2023北京版數(shù)學(xué)高考第二輪復(fù)習(xí)第二章函數(shù)的概念與基本初等函數(shù)

2023北京版數(shù)學(xué)高考第二輪復(fù)習(xí)

第二章函數(shù)的概念與基本初等函數(shù)

2.7函數(shù)模型及其應(yīng)用

五年高考

考點(diǎn)函數(shù)模型及其應(yīng)用

1.(2022北京,7,4分,應(yīng)用性)在北京冬奧會(huì)上，國家速滑館冰絲帶"使用高效環(huán)保的二氧化碳跨臨界直冷

制冰技術(shù),為實(shí)現(xiàn)綠色冬奧作出了貢獻(xiàn).如圖描述了一定條件下二氧化碳所處的狀態(tài)與T和lgP的關(guān)系,

其中T表示溫度.單位是K;P表示壓強(qiáng).單位是bar.下列結(jié)論中正確的是()

A.當(dāng)T=220,P=l026時(shí)，二氧化碳處于液態(tài)

B.當(dāng)T=270,P=128時(shí)，二氧化碳處于氣態(tài)

C.當(dāng)T=300,P=9987時(shí).二氧化碳處于超臨界狀態(tài)

D.當(dāng)T=360,P=729時(shí)，二氧化碳處于超臨界狀態(tài)

答案D

2.(2020課標(biāo)1H,理4,文4,5分，綜合性)Logistic模型是常用數(shù)學(xué)模型之一，可應(yīng)用于流行病學(xué)領(lǐng)域.有學(xué)者

根據(jù)公布數(shù)據(jù)建立了某地區(qū)新冠肺炎累計(jì)確診病例數(shù)I(t)(l的單位:天)的Logistic模型:1⑴q+e■地53》

其中K為最大確診病例數(shù).當(dāng)I(t*)=0.95K時(shí).標(biāo)志著已初步遏制疫情，則t*約為(In19?3)()

A.60B.63C.66D.69

答案c

3.(2020新高考I,6,5分，綜合性)基本再生數(shù)R。與世代間隔T是新冠肺炎的流行病學(xué)基本參數(shù).基本再生

數(shù)指一個(gè)感染者傳染的平均人數(shù)，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時(shí)間.在新冠肺炎疫情初始階

段，可以用指數(shù)模型：I(t)=e”描述累計(jì)感染病例數(shù)1(。隨時(shí)間t(單位:天)的變化規(guī)律，指數(shù)增長率r與R0,T

近似滿足Ro=l+rT.有學(xué)者基于已有數(shù)據(jù)估計(jì)出Ro=3.28,T=6.據(jù)此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計(jì)感染病

例數(shù)增加1倍需要的時(shí)間約為(In2~0.69)()

A.L2天B.1.8天C.2.5天D.3.5天

答案B

4.(2019課標(biāo)H理,4,5分,綜合性)2019年1月3日嫦娥四號(hào)探測器成功實(shí)現(xiàn)人類歷史上首次月球背面軟

著陸，我國航天事業(yè)取得又一重大成就.實(shí)現(xiàn)月球背面軟著陸需要解決的一個(gè)關(guān)鍵技術(shù)問題是地面與探

測器的通訊聯(lián)系為解決這個(gè)問題，發(fā)射了嫦娥四號(hào)中繼星鵲橋"，鵲橋沿著圍繞地月拉格朗日L2點(diǎn)的軌

道運(yùn)行L點(diǎn)是平衡點(diǎn)，位于地月連線的延長線上.設(shè)地球質(zhì)量為Mi月球質(zhì)量為M2,地月距離為R,L2點(diǎn)

到月球的距離為r.根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律和萬有引力定律,r滿足方程：

仁+華=(R+r)粵.

