第2章1-隨機(jī)過(guò)程與隨機(jī)序列

隨機(jī)信號(hào)分析——隨機(jī)過(guò)程和隨機(jī)序列17三月20232陳友興：隨機(jī)信號(hào)分析—隨機(jī)過(guò)程第二章隨機(jī)過(guò)程和隨機(jī)序列2.1從隨機(jī)變量到隨機(jī)過(guò)程2.2平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程與各態(tài)歷經(jīng)過(guò)程2.3平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程相關(guān)性分析2.4平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的譜分析2.5高斯過(guò)程與白噪聲2.6隨機(jī)序列17三月20233陳友興：隨機(jī)信號(hào)分析—隨機(jī)過(guò)程2.1從隨機(jī)變量到隨機(jī)過(guò)程（1）隨機(jī)函數(shù)與隨機(jī)信號(hào)隨某些參量變化的隨機(jī)變量稱為隨機(jī)函數(shù)通常將以時(shí)間為參量的隨機(jī)函數(shù)稱為隨機(jī)過(guò)程，也稱為隨機(jī)信號(hào)。2.1.1隨機(jī)過(guò)程的基本概念17三月20234陳友興：隨機(jī)信號(hào)分析—隨機(jī)過(guò)程（2）確定性過(guò)程和隨機(jī)過(guò)程確定性過(guò)程：就是事物的變化過(guò)程可以用一個(gè)（或幾個(gè)）時(shí)間t的確定的函數(shù)來(lái)描繪。隨機(jī)過(guò)程：就是事物變化的過(guò)程不能用一個(gè)（或幾個(gè)）時(shí)間t的確定的函數(shù)來(lái)加以描述。

隨機(jī)信號(hào)和噪聲統(tǒng)稱為隨機(jī)過(guò)程17三月20235陳友興：隨機(jī)信號(hào)分析—隨機(jī)過(guò)程（3）隨機(jī)過(guò)程的定義定義1：設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為S={ei}，對(duì)于空間的每一個(gè)樣本,總有一個(gè)時(shí)間函數(shù)X(t,ei)與之對(duì)應(yīng)對(duì)于空間的所有樣本，可有一族時(shí)間函數(shù)X(t,e)與其對(duì)應(yīng)，這族時(shí)間函數(shù)稱為隨機(jī)過(guò)程，簡(jiǎn)記為X(t)。17三月20236陳友興：隨機(jī)信號(hào)分析—隨機(jī)過(guò)程定義2：設(shè)有一個(gè)過(guò)程X(t)，若對(duì)于每一個(gè)固定的時(shí)刻tj(j=1,2,…)，X(tj)是一個(gè)隨機(jī)變量，則稱X(t)為隨機(jī)過(guò)程。定義3：設(shè)Sk(k=1,2,…)是隨機(jī)試驗(yàn)。每一次試驗(yàn)都有一條時(shí)間波形（樣本函數(shù)），記作xi(t)，所有可能出現(xiàn)的結(jié)果的總體{x1(t),x2(t)，…,xn(t)，…}就構(gòu)成一隨機(jī)過(guò)程，記作X(t)。無(wú)窮多個(gè)樣本函數(shù)的總體叫做隨機(jī)過(guò)程

17三月20237陳友興：隨機(jī)信號(hào)分析—隨機(jī)過(guò)程(4)隨機(jī)過(guò)程的特點(diǎn)

在進(jìn)行觀測(cè)前是無(wú)法預(yù)知是空間中哪一個(gè)樣本隨機(jī)過(guò)程具有隨機(jī)變量和時(shí)間函數(shù)的特點(diǎn)

注：字母大寫表示隨機(jī)變量，A,Φ就是隨機(jī)變量，Y(t)表示隨機(jī)過(guò)程。全體樣本在t1時(shí)刻的取值Y(t1)是一個(gè)不含t變化的隨機(jī)變量17三月20238陳友興：隨機(jī)信號(hào)分析—隨機(jī)過(guò)程（5）隨機(jī)過(guò)程的分類連續(xù)型隨機(jī)過(guò)程連續(xù)型隨機(jī)序列離散型隨機(jī)過(guò)程離散型隨機(jī)序列①按照時(shí)間和狀態(tài)是連續(xù)還是離散來(lái)分類17三月20239陳友興：隨機(jī)信號(hào)分析—隨機(jī)過(guò)程連續(xù)隨機(jī)序列隨機(jī)過(guò)程X(t)在任一離散時(shí)刻的狀態(tài)是連續(xù)型隨機(jī)變量，即時(shí)間是離散的，狀態(tài)是連續(xù)的情況，稱這類隨機(jī)過(guò)程為連續(xù)隨機(jī)序列。

