2018屆河北省定州（承智班）高三下學期第一次月考數(shù)學試題（解析版）

2018屆河北省定州（承智班）高三下學期第一次月考數(shù)學試題（解析版）一、單選題1.定義在R上的函數(shù)滿足，且對任意的不相等的實數(shù)，有成立，若關于的不等式在上恒成立，則實數(shù)的取值范圍（）A.B.C.D.【答案】D【解析】∴定義在R上的函數(shù)滿足，，

∴函數(shù)為偶函數(shù)，又對任意的不相等的實數(shù)，有成立，即函數(shù)數(shù)在上遞減，

∴在上單調遞增，

若關于的不等式在上恒成立，

即對恒成立．

∴對恒成立，

即對恒成立，即且對恒成立．

令，則，則在上遞增，上遞減，令則在上遞減，．

綜上所述，故選D．【點睛】本題主要考查函數(shù)的奇偶性和單調性的綜合應用，函數(shù)的恒成立問題，解題時要注意轉化的數(shù)學思想的利用．2.已知函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，則實數(shù)的取值范圍（）A.B.C.D.【答案】C【解析】當時，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，且恒成立，若函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，則在區(qū)間上單調遞增，則，解得，當時，在區(qū)間上單調遞增，滿足條件．當時，在上單調遞增，令，則，則在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，則，解得，綜上所述，實數(shù)的取值范圍，故選C．點睛：本題考查了函數(shù)基本性質的綜合應用問題，解答中涉及到“對勾函數(shù)”的圖象與性質的應用，其中熟記“對勾函數(shù)”的性質和復合函數(shù)的單調性的應用是解答的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，及分類討論思想的應用，合理分類討論是本題解答中的一個易錯點，試題有一定的難度，屬于中檔試題．3.現(xiàn)有兩個半徑為2的小球和兩個半徑為3的小球兩兩相切，若第五個小球和它們都相切，則這個小球的半徑是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】如圖所示，A,B是半徑為2的球的球心，C,D是半徑為3的球的球心，O是第五個球的球心.由題得,,，因為平面BEC，所以.在直角△AEO中，，故選A.點睛：本題的難點在于畫圖和從線面關系里找到方程.所以首先要把圖畫得直觀，再從幾何圖里找到線面關系利用解三角形的知識列出方程.4.定義在上的函數(shù)滿足，且當時，，若對任意的，不等式恒成立，則實數(shù)的最大值是（）A.-1B.C.D.【答案】C【解析】函數(shù)為偶函數(shù),且當時,函數(shù)為減函數(shù),時,函數(shù)為增函數(shù).若對任意的，不等式恒成立，則,即,所以.當時,,所以,解得,所以.當,時,不等式成立,當時,,無解,故,的最大值為.【點睛】本小題主要考查函數(shù)的奇偶性與單調性,考查不等式恒成立問題的轉化方法及利用分類討論的方法解含有絕對值的不等式.函數(shù)的奇偶性的判斷,則函數(shù)為偶函數(shù),若則函數(shù)為奇函數(shù).奇函數(shù)的圖象關于原點對稱,偶函數(shù)的圖象關于軸對稱.5.定義在上的函數(shù)滿足當時，若函數(shù)在內恰有3個零點，則實數(shù)m的取值范圍是()A.B.C.D.【答案】C【解析】若，則，，根據函數(shù)的平移變換與翻折變換，畫出在上的圖象，則與的圖象有三個交點時，函數(shù)有三個零點，可得，是斜率為，且過定點的直線，繞旋轉直線，由圖知，當時，直線與曲線有三個交點，函數(shù)在內恰有個零點，的取值范圍是，故選C.【方法點睛】已知函數(shù)零點(方程根)的個數(shù)，求參數(shù)取值范圍的三種常用的方法：(1)直接法，直接根據題設條件構建關于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；(2)分離參數(shù)法，先將參數(shù)分離，轉化成求函數(shù)值域問題加以解決；(3)數(shù)形結合法，先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結合求解．一是轉化為兩個函數(shù)的圖象的交點個數(shù)問題，畫出兩個函數(shù)的圖象，其交點的個數(shù)就是函數(shù)零點的個數(shù)，二是轉化為的交點個數(shù)的圖象的交點個數(shù)問題.6.已知函數(shù)，則函數(shù)的零點個數(shù)為（）A.8B.7C.6D.5【答案】C【解析】令f（x）=t可得f（t）=t+1．作出f（x）的函數(shù)圖象如圖所示：設直線y=kx+1與y=ex相切，切點為（x0，y0），則,解得x0=0，k=1．設直線y=kx+1與y=lnx相切，切點為（x1，y1），則,解得x1=e2，k=．