人教數學A版選修《命題及其關系》導學案

§命題及其關系1.1.1命題【課時目標】1.了解命題的概念，會判斷一個命題的真假.2.會將一個命題改寫成“若p，則q”的形式．1．一般地，我們把用語言、符號或式子表達的，可以判斷________的__________叫做命題．其中判斷為______的語句叫做真命題，判斷為______的語句叫做假命題．2．在數學中，“若p，則q”是命題的常見形式，其中p叫做命題的________，q叫做命題的________．一、選擇題1．下列語句中是命題的是()A．周期函數的和是周期函數嗎？B．sin45°＝1C．x2＋2x－1>0D．梯形是不是平面圖形呢？2．下列語句是命題的是()①三角形內角和等于180°；②2>3；③一個數不是正數就是負數；④x>2；⑤這座山真險啊！A．①②③B．①③④C．①②⑤D．②③⑤3．下列命題中，是真命題的是()A．{x∈R|x2＋1＝0}不是空集B．若x2＝1，則x＝1C．空集是任何集合的真子集D．x2－5x＝0的根是自然數4．已知命題“非空集合M的元素都是集合P的元素”是假命題，那么下列命題：①M的元素都不是P的元素；②M中有不屬于P的元素；③M中有P的元素；④M中元素不都是P的元素．其中真命題的個數為()A．1B．2C．35．命題“6的倍數既能被2整除，也能被3整除”的結論是()A．這個數能被2整除B．這個數能被3整除C．這個數既能被2整除，也能被3整除D．這個數是6的倍數6．在空間中，下列命題正確的是()A．平行直線的平行投影重合B．平行于同一直線的兩個平面平行C．垂直于同一平面的兩個平面平行D．垂直于同一平面的兩條直線平行題號123456答案二、填空題7．下列命題：①若xy＝1，則x，y互為倒數；②四條邊相等的四邊形是正方形；③平行四邊形是梯形；④若ac2>bc2，則a>b.其中真命題的序號是________．8．命題“奇函數的圖象關于原點對稱”的條件p是____________________，結論q是________________________________________________________________________．9．下列語句是命題的是________．①求證eq\r(3)是無理數；②x2＋4x＋4≥0；③你是高一的學生嗎？④一個正數不是素數就是合數；⑤若x∈R，則x2＋4x＋7>0.三、解答題10．判斷下列命題的真假：(1)已知a，b，c，d∈R，若a≠c，b≠d，則a＋b≠c＋d；(2)對任意的x∈N，都有x3>x2成立；(3)若m>1，則方程x2－2x＋m＝0無實數根；(4)存在一個三角形沒有外接圓．11．把下列命題改寫成“若p，則q”的形式，并判斷真假．(1)偶數能被2整除．(2)當m>eq\f(1,4)時，mx2－x＋1＝0無實根．12．設有兩個命題：p：x2－2x＋2≥m的解集為R；q：函數f(x)＝－(7－3m)x是減函數，若這兩個命題中有且只有一個是真命題，求實數m的取值范圍【能力提升】13．設非空集合S＝{x|m≤x≤l}滿足：當x∈S時，有x2∈S.給出如下三個命題：①若m＝1，則S＝{1}；②若m＝－eq\f(1,2)，則eq\f(1,4)≤l≤1；③若l＝eq\f(1,2)，則－eq\f(\r(2),2)≤m≤0.其中正確命題的個數是()A．0B．1C．214．設α，β，γ為兩兩不重合的平面，l，m，n為兩兩不重合的直線，給出下列四個命題：①若α⊥γ，β⊥γ，則α∥β；②若m?α，n?α，m∥β，n∥β，則α∥β；③若α∥β，l?α，則l∥β；④若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，則m∥n.其中真命題的個數是()A．1B．2C．31．判斷一個語句是否為命題的關鍵是能否判斷真假，只有能判斷真假的語句才是命題．2．真命題是可以經過推理證明正確的命題，假命題只需舉一反例說明即可．3．在判斷命題的條件和結論時，可以先將命題改寫成“若p則q”的形式，改法不一定唯一．課時作業(yè)答案解析第一章常用邏輯用語§命題及其關系1.知識梳理1．真假陳述句真假2．條件結論作業(yè)設計1．B[A、D是疑問句，不是命題，C中語句不能判斷真假．]2．A[④中語句不能判斷真假，⑤中語句為感嘆句，不能作為命題．]3．D[A中方程在實數范圍內無解，故是假命題；B中若x2＝1，則x＝±1，故B是假命題；因空集是任何非空集合的真子集，故C是假命題；所以選D.]4．B[命題②④為真命題．]5．C[命題可改寫為：如果一個數是6的倍數，那么這個數既能被2整除，也能被3整除．]6．D7．①④解析①④是真命題，②四條邊相等的四邊形也可以是菱形，③平行四邊形不是梯形．8．若一個函數是奇函數這個函數的圖象關于原點對稱9．