高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)冪函數(shù)與二次函數(shù)

高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)冪函數(shù)與二次函數(shù)第一頁(yè)，共57頁(yè)。第六節(jié)冪函數(shù)與二次函數(shù)第二頁(yè)，共57頁(yè)。第三頁(yè)，共57頁(yè)。1.二次函數(shù)的解析式ax2+bx+c(h,k)第四頁(yè)，共57頁(yè)。函數(shù)

y=ax2+bx+c(a＞0)y=ax2+bx+c(a＜0)圖象定義域R

R

值域

______________________2.二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)第五頁(yè)，共57頁(yè)。函數(shù)y=ax2+bx+c(a＞0)y=ax2+bx+c(a＜0)單調(diào)性

在_______上遞減，在_______上遞增在_______上遞增，在________上遞減，奇偶性

當(dāng)____時(shí)為偶函數(shù)對(duì)稱性

函數(shù)的圖像關(guān)于x=______成軸對(duì)稱b=0第六頁(yè)，共57頁(yè)。3.冪函數(shù)形如_____(α∈R)的函數(shù)叫冪函數(shù)，其中x是_______，α是常數(shù).y=xα自變量第七頁(yè)，共57頁(yè)。4.冪函數(shù)的圖象冪函數(shù)的圖象如圖：第八頁(yè)，共57頁(yè)。5.冪函數(shù)的性質(zhì)

函數(shù)性質(zhì)y=xy=x2y=x3

y=x-1定義域____________________________值域__________________________________奇偶性__________________RRR[0,+∞){x|x∈R且x≠0}R[0,+∞)R[0,+∞){y|y∈R且y≠0}奇偶奇非奇非偶奇第九頁(yè)，共57頁(yè)。函數(shù)性質(zhì)y=xy=x2y=x3

y=x-1單調(diào)性增__________________________________________________________公共點(diǎn)_________(1，1)

增增第十頁(yè)，共57頁(yè)。判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”).(1)二次函數(shù)y=ax2+bx+c,x∈[a,b]的最值一定是.()(2)二次函數(shù)y=ax2+bx+c,x∈R，不可能是偶函數(shù).()(3)冪函數(shù)的圖象都經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,1)和點(diǎn)(0,0).()(4)當(dāng)n>0時(shí),冪函數(shù)y=xn是定義域上的增函數(shù).()第十一頁(yè)，共57頁(yè)。【解析】(1)錯(cuò)誤.當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的最值不是.(2)錯(cuò)誤.當(dāng)b=0時(shí)，二次函數(shù)y=ax2+bx+c是偶函數(shù).(3)錯(cuò)誤.冪函數(shù)y=x-1不經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,0).(4)錯(cuò)誤.冪函數(shù)y=x2在定義域上不單調(diào).答案：(1)×(2)×(3)×(4)×第十二頁(yè)，共57頁(yè)。1.已知點(diǎn)在冪函數(shù)f(x)的圖象上，則f(x)的表達(dá)式為()(A)f(x)=x2(B)f(x)=x-2(C)(D)f(x)=x【解析】設(shè)f(x)=xn,則即第十三頁(yè)，共57頁(yè)。2.函數(shù)f(x)=(m-1)x2+2mx+3為偶函數(shù)，則f(x)在區(qū)間(-5,-3)上()(A)先減后增(B)先增后減(C)單調(diào)遞減(D)單調(diào)遞增【解析】選D.∵f(x)=(m-1)x2+2mx+3為偶函數(shù)，∴2m=0,∴m=0.則f(x)=-x2+3在(-5,-3)上是增函數(shù).第十四頁(yè)，共57頁(yè)。3.圖中C1,C2,C3為三個(gè)冪函數(shù)y=xk在第一象限內(nèi)的圖象，則解析式中指數(shù)k的值依次可以是()(A)(B)(D)【解析】選A.設(shè)C1,C2,C3對(duì)應(yīng)的k值分別為k1,k2,k3，則k1<0,0<k2<1,k3>1,故選A.第十五頁(yè)，共57頁(yè)。4.函數(shù)f(x)=x2+2(a-1)x+2在區(qū)間(-∞,3]上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.【解析】二次函數(shù)f(x)的對(duì)稱軸是x=1-a,由題意知1-a≥3,∴a≤-2.答案：(-∞,-2]第十六頁(yè)，共57頁(yè)。5.設(shè)函數(shù)f(x)=mx2-mx-1，若f(x)<0的解集為R，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是______.【解析】當(dāng)m=0時(shí)，f(x)=-1<0恒成立，符合題意.當(dāng)m≠0時(shí)，則有即∴-4<m<0,綜上知-4<m≤0.答案：(-4,0]

