高等數(shù)學(xué)微分方程總結(jié)

高等數(shù)學(xué)微分方程總結(jié)第一頁，共23頁。求解流程圖微分方程求解總結(jié)第二頁，共23頁。1.折線積分2.湊全微分3.定積分轉(zhuǎn)為z的一階線性關(guān)于u一階第三頁，共23頁。二階變系數(shù)二階一階二階常系數(shù)解的結(jié)構(gòu)第四頁，共23頁。P338P348第五頁，共23頁。一、一階微分方程求解

1.一階標(biāo)準(zhǔn)類型方程求解關(guān)鍵:辨別方程類型,掌握求解步驟2.一階非標(biāo)準(zhǔn)類型方程求解(1)變量代換法——代換自變量代換因變量代換某組合式(2)積分因子法——選積分因子,解全微分方程四個(gè)標(biāo)準(zhǔn)類型:

可分離變量方程,

齊次方程,

線性方程,

全微分方程第六頁，共23頁。例1.求下列方程的通解提示:(1)故為分離變量方程:通解1、一階標(biāo)準(zhǔn)類型第七頁，共23頁。方程兩邊同除以x

即為齊次方程,令y=ux,化為分離變量方程.調(diào)換自變量與因變量的地位,用線性方程通解公式求解.化為第八頁，共23頁。方法1

這是一個(gè)齊次方程.方法2

化為微分形式故這是一個(gè)全微分方程.第九頁，共23頁。例2.求下列方程的通解:提示:(1)令u=xy,得(2)將方程改寫為(伯努利方程)(分離變量方程)原方程化為二、非標(biāo)準(zhǔn)類型：第十頁，共23頁。令y=ut(齊次方程)令t=x–1,則可分離變量方程求解化方程為第十一頁，共23頁。變方程為兩邊乘積分因子用湊微分法得通解:第十二頁，共23頁。例3.設(shè)F(x)＝f(x)g(x),其中函數(shù)f(x),g(x)在(－∞,+∞)內(nèi)滿足以下條件:(1)求F(x)所滿足的一階微分方程;

(2)求出F(x)的表達(dá)式.解:(1)所以F(x)滿足的一階線性非齊次微分方程:第十三頁，共23頁。(2)由一階線性微分方程解的公式得于是第十四頁，共23頁。二、兩類二階微分方程的解法

1.可降階微分方程的解法—降階法令令逐次積分求解第十五頁，共23頁。2.二階線性微分方程的解法

常系數(shù)情形齊次非齊次代數(shù)法第十六頁，共23頁。二階常系數(shù)齊次線性微分方程求通解的一般步驟:(1)寫出相應(yīng)的特征方程(2)求出特征方程的兩個(gè)根(3)根據(jù)特征方程的兩個(gè)根的不同情況,按照下列規(guī)則寫出微分方程的通解求解二階常系數(shù)線性方程第十七頁，共23頁。非齊通解齊次通解非齊特解難點(diǎn)：如何求特解？方法：待定系數(shù)法.第十八頁，共23頁。(3).上述結(jié)論也可推廣到高階方程的情形.第十九頁，共23頁。解答提示P353題2

求以為通解的微分方程

.提示:

由通解式可知特征方程的根為故特征方程為因此微分方程為P353題3

求下列微分方程的通解提示:(6)令則方程變?yōu)榈诙?，?3頁。特征根:齊次方程通解:令非齊次方程特解為代入方程可得思考若(7)中非齊次項(xiàng)改為提示:原方程通解為特解設(shè)法有何變化?第二十一頁，共23頁。P354題4(2)

求解提示:

令則方程變