立體幾何截圖和作圖

立體幾何截圖和作圖第一頁，共64頁。立體幾何專題(1)☆多面體的截面多面體的截面在課本P59─例3、P63─B─1處體現(xiàn)。第二頁，共64頁。一、定義及相關(guān)要素用一個平面去截幾何體，此平面與幾何體的交集，叫做這個幾何體的截面．此平面與幾何體表面的交集(交線)叫做截線．此平面與幾何體的棱的交集(交點)叫做截點．二、作多面體截面1．方法(交線法)．該作圖關(guān)鍵在于確定截點，有了位于多面體同一表面上的兩個截點即可連結(jié)成截線，從而求得截面．2．作截線與截點的主要根據(jù)有：(1)確定平面的條件．(2)如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們相交于過此點的一條直線．(3)如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點都在這個平面內(nèi)．(4)如果一條直線平行于一個平面，經(jīng)過這條直線的平面與這個平面相交，那么這條直線就和交線平行．(5)如果兩個平面平行，第三個平面和它們相交，那么兩條交線平行．第三頁，共64頁。三、作圖題型1°截面經(jīng)過的三個已知點分別在多面體的棱上，且其中有兩點在同一個面的棱上．作圖題1．如圖，正方體ABCD―A1B1C1D1中，E、F、G分別在AB、BC、DD1上，求作過E、F、G三點的截面．作法：(1)在底面AC內(nèi)，過E、F作直線EF分別與DA、DC的延長線交于L、M．(2)在側(cè)面A1D內(nèi)，連結(jié)LG交AA1于K．(3)在側(cè)面D1C內(nèi)，連結(jié)GM交CC1于H．(4)連結(jié)KE、FH．則五邊形EFHFK即為所求的截面．第四頁，共64頁。作圖題2．P、Q、R三點分別在直四棱柱AC1的棱BB1、CC1和DD1上，試畫出過P、Q、R三點的截面．作法：(1)連接QP、QR并延長，分別交CB、CD的延長線于E、F.(2)連接EF交AB于Ｔ，交AD于S．(3)連接RS、TP。則多邊形PQRST即為所求截面。第五頁，共64頁。作圖題3．已知P、Q、R分別是四棱柱ABCD―A1B1C1D1的棱CD、DD1和AA1上的點，且QR與AD不平行，求作過這三點的截面。作法：(1)連接QP并延長交DA延長線于點I。(2)在平面ABCD內(nèi)連接PI交AB于點M。(3)連接QP、RM。則四邊形PQRM即為所求。第六頁，共64頁。作圖題4．如圖，五棱錐P―ABCDE中，三條側(cè)棱上各有一已知點F、G、H，求作過F、G、H的截面．作法：(1)將側(cè)面PAB、PBC、PDE伸展得到三棱錐P―BST．(2)在側(cè)面PBS內(nèi)，連結(jié)并延長GF，交PS于K．(3)在側(cè)面PBT內(nèi)，連結(jié)并延長GH交PT于L．(4)在側(cè)面PST內(nèi)，連結(jié)KL分別交PD、PE于M、N．(5)連結(jié)FN、MH．則五邊形FGHMN即為所求的截面．第七頁，共64頁。2°截面經(jīng)過的三個已知點至少有一點在多面體的面上，其余點在棱上．作圖題5．如圖，正方體ABCD―A1B1C1D1中，E、F在兩條棱上，G在底面A1C1內(nèi)，求過E、F、G的截面．作法：(1)過E、F作輔助面。在面BC1內(nèi)，過F作FF1∥BB1，交B1C1于點F1，則面AFF1A1為所作的輔助面．(2)在面AFF1A1內(nèi)，延長F1A1交FE的延長線于P．(3)在面A1B1C1D1內(nèi)，連接PG交A1B1于M．并延長交B1C1于M。(4)連結(jié)ME并延長與BA延長線交于Q，連接QF交AD于H．(5)連結(jié)EH，F(xiàn)N．則五邊形EHFNM為所求的截面．第八頁，共64頁。作圖題6．已知直四棱柱AC1，P在面D1DCC1內(nèi)，Q在面A1ADD1內(nèi)，R在棱BB1上，畫出過P、Q、R三點的截面。第九頁，共64頁。作法：(1)過P作PP⊥CD于點P，過Q作QQ⊥AD于Q。(2)在底面ABCD內(nèi)連接AP、BQ，并交于H。(3)由平行線QQ、RB作平面QQBR，連接QR。(4)在平面QQBR內(nèi)過H作KH⊥面ABCD交QR于K。(5)由平行線PP、AA1作平面PPAA1，則K必落在面PPAA1內(nèi)。(6)在面PPAA1內(nèi)，連接PK，并延長交AA1于M。(7)在面A1ADD1內(nèi)，連接MQ，并延長交DD1于S。(8)在面D1DCC1內(nèi)，連接SP，并延長交CC1于T。(9)連接RT、RM。則多邊形SMRT即為所求。