光信息處理課件 1傅氏變換+卷積+相關(guān)運(yùn)算1

1.3二維傅里葉變換1、二維傅里葉變換的定義含有兩個變量x,y的函數(shù)f(x,y)，其二維傅里葉變換定義為{}在此定義中，本身也是兩個自變量的函數(shù)。變換F振幅譜相位譜功率譜類似地，函數(shù)f(x,y)也可以用其頻譜函數(shù)表示，即：上式稱為F（，）的二維傅里葉逆變換。正變換和逆變換在形式上非常相似，只是被積函數(shù)中指數(shù)因子的符號和積分變量不同而已。我們可以用傅里葉變換對偶式來表示兩種變換之間的關(guān)系式。=-1{}F-1（）FF()二、傅里葉變換存在的條件（1）、函數(shù)f(x,y)必須對整個XY平面絕對可積，即（2）、函數(shù)f(x,y)必須在XY平面上的每一個有限區(qū)域內(nèi)局部連續(xù)，即僅存在有限個不連續(xù)點(diǎn)和有限個極大和極小點(diǎn)。（3）、函數(shù)f(x,y)必須沒有無窮大間斷點(diǎn)。

上述三個存在條件是從數(shù)學(xué)的角度提出的，我們不證明它。這是因?yàn)?，從?yīng)用的角度看，作為時間或空間函數(shù)而實(shí)際存在的物理量，其傅里葉變換總是存在的。但需說明的，為了物理學(xué)上描述方便起見，我們往往又用理想化的數(shù)學(xué)函數(shù)來表示實(shí)際的物理圖形，對這些有用的函數(shù)而言，上面的三個條件中的一個或多個可能均不成立。例如階躍函數(shù)，函數(shù)等就不滿足存在條件。

因此，為了在傅里葉分析中能有更多的函數(shù)來描述物理圖形，有必要對傅里葉變換的定義作一些推廣。三、廣義傅里葉變換

對于不嚴(yán)格滿足存在條件的函數(shù)，首先把它定義為某一個序列的極限，該序列中的每一成分都具有通常的傅里葉變換，然后求出該序列各成分的傅里葉變換，從而得到一個相應(yīng)的變換序列。如果后一序列極限存在，就稱它為所考慮函數(shù)的廣義傅里葉變換。所以廣義傅里葉變換就是極限意義下的傅里葉變換。例題：求函數(shù)f(x,y)=1的傅里葉變換解：上述函數(shù)顯然不符合傅里葉變換存在的條件，現(xiàn)在我們把它定義為矩形函數(shù)序列的極限。01先求矩形函數(shù)的傅里葉變換{rect(y)}{rect(x)}FF請同學(xué)業(yè)們動手推導(dǎo)f(x,y)=1所以1的傅里葉變換是函數(shù)。問題：函數(shù)的逆傅里葉變換等于1嗎？{}-1FF物理圖像f(x,y)=1請同學(xué)業(yè)們動手推導(dǎo)例子：求梳狀函數(shù)comb(x/a)的傅里葉變換因?yàn)槭岷瘮?shù)是周期性函數(shù)，可將其展開為傅里葉級數(shù)其中所以，梳函數(shù)的傅里葉變換為F其間隔為?1-5傅里葉變換的基本性質(zhì)和有關(guān)定理一、傅里葉變換的基本性質(zhì)1、線性性質(zhì)設(shè)a,b為常數(shù)，則即兩個函數(shù)的線性組合的傅里葉變換等于各函數(shù)的傅里葉變換的相應(yīng)組合。FFF2、迭次傅里葉變換對二元函數(shù)作二次傅里葉變換，可得其倒立像3、坐標(biāo)縮放性質(zhì)4、位移定理函數(shù)空域的位移，帶來頻域中的線性相移，另一方面函數(shù)在空域中的相移，會導(dǎo)致頻域位移。FFFFFFffffff5、體積對應(yīng)關(guān)系6、復(fù)共軛傅里葉變換若f(x,y)為實(shí)函數(shù)，顯然有稱具有厄米對稱性FF例題：求矩形函數(shù)的傅里葉變換FF例題：求高斯函數(shù)的傅里葉變換FF例題：求余弦函數(shù)的傅里葉變換FF傅里葉變換表01先求矩形函數(shù)的傅里葉變換{rect(y/a)}{rect(x/a)}FF請同學(xué)業(yè)們動手推導(dǎo)f(x,y)=1所以1的傅里葉變換是函數(shù)。問題：函數(shù)的逆傅里葉變換等于1嗎？{}-1FF物理圖像f(x,y)=1請同學(xué)業(yè)們動手推導(dǎo)例子：求梳狀函數(shù)comb(x/a)的傅里葉變換因?yàn)槭岷瘮?shù)是周期性函數(shù)，可將其展開為傅里葉級數(shù)其中所以，梳函數(shù)的傅里葉變換為F其間隔為?一維光柵的傅氏變換余弦光柵羅奇光柵光柵的制作光柵的傅氏變換光柵的夫瑯和費(fèi)衍射單縫中央主極大光強(qiáng)單縫衍射因子多光束干涉因子

