初中數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí) 第11講 勾股定理與銳角三角函數(shù)（壓軸題組）（原卷版）-2022年中考數(shù)學(xué)大復(fù)習(xí)（知識(shí)點(diǎn)·易錯(cuò)點(diǎn)·題型訓(xùn)練·壓軸題組）

第11講勾股定理與銳角三角函數(shù)（壓軸題組）1．（2021·廣東佛山·九年級(jí)期中）如圖1，有一張矩形紙條，邊、的長(zhǎng)分別是方程的兩個(gè)根，為上一點(diǎn)，．（1）連接，，試說(shuō)明．（2）如圖2，為邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將四邊形沿折疊，使點(diǎn)，分別落在點(diǎn)，上，邊與邊交于點(diǎn)．①如圖3，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，求到的距離．②在點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)的過(guò)程中，求點(diǎn)相應(yīng)運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)（路程）．2．（2021·上海市奉賢區(qū)育秀實(shí)驗(yàn)學(xué)校九年級(jí)期中）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，AD是BC邊上的高，點(diǎn)E、F分別是AB邊和AC邊上的動(dòng)點(diǎn)，且∠EDF＝90°．（1）（圖1）求DE：DF的值；（2）（圖2）連結(jié)EF，射線DF與射線BA相交于點(diǎn)G，當(dāng)△EFG是等腰三角形時(shí)，求CF的長(zhǎng)度；（3）（圖3）連結(jié)EF，設(shè)點(diǎn)B與點(diǎn)E間的距離為x，△DEF的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出x的取值范圍．3．（2021·北京師范大學(xué)實(shí)驗(yàn)華夏女子中學(xué)九年級(jí)期中）在平面直角坐標(biāo)系中，⊙O的半徑為1，給出如下定義：記線段AB的中點(diǎn)為，當(dāng)點(diǎn)不在⊙O上時(shí)，平移線段，使點(diǎn)落在⊙O上，得到線段（分別為點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)）．線段長(zhǎng)度的最小值稱(chēng)為線段到的“平移距離”．（1）已知點(diǎn)的坐標(biāo)為（－1，0），點(diǎn)在x軸上．①若點(diǎn)與原點(diǎn)重合，則線段到⊙O的“平移距離”為_(kāi)_______；②若線段到⊙O的“平移距離”為2，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為_(kāi)_______；（2）若點(diǎn)都在直線上，＝2，記線段到⊙O的“平移距離”為，求的最小值；（3）若點(diǎn)的坐標(biāo)為（－4，－2），AB＝2，記線段到⊙O的“平移距離”為，直接寫(xiě)出的取值范圍．4．（2021·吉林·長(zhǎng)春市凈月實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)期中）在△ABC中，AB＝BC＝5，AD⊥BC于D，AD＝4．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿折線BA→AC運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)P不與B、C重合），點(diǎn)P在邊BA上運(yùn)動(dòng)的速度為2.5個(gè)單位長(zhǎng)度，在邊AC上的運(yùn)動(dòng)速度為個(gè)單位長(zhǎng)度，過(guò)P作PQ⊥BC于點(diǎn)Q，以PQ為邊向右作矩形PQFE，使PQ＝2PE，點(diǎn)F在線段BC上，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t．（1）點(diǎn)P在BA上時(shí)，則PQ＝；（用含t代數(shù)式表示）（2）點(diǎn)P在AC上時(shí)，則PQ＝；（用含t代數(shù)式表示）（3）連結(jié)DE，當(dāng)△DEF與△ADC相似時(shí)，求t的值．（4）設(shè)矩形PQFE的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，當(dāng)點(diǎn)O在△ACD邊上時(shí)，直接寫(xiě)出t的取值范圍．5．（2021·黑龍江龍沙·九年級(jí)期中）綜合與實(shí)踐動(dòng)手操作：某數(shù)學(xué)課外活動(dòng)小組利用圖形的旋轉(zhuǎn)探究圖形變換中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)奧秘．如圖1，△ACB是等腰直角三角形，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，將邊AB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段A′B，連接A′C，過(guò)點(diǎn)A′作A′D⊥CB交CB延長(zhǎng)線于點(diǎn)D．思考探索：（1）在圖1中：①CD＝；②△A′BC的面積為；拓展延伸：（2）如圖2，若△ACB為任意直角三角形，∠ACB＝90°．