第十頁，共64頁。3°截面經(jīng)過的三個已知點中，有兩個點在同一棱上，第三點在多面體內(nèi)．作圖題7．試畫出過正三棱柱ABC―A1B1C1的底邊BC及兩底中心連線OO1中點的截面。作法：(1)過A1A和OO1作平面AOO1A1，交BC于D，交B1C1于D1，則D、D1分別為BC、B1C1的中點。(2)在平面A1AM內(nèi)，作直線DM交上底面A1B1C1于點G。(3)在平面A1B1C1內(nèi)，過G作EF∥B1C1交A1B1于E，交A1C1于F。(4)連接BE，CF。則多邊形BCFE為所求。第十一頁，共64頁。作圖題8．在側(cè)棱和高的夾角為α的正四棱錐中，求作一個過底面頂點且與這點所對側(cè)棱垂直的截面(α＜45°)。作法：(1)在平面SAC中，作AE⊥SC于點E。(2)在底面ABCD內(nèi)過A作a∥BD。(3)延長CB、CD分別交a于點M、N。(4)連接EM、EN，分別交SB、SD于點G、H。(5)連接AG、AH。則多邊形AGEH即為所求。第十二頁，共64頁。4°截面經(jīng)過的三個已知點兩兩不在同一面內(nèi)的棱上．作圖題9．P、Q、R三點分別在直四棱柱AC1的棱CC1、A1D1和AB上，試畫出過P、Q、R三點的截面．第十三頁，共64頁。作法：(1)先過R、P兩點作輔助平面。過點R作R1R∥BB1交A1B1于R1，則面CRR1C1為所作的輔助平面。(2)在面CRR1C1內(nèi)延長R1C1，交RP的延長線于M。(3)在面A1B1C1D1內(nèi)，連接MQ，交C1D1于點S，延長MQ交B1A1的延長線于點T。(4)連接TR，交AA1于點N，延長TR交B1B于點K，再連接KP交BC于點L。(5)連接RL、PS、QN。則多邊形QNRLPS為所求。第十四頁，共64頁。注：①若已知兩點在同一平面內(nèi)，只要連接這兩點，就可以得到截面與多面體的一個面的截線。②若面上只有一個已知點，應(yīng)設(shè)法在同一平面上再找出第二確定的點。③若兩個已知點分別在相鄰的面上，應(yīng)找出這兩個平面的交線與截面的交點。④若兩平行平面中一個平面與截面有交線，另一個面上只有一個已知點，則按平行平面與第三平面相交，那么它們的交線互相平行的性質(zhì)，可得截面與平面的交線。⑤若有一點在面上而不在棱上，則可通過作輔助平面轉(zhuǎn)化為棱上的點的問題；若已知點在體內(nèi)，則可通過輔助平面使它轉(zhuǎn)化為面上的點，再轉(zhuǎn)化為棱上的點的問題來解決。第十五頁，共64頁。立體幾何專題(2)☆空間圖形的作圖空間圖形的作圖在課本P51─A─1、P62─A─4、P78─A─1&2處體現(xiàn)。第十六頁，共64頁。一、空間幾何作圖的規(guī)則：1°通過不共線的三點作一平面．2°求兩個可作相交平面的交線．3°在一個可作平面內(nèi)，支持用直尺和圓規(guī)按照平面幾何解決一切作圖題．4°任意取一點，在或不在已知直線上，在或不在已知平面上；任意取一直線，通過或不通過一已知點，在或不在已知平面內(nèi)；任意取一平面，通過或不通過一已知點，通過或不通過一已知直線．5°求已知球心及半徑的球面．二、解作圖問題的步驟：1°分析：假設(shè)求作的圖形已經(jīng)作出了．研究已知條件和未知條件間有何可以溝通的關(guān)系或中間條件，從而發(fā)現(xiàn)如何從已知條件通過中間條件的媒介達(dá)到未知條件．2°作法：從分析的結(jié)果，寫(說)出每一個作圖過程．3°證明：證明所作圖形確實滿足所設(shè)條件．4°討論：研究在怎樣的條件下，解答存在或不存在，以及當(dāng)解答存在時解的個數(shù)有多少．第十七頁，共64頁。三、簡單作圖題作圖題1．求作一平面使其滿足下列條件之一：1°通過一已知直線及其外一已知點；2°通過兩已知相交直線；3°通過兩已知平行直線．作圖題2．求已知直線和已知平面的交點．作圖題3．求三已知平面的交點．作圖題4．通過已知直線外一已知點，求作一直線使與該直線平行.第十八頁，共64頁。第十九頁，共64頁。作圖題5(P62―4)．給定兩條異面直線，求作一平面通過其中一線而平行于另一線．命題：過兩異面直線中一個有且只有一平面與另一直線平行。證明：證明存在性。設(shè)直線a、b異面。在a上任選取一點A，過A作b∥b。相交直線a和b確定一平面α，則b∥α。證明唯一性。設(shè)點A和直線b確定平面β，則α∩β＝b，A∈b。假設(shè)過a還存在平面γ∥b，則必有γ與β相交。設(shè)γ∩β＝b，則b∥b，A∈b?！郻∥b與A∈b且A∈b相矛盾。故α是唯一的。∴作圖題5解答唯一存在。作法：在直線a

