｛%｝滿(mǎn)足%+4+%>。，%+%<。，當(dāng)則當(dāng)｛%｝前〃

項(xiàng)和取得最大值時(shí)n的值是（）

A.5B.6C.7D.8

【答案】B

【詳解】

由題意，等差數(shù)列｛4｝滿(mǎn)足為+%+為>0，a5+a^<0,

根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，可得《+&+%=3必>0,即4>0,

又由4+4=6+%<0，可得&>°，”7<。，

所以當(dāng)｛%｝前〃項(xiàng)和取得最大值時(shí)?的值是6.

故選:B.

10.（2021?安徽（文））在等差數(shù)列｛《,｝中，已知%>0,%+6<。，則使數(shù)列｛凡｝的前"項(xiàng)和"<0成

立時(shí)n的最小值為（）

A.6B.7C.9D.10

【答案】D

【詳解】

。5>（）,%+4=%+&<°，「.4<0，。3+4=4+。10<°，2。5=4+〃9>0,

S,>0,耳。<0,使數(shù)列｛4｝的前n項(xiàng)和S?<0成立時(shí)n的最小值為10,

故選：D.

11.（2021?賽罕?內(nèi)蒙古師大附中）等差數(shù)列｛為｝中，S16>0,S,8<0,則數(shù)列｛《,｝各項(xiàng)中取值為正數(shù)的

有（）

A.8項(xiàng)或9項(xiàng)B.7項(xiàng)或8項(xiàng)C.17項(xiàng)或18項(xiàng)D.16項(xiàng)或17項(xiàng)

【答案】A

【詳解】

若Si7>0,則q+q7>0，得的>0,rfuS18<0,所以4+囚8<0，即a>+a“）<0,所以4（）<0；

若S17<0,得的<0,而S[6>0,所以4+〃16<0，即〃8+%>0，所以4>0；

若S[7=0,則4+。]7=°，得的=。.

所以數(shù)列｛%｝各項(xiàng)中取值為正數(shù)的有8項(xiàng)或9項(xiàng)，

故選：A.

題型四：等差數(shù)列前〃項(xiàng)和

1.（2021?全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）在等差數(shù)列｛/｝中，若Eo=12O,則4+4。的值是（）

A.12B.24

C.36D.48

【答案】B

【詳解】

由$。=1°（4：4。）,

2

砥5120”

得用+句0—10=—^―=24,

故選：B

2.（2021?全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）已知公差不為0的等差數(shù)列｛4｝滿(mǎn)足婷=%?%，S〃為數(shù)列｛〃“｝的前〃項(xiàng)和，

則合含的值為（）

35->3

A.-2B.-3C.2D.3

【答案】B

【詳解】

設(shè)公差d不為0的等差數(shù)列｛4｝滿(mǎn)足癡=4?%,

貝ij（4+2"）2=弓（a,+3d）,整理可得4=-4dh0.

廣：Si-S；_4+%_2al+11"__3

S5—S3/+。52。1+7d—d

故選：B.

3.（2021?全國(guó)高二專(zhuān)題練習(xí)）已知｛可｝為等差數(shù)列且q=1,%+%=24,S,,為其前八項(xiàng)的和，貝”附=

（）

A.176B.182C.188D.192

【答案】I)

【詳解】

???4=1,<+〃13=24,

,,22

*a?4+3cl+q+12d=2+15d=24=r>d-

01I,16x1522sc

S=1X16H---------=192,

1I6215

故選：D.

4.（2021?全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）已知等差數(shù)列｛4｝滿(mǎn)足：%=7,%+%=26,%的前〃項(xiàng)和為求

4及S?；

【答案】⑴&=2〃+1,￡=〃(〃+2)；(2)島.

【詳解】

（1）設(shè)等差數(shù)列｛a｝的首項(xiàng)為&,公差為M

由于4=7,a+國(guó)=26,，國(guó)+2d=7,2句+104=26,

解得國(guó)=3,42.

.?.a“=2〃+l,S?—n(n+2').

5.(2021?廣西南寧?高一月考)記5.為等差數(shù)列｛凡｝的前〃項(xiàng)和，已知q=-7,S3=-15.

求公差d及｛%｝的通項(xiàng)公式；

【答案】(1)d=2,4=2〃-9；

【詳解】

(1)設(shè)｛《,｝的公差為d，由題意得3q+3d=-15.

由6=-7得d=2.

所以｛q｝的通項(xiàng)公式為4=2〃-9.

6.(2021?全國(guó)高二課時(shí)練習(xí))已知等差數(shù)列㈤｝中，4=1,-1.

(1)求數(shù)列｛《,｝的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列｛q｝的前"項(xiàng)和S”.

【答案】(1)a?=n.(2)5^10.

2

【詳解】

(1)因?yàn)榈炔顢?shù)列｛《,卜t1,首項(xiàng)為4=1,公差為d=4-%=l，

所以其通項(xiàng)公式為q,=l+(〃-l)=w；

(2)由(1)可得，數(shù)列｛q｝的前,項(xiàng)和S"=〃("；/).

7.(2021?全國(guó)高二單元測(cè)試)已知｛4｝是等差數(shù)列，其中％=31,公差4=-8,

(1)求｛4｝的通項(xiàng)公式.

(2)求數(shù)列｛4｝前〃項(xiàng)和.

【答案】(1)a“=39-8〃；(2)S?=35n-4n2.