連續(xù)隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程X(t)對(duì)于任意時(shí)刻，X(ti)都是連續(xù)型隨機(jī)變量，即時(shí)間和狀態(tài)都是連續(xù)的情況，稱這類隨機(jī)過(guò)程為連續(xù)型隨機(jī)過(guò)程。17三月202310陳友興：隨機(jī)信號(hào)分析—隨機(jī)過(guò)程離散隨機(jī)序列對(duì)應(yīng)于時(shí)間和狀態(tài)都是離散的情況，即隨機(jī)數(shù)字信號(hào)。離散隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程X(t)對(duì)于任意時(shí)刻，X(ti)都是離散型隨機(jī)變量，即時(shí)間是連續(xù)的，狀態(tài)是離散的情況。17三月202311陳友興：隨機(jī)信號(hào)分析—隨機(jī)過(guò)程②按照隨機(jī)過(guò)程的分布函數(shù)（或概率密度）的不同特性進(jìn)行分類按照這種分類法，最重要的就是平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，其次是馬爾可夫過(guò)程等等。17三月202312陳友興：隨機(jī)信號(hào)分析—隨機(jī)過(guò)程2.1.2隨機(jī)過(guò)程的概率分布（1）一維概率分布對(duì)于任意的時(shí)刻t，X(t)是一個(gè)隨機(jī)變量，設(shè)x為任意實(shí)數(shù)，定義為隨機(jī)過(guò)程X(t)的一維分布函數(shù)。17三月202313陳友興：隨機(jī)信號(hào)分析—隨機(jī)過(guò)程

若的一階偏導(dǎo)數(shù)存在，則定義為隨機(jī)過(guò)程X(t)的一維概率密度。17三月202314陳友興：隨機(jī)信號(hào)分析—隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程一維分布的性質(zhì)：17三月202315陳友興：隨機(jī)信號(hào)分析—隨機(jī)過(guò)程（2）二維概率分布和n維概率分布對(duì)于隨機(jī)過(guò)程X(t)，在任意兩個(gè)時(shí)刻t1和t2可得到兩個(gè)隨機(jī)變量X(t1)和X(t2)，可構(gòu)成二維隨機(jī)變量{X(t1),X(t2)}，它的二維分布函數(shù)稱為隨機(jī)過(guò)程X(t)的二維概率分布函數(shù)。17三月202316陳友興：隨機(jī)信號(hào)分析—隨機(jī)過(guò)程

若對(duì)x1,x2的偏導(dǎo)數(shù)存在，則定義為隨機(jī)過(guò)程X(t)的二維概率密度。17三月202317陳友興：隨機(jī)信號(hào)分析—隨機(jī)過(guò)程n維概率分布函數(shù)n維概率密度17三月202318陳友興：隨機(jī)信號(hào)分析—隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程X(t)和Y(t)的四維聯(lián)合概率密度（3）聯(lián)合分布率17三月202319陳友興：隨機(jī)信號(hào)分析—隨機(jī)過(guò)程若兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程互相獨(dú)立，則有一個(gè)隨機(jī)過(guò)程不同時(shí)刻狀態(tài)間互相獨(dú)立，即X(t1)和X(t2)互相獨(dú)立17三月202320陳友興：隨機(jī)信號(hào)分析—隨機(jī)過(guò)程例2.1.1：設(shè)隨機(jī)過(guò)程其中w0是常數(shù)，X是均值為零，方差為1的正態(tài)隨機(jī)變量，求時(shí)Y(t)的概率密度，及Y(t)的一維概率密度17三月202321陳友興：隨機(jī)信號(hào)分析—隨機(jī)過(guò)程2.1.3隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征（1）數(shù)學(xué)期望對(duì)于任意的時(shí)刻t，X(t)是一個(gè)隨機(jī)變量，將這個(gè)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望定義為隨機(jī)過(guò)程的數(shù)學(xué)期望，記為mx(t)，即17三月202322陳友興：隨機(jī)信號(hào)分析—隨機(jī)過(guò)程(2)方差對(duì)于任意的時(shí)刻t，X(t)是一個(gè)隨機(jī)變量，稱該隨機(jī)變量X(t)的二階中心矩為隨機(jī)過(guò)程的方差，記為D[X(t)]，即17三月202323陳友興：隨機(jī)信號(hào)分析—隨機(jī)過(guò)程