(R+r)‘r2''M

設(shè)a3.由于a的值很小，因此在近似計(jì)算中吸叱3a3,則r的近似值為()

R(1+a)

A篇RB.端RC.瞪RD.篇R

答案D

5.(2019北京，文7,理6,5分，綜合性)在天文學(xué)中,天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述.兩顆星的星

等與亮度滿足其中星等為mk的星的亮度為Ek(k=1,2).已知太陽的星等是-26.7,天狼星的星

L七2

等是-L45,則太陽與天狼星的亮度的比值為()

A.1O101B.10.1C.lg10.1D.1O10-1

答案A

6.（2015北京文,8,5分，綜合性）某輛汽車每次加油都把油箱加滿,下表記錄了該車相鄰兩次加油時(shí)的情況.

加油加油時(shí)的累

加油時(shí)間

量（升）計(jì)里程（千米）

2015年5月1日1235000

2015年5月15日4835600

注:累計(jì)里程"指汽車從出廠開始累計(jì)行駛的路程.

在這段時(shí)間內(nèi)，該車每100千米平均耗油量為（）

A.6升B.8升C.10升D.12升

答案B

7.（2015北京,8,5分，綜合性）汽車的燃油效率"是指汽車每消耗1升汽油行駛的里程，下圖描述了甲、乙、

丙三輛汽車在不同速度下的燃油效率情況.下列敘述中正確的是（）

A.消耗1升汽油，乙車最多可行駛5千米

B.以相同速度行駛相同路程，三輛車中，甲車消耗汽油最多

C.甲車以80千米/小時(shí)的速度行駛1小時(shí)消耗10升汽油

D.某城市機(jī)動(dòng)車最高限速80千米/小時(shí).相同條件下.在該市用丙車比用乙車更省油

答案D

8.（2020北京.15,5分，綜合性）為滿足人民對(duì)美好生活的向往，環(huán)保部門要求相關(guān)企業(yè)加強(qiáng)污水治理才非放

未達(dá)標(biāo)的企業(yè)要限期整改.設(shè)企業(yè)的污水排放量W與時(shí)間t的關(guān)系為W=f（t）,用-粵?的大小評(píng)價(jià)在

b-a

［a,b］這段時(shí)間內(nèi)企業(yè)污水治理能力的強(qiáng)弱.已知整改期內(nèi)，甲、乙兩企業(yè)的污水排放量與時(shí)間的關(guān)系如

圖所示.

污水達(dá)標(biāo)

排放量

給出下列四個(gè)結(jié)論：

①在也,匕］這段時(shí)間內(nèi)，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng)；

②在t2時(shí)刻，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng)；

③在t3時(shí)刻，甲、乙兩企業(yè)的污水排放都已達(dá)標(biāo)；

④甲企業(yè)在［0,卻］,也同居心］這三段時(shí)間中在［0,3的污水治理能力最強(qiáng).

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

答案①②③

三年模擬

A組考點(diǎn)基礎(chǔ)題組

考點(diǎn)函數(shù)模型及其應(yīng)用

1.（2022平谷零模,10）生物學(xué)家認(rèn)為，睡眠中的恒溫動(dòng)物依然會(huì)消耗體內(nèi)能量，主要是為了保持恒溫.根據(jù)

生物學(xué)常識(shí),采集了一些動(dòng)物體重和脈搏率對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)，經(jīng)過研究彳導(dǎo)到體重和脈搏率的對(duì)數(shù)型模型:In

f=lnk-殍（其中f是脈搏率（心跳次數(shù)/min）,體重為W（g）,k為待定系數(shù)）.已知一只體重為300g的豚鼠脈

搏率為300/min,如果測得一只小狗的體重5000&那么與這只小狗的脈搏率最接近的是（）

A.130/minB.120/min

C.HO/minD.100/min

答案B

2.（2022東城期末,6）人類已進(jìn)入大數(shù)據(jù)時(shí)代.目前，全球年數(shù)據(jù)產(chǎn)生量已經(jīng)從TB級(jí)別躍升到PB.EB乃至

