新人教版初中數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊平行四邊形專項(xiàng)考點(diǎn)訓(xùn)練題及答案解析-試卷

第18章平行四邊形項(xiàng)訓(xùn)練專訓(xùn)1.矩形性質(zhì)與判定的靈活運(yùn)用名師點(diǎn)金：矩形是特殊的平行四邊形它具有一般平行四邊形的所有性質(zhì)同時(shí)還具有一些獨(dú)特的性質(zhì)．它的性質(zhì)可歸結(jié)為三個(gè)方面：(1)從邊看：矩形對(duì)邊平行且相等；(2)從角看：矩形的個(gè)角都是直角；從對(duì)角線看：矩形的對(duì)角線互相平分且相等．判定一個(gè)四邊形是矩形可從兩個(gè)角度考慮一是判定它有三個(gè)角為直角二是先判定它為平行四邊形，再判定它有一個(gè)角為直角或兩條對(duì)角線相等．利用矩形的性質(zhì)與判定求線段的長(轉(zhuǎn)化思想1．圖，將矩形紙片的四個(gè)角向內(nèi)折起，點(diǎn)點(diǎn)落在點(diǎn)M，點(diǎn)C，D落在點(diǎn)處，恰拼成一個(gè)無縫隙無重疊的四邊形＝3cmEF＝4cm，求AD的．(1題)利用矩形的性質(zhì)與判定判斷線段的數(shù)量關(guān)系2．如圖，在△中，∠＝90°，D是AC上的一點(diǎn)，＝P是BC上的任意一點(diǎn)，PE⊥，PF⊥AC，EF為垂足．試判斷線段PE，PF，間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(2題)利用矩形的性質(zhì)與判定證明角相等3．圖，在ABCD中過點(diǎn)作DE⊥于點(diǎn)E，在邊，

＝BE，連接AFBF.(1)求證：四邊形BFDE是矩形；(2)若CF＝3＝，DF＝5，求證：AF平分∠DAB.(3題)利用矩形的性質(zhì)與判定求面積4．圖，已知點(diǎn)是中邊的中點(diǎn)連接AE延長交延長線于點(diǎn)F.(1)連接BF若∠AEC＝2∠，求：四邊形ABFC為矩形；(2)在(1)的條件下，若△AFD是等邊三角形，且邊長為4，求邊形ABFC的面積．(4題)專訓(xùn)2.菱形性質(zhì)與判定的靈活運(yùn)用名師點(diǎn)金：菱形具有一般平行四邊形的所有性質(zhì)同時(shí)又具有一些特性可以歸納為三個(gè)方面：(1)從邊看：對(duì)邊平行，四邊相等；(2)從角看對(duì)角相等，鄰角互補(bǔ)；(3)從對(duì)角線看：對(duì)角線互相垂直平分，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角．判定一個(gè)四邊形是菱形可先判定這個(gè)四邊形是平行四邊形再判定一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直，也可直接判定四相等．利用菱形的性質(zhì)與判定求菱形的高1．如圖，在Rt△中，∠，D中點(diǎn)，且AE∥，CE∥(1)求證：四邊形菱形；

(2)若∠，＝，求菱形的高．(計(jì)算結(jié)果保留根號(hào)(1題)利用菱形的性質(zhì)與判定求菱形對(duì)角線長2．如圖，在矩形AFCG中，垂直平分對(duì)角線AC交CG于交AF于B，AC于O.連接，BC.(1)求證：四邊形ABCD是菱形；(2)若為AB的中點(diǎn)，⊥求∠BDC度數(shù)；(3)在(2)的條件下，1，求菱形的對(duì)角線AC的長．(2題)利用菱形的性質(zhì)與判定解決周長問題3．圖，Rt△ABC，∠D分別為ABAC的中點(diǎn)，連接DE，將△繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)180°，到△CFE，連接AF.(1)求證：四邊形ADCF是菱形；(2)若BC＝8AC6，求四邊形的周長．(3題)