第十七頁(yè)，共57頁(yè)?？枷?二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)

【典例1】(1)(2013·浙江高考)已知a,b,c∈R,函數(shù)f(x)=ax2+bx+c.若f(0)=f(4)>f(1),則()(A)a>0,4a+b=0 (B)a<0,4a+b=0(C)a>0,2a+b=0 (D)a<0,2a+b=0第十八頁(yè)，共57頁(yè)。(2)已知函數(shù)f(x)=x2+2ax+3,x∈[-4,6].①當(dāng)a=-2時(shí),求f(x)的最值；②求實(shí)數(shù)a的取值范圍,使y=f(x)在區(qū)間[-4,6]上是單調(diào)函數(shù)；③當(dāng)a=-1時(shí),求f(|x|)的單調(diào)區(qū)間.第十九頁(yè)，共57頁(yè)。【思路點(diǎn)撥】(1)由條件f(0)=f(4)>f(1)中的等式可得a,b的關(guān)系,由不等式可確定a的正負(fù).(2)解答①和②可根據(jù)對(duì)稱軸與區(qū)間的關(guān)系,結(jié)合單調(diào)性直接求解;對(duì)于③,應(yīng)先將函數(shù)化為分段函數(shù),畫(huà)出函數(shù)圖象,再根據(jù)圖象求單調(diào)區(qū)間.第二十頁(yè)，共57頁(yè)。【規(guī)范解答】(1)選A.由f(0)=f(4)?4a+b=0,所以b=-4a,由f(0)>f(1)?a+b<0,所以-3a<0,即a>0.第二十一頁(yè)，共57頁(yè)。(2)①當(dāng)a=-2時(shí),f(x)=x2-4x+3=(x-2)2-1,則函數(shù)在［-4,2)上為減函數(shù),在(2,6］上為增函數(shù),∴f(x)min=f(2)=-1,f(x)max=f(-4)=(-4)2-4×(-4)+3=35.②函數(shù)f(x)=x2+2ax+3的對(duì)稱軸為要使f(x)在[-4,6］上為單調(diào)函數(shù),只需-a≤-4或-a≥6,解得a≥4或a≤-6.第二十二頁(yè)，共57頁(yè)。③當(dāng)a=-1時(shí),其圖象如圖所示：又∵x∈［-4,6］,∴f(|x|)在區(qū)間［-4,-1］和［0,1］上為減函數(shù),在區(qū)間［-1,0］和［1,6］上為增函數(shù).第二十三頁(yè)，共57頁(yè)?！疽?guī)律方法】1.求二次函數(shù)最值的類型及解法(1)二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值主要有三種類型：軸定區(qū)間定、軸動(dòng)區(qū)間定、軸定區(qū)間動(dòng),不論哪種類型,解題的關(guān)鍵是對(duì)稱軸與區(qū)間的關(guān)系,當(dāng)含有參數(shù)時(shí)，要依據(jù)對(duì)稱軸與區(qū)間的關(guān)系進(jìn)行分類討論.(2)常結(jié)合二次函數(shù)在該區(qū)間上的單調(diào)性或圖象求解，最值一般在區(qū)間的端點(diǎn)或頂點(diǎn)處取得．第二十四頁(yè)，共57頁(yè)。2.與二次函數(shù)單調(diào)性有關(guān)的問(wèn)題的解法根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合二次函數(shù)圖象的開(kāi)口方向及升、降情況對(duì)對(duì)稱軸進(jìn)行分析、討論，進(jìn)而求解.第二十五頁(yè)，共57頁(yè)。【變式訓(xùn)練】(2013·杭州模擬)已知函數(shù)f(x)=x2+(2a-1)x-3.(1)當(dāng)a=2,x∈[-2,3]時(shí)，求函數(shù)f(x)的值域.(2)若函數(shù)f(x)在[-1,3]上的最大值為1，求實(shí)數(shù)a的值.【解析】(1)當(dāng)a=2時(shí)，f(x)=x2+3x-3∴f(x)max=f(3)=15,∴值域?yàn)榈诙?yè)，共57頁(yè)。(2)對(duì)稱軸為①當(dāng)即時(shí)，f(x)max=f(3)=6a+3,∴6a+3=1,即滿足題意；②當(dāng)即時(shí)，f(x)max=f(-1)=-2a-1,∴-2a-1=1,即a=-1滿足題意.綜上可知或-1.第二十七頁(yè)，共57頁(yè)?？枷?二次函數(shù)的綜合應(yīng)用