【詳解】

(1)?.?｛4｝是等差數(shù)列，且q=31,d=—8,

;.a“=31+(n-l)x(-8)=39-8n；

(2)s"(4+a”)/(31+39-8〃)=35〃_4*

”22

題型五：等差數(shù)列前〃項(xiàng)和s“最大(小)問(wèn)題

1.(2021?全國(guó)高二課時(shí)練習(xí))設(shè)等差數(shù)列伍.｝的前?項(xiàng)和為S“，若=3,S”一$8=3,則使4>0

的最小正整數(shù)〃的值是()

A.8B.9C.10D.11

【答案】C

【詳解】

設(shè)等差數(shù)列｛&｝的公差為，由S「W=3,得a“+aio+a9=3,即3&o=3,解得左產(chǎn)1,

于是得ai+9戶(hù)1,而國(guó)廠(chǎng)a=3於3,即0tL則有&=-8,

從而得等差數(shù)列｛a.｝的通項(xiàng)公式為：&=-9+〃，

由-9+力0得力9,而〃是正整數(shù)，則％=10,

所以使a?>0的最小正整數(shù)n的值是10.

故選：C

2.（2021?貴州貴陽(yáng)一中高三月考（文））已知等差數(shù)列｛?！埃那啊表?xiàng)和為5"，且有生=-8,?6=1,則5.

的最小值為（）

A.-40B.-39C.-38D.-14

【答案】A

【詳解】

因?yàn)?=-8,4=1，所以d=3,q=-14,所以a“=3〃-17,

由4=3〃—1740得〃4弓，所以前5項(xiàng)和最小，

S5=54+10〃=-70+30=-40.

故選：A

3.（2021?雙峰縣第一中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試）已知等差數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式為4=9-2”，則其前〃項(xiàng)和5“的

最大值為（）

A.15B.16C.17D.18

【答案】B

【詳解】

當(dāng)時(shí)，可得S」最大，54X（7+1）=6

2

故選：B

4.（2021?河南高二月考（文））在等差數(shù)列㈤｝中，%=-7,4+47+“8=3.

（1）求｛%｝的通項(xiàng)公式；

（2）求｛%｝的前“項(xiàng)和S”及S”的最小值.

【答案】（1）2=2〃-13；（2）S?=n2-nn,-36.

【詳解】

（1）設(shè)｛%｝的公差為d，

%=q+2d=-7,

根據(jù)題意得《

4+%+/=3q+18d=3?

a=-\\

d=2

所以4=-ll+2(〃-l)=2〃-13.

(2)根據(jù)等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式得S“=-ll+如二DX2=〃2_12〃

2

則當(dāng)〃=6時(shí)，S,取得最小值-36.

5.(2021?全國(guó))設(shè)等差數(shù)列｛《,｝滿(mǎn)足。3=5,?io=-9.

(1)求｛q,｝的通項(xiàng)公式；

(2)求｛%｝的前〃項(xiàng)和5“及使得S,,最大的自然數(shù)〃的值.

【答案】(1)a?=l1-2/7,(2)S=-(n-5).25,爐5.

【詳解】

解(1)由a〃=ai+(nr1)d及3)—5,ai<)=-9,

Jq+2d=5

何14+9d=-9

q=9

d=-2

所以數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式為為=11-2〃，汜￡

(2)由(1)矢口，S=〃ai+"("-1oM0/7~〃2.

2

因?yàn)閟,=-(77-5)2+25,

所以當(dāng)廳5時(shí)，S取得最大值.

6.(2021?皮山縣高級(jí)中學(xué)高一期中)已知等差數(shù)列｛%｝中，4+4=。，求

(1)求｛4｝的通項(xiàng)公式;

(2)｛4｝的前"項(xiàng)和5,.

【答案】(1)=10-2〃或4=2〃-10；(2)S“="(〃-9)或S“=-"("-9).

【詳解】

解：⑴設(shè)｛4｝的公差為d,

因?yàn)椤?%=-16,q+4=0=仁+/，

解得〃3=4,%=-4或〃3=-4,%=4.

所以I=4成J4+2U

%+6d=-4'或3+6〃=4

所以g=8_2(〃_1)=10—2〃，或a“=-8+2(l)=2K).

(2)由⑴可得：夕8或夕;8,

[a=-2[a=2

所以S,,=-8〃+若』x2="(〃-9),或S“=8"+g』x(-2)=-"("-9).

題型六：已知S“和4〃關(guān)系

1.(2021?廣西平果二中高一期中)已知5“是等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，且S“=-2”2+15〃.

(1)求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

(2)〃為何值時(shí)，S“取得最大值并求其最大值.

【答案】(1)4=17-4〃；(2)n=4時(shí)取得最大值28.

【詳解】

(1)由題意可知：S?=-2n2+15n,當(dāng)〃=1時(shí)，a,=S,=-2+15=13,

22

當(dāng)〃22時(shí)，an=Sn-S?_,=-2?+15〃一[-2(〃-I)+15(n-l)J=17-4/2,

當(dāng)〃=1時(shí)，顯然成立，，數(shù)列｛”“｝的通項(xiàng)公式““=17-4”；

15225

(2)S?=-2M2+15?=-2(H——)2+—,

48

由“eN*，則〃=4時(shí)，S.取得最大值28,

.?.當(dāng)"為4時(shí),S,取得最大值,最大值28.

2.(2021?全國(guó)高二專(zhuān)題練習(xí))設(shè)數(shù)列｛”“｝的前〃項(xiàng)和為5“，已知《=4,5?=-w2+-n,〃eN*.求數(shù)列

｛a,,｝的通項(xiàng)公式；

【答案】(1)?！?3〃+1；

【詳解】

(1)當(dāng)“22時(shí)，a“=S“-5,i=]2+|〃-|(〃-l)2-|(〃—l)=3"+l,

當(dāng)〃=1時(shí)，4=3x1+1=