光柵衍射的光強(qiáng)：sin0I單I0單-2-112(/a)單縫衍射光強(qiáng)曲線IN2I0單048-4-8sin(/d)單縫衍射輪廓線光柵衍射光強(qiáng)曲線sinN2I0單I0單sin2N/sin204-8-48(/d)多光束干涉光強(qiáng)曲線N=4，d=4a例如：

值的影響

顯見譜線數(shù)a不變，d增大條紋變密，顯見譜線增多。

k：3

210123

k：21012a，dd

不變，a縮小中央包絡(luò)區(qū)變大，顯見譜線增多。k：3

21012

31.4卷積與相關(guān)一、卷積的定義兩個函數(shù)f(x,y)和h(x,y)的卷積的定義為：它是包含兩個參量的二重?zé)o窮積分，這里的參變量x,y和積分變量，均為實(shí)數(shù)，但函數(shù)f(x,y)和h(x,y)可以是實(shí)數(shù)，也可以是復(fù)數(shù)。*號表示卷積運(yùn)算。1、卷積的定義2、卷積運(yùn)算的例子例：如圖，已知兩個函數(shù)f(x)和h(x),求其卷積求卷積的方法：（1）、將f(x)和h(x)變?yōu)閒()和h()，并畫出相應(yīng)的曲線（2）、將h()h(-)只要將h()曲線相對縱軸折疊便得到其鏡像h(-)曲線。（3）、對任一x(-,+)，只要將曲線h(-)沿x軸平移x便得到h(x-)x>0右移，x<0,左移（4）、計(jì)算所對應(yīng)的曲線下的面積為了得到卷積，需對-,+的每一個x值求其卷積值。綜合上面的結(jié)果可得兩函數(shù)的卷積上述卷積的圖解方法，概括起來有四個步驟：折疊、位移、相乘和積分。圖解方法在系統(tǒng)分析中是很有用的，它使我們能直觀理解許多抽象的關(guān)系。在直接計(jì)算卷積積分時，圖解方法也有助于確定積分限。為了加深印象，再看一個例子。例：如圖，已知兩個函數(shù)f(x)和h(x),求其求卷積解：（1）、將f(x)和h(x)變?yōu)閒()和h()，并畫出相應(yīng)的曲線（2）、將h()h(-)只要將h()曲線相對縱軸折疊便得到其鏡像h(-)曲線。（3）、將曲線h(-)沿x軸平移x便得到h(x-)，因此g(x)=0卷積運(yùn)算的物理意義-光電探測器記錄光強(qiáng)的過程用矩形函數(shù)表示狹縫的透過率h(x),并對光強(qiáng)的空間分布f(x)掃描，在狹縫后面用光電探測器記錄光強(qiáng)分布g(x).這一掃描記錄過程包含了平移、相乘、積分幾個環(huán)節(jié)，由于h(x)是偶函數(shù)，折疊不發(fā)生變化。因而這是一個卷積運(yùn)算過程。當(dāng)狹縫很窄，g(x)越接近于f(x).當(dāng)狹縫越寬，平滑效應(yīng)就越嚴(yán)重，g(x)中已失去f(x)的細(xì)節(jié)。例：求兩個矩形函數(shù)的卷積，參閱教材P12頁，下面給出結(jié)論3、卷積運(yùn)算的兩個效應(yīng)（1）展寬效應(yīng)：假設(shè)函數(shù)只在一個有限區(qū)間不為零，這個區(qū)間可稱為函數(shù)的寬度。一般說來，卷積函數(shù)的寬度等于被卷函數(shù)的和。（2）平滑效應(yīng)：被卷積的函數(shù)經(jīng)過卷積運(yùn)算，其細(xì)微結(jié)構(gòu)在一定程度上被消除，函數(shù)本身的起伏振蕩變得平緩圓滑。