上任取一點A，過直線b與線外一點A作平面M，在平面M內(nèi)作直線c∥b，過相交直線a與c作平面N．則平面N即為所求．第二十頁，共64頁。作圖題6．給定兩條異面直線，過其一直線各作一平面使兩平面互相平行．命題(P63―2)：a、b是異面直線，aα，a∥β，bβ，b∥α存在唯一一對α、β使α∥β。證明：∵a、b異面，aα，b∥α，由作圖題5的命題知，這樣的面α有且只有一個。要確定它，只需在a上任取一點A作直線b∥b，則a和b就確定了α。同理，滿足條件的β也有且只有一個。要確定它，只需在b上任取一點B作直線a∥a，則b和a就確定了β。綜上知α、β存在且唯一。又∵a∥a，b∥b，a、bα，b、aβ，∴α∥β?！嘧鲌D題6解答唯一存在。第二十一頁，共64頁。作圖題7．過給定平面外一點求作一平面，使平行于該平面．命題：過平面外一點，有且只有一個平面與該平面平行。證明：設(shè)A是面α外一點。在α內(nèi)任取兩相交直線a、b，過A作a∥a，b∥b，兩相交直線a、b確定面α?！唳痢桅?。存在性證明了。假設(shè)過A還存在γ∥α，則a∥γ，b∥γ。設(shè)過A和a的平面為β，則β與γ必相交。設(shè)γ∩β＝a，則a∥a，∴a∥a，這與A∈a且A∈a矛盾。故α是唯一的。唯一性也證明了。∴作圖題7解答唯一存在。第二十二頁，共64頁。作圖題8．給定兩直線a、b及一點A，求作一平面使通過A并平行于a和b．解：1°若a、b異面，且A不在通過其中過一線而平行于另一線的平面內(nèi)，則問題有唯一解答。2°若a、b相交，且A不在a、b所確定的平面內(nèi)，則問題有唯一解答。3°若a、b平行，且A既不在a上又不在b上，則問題不定，即有無窮多個解答。4°其它情形下，問題無解。作法：在a和A確定的平面內(nèi)過A作a∥a，在b和A確定的平面內(nèi)過A作b∥b。由a和b確定的平面α即為所求。第二十三頁，共64頁。作圖題9．求作一直線l使與兩直線a、b相交，并通過此兩直線以外的一已知點M．解：Ⅰ．若a、b共面于α．1°當(dāng)M∈α?xí)r，有無窮多個解答．2°當(dāng)Mα且a、b相交時，有唯一解答。3°當(dāng)Mα且a∥b時，沒有解答。Ⅱ．若a、b異面．1°當(dāng)M在過a而平行于b的平面β內(nèi)或在過b而平行于a的平面γ內(nèi)時，沒有解答。2°當(dāng)M既不在過a而平行于b的平面β內(nèi)又不在過b而平行于a的平面γ內(nèi)時，有唯一解答。第二十四頁，共64頁。作圖題10．給定兩條異面直線a和b，求作一直線l使與a、b相交，并與第三直線c平行．解：Ⅰ．若c、a相交且確定平面α．1°當(dāng)α∥b時，無解。2°當(dāng)α與b相交時，有一解。解為過b與α的交點A作c的平行線。Ⅱ．若c、a異面。設(shè)過a且平行于c的平面為β。1°當(dāng)β∥b時，無解。2°當(dāng)β與b相交時，有一解。解為過b與β的交點B作c的平行線。綜上知，當(dāng)a、b、c平行于同一平面時，無解；其它情況下，只有一解。第二十五頁，共64頁。作圖題11．給定一平面及一斜線，求作在平面上通過斜足作一直線，使與斜線成已知銳角．