利用菱形的性質(zhì)與判定解決面積問題4．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC，D是中點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作AF∥BE的延長線于點(diǎn)F.(1)求證：△AEFeq\o\ac(△,≌)DEB；(2)證明四邊形ADCF是菱形；(3)若AC＝45，求菱形ADCF的面積．(4題)專訓(xùn)3.正方形性質(zhì)與判定的靈活運(yùn)用名師點(diǎn)金：正方形既是矩形，又是菱形它具有矩形、菱形的所有質(zhì)，判定個(gè)四邊形是正方形，只需保證它既是矩形又是菱形即可．利用正方形的性質(zhì)解決線段和差倍分問題1．已知：在正方中，∠＝45°，∠繞點(diǎn)時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交CB，或它們的延長線)于點(diǎn)M，N.(1)如圖①，當(dāng)∠繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM＝DN時(shí)，易證：BM＋DN當(dāng)∠繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM≠時(shí)，圖②請(qǐng)問圖①中的結(jié)論是否還成立？如果成立，請(qǐng)給予證明；如果不成立，請(qǐng)說明理由．(2)當(dāng)∠繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到如圖③的位置時(shí)，段BMDN和MN之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，并證明．(1題)

利用正方形的性質(zhì)證明線段位置關(guān)系2．圖，在正方形ABCD，對(duì)角線AC，相交于點(diǎn)，，F(xiàn)分別在OD，OC上，且DE＝CF，連接DF，AE延長線交DF于點(diǎn)M.求證：AM⊥(2題)正方形性質(zhì)與判定的綜合運(yùn)用3．圖，Q，R，S四個(gè)小球分別從正方形的四個(gè)頂點(diǎn)A，BC，同時(shí)出發(fā)以同樣的速度分別沿BCCDDA的方向滾動(dòng)其終點(diǎn)分別是，C，D，A.(1)不管滾動(dòng)多長時(shí)間，求證：連接四個(gè)小球所得的四邊形總是正方形．(2)四邊形PQRS什么時(shí)候面最大？(3)四邊形PQRS什么時(shí)候面為原正方形面積的一半？并說明理由．(3題)專訓(xùn)4.特殊平行四邊形性質(zhì)與判定的靈活用名師點(diǎn)金：特殊平行四邊形的性質(zhì)區(qū)別主要從邊角及對(duì)角線三個(gè)方面進(jìn)行區(qū)分而判定主要從建立在其他特殊四邊形的基礎(chǔ)上再附加什么條件方面進(jìn)行判定．矩形的綜合性問題a．矩形性質(zhì)的應(yīng)用1．圖，將矩形紙片ABCD沿對(duì)角線AC折疊，使點(diǎn)落到點(diǎn)B置，

ABCD交于E.(1)試找出一個(gè)與△AED全等的三角形，并加以證明；(2)若AB＝8DE3，P線段上的任意一點(diǎn)，⊥點(diǎn)G，⊥于點(diǎn)H，試求PG＋的值．(1題)b．矩形判定的應(yīng)用2．如圖，點(diǎn)是菱形對(duì)角線的交點(diǎn)，DE∥，∥，連接求：(1)四邊形OCED矩形；(2)OEBC.(2題)c．矩形性質(zhì)和判定的應(yīng)用3．圖①，在△ABC中AB＝AC，P是BC上任意一點(diǎn)(不與BC重合)，⊥，PF⊥AC，BD⊥AC.垂足分別為，F(xiàn)，D.(1)求證：BDPE＋PF.(2)當(dāng)點(diǎn)在BC的延線上時(shí)，其他條件不變．如圖②，BD，，PF之間的上述關(guān)系還成立嗎？若不成立，請(qǐng)說明理由．(3題)

菱形的綜合性問題a．菱形性質(zhì)的應(yīng)用4．已知：如圖，在菱形中，F(xiàn)是上任意一點(diǎn)，連接交對(duì)角線于點(diǎn)，連接(1)求證：＝(2)當(dāng)∠ABC＝60°，∠CEF時(shí)，點(diǎn)F線段BC上的什么位置？并說明理由．(4題)b．菱形判定的應(yīng)用5．如圖，在Rt△，∠＝90°，＝53∠＝30°.點(diǎn)從C出發(fā)沿CA方向以每秒2個(gè)單位長的速度向點(diǎn)A速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿AB方向以每秒個(gè)單位長的速度向點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)設(shè)點(diǎn)D，E運(yùn)動(dòng)時(shí)間是ts(t>0)．過點(diǎn)DDF⊥于點(diǎn)F，連接，EF.(1)求證：＝DF.(2)四邊形AEFD能夠成為菱形嗎？如果能，求出相應(yīng)的t值；如果不能，請(qǐng)說明理由．(3)當(dāng)t何值時(shí)，△為直角三角形？請(qǐng)說明理由．(5題)

c．菱形性質(zhì)和判定的應(yīng)用6．(1)如圖①，紙片?中，＝，＝15.點(diǎn)A作AE⊥BC，?垂足為E，AE剪下△ABE將它平移至△DCE置拼成四邊形AEE′D，則四邊形AEE′D的形狀()A．平行四邊形