4、卷積運(yùn)算的基本性質(zhì)（1）分配律（2）交換律（3）結(jié)合律（4）平移不變性已知則令5、函數(shù)f(x,y)與函數(shù)的卷積說明：任意函數(shù)f(x,y)與（x,y)函數(shù)的卷積等于函數(shù)本身.任意函數(shù)f(x,y)與（x-x0,y-y0)函數(shù)的卷積等于函數(shù)被平移到脈沖所在的空間位置上（x0,y0）處。==函數(shù)f(x,y)與多個脈沖函數(shù)的卷積可在每個脈沖位置上產(chǎn)生f(x,y)的波形。這一性質(zhì)有助于我們描述各種重復(fù)性的結(jié)構(gòu)，例如，雙縫、多縫、光柵等衍射屏的透過率函數(shù)。=說明：空域兩個函數(shù)的卷積，在頻域等于其變換的乘積。這一定理有重要的意義，當(dāng)一個復(fù)雜函數(shù)可以表示成簡單函數(shù)的乘積或卷積時，利用卷積定理可由簡單函數(shù)的傅里葉變換來確定復(fù)雜函數(shù)的傅里葉變換。而且定理為獲得兩個函數(shù)的卷積提供了另一途徑，即將兩函數(shù)的變換式相乘，再對乘積作逆變換。FFFF6.卷積定理二、相關(guān)1、互相關(guān)的定義兩個函數(shù)f(x,y)和g(x,y)的互相關(guān)定義為★式中f﹡是函數(shù)f的復(fù)共軛，★號表示相關(guān)運(yùn)算。令我們可得互相關(guān)定義的另一種形式2、互相關(guān)的卷積表達(dá)式互相關(guān)與卷積是不同的兩種運(yùn)算，參與互相關(guān)的兩個函數(shù)都不翻轉(zhuǎn)，但是我們可以把它表示成卷積的形式。若f(x,y)是實(shí)偶函數(shù)，則★2、互相關(guān)的性質(zhì)（1）證明：令（2）證明：引用許瓦茲不等式其中和一般為復(fù)數(shù)，其中等號當(dāng)且僅當(dāng)=k時才成立，k是復(fù)常數(shù)。令則由許瓦茲不等式得因?yàn)?、自相關(guān)1、定義：時互相關(guān)成為自相關(guān)★當(dāng)（3）、歸一化互相關(guān)函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)=歸一化自相關(guān)函數(shù)關(guān)于互相關(guān)和自相關(guān)的說明互相關(guān)是兩個信號之間存在多少相似性的量度。兩個完全不同的、毫無關(guān)系的信號，對所有位置，它們互相關(guān)的值應(yīng)為零。假如兩個信號由于某種物理上的聯(lián)系在一些部位存在相似性，在相應(yīng)的位置上就存在非零的互相關(guān)。在x0處由于信號相似程度大，因而出現(xiàn)相關(guān)峰值。★自相關(guān)是自變量相差某一大小時，函數(shù)值間相關(guān)的量度。當(dāng)x=0,y=0，自相關(guān)最大。當(dāng)信號相對本身有平移時，就改變了位移為零時具有的逐點(diǎn)相似性，自相關(guān)的模減小。但是只要信號本身在不同位置存在相似結(jié)構(gòu)，相應(yīng)部位還會產(chǎn)生不為零的自相關(guān)值，當(dāng)位移足夠大時，自相關(guān)值可能趨于零?！?、相關(guān)定理（1）互相關(guān)定理★F互譜能量密度（2）自相關(guān)定理★稱為信號f(x,y)的能譜密