第二十六頁，共64頁。作圖題12．通過一定直線求作一平面，使與平面成定角．

第二十七頁，共64頁。

第二十八頁，共64頁。作圖題13．給定兩條異面直線，求作一直線和它們垂直相交。解：過b任意一點M作a∥a，作過b和a的平面β。過a作面γ⊥β交β于a0，則a0與b必相交(反證法)。設(shè)a0∩b＝B。在γ內(nèi)過B作BA⊥a0交a于A。故直線AB即為所求。第二十九頁，共64頁。立體幾何專題☆求空間角的基本方法第三十頁，共64頁。1．異面直線上兩點間的距離公式．已知夾角為θ的兩異面直線a、b的公垂線段為AA(

A∈a，A∈b)，E、F分別為a、b上的點，且|AA|＝d，|AE|＝m，|AF|＝n，則________________________________________．

幾個常用公式解：設(shè)經(jīng)過b與a平行的平面為α，經(jīng)過a和AA的平面為β，α∩β＝c，則c∥a．因而b、c所成角等于θ，且AA⊥c．又AA⊥b，∴AA⊥α．又AAβ，∴α⊥β．在β內(nèi)作EG⊥c于G，則EG＝AA，EG⊥α．連接FG，則EG⊥FG．第三十一頁，共64頁。

注：還可用向量法．第三十二頁，共64頁。

應(yīng)用示例第三十三頁，共64頁。

選A變式：將題中“正方形沿對角線BD折成直二面角A－BD－C”改為“正方形沿對角線BD折成60°二面角A－BD－C”，其它不變，又如何？第三十四頁，共64頁。2．三余弦公式．已知AO是平面α的斜線，Ａ為斜足，OB⊥α于B，則AB是AO在α內(nèi)的射影．設(shè)AC是α內(nèi)的任一條直線，且BC⊥AC于C．設(shè)AO與AB所成角為θ1，AB與AC所成角為θ2，AO與AC所成角為