【典例2】已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+1(a,b∈R),x∈R.(1)若函數(shù)f(x)的最小值為f(-1)=0，求f(x)的解析式，并寫(xiě)出單調(diào)區(qū)間.(2)在(1)的條件下，f(x)>x+k在區(qū)間[-3,-1]上恒成立，試求k的范圍.第二十八頁(yè)，共57頁(yè)?！舅悸伏c(diǎn)撥】(1)根據(jù)f(-1)=0及列方程組求解.(2)分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題.第二十九頁(yè)，共57頁(yè)?！疽?guī)范解答】(1)由題意知∴f(x)=x2+2x+1=(x+1)2.單調(diào)減區(qū)間為(-∞,-1],單調(diào)增區(qū)間為[-1,+∞).(2)f(x)>x+k在區(qū)間[-3,-1]上恒成立，轉(zhuǎn)化為x2+x+1>k在[-3,-1]上恒成立.設(shè)g(x)=x2+x+1,x∈[-3,-1]，則g(x)在[-3,-1]上遞減.∴g(x)min=g(-1)=1.∴k<1,即k的取值范圍為(-∞,1).第三十頁(yè)，共57頁(yè)?！疽?guī)律方法】1.一元二次不等式恒成立問(wèn)題的兩種解法(1)分離參數(shù)法.把所求參數(shù)與自變量分離，轉(zhuǎn)化為求具體函數(shù)的最值問(wèn)題.(2)不等式組法.借助二次函數(shù)的圖象性質(zhì)，列不等式組求解.2.一元二次方程根的分布問(wèn)題解決一元二次方程根的分布問(wèn)題，常借助二次函數(shù)的圖象數(shù)形結(jié)合來(lái)解,一般從以下四個(gè)方面分析：①開(kāi)口方向；②對(duì)稱軸位置；③判別式；④端點(diǎn)函數(shù)值符號(hào).第三十一頁(yè)，共57頁(yè)?！咀兪接?xùn)練】已知函數(shù)f(x)=x2-2mx+2-m.(1)若不等式f(x)≥x-mx在R上恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.(2)記A={y|y=f(x),0≤x≤1},且A?[0,+∞),求實(shí)數(shù)m的最大值.第三十二頁(yè)，共57頁(yè)?！窘馕觥?1)由題意可得x2-2mx+2-m≥x-mx在R上恒成立,即x2-(m+1)x+2-m≥0恒成立,∴Δ=(m+1)2-4(2-m)≤0,解得-7≤m≤1,故實(shí)數(shù)m的取值范圍為[-7,1].第三十三頁(yè)，共57頁(yè)。(2)由題意可得,A={y|y=f(x),0≤x≤1}={y|y≥0在[0,1]上恒成立},即x2-2mx+2-m≥0在[0,1]上恒成立.當(dāng)m<0時(shí),y=f(x)=x2-2mx+2-m在[0,1]上的最小值為f(0)=2-m≥0,m≤2,故此時(shí)m<0.當(dāng)0≤m≤1時(shí),y=f(x)=x2-2mx+2-m在[0,1]上的最小值為f(m)=2-m-m2≥0,解得-2≤m≤1,故此時(shí)0≤m≤1.當(dāng)m>1時(shí),y=f(x)=x2-2mx+2-m在[0,1]上的最小值為f(1)=-3m+3≥0,m≤1.故此時(shí)m的值不存在.綜上,實(shí)數(shù)m的取值范圍為(-∞,1],故實(shí)數(shù)m的最大值為1.