．菱形C．矩形

D．正方形(2)如圖②(中的四邊形紙片′D中EE點(diǎn)FEF＝4，剪下△AEF，將它平移至△DE′F，成四邊形AFF′D.①求證：四邊形AFF′D菱形；②求四邊形′D的兩條對(duì)角線的長．(6題)正方形的綜合性問題a．正方形性質(zhì)的應(yīng)用7．如圖，在正方形中，G是上任意一點(diǎn)，連接AG，⊥于EBF∥交AG點(diǎn)F，探線段AF，，三者之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(7題)

222222b．正方形判定的應(yīng)用8個(gè)長為2cm為1cm的矩形擺放在直線l上(如圖①)＝2，將矩形繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角矩形EFGH繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)相同的角度．(1)當(dāng)旋轉(zhuǎn)到頂點(diǎn)D，重合時(shí)圖②)，連接CG，求證：△eq\o\ac(△,≌)eq\o\ac(△,)GCD；(2)當(dāng)時(shí)(如圖③)，證：四邊形為正方形．(8題)答案專訓(xùn)11．解：由折疊性質(zhì)知∠HEM＝∠AEH，∠∠∴∠HEF＝∠1HEM＋∠FEM＝×180°＝90°.理可得∠EHG＝∠HGF＝∠＝90°，∴2邊形EFGH矩形．∴∥HG＝∴∠＝∠又∵∠＝∠＝90°，∴△eq\o\ac(△,≌)∴＝MF.∵＝，∴＝∴＝HMHF.∵HF＝＋EF

2

＝3＋

5(cm)，∴5cm.點(diǎn)撥：此題利用折疊提供的角相等，可明四邊形為矩形，然后利

22222222用三角形全等來證明＝MF進(jìn)而證明HD＝MF從而將AD轉(zhuǎn)化為直角三角形的斜邊HF，進(jìn)而得解，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想．(2題)2．解＋PF＝AB.理由過點(diǎn)P作PG⊥G，BD于O如圖所示．∵⊥，PF⊥∠＝90°，∴∠A＝∠AGP＝∠PFA＝90°.∴形是矩形．∴＝PF∥AC.∴∠C＝∠GPB.又∵BD＝，∴∠C＝∠∴∠＝∠∴＝∵⊥⊥，∴∠BGO＝∠PEO＝90°.在△和△中，∠＝∠PEO，GOB∠，OBOP，∴BGOeq\o\ac(△,≌)∴＝∵BG＋AG＝PE＋3．證明：(1)∵形是平行四邊形，∴∥∴∥又∵DF，∴形是平行四邊形．∵⊥∴∠DEB∴形是矩形．(2)∵形平行四邊形，∴∥，＝BC.∴∠DFA＝∠FAB.由(得△BCF直角三角形，在Rt△BCF中，由勾股定理，得BC＝CF＋BF＝＋4＝5∴＝＝DF5.∴∠DAF＝∠∴∠DAF＝∠FAB，即AF分∠DAB.

22224(1)證∵形為平行四邊形∴∥∴ABE＝∠ECF.又∵E為的中點(diǎn)，∴＝CE.在△ABE和△FCE中，∠ABE＝∠，∵，∠AEB＝∠，∴ABEeq\o\ac(△,≌)FCE.∴＝CF.又∥∴形ABFC平行四邊形∴∵∠AECeq\o\ac(△,為)ABE的外角∴∠AEC＝∠ABC＋∠又∵∠＝∠∴∠ABC＝∠EAB.∴∴＋EF＝＋，即AF＝∴形ABFC為矩形．(2)解：∵形ABFC是矩形，∴⊥又∵△AFD是三角形，∴CD＝4－＝23.∴＝2×＝43.邊形