ZB級(jí)別(1TB=1024GB,1PB=1024TB,1EB=1024PB,1ZB=1024EB).由國際數(shù)據(jù)公司IDC的研

究結(jié)果得到2008年至2020年全球年數(shù)據(jù)產(chǎn)生量（單位:ZB）的散點(diǎn)圖.根據(jù)散點(diǎn)圖，下面四個(gè)選項(xiàng)中最適

A.y=a+bxB.y=a+bVx

C.y=a+blnxD.y=a+bex

答案D

3.（2022通州一模,8）太陽高度角是太陽光線與地面所成的角（即太陽在當(dāng)?shù)氐难鼋牵?設(shè)地球表面某地正午

太陽高度角為9,8為此時(shí)太陽直射點(diǎn)緯度為當(dāng)?shù)鼐暥戎?那么這三個(gè)量滿足。=90。-陪認(rèn)通州區(qū)某校學(xué)

生科技社團(tuán)嘗試估測通州區(qū)當(dāng)?shù)鼐暥戎担ǎ╬取正值）,選擇春分當(dāng)日（6=0。）測算正午太陽高度角他們將長

度為1米的木桿垂直立于地面，測量木桿的影長.甲、乙、丙、丁四個(gè)小組在同一場地同時(shí)進(jìn)行,測量結(jié)

果如下:

組別甲組乙組丙組丁組

木桿的影長（米）0.82（）.8（）（）.83（）.85

則四組中對(duì)通州區(qū)當(dāng)?shù)鼐暥裙罍y值最大的一組是（）

A.甲組B.乙組C.丙組D.丁組

答案D

4.（2022西城二模,10）如圖為某商鋪A、B兩種商品在2022年前3個(gè)月的銷售情況統(tǒng)計(jì)圖，已知賣出一

件A商品盈利20元，賣出一件B商品盈利10元.圖中點(diǎn)AjAI、A3的縱坐標(biāo)分別表示A商品2022年

前3個(gè)月的銷售量，點(diǎn)Bi、B2SB3的縱坐標(biāo)分別表示B商品2022年前3個(gè)月的銷售量.根據(jù)圖中信息,

下列四個(gè)結(jié)論中正確的是（）

銷量

%

%

?4

0I月2月3月時(shí)間

①2月A、B兩種商品的總銷售量最多；

②3月A、B兩種商品的總銷售量最多；

③1月A、B兩種商品的總利潤最多；

④2月A、B兩種商品的總利潤最多.