θ．則__________________．cosθ＝cosθ1cosθ2

第三十五頁，共64頁。

應(yīng)用示例

第三十六頁，共64頁。

選C第三十七頁，共64頁。3．射影面積公式．已知二面角─l─的面內(nèi)的平面圖形Γ的面積為S，Γ在面內(nèi)的射影圖形Γ的面積為S，二面角─l─的大小為，則_________。

下面以Δ進(jìn)行說明。第三十八頁，共64頁。一、基本方法1．直接法：先作出平面角，再求其大?。?．間接法(公式法)：①異面直線上兩點間的距離公式．已知夾角為θ的兩異面直線a、b的公垂線段為AA(A∈a，A∈b)，E、F分別為a、b上的點，且|AA|＝d，|AE|＝m，|AF|＝n，則________________________________________．②射影面積法．已知二面角─l─的面內(nèi)的平面圖形Γ的面積為S，Γ在面內(nèi)的射影圖形Γ的面積為S，二面角─l─的大小為，則_________。③向量法．

☆求二面角的基本方法第三十九頁，共64頁。示例．如圖，在三棱錐A─BCD中，AB⊥面BCD，BD⊥CD。(1)求證：面ABD⊥面ACD；(2)若AB＝BC＝2BD，求二面角B─AC─D的正切值。(1)證明：∵AB⊥面BCD，∴AB⊥CD。又BD⊥CD，AB∩BD＝D，∴CD⊥面ABD。又CD面ACD，∴面ABD⊥面ACD。第四十頁，共64頁。

第四十一頁，共64頁。二面角的平面角作法二：作DE⊥BC于E，DF⊥AC于F，連接EF．∵AB⊥面BCD，∴面ABC⊥面BCD，∴DE⊥面ABCDE⊥AC．∴AC⊥面ＤEFAC⊥EF．則∠DFE是二面角B─AC─D的平面角。說明：若在討論二面角大小時，存在與二面角的一個面垂直而與二面角的另一個面相交的平面，常先該平面內(nèi)作出兩垂面交線的垂線，然后構(gòu)造出二面角的平面角。第四十二頁，共64頁。

第四十三頁，共64頁。

第四十四頁，共64頁。射影作法二：作DE⊥BC于E，連接AE．∵AB⊥面BCD，∴面ABC⊥面BCD，∴DE⊥面ABC．∴ΔADC在面ABC內(nèi)的射影為ΔAEC．二、作(找)二面角的平面角的基本方法1．定義法2．三垂線法3．垂面法4．轉(zhuǎn)化法第四十五頁，共64頁。1．定義法示例1．在60°的二面角α―a―β的兩個面內(nèi)，分別有A和B兩點．已知A和B到棱的距離分別為2和4，且線段AB＝10，試求：(1)直線AB與棱a所構(gòu)成的角的正弦值；(2)直線AB與平面α所構(gòu)成的角的正弦值．解析：在平面β內(nèi)作AD⊥a；在平面α內(nèi)作BE⊥a，CD

EB，連結(jié)BC、AC．則BC

DE，CD⊥a，∴∠ABC是AB與a所成角，則由二面角的平面角的定義，可知∠ADC為二面角α―a―β的平面角，即∠ADC＝60°．第四十六頁，共64頁。

第四十七頁，共64頁。

第四十八頁，共64頁。示例2．如圖，四棱錐A―BCED中，DB和EC與面ABC垂直，ΔABC為正三角形．(1)若BC＝EC＝BD時，求面ADE與面ABC的夾角；(2)若BC＝EC＝2BD時，求面ADE