DF2

2.∴＝專訓(xùn)21．(1)證明：∵∥，CE∥∴形ADCE平行四邊形，又∵∠＝90°D是的中點(diǎn)∴CD＝＝AD∴四邊形ADCE是菱形．(2)解：如圖，過點(diǎn)作DF⊥，垂足為點(diǎn)F，則DF即菱形的高，∵，CD＝BD∴是邊三角形，∴＝60°.∵∥∴BCE∠＝120°，∴∠DCE，又∵＝BC＝6，∴Rt△中，易求得DF＝3即菱形的高為33.(1題)2．(1)證明：∵垂直平分∴OC，AD＝CD，BC.∵形AFCG是形，∴∥∴∠CDO＝∠∠DCO＝∠BAO.

2222∴△CODeq\o\ac(△,≌)．∴＝AB.∴BC＝CD＝DA.∴形是菱形．(2)解：∵中點(diǎn)，DE⊥∴垂直平分AB.∴＝DB.又∵＝AB∴△ADB為等邊三角形，∴∠＝60°.∵∥，∴∠∠＝60°.1(3)解：由菱形性知，∠OAB＝∠＝30°.在Rt△中，＝1，213∴＝，∴.22∴BD＝1，3.3．(1)證明：∵△ADE點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°得到△CFE，∴＝，＝∴形ADCF是平行四邊形．∵分別為AC邊的中點(diǎn)，∴是△的中位．∴∥∵，∴AED∴⊥AC.∴形ADCF是菱形(2)解：在eq\o\ac(△,Rt)，BC8，6∴10.∵是的中點(diǎn)，∴＝5.∵形ADCF是菱形，∴FC＝＝5.∴形ABCF周長為＋105＋＝28.4．(1)證明：∵是AD點(diǎn)，∴∵∥，∴∠FAE＝∠，又∵∠AEF＝∠DEB，∴△AEFeq\o\ac(△,≌)．(2)證明：由(1)，△AEFeq\o\ac(△,≌)DEB，則AF＝DB∵是BC的中點(diǎn)，∴DB＝DC∴＝CD又∵∥∴形ADCF平行四邊形∵∠BAC1，D是BC的中點(diǎn)，∴AD＝DC＝，∴形ADCF是菱形．2(3)解設(shè)菱形ADCF的邊上的高為h，則Rt△邊上的高也為h，∵5

＋4

141×20＝41，∴DC＝BC＝，h＝，∴224141ADCF的面積為：DC·h＝

4120×＝10.241

專訓(xùn)31．解：(1)仍有BM＋DN＝MN成立．證明如下：圖(1)，過點(diǎn)A作AE⊥，的延長線于點(diǎn)E,易證△ABEeq\o\ac(△,≌)∴＝BEAN.又∵∠∴∠EAM＝∠NAMAM＝AM∴△eq\o\ac(△,≌)NAM.∴＝∵＝BE＋BM＝＋BM，∴DN＝MN.－BM＝證明如下：如圖(2)，DN上截取DE＝BM連接AE.∵形ABCD正方形，∴∠ABM∠＝90°，AD.又∵＝DE，∴ABMeq\o\ac(△,≌)∴∠∠∵，∴∠MAE＝90°.∵∠，∴∠EAN＝∠∵AE，ANAN，∴eq\o\ac(△,≌)AEN.∴＝EN.∴＝＋＝＋∴－BM(1)(2)(1題)2．證明：∵是正方形的兩條對(duì)角線，∴AC⊥，OD＝OC＝OB.∵＝CF，∴＝OF.在Rt△與Rt△DOF中，OA＝OD，AOE＝∠，OE＝，∴△△DOF.∴∠OAE＝∠ODF.∵DOF，∴∠