A.①③B.①④C.②③D.②④

答案C

5.（2021朝陽二模,7）某地對(duì)生活垃圾使用填埋和環(huán)保兩種方式處理.該地2020年產(chǎn)生的生活垃圾為20

萬噸，其中15萬噸以填埋方式處理,5萬噸以環(huán)保方式處理.預(yù)計(jì)每年生活垃圾的總量比前一年增加1萬

噸，同時(shí)，因垃圾處理技術(shù)越來越進(jìn)步,要求從2021年起每年通過環(huán)保方式處理的生活垃圾量是前一年的

q倍.若要使得2024年通過填埋方式處理的生活垃圾量不高于當(dāng)年生活垃圾總量的50%很［Jq的值至少

為（）

A.VI4B.V2?5C.Vl4D.V23

答案C

6.（2021順義二模,7）把物體放在空氣中冷卻，如果物體原來的溫度是0,t,空氣的溫度是0。C那么t

min后物體的溫度。（單位:。C）可由公式9=0。+（&-。0把-“求得.其中k是一個(gè)隨著物體與空氣的接觸情況而

定的常數(shù).現(xiàn)有46℃的物體，放在10℃的空氣中冷卻,1min后物體的溫度是38C則k的值約為（In

3al.10,In7?1.95）（）

A.0.25B.-0.25C.0.89D.-0.89

答案A

B組綜合應(yīng)用題組

時(shí)間:50分鐘分值49分

一、選擇題（每小題4分，共24分）

1.（2022房山一模,7）大西洋鞋魚每年都要逆流而上，游回產(chǎn)地產(chǎn)卵,研究發(fā)現(xiàn)鞋魚的游速（單位:m/s）可以表

示為v=Tlog39，其中Q表示鞋魚的耗氧量.則鞋魚以1.5m/s的速度游動(dòng)時(shí)的耗氧量與靜止時(shí)的耗氧

量的比值為（）

A.2600B.2700C.26D.27

答案D

2.（2022朝陽二模,10）某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過濾后排放，過濾過程中廢氣的污染物含量P（單位:mg/L）與時(shí)

間t（單位:h）間的關(guān)系為P=P°e上其中P°,k是正的常數(shù).如果在前10h污染物減少19%,那么再過5h后

污染物還剩余（）

A.40.5%B.54%C.65.6%D.72.9%

答案D

3.（2022門頭溝一?！?）新型冠狀病毒肺炎（COVID-19）嚴(yán)重影響了人類正常的經(jīng)濟(jì)與社會(huì)發(fā)展.我國政府

對(duì)此給予了高度重視，采取了各種防范與控制措施，舉國上下團(tuán)結(jié)一心，疫情得到了有效控制.人類與病毒

的斗爭將是長期的，有必要研究它們的傳播規(guī)律.做到有效預(yù)防與控制防患于未然已知某地區(qū)爆發(fā)某種

傳染病，當(dāng)?shù)匦l(wèi)生部門于4月20日起開始監(jiān)控每日感染人數(shù)，若該傳染病在當(dāng)?shù)氐膫鞑ツＰ蜑?/p>

過戶4%6⑴表示自4月20日開始t（單位:天）時(shí)刻累計(jì)感染人數(shù)i（t）的導(dǎo)數(shù)『⑴表示t時(shí)刻的新增病例

數(shù)In9*2.1972）,根據(jù)該模型推測該地區(qū)新增病例數(shù)達(dá)到頂峰的日期所在的時(shí)間段為（）

A.4月3（）日~5月2日

B.5月3日~5月5日

C.5月6日~5月8日

D.5月9日~5月11日

答案A

4.(2021豐臺(tái)一模,8)大氣壓強(qiáng)p=3-,它的單位是帕斯卡”(Pa,1Pa=lN/n?).大氣壓強(qiáng)p(Pa)隨海拔高

受力面積

度h(m)的變化規(guī)律是p=poe*h(k=0.000126m」),po是海平面大氣壓強(qiáng).已知在某高山AiA兩處測得的

大氣壓強(qiáng)分別為pi,p2A=去那么A'兩處的海拔高度的差約為(參考數(shù)據(jù):In2M.693)()

P2z

A.550mB.l818m

C.5500mD.8732m

答案C

5.(2021通州一模,10)著名數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家牛頓曾提出:物體在空氣中冷卻，如果物體的初始溫度為

0)℃,空氣的溫度為0?！?則tmin后物體的溫度0(單位:℃)滿足:9=00+(&-。()＞屋，(其中k為常

數(shù),e=2.71828..).現(xiàn)有某物體放在2()℃的空氣中冷卻,2min后測得物體的溫度為52℃,再經(jīng)過6min

后物體的溫度冷卻到24℃,則該物體的初始溫度是()

A.80℃B.82℃C.84℃D.86℃

答案C

6.(2021懷柔適應(yīng)性練習(xí),10)形狀、節(jié)奏、聲音或軌跡，這些現(xiàn)象都可以分解成自復(fù)制的結(jié)構(gòu)，即相同的