②④⑤解析①③不是命題，①是祈使句，③是疑問句．而②④⑤是命題，其中④是假命題，如正數eq\f(1,2)既不是素數也不是合數，②⑤是真命題，x2＋4x＋4＝(x＋2)2≥0恒成立，x2＋4x＋7＝(x＋2)2＋3>0恒成立．10．解(1)假命題．反例：1≠4,5≠2，而1＋5＝4＋2.(2)假命題．反例：當x＝0時，x3>x2不成立．(3)真命題．∵m>1?Δ＝4－4m<0，∴方程x2－2x＋m＝0無實數根(4)假命題．因為不共線的三點確定一個圓．11．解(1)若一個數是偶數，則這個數能被2整除，真命題．(2)若m>eq\f(1,4)，則mx2－x＋1＝0無實數根，真命題．12．解若命題p為真命題，則根據絕對值的幾何意義可知m≤1；若命題q為真命題，則7－3m>1，即m所以命題p和q中有且只有一個是真命題時，有p真q假或p假q真，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m≤1，,m≥2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m>1，,m<2.))故m的取值范圍是1<m<2.13．D[①m＝1時，l≥m＝1且x2≥1，∴l(xiāng)＝1，故①正確．②m＝－eq\f(1,2)時，m2＝eq\f(1,4)，故l≥eq\f(1,4).又l≤1，∴②正確．③l＝eq\f(1,2)時，m2≤eq\f(1,2)且m≤0，則－eq\f(\r(2),2)≤m≤0，∴③正確．]14．B[①由面面垂直知，不正確；②由線面平行判定定理知，缺少m、n相交于一點這一條件，故不正確；③由線面平行判定定理知，正確；④由線面相交、及線面、線線平行分析知，正確．綜上所述知，③，④正確．]1.1.2四種命題【課時目標】1.了解四種命題的概念.2.認識四種命題的結構，會對命題進行轉換．1．四種命題的概念：(1)對于兩個命題，如果一個命題的條件和結論分別是另一個命題的______________，那么我們把這樣的兩個命題叫做互逆命題，其中的一個命題叫做原命題，另一個命題叫做原命題的逆命題．(2)對于兩個命題，如果一個命題的條件和結論恰好是另一個命題的____________________________，我們把這樣的兩個命題叫做互否命題，把其中的一個命題叫做原命題，另一個命題叫做原命題的否命題．(3)對于兩個命題，如果一個命題的條件和結論恰好是另一個命題的______________________________，我們把這樣的兩個命題叫做互為逆否命題，把其中的一個命題叫做原命題，另一個命題叫做原命題的逆否命題．2．四種命題的命題結構：用p和q分別表示原命題的條件和結論，用綈p，綈q分別表示p和q的否定，四種形式就是：原命題：若p成立，則q成立．即“若p，則q”．逆命題：________________________.即“若q，則p”．否命題：______________________.即“若綈p，則綈q”．逆否命題：__________________.即“若綈q，則綈p”．一、選擇題1．命題“若a>－3，則a>－6”以及它的逆命題、否命題、逆否命題中，真命題的個數為A．1B．2C．32．命題“若A∩B＝A，則A?B”的逆否命題是()A．若A∪B≠A，則A?BB．若A∩B≠A，則ABC．若AB，則A∩B≠AD．若A?B，則A∩B≠A3．對于命題“若數列{an}是等比數列，則an≠0”，下列說法正確的是A．它的逆命題是真命題B．它的否命題是真命題C．它的逆否命題是假命題D．它的否命題是假命題4．有下列四個命題：①“若xy＝1，則x、y互為倒數”的逆命題；②“相似三角形的周長相等”的否命題；③“若b≤－1，則方程x2－2bx＋b2＋b＝0有實根”的逆否命題；④若“A∪B＝B，則A?B”的逆否命題．其中的真命題是()A．①②B．②③C．①③D．③④5．命題“當AB＝AC時，△ABC為等腰三角形”與它的逆命題、否命題、逆否命題中，真命題的個數是()A．4B．3C．26．命題“若函數f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定義域內是減函數，則loga2<0”的逆否命題是A．若loga2≥0，則函數f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定義域內不是減函數B．若loga2<0，則函數f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定義域內不是減函數C．若loga2≥0，則函數f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定義域內是減函數D．