2222222222222222＝90°.∴∠DFO＋∠＝90°.∴∠AMF，即AM⊥DF.3．(1)證明：∵形ABCD是正方形，∴A∠＝∠C＝∠＝90°，＝CD＝又∵滾動(dòng)多長時(shí)間，＝BQ＝＝DS∴SA＝PB＝QC＝∴△ASPeq\o\ac(△,≌)eq\o\ac(△,≌)CQReq\o\ac(△,≌)∴RQSR，∠ASP＝∠BPQ.∴滾長時(shí)間，形是菱形．又∵∠APS＋∠＝90°，∴∠＋∠＝90°.∴∠＝180°(∠＋∠BPQ)＝90°.∴滾多時(shí)，邊形總是正方形．(2)解：當(dāng)，Q，，S在發(fā)時(shí)或在到達(dá)終點(diǎn)時(shí)面積最大，此時(shí)的面積就等于原正方形面積．(3)解當(dāng)，Q，S四運(yùn)動(dòng)到正方形四邊中點(diǎn)時(shí)，四邊形PQRS的面積是原正方形積的一半．理由：設(shè)原正方形的邊長為a.1當(dāng)PS＝a時(shí)，在Rt△APS中，AS＝－SDa－2由勾股定理，得AS

＋AP

＝PS，即(a－AP)＋AP

1＝，211解得AP＝a.理可得BQ＝CR＝＝a.22∴PQ，R四點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到正方形邊中點(diǎn)時(shí)，四邊形的面積為原正方形面積的一半．專訓(xùn)41．解：(1)△AEDeq\o\ac(△,≌)′.證明：∵形是矩形，∴＝，∠＝∠由折疊的性質(zhì)，知BC＝B′C，∠＝∠B∴B′C＝，∠D.在△和△

2222∠＝′EC，D＝∠BDA＝B′C，∴AEDeq\o\ac(△,≌)CEB′.(1題)(2)如圖，延長交點(diǎn)M則PM⊥AB.∵∠1＝∠，⊥AB∴PM＝PG.∵∥，∴∠＝∠∴＝∠∴CE＝8＝5.在Rt△中，＝3，AE＝5∴＝5－3＝4.∵＋PM＝AD，∴＋PH＝＝4.2．證明：(1)∵∥，CE∥，∴形OCED平行四邊形．∵形是菱形，∴⊥BD.∴∠DOC∴形是矩形．(2)∵形菱形，∴BC＝CD.∵形OCED矩形，∴＝CD，∴＝BC.(3題)3．(1)證明：如圖，過點(diǎn)B作⊥交FP的延長線于點(diǎn)H.∵⊥，PF⊥BH⊥∴形是矩形∴BD＝HF.∵AC∴∠ABC＝∠C.∵⊥，PF⊥∴∠＝∠＝90°.∴EPB＝∠FPC.又∵∠HPB＝∠FPC，∴∠EPB∠HPB.∵⊥，PH⊥BH，∴∠＝∠＝90°.又∵＝，∴△eq\o\ac(△,≌)

222222222222∴＝PH，∴BD＝HFPF＋PH＝PF＋PE.即BD＝PE＋PF.(2)解：不成立，此時(shí)＝＋理由：過點(diǎn)B作BH⊥交PF延長線于點(diǎn)H.與1)同理可得PE＝PH，BD＝∴＝FH＋FP＝＋(4題)4．(1)證明：連接AC如圖．∵是菱形的對(duì)角線，∴是線段AC垂直平分線，∴EC.(2)解：點(diǎn)是線段BC中點(diǎn)．理由：∵形是菱形，∴CB.又∵∠，∴是等邊三角形，∴∠＝60°.∵EC，∴∠EAC∠ACE.∵∠CEF＝60°，∴∠EAC，∴∠EAC∠∴△ABC角平分線．∴＝CF.∴F是線段BC的中點(diǎn)．5．(1)證明：在△DFC中，∠DFC，∠，DC＝，∴＝t，又∵t，∴＝DF.(2)解：能．理由如下：∵AB⊥BC，DF⊥，∴∥又∵DF，∴形AEFD為平行邊形．在Rt△ABC中，設(shè)x，則由∠＝30°，得AC＝2x，由勾股定理，＋BC＝AC，x＋(53)＝，解5(負(fù)根舍去)，∴5.

22222222∴＝＝10.∴＝AC－DC＝10－2t.由已知得點(diǎn)從點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A的時(shí)間為10÷2＝5(s)，點(diǎn)E從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)的時(shí)間為5÷1＝5(s)．若使?為菱形，則需AE＝，即t＝－2t，解得t＝

103

.合題意．故當(dāng)t＝

103

s，