形式會(huì)按比例逐漸縮小，并無限重復(fù)下去，也就是說，在前一個(gè)形式中重復(fù)出現(xiàn)被縮小的相同形式,依此類

推,如圖所示將圖1的正三角形的各邊都三等分以每條邊中間一段為邊再向外作一個(gè)正三角形,去掉中

間一段得到圖2,稱為幺次分形";用同樣的方法把圖2中的每條線段重復(fù)上述操作彳導(dǎo)到圖3,稱為二次

分形":依次進(jìn)行d次分形".得到一個(gè)周長不小于初始三角形周長100倍的分形圖，則n的最小值是(取1g

3?0.4771,1g2M.3010)()

圖1

圖2

圖3

圖4

A.15B.16C.17D.18

答案C

二、填空題（每小題5分，共25分）

7.（2022西城一模,14）調(diào)查顯示，垃圾分類投放可以帶來約0.34元/千克的經(jīng)濟(jì)效益.為激勵(lì)居民垃圾分類,

某市準(zhǔn)備給每個(gè)家庭發(fā)放一張積分卡，每分類投放1kg積分1分，若一個(gè)家庭一個(gè)月內(nèi)垃圾分類投放總

量不低于100kg,則額外獎(jiǎng)勵(lì)x分（x為正整數(shù)）月底積分會(huì)按照0.1元/分進(jìn)行自動(dòng)兌換.

①當(dāng)x=10時(shí)，若某家庭某月產(chǎn)生120kg生活垃圾，該家庭該月積分卡能兌換元；

②為了保證每個(gè)家庭每月積分卡兌換的金額均不超過當(dāng)月垃圾分類投放帶來的收益的40%,則x的最大

值為.

答案①13②36

8.（2022東城二模,15）某公司通過統(tǒng)計(jì)分析發(fā)現(xiàn),工人工作效率E與工作年限r(nóng)（r>0）,勞累程度T（O<T<1）,

勞動(dòng)動(dòng)機(jī)b（l<b<5）相關(guān)，并建立了數(shù)學(xué)模型E=10-10rb°w已知甲、乙為該公司的員工,給出下列四個(gè)

結(jié)論：

①甲與乙勞動(dòng)動(dòng)機(jī)相同,且甲比乙工作年限長，勞累程度弱，則甲比乙工作效率高；

②甲與乙勞累程度相同,且甲比乙工作年限長，勞動(dòng)動(dòng)機(jī)高，則甲比乙工作效率高;

③甲與乙工作年限相同,且甲比乙工作效率高，勞動(dòng)動(dòng)機(jī)低，則甲比乙勞累程度強(qiáng);

④甲與乙勞動(dòng)動(dòng)機(jī)相同,且甲比乙工作效率高，工作年限短，則甲比乙勞累程度弱.

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

答案①②④

9.(2022豐臺(tái)二模,15)如圖,某荷塘里浮萍的面積y(單位:n?)與時(shí)間t(單位月)滿足關(guān)系式:y=a，lna(t>0,a

為常數(shù))，記y=f(t)(t20).給出下列四個(gè)結(jié)論：

①設(shè)an=f(n)(nGN*),則數(shù)列｛即｝是等比數(shù)列；

②存在唯一的實(shí)數(shù)toW(l,2),使得f(2)-f(l)=「(to)成立，其中f?)是f(t)的導(dǎo)函數(shù)；

③常數(shù)aG(l,2);

④記浮萍蔓延到2n?,3n?,6n?所經(jīng)過的時(shí)間分別為舊才羽則h+t?%.

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

答案①②④

10.(2021西城一模,15)長江流域水庫群的修建和聯(lián)合調(diào)度，極大地降低了洪澇災(zāi)害風(fēng)險(xiǎn)，發(fā)揮了重要的防

洪減災(zāi)效益.每年洪水來臨之際，為保證防洪需要、降低防洪風(fēng)險(xiǎn)，水利部門需要在原有蓄水量的基礎(chǔ)上

聯(lián)合調(diào)度，統(tǒng)一蓄水，用蓄滿指數(shù)(蓄滿指數(shù)=水庫實(shí)際蓄水量x100)來衡量每座水庫的水位情況.假設(shè)某次聯(lián)

水