與面ABC的夾角．分析：如圖，面ADE與面ABC的交線蛻化成一點，但面ADE與面ABC與面DC相交．如果三個平面兩兩相交，它們可能有三種情況：(1)交線為一點；(2)一條交線；(3)三條交線互相平行．在圖1中，兩條交線BC與DE互相平行，所以肯定有過A且平行于DE的一條交線．如圖2，DE與BC不平行且相交．根據(jù)三個平面兩兩相交可能出現(xiàn)的三種情況，這三個面的交線為一點．第四十九頁，共64頁。解：∵CE⊥面ABC，BD⊥面ABC，∴CE∥BD。(1)∵CE＝BD，∴BC

DE。過A作AM∥DE，平面ADE與平面ABC的交線即為AM．過A作AN⊥DE于N，過A作AF⊥BC于F．∴AN⊥AM，AF⊥AM，則∠NAF為面ADE與面ABC的夾角的平面角．

第五十頁，共64頁。(2)∵EC＝2BD，延長ED、CB相交于G點，連結(jié)AG．AG即為平面ADE與平面ABC的交線，點B為GC的中點。在ΔAGC中，AB＝AC＝BC＝BG，∴AC⊥AG。又CE⊥面ABC，∴CE⊥AC，CE⊥AG，即證∠CAE為平面ADE與平面ABC的夾角的平面角．在RtΔANF中，AC＝CE，∴∠CAE＝45°。第五十一頁，共64頁。示例3．如圖，空間四邊形ABCD中，AB＝AD＝3，BC＝CD＝4，BD＝2，AC＝5．試求A―BD―C二面角的余弦值．

說明：利用正Δ和等腰Δ中的三線合一找垂直關(guān)系。第五十二頁，共64頁。示例4.如圖，已知空間四邊形ABCD，AB＝BC＝6，AD＝CD＝4，BD＝8，AC＝5．試求A―BD―C的余弦值．

說明：利用Δ全等找垂直關(guān)系。第五十三頁，共64頁。2．三垂線法作(找)出二面角的平面角示例1．如圖，在平面β內(nèi)有一條直線AC與平面α成30°，AC與棱BD成45°，求平面α與平面β的二面角的大?。猓哼^A作AF⊥BD于F，AE⊥平面α于E，連結(jié)CE、EF，則∠ACE是AC與α所成角，AE⊥BD，∴BD⊥面AEF，BD⊥EF，則∠AFE為二面角的平面角．

第五十四頁，共64頁。說明：(1)如果兩個平面相交，有過一個平面內(nèi)的一點與另一個平面垂直的垂線，可過這一點向棱作垂線，連結(jié)兩個垂足．應(yīng)用三垂線定理可證明兩個垂足的連線與棱垂直，那么就可以找到二面角的平面角．(2)在應(yīng)用三垂線定理尋找二面角的平面角時，注意“作”、“連”、“證”．第五十五頁，共64頁。示例2．如圖，正方體ABCD―A1B1C1D1中，M為棱AD的中點，求平面B1C1CB和平面BC1M所構(gòu)成的銳二面角的正切．解析：平面AC與二面角M―BC1―C的一個面B1C垂直，與另一個平面MBC1相交，過M點作MP⊥BC于P，∵面AC⊥面B1C，∴MP⊥面B1C，∴MP⊥BC1，過P作PN⊥BC1于N，連結(jié)MN，∴BC1⊥面MNP，∴MN⊥BC1，則∠MNP為二面角M―BC1―C

的平面角．

第五十六頁，共64頁。說明：當(dāng)一個平面與二面角的一個平面垂直，與另一個平面相交時，往往過這個面上的一點作這兩個垂直平面交線的垂線，再過垂足作二面角棱的垂線．根據(jù)三垂線定理即可證明，并找出二面角的平面角．第五十七頁，共64頁。3．垂面法作(找)出二面角的平面角：作二面角棱的垂面，垂面與二面角的兩個面的兩條交線所構(gòu)成的角，即為二面角的平面角。示例．如圖，已知P為α―CD―β內(nèi)的一點，PA⊥α于A點，PB⊥β于B點，如果∠APB＝n°，試求二面角α―CD―β的平面角大?。猓涸O(shè)過PA、P