隨機(jī)過(guò)程的期望與方差17三月202324陳友興：隨機(jī)信號(hào)分析—隨機(jī)過(guò)程

相同數(shù)學(xué)期望和方差，不同相關(guān)性的兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程17三月202325陳友興：隨機(jī)信號(hào)分析—隨機(jī)過(guò)程(3)自相關(guān)函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)設(shè)X(t1)和X(t2)是隨機(jī)過(guò)程X(t)在t1和t2二個(gè)任意時(shí)刻的狀態(tài)，fX(x1,x2;t1,t2)是相應(yīng)的二維概率密度，稱它們的二階聯(lián)合原點(diǎn)矩為X(t)的自相關(guān)函數(shù)，簡(jiǎn)稱相關(guān)函數(shù)17三月202326陳友興：隨機(jī)信號(hào)分析—隨機(jī)過(guò)程

設(shè)X(t1)和X(t2)是隨機(jī)過(guò)程X(t)在t1和t2二個(gè)任意時(shí)刻的狀態(tài)，稱X(t1)和X(t2)的二階聯(lián)合中心矩為X(t)的自協(xié)方差函數(shù)17三月202327陳友興：隨機(jī)信號(hào)分析—隨機(jī)過(guò)程當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，17三月202328陳友興：隨機(jī)信號(hào)分析—隨機(jī)過(guò)程若則稱隨機(jī)過(guò)程在t1和t2時(shí)刻的狀態(tài)是相互獨(dú)立的。若對(duì)于任意的t1和t2都有CX(t1,t2)=0,那么隨機(jī)過(guò)程的任意兩個(gè)時(shí)刻狀態(tài)間是不相關(guān)的。若RX(t1,t2)=0，則稱X(t1)和X(t2)是相互正交的。17三月202329陳友興：隨機(jī)信號(hào)分析—隨機(jī)過(guò)程(4)互相關(guān)函數(shù)和互協(xié)方差函數(shù)設(shè)有兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程X(t)和Y(t)，它們?cè)谌我鈨蓚€(gè)時(shí)刻t1和t2的狀態(tài)分別為X(t1)和Y(t2)，則隨機(jī)過(guò)程X(t)和Y(t)的互相關(guān)函數(shù)定義為17三月202330陳友興：隨機(jī)信號(hào)分析—隨機(jī)過(guò)程

類似地，定義兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程的互協(xié)方差函數(shù)為17三月202331陳友興：隨機(jī)信號(hào)分析—隨機(jī)過(guò)程

若對(duì)于任意時(shí)刻t1和t2，有RXY(t1,t2)=0，則稱X(t)和Y(t)是正交過(guò)程，此時(shí)有

若對(duì)于任意時(shí)刻t1和t2，有CXY(t1,t2)=0，則稱X(t)和Y(t)是互不相關(guān)的，此時(shí)有17三月202332陳友興：隨機(jī)信號(hào)分析—隨機(jī)過(guò)程

當(dāng)X(t)和Y(t)互相獨(dú)立時(shí)，滿足則有當(dāng)X(t)和Y(t)互相獨(dú)立時(shí)，X(t)與Y(t)之間一定不相關(guān)；反之則不成立。17三月202333陳友興：隨機(jī)信號(hào)分析—隨機(jī)過(guò)程研究隨機(jī)過(guò)程有兩條途經(jīng)：側(cè)重于研究概率結(jié)構(gòu)側(cè)重于統(tǒng)計(jì)平均性質(zhì)的研究17三月202334陳友興：隨機(jī)信號(hào)分析—隨機(jī)過(guò)程