若loga2<0，則函數f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定義域內是減函數題號123456答案二、填空題7．命題“若x>y，則x3>y3－1”的否命題是________________________8．命題“各位數字之和是3的倍數的正整數，可以被3整除”的逆否命題是____________________________；逆命題是_______；否命題是________________________．9．有下列四個命題：①“全等三角形的面積相等”的否命題；②若a2＋b2＝0，則a，b全為0；③命題“若m≤1，則x2－2x＋m＝0有實根”的逆否命題；④命題“若A∩B＝B，則A?B”的逆命題．其中是真命題的是________(填上你認為正確的命題的序號)．三、解答題10．命題：“已知a，b，c，d是實數，若a＝b，c＝d，則a＋c＝b＋d.”寫出其逆命題、否命題、逆否命題，并判斷真假．11．把下列命題寫成“若p，則q”的形式，并寫出它們的逆命題、否命題與逆否命題．(1)正數的平方根不等于0；(2)當x＝2時，x2＋x－6＝0；(3)對頂角相等．12．寫出下列命題的逆命題、否命題、逆否命題．(1)實數的平方是非負數；(2)等高的兩個三角形是全等三角形；(3)弦的垂直平分線平分弦所對的弧．【能力提升】13．命題“若f(x)是奇函數，則f(－x)是奇函數”的否命題是()A．若f(x)是偶函數，則f(－x)是偶函數B．若f(x)不是奇函數，則f(－x)不是奇函數C．若f(－x)是奇函數，則f(x)是奇函數D．若f(－x)不是奇函數，則f(x)不是奇函數14．命題：已知a、b為實數，若關于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集，則a2－4b≥0，寫出該命題的逆命題、否命題、逆否命題，并判斷這些命題的真假．1．對條件、結論不明顯的命題，可以先將命題改寫成“若p則q”的形式后再進行轉換．2．分清命題的條件和結論，然后進行互換和否定，即可得到原命題的逆命題，否命題和逆否命題．1.知識梳理1．(1)結論和條件(2)條件的否定和結論的否定(3)結論的否定和條件的否定2．若q成立，則p成立若綈p成立，則綈q成立若綈q成立，則綈p成立作業(yè)設計1．B[由a>－3?a>－6，但由a>－6a>－3，故真命題為原命題及原命題的逆否命題，故選B.]2．C[先明確命題的條件和結論，然后對命題進行轉換．]3．D5．C[原命題和它的逆否命題為真命題．]6．A[由互為逆否命題的關系可知，原命題的逆否命題為：若loga2≥0，則函數f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定義域內不是減函數．]7．若x≤y，則x3≤y3－18．不能被3整除的正整數，其各位數字之和不是3的倍數能被3整除的正整數，它的各位數字之和是3的倍數各位數字之和不是3的倍數的正整數，不能被3整除9．②③10．解逆命題：已知a，b，c，d是實數，若a＋c＝b＋d，則a＝b，c＝d.假命題否命題：已知a，b，c，d是實數，若a≠b或c≠d，則a＋c≠b＋d.假命題逆否命題：已知a，b，c，d是實數，若a＋c≠b＋d，則a≠b或c≠d.真命題．11．解(1)原命題：“若a是正數，則a的平方根不等于0”逆命題：“若a的平方根不等于0，則a是正數”．否命題：“若a不是正數，則a的平方根等于0”逆否命題：“若a的平方根等于0，則a不是正數”．(2)原命題：“若x＝2，則x2＋x－6＝0”逆命題：“若x2＋x－6＝0，則x＝2”否命題：“若x≠2，則x2＋x－6≠0”逆否命題：“若x2＋x－6≠0，則x≠2”(3)原命題：“若兩個角是對頂角，則它們相等”．逆命題：“若兩個角相等，則它們是對頂角”．否命題：“若兩個角不是對頂角，則它們不相等”．逆否命題：“若兩個角不相等，則它們不是對頂角”．12．解(1)逆命題：若一個數的平方是非負數，則這個數是實數．否命題：若一個數不是實數，則它的平方不是非負數．逆否命題：若一個數的平方不是非負數，則這個數不是實數．(2)逆命題：若兩個三角形全等，則這兩個三角形等高．否命題：若兩個三角形不等高，則這兩個三角形不全等．逆否命題：若兩個三角形不全等，則這兩個三角形不等高．(3)逆命題：若一條直線平分弦所對的弧，則這條直線是弦的垂直平分線．否命題：若一條直線不是弦的垂直平分線，則這條直線不平分弦所對的?。娣衩}：若一條直線不平分弦所對的弧，則這條直線不是弦的垂直平分線．13．B[命題“若p，則q”的否命題為“若綈p，則綈q”，而“是”的否定是“不是”，故選B.]14．解逆命題：已知a、b為實數，若a2－4b≥0，則關于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集．