將邊AB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段A′B，連接A′C，過(guò)點(diǎn)A′作A′D⊥CB交CB延長(zhǎng)線于點(diǎn)D．猜想三條線段AC、CD、A′D的數(shù)量關(guān)系，并證明．（3）如圖3，在△ACB中，AB＝AC＝5，BC＝6，將邊AB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段A′B，連接A′C．①△A′BC的面積為．②若點(diǎn)D是△ACB的邊BC的高線上的一動(dòng)點(diǎn)，連接A′D、DB，則A′D+DB的最小值是．6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A與點(diǎn)B的坐標(biāo)分別是（1，0），（7，0）．（1）對(duì)于坐標(biāo)平面內(nèi)的一點(diǎn)P，給出如下定義：如果∠APB＝45°，則稱(chēng)點(diǎn)P為線段AB的“等角點(diǎn)”．顯然，線段AB的“等角點(diǎn)”有無(wú)數(shù)個(gè)，且A、B、P三點(diǎn)共圓．①設(shè)A、B、P三點(diǎn)所在圓的圓心為C，直接寫(xiě)出點(diǎn)C的坐標(biāo)和⊙C的半徑；②y軸正半軸上是否有線段AB的“等角點(diǎn)”？如果有，求出“等角點(diǎn)”的坐標(biāo)；如果沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）當(dāng)點(diǎn)P在y軸正半軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠APB是否有最大值？如果有，說(shuō)明此時(shí)∠APB最大的理由，并求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果沒(méi)有請(qǐng)說(shuō)明理由．7．（2021·四川·成都實(shí)外九年級(jí)期中）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（0，3），點(diǎn)B在線段AO上，且AB＝2BO，若點(diǎn)P在x軸的負(fù)半軸上，連接BP，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥PB．（1）如圖1，點(diǎn)E是射線PQ上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EC⊥x軸，垂足為點(diǎn)C．①求點(diǎn)B的坐標(biāo)；②求證：△BOP∽△PCE．（2）在（1）的條件下，如圖2，若點(diǎn)C坐標(biāo)為（﹣4，0）．過(guò)點(diǎn)A作DA⊥y軸，且和CE的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D，若點(diǎn)C關(guān)于直線PQ的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C′正好落在線段AD上，連接PC′，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．（3）如圖3，若∠BPO＝60°，點(diǎn)E在直線PQ上，EC⊥x軸，垂足為點(diǎn)C，若以點(diǎn)E，P，C為頂點(diǎn)的三角形和△BPE相似，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)E的坐標(biāo)．8．（2021·上海交通大學(xué)附屬第二中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，在△ABC中，AB＝15，BC＝40，cos∠ABC＝，射線CM//AB，D為線段BC上的一動(dòng)點(diǎn)且和B、C不重合，連接DA，過(guò)D作DE⊥DA交射線CM于E，聯(lián)結(jié)AE，作EC＝EF，交BC的延長(zhǎng)線于F，設(shè)x＝BD．（1）當(dāng)AD∥EF，求BD；（2）若y＝CE，求y關(guān)于的數(shù)解析式，并寫(xiě)出定義域；（3）作∠BDG＝∠AEF，交AE于G，若△DGE與△CDE相似，求BD的長(zhǎng)．9．（2021·浙江臺(tái)州·九年級(jí)期中）如圖1，矩形中，，將矩形繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到矩形．（1）當(dāng)點(diǎn)落在上時(shí)，則線段的長(zhǎng)度等于；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)落在上吋，則的面積為；（3）如圖3，連接，判斷與的位置關(guān)系并說(shuō)明理由；（4）在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，求出的最大值．10．（2021·江蘇錫山·九年級(jí)期中）如圖1，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿AB邊向終點(diǎn)A以每秒1cm的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿C→B→A向終點(diǎn)A以每秒3cm的速度運(yùn)動(dòng)，P、Q其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為