例2.1.2：設(shè)隨機(jī)過(guò)程，是均值為5，方差為6的隨機(jī)變量，求的均值、方差、相關(guān)函數(shù)和諧方差函數(shù)。

例2.1.3：求隨機(jī)過(guò)程的數(shù)學(xué)期望，方差及自相關(guān)函數(shù)。其中，a、w0為常數(shù)，是在區(qū)間上均勻分布的隨機(jī)變量。17三月202335陳友興：隨機(jī)信號(hào)分析—隨機(jī)過(guò)程2.1.4隨機(jī)過(guò)程的特征函數(shù)

對(duì)于某一固定時(shí)刻t，隨機(jī)變量X(t)的特征函數(shù)就定義為隨機(jī)過(guò)程的一維特征函數(shù)17三月202336陳友興：隨機(jī)信號(hào)分析—隨機(jī)過(guò)程

一維特征函數(shù)與一維概率密度有類似傅立葉變換對(duì)的關(guān)系17三月202337陳友興：隨機(jī)信號(hào)分析—隨機(jī)過(guò)程

隨機(jī)過(guò)程的二維特征函數(shù)：隨機(jī)過(guò)程在任意兩個(gè)時(shí)刻t1和t2的取值構(gòu)成一個(gè)二維隨機(jī)變量{X(t1),X(t2)},它的特征函數(shù)定義為隨機(jī)過(guò)程X(t)的二維特征函數(shù)17三月202338陳友興：隨機(jī)信號(hào)分析—隨機(jī)過(guò)程17三月202339陳友興：隨機(jī)信號(hào)分析—隨機(jī)過(guò)程

隨機(jī)過(guò)程的特征函數(shù)與矩函數(shù)之間的關(guān)系為：17三月202340陳友興：隨機(jī)信號(hào)分析—隨機(jī)過(guò)程相關(guān)函數(shù)與二維特征函數(shù)之間的關(guān)系為：17三月202341陳友興：隨機(jī)信號(hào)分析—隨機(jī)過(guò)程2.1.5隨機(jī)過(guò)程的微分與積分(一)隨機(jī)收斂和隨機(jī)連續(xù)性設(shè)有隨機(jī)變量X及隨機(jī)變量序列

{Xn}(n=1,2,…)，均有二階矩，且則稱隨機(jī)變量序列{Xn}依均方收斂于X，或者說(shuō)，隨機(jī)變量X是隨機(jī)變量序列{Xn}在n趨于無(wú)窮時(shí)的均方極限。表示成：17三月202342陳友興：隨機(jī)信號(hào)分析—隨機(jī)過(guò)程如果隨機(jī)變量序列{Xn}滿足那么該序列k階收斂于X。

若隨機(jī)過(guò)程X(t)滿足則X(t)在t時(shí)刻均方意義下連續(xù)。17三月202343陳友興：隨機(jī)信號(hào)分析—隨機(jī)過(guò)程

從隨機(jī)過(guò)程X(t)的均方連續(xù)性，可推得，X(t)的數(shù)學(xué)期望必然是連續(xù)的，即

若R(t1,t2)沿直線t1=t2處處連續(xù)，則隨機(jī)過(guò)程X(t)處處均方連續(xù)。

極限和數(shù)學(xué)期望可以交換次序17三月202344陳友興：隨機(jī)信號(hào)分析—隨機(jī)過(guò)程(二)隨機(jī)過(guò)程的微分（1）定義如果隨機(jī)過(guò)程X’(t)滿足則稱X(t)在t時(shí)刻具有均方導(dǎo)數(shù)X’(t)。17三月202345陳友興：隨機(jī)信號(hào)分析—隨機(jī)過(guò)程

判斷隨機(jī)過(guò)程的導(dǎo)數(shù)存在與否，可采用柯西判別準(zhǔn)則，即如果則X(t)的導(dǎo)數(shù)存在。(2)均方可微的條件（導(dǎo)數(shù)存在的條件）17三月202346陳友興：隨機(jī)信號(hào)分析—隨機(jī)過(guò)程

可推導(dǎo)出，隨機(jī)過(guò)程X(t)均方可微的充分條件是：相關(guān)函數(shù)在它的自變量相等時(shí)，存在二階