否命題：已知a、b為實數，若關于x的不等式x2＋ax＋b≤0沒有非空解集，則a2－4b<0.逆否命題：已知a、b為實數，若a2－4b<0，則關于x的不等式x2＋ax＋b≤0沒有非空解集．原命題、逆命題、否命題、逆否命題均為真命題．1.1.3四種命題間的相互關系【課時目標】1.認識四種命題之間的關系以及真假性之間的關系.2.會利用命題的等價性解決問題．1．四種命題的相互關系2．四種命題的真假性(1)四種命題的真假性，有且僅有下面四種情況：原命題逆命題否命題逆否命題真真真真真假假真假真真假假假假假(2)四種命題的真假性之間的關系①兩個命題互為逆否命題，它們有______的真假性．②兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性______________．一、選擇題1．命題“若p不正確，則q不正確”的逆命題的等價命題是()A．若q不正確，則p不正確B．若q不正確，則p正確C．若p正確，則q不正確D．若p正確，則q正確2．下列說法中正確的是()A．一個命題的逆命題為真，則它的逆否命題一定為真B．“a>b”與“a＋c>b＋c”不等價C．“若a2＋b2＝0，則a，b全為0”的逆否命題是“若a，b全不為0，則a2＋b2≠D．一個命題的否命題為真，則它的逆命題一定為真3．與命題“能被6整除的整數，一定能被2整除”等價的命題是()A．能被2整除的整數，一定能被6整除B．不能被6整除的整數，一定不能被2整除C．不能被6整除的整數，不一定能被2整除D．不能被2整除的整數，一定不能被6整除4．命題：“若a2＋b2＝0(a，b∈R)，則a＝b＝0”的逆否命題是A．若a≠b≠0(a，b∈R)，則a2＋b2≠0B．若a＝b≠0(a，b∈R)，則a2＋b2≠0C．若a≠0，且b≠0(a，b∈R)，則a2＋b2≠0D．若a≠0，或b≠0(a，b∈R)，則a2＋b2≠05．在命題“若拋物線y＝ax2＋bx＋c的開口向下，則{x|ax2＋bx＋c<0}≠?”的逆命題、否命題、逆否命題中結論成立的是()A．都真B．都假C．否命題真D．逆否命題真6．設α、β為兩個不同的平面，l、m為兩條不同的直線，且l?α，m?β，有如下的兩個命題：①若α∥β，則l∥m；②若l⊥m，則α⊥β.那么()A．①是真命題，②是假命題B．①是假命題，②是真命題C．①②都是真命題D．①②都是假命題題號123456答案二、填空題7．“已知a∈U(U為全集)，若a??UA，則a∈A”的逆命題是________________________________________，它是______命題．(填“真”“假”)8．“若x≠1，則x2－1≠0”的逆否命題為________命題．(填“真”、“假”9．下列命題：①“若k>0，則方程x2＋2x＋k＝0有實根”的否命題；②“若eq\f(1,a)>eq\f(1,b)，則a<b”的逆命題；③“梯形不是平行四邊形”的逆否命題．其中是假命題的是________．三、解答題10．已知命題：若m>2，則方程x2＋2x＋3m＝0無實根，寫出該命題的逆命題、否命題和逆否命題，并判斷真假11．已知奇函數f(x)是定義域為R的增函數，a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥0，求證：a＋b≥0.12．若a2＋b2＝c2，求證：a，b，c不可能都是奇數．【能力提升】13．給出下列三個命題：①若a≥b>－1，則eq\f(a,1＋a)≥eq\f(b,1＋b)；②若正整數m和n滿足m≤n，則eq\r(mn－m)≤eq\f(n,2)；③設P(x1，y1)是圓O1：x2＋y2＝9上的任意一點，圓O2以Q(a，b)為圓心，且半徑為1.當(a－x1)2＋(b－y1)2＝1時，圓O1與圓O2相切．其中假命題的個數為()A．0B．1C．2D．14．a、b、c為三個人，命題A：“如果b的年齡不是最大的，那么a的年齡最小”和命題B：“如果c的年齡不是最小的，那么a的年齡最大”都是真命題，則a、b、c的年齡的大小順序是否能確定？請說明理由．1．互為逆否的命題同真假，即原命題與逆否命題，逆命題與否命題同真假．四種命題中真命題的個數只能是偶數個，即0個、2個或4個．2．當一個命題是否定形式的命題，且不易判斷其真假時，可以通過判斷與之等價的逆否命題的真假來達到判斷該命題真假的目的．1.知識梳理1．若q，則p若綈p，則綈q若綈q，則綈p2．(2)①相同②沒有關系作業(yè)設計1．D[原命題的逆命題和否命題互為逆否命題，只需寫出原命題的否命題即可．]2．D4．D[a＝b＝0的否定為a，b至少有一個不為0.]5．D[原命題是真命題，所以逆否命題也為真命題．]6．