第三十四頁(yè)，共57頁(yè)?？枷?冪函數(shù)及其性質(zhì)

【典例3】(1)冪函數(shù)y=f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)(4，2)，則冪函數(shù)y=f(x)的圖象是()第三十五頁(yè)，共57頁(yè)。(2)(2013·杭州模擬)已知冪函數(shù)①試確定該函數(shù)的定義域，并指明該函數(shù)在其定義域上的單調(diào)性；②若該函數(shù)f(x)經(jīng)過(guò)點(diǎn)試確定m的值，并求滿足條件f(2-a)＞f(a-1)的實(shí)數(shù)a的取值范圍.第三十六頁(yè)，共57頁(yè)?！舅悸伏c(diǎn)撥】(1)設(shè)出函數(shù)的解析式，根據(jù)冪函數(shù)y=f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)(4,2)，構(gòu)造方程求出指數(shù)的值，再結(jié)合函數(shù)的解析式研究其性質(zhì)即可得到圖象.(2)①根據(jù)m2+m是奇數(shù)還是偶數(shù)確定函數(shù)的定義域；②利用f(x)過(guò)點(diǎn)求出m的值，并利用f(x)的單調(diào)性解不等式.第三十七頁(yè)，共57頁(yè)?！疽?guī)范解答】(1)選C.設(shè)冪函數(shù)的解析式為y=xa,∵冪函數(shù)y=f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)(4，2)，∴2＝4a,解得其定義域?yàn)閇0,+∞)，且是增函數(shù)，當(dāng)0<x<1時(shí)，其圖象在直線y=x的上方，對(duì)照選項(xiàng)，故選C.第三十八頁(yè)，共57頁(yè)。(2)①∵m2+m=m(m+1)(m∈N*)，而m與m+1中必有一個(gè)為偶數(shù)，∴m2+m為偶數(shù)，∴函數(shù)的定義域?yàn)椋?,+∞)，并且該函數(shù)在［0,+∞)上為增函數(shù).第三十九頁(yè)，共57頁(yè)。②∵函數(shù)f(x)經(jīng)過(guò)點(diǎn)即∴m2+m=2,解得m=1或m=-2，又∵m∈N*,∴m=1,又∵f(2-a)＞f(a-1),∴解得故函數(shù)f(x)經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，m=1，滿足條件f(2-a)＞f(a-1)的實(shí)數(shù)a的取值范圍為第四十頁(yè)，共57頁(yè)?！疽?guī)律方法】?jī)绾瘮?shù)的指數(shù)對(duì)函數(shù)圖象的影響當(dāng)α≠0，1時(shí)，冪函數(shù)y=xα在第一象限的圖象特征:α取值α＞10＜α＜1α＜0圖象特殊點(diǎn)過(guò)(0,0),(1,1)過(guò)(0,0),(1,1)過(guò)(1,1)凹凸性下凸上凸下凸單調(diào)性遞增遞增遞減舉例y=x2第四十一頁(yè)，共57頁(yè)。【變式訓(xùn)練】(1)已知0≤α≤5且α∈Z,若冪函數(shù)y=x3-α是R上的偶函數(shù)，則α的取值為()(A)1(B)1，3(C)1，3，5(D)0，1，2，3【解析】選A.根據(jù)0≤α≤5且α∈Z,得:α=0,1,2,3,4,5.使函數(shù)y=x3-α為R上的偶函數(shù)的α的值為1,則α的取值為1.第四十二頁(yè)，共57頁(yè)。(2)若a<0，則下列不等式成立的是()(A)(B)(C)(D)【解析】選B.∵a<0,∴y=xa在(0,+∞)上是減函數(shù),且函數(shù)值大于零，∴

故選B.第四十三頁(yè)，共57頁(yè)。【易錯(cuò)誤區(qū)5】求解含參數(shù)的二次函數(shù)、方程、不等式問(wèn)題的易錯(cuò)點(diǎn)

【典例】(2013·蘇州模擬)設(shè)函數(shù)f(x)=ax2-2x+2,對(duì)于滿足1<x<4的一切x值,都有f(x)>0,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

.第四十四頁(yè)，共57頁(yè)?！窘馕觥慨?dāng)a>0①時(shí)，f(x)=a(x-)2+2-,由x∈(1,4)，f(x)>0得：第四十五頁(yè)，共57頁(yè)。所以所以a≥1或<a<1或?,即a>.當(dāng)a<0①時(shí)，解得a∈?;當(dāng)a=0①時(shí)，f(x)=-2x+2,f(1)=0,f(4)=-6,所以不合題意③.綜上可得，實(shí)數(shù)a的取值范圍是a>.答案：a＞第四十六頁(yè)，共57頁(yè)?！菊`區(qū)警示】1.①處未考慮a的取值，對(duì)a進(jìn)行討論，而認(rèn)為a＞0直接代入求解.2.②處未考慮與區(qū)間(1，4)的關(guān)系，而進(jìn)行分類討論，誤認(rèn)為1＜＜4，而致誤.3.③處忘記檢驗(yàn)所求結(jié)果是否符合要求.第四十七頁(yè)，共57頁(yè)?！疽?guī)避策略】1.對(duì)于二次項(xiàng)系數(shù)含參數(shù)的二次函數(shù)、方程、不等式問(wèn)題，應(yīng)對(duì)參數(shù)分類討論，分類討論的標(biāo)準(zhǔn)就是二次項(xiàng)系數(shù)與0的關(guān)系.2.當(dāng)二次函數(shù)的對(duì)稱軸不確定時(shí)，應(yīng)分類討論，分類討論的標(biāo)準(zhǔn)就是對(duì)稱軸在區(qū)間的左、中、右三種情況.3.求解過(guò)程中，求出的參數(shù)的值或范圍并不一定符合題意，因此要檢驗(yàn)結(jié)果是否符合要求.第四十八頁(yè)，共57頁(yè)?！绢愵}試解】(2013·合肥模擬)若函數(shù)f(x)=-x2+2ax+1-a在x∈[0,1]時(shí)有最大值2,則a的值為

.【解析】f(x)=-(x-a)2+a2-a+1,當(dāng)a≥1時(shí),ymax=a;當(dāng)0<a<1時(shí),ymax=a2-a+1;當(dāng)a≤0時(shí),ymax=1-a.根據(jù)已知條件得解得a=2或a=-1.答案:2或-1第四十九頁(yè)，共57頁(yè)。1.(2013·金華模擬)冪函數(shù)f(x)=xn(n=1,2,3,,-1)具有如下性質(zhì):f2(1)+f2(-1)=2[f(1)+f(-1)-1],則函數(shù)f(x)()(A)是奇函數(shù)(B)是偶函數(shù)(C)既是奇函數(shù),又是偶函數(shù)(D)既不是奇函數(shù),又不是偶函數(shù)第五十頁(yè)，共57頁(yè)?！窘馕觥窟xB.冪函數(shù)f(x)=xn(n=1,2,3,,-1)中,若有f2(1)+f2(-1)=2[f(1)+f(-1)-1],則常量n=2,所以,函數(shù)為f(x)=x2.此函數(shù)的圖象是開(kāi)口向上,并以y軸為對(duì)稱軸的二次函數(shù),即定義域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,且f(-x)=(-x)2=x2=f(x),所以為偶函數(shù),故選B.第五十一頁(yè)，共57頁(yè)。2.(2013·余姚模擬)已知函數(shù)f(x)=x2-2ax+a在區(qū)