∴直線y=t+1與f（t）的圖象有4個交點，不妨設4個交點橫坐標為t1，t2，t3，t4，且t1＜t2＜t3＜t4，由圖象可知t1＜0，t2=0，0＜t3＜1，t4=e2．由f（x）的函數(shù)圖象可知f（x）=t1無解，f（x）=t2有1解，f（x）=t3有3解，f（x）=t4有2解．∴F（x）有6個零點．故選：C．7.設函數(shù)，若在區(qū)間上無零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】函數(shù)f（x）=ln（x+1）+a（x2﹣x），其中a∈R，x∈（﹣1，+∞）．f′（x）=,令g（x）=2ax2+ax﹣a+1．（i）當a=0時，g（x）=1，此時f′（x）＞0，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調遞增（ii）當a＞0時，△=a2﹣8a（1﹣a）=a（9a﹣8）．①當0＜a≤時，△≤0，g（x）≥0，f′（x）≥0，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調遞增，無極值點．②當a＞時，△＞0，設方程2ax2+ax﹣a+1=0的兩個實數(shù)根分別為x1，x2，x1＜x2．當x∈（﹣1，x1）時，g（x）＞0，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調遞增；當x∈（x1，x2）時，g（x）＜0，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調遞減；當x∈（x2，+∞）時，g（x）＞0，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調遞增．①當0≤a≤時，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調遞增．∵f（0）=0，∴x∈（0，+∞）時，f（x）＞0，符合題意．②當＜a≤1時，由g（0）≥0，可得x2≤0，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調遞增．又f（0）=0，∴x∈（0，+∞）時，f（x）＞0．③當1＜a時，由g（0）＜0，可得x2＞0，∴x∈（0，x2）時，函數(shù)f（x）單調遞減．又f（0）=0，∴x∈（0，x2）時，f（x）＜0，x趨向于正無窮時函數(shù)值大于0，不符合題意，舍去；④當a＜0時，設h（x）=x﹣ln（x+1），x∈（0，+∞），h′（x）=＞0．∴h（x）在（0，+∞）上單調遞增．因此x∈（0，+∞）時，h（x）＞h（0）=0，即ln（x+1）＜x，可得：f（x）＜x+a（x2﹣x）=ax2+（1﹣a）x，當x＞1﹣時，ax2+（1﹣a）x＜0，此時f（x）＜0，不合題意，舍去．綜上所述，a的取值范圍為[0，1]．故答案為：A．點睛：函數(shù)的零點或方程的根的問題，一般以含參數(shù)的三次式、分式、以e為底的指數(shù)式或對數(shù)式及三角函數(shù)式結構的函數(shù)零點或方程根的形式出現(xiàn)，一般有下列兩種考查形式：(1)確定函數(shù)零點、圖象交點及方程根的個數(shù)問題；(2)應用函數(shù)零點、圖象交點及方程解的存在情況，求參數(shù)的值或取值范圍問題．研究方程根的情況，可以通過導數(shù)研究函數(shù)的單調性、最值、函數(shù)的變化趨勢等，根據題目要求，通過數(shù)形結合的思想去分析問題，可以使得問題的求解有一個清晰、直觀的整體展現(xiàn)。同時在解題過程中要注意轉化與化歸、函數(shù)與方程、分類討論思想的應用．8.已知在中，角，，所對的邊分別為，，，，點在線段上，且.若，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】設，則由面積關系得所以，選B.9.已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，a2＝2，an＋2＝(1＋cos2)an＋sin2，則該數(shù)列的前10項和為()A.2101B.1067C.1012D.2012【答案】B【解析】當n為奇數(shù)時，an＋2＝an＋1，是首項為1，公差為1的等差數(shù)列；當n為偶數(shù)時，an＋2＝2an＋1，是首項為2，公比為2的等比數(shù)列．所以S18＝a1＋a2＋…＋a17＋a18＝(a1＋a3＋…＋a17)＋(a2＋a4＋…＋a18)．選B．點睛：（1）對于cos2和sin2中的要分奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況進行討論，然后求得相應的三角函數(shù)值；（2）求數(shù)列的和時，首先要分析數(shù)列通項的特點，再根據通項的特點選擇合適的求和方法，在本題中由于數(shù)列的奇數(shù)項和偶數(shù)項分別成等差、等比數(shù)列，故求和時選用分組求和的方法．10.設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S9>0，S10<0，則，，…，中最大的是()A.B.C.D.【答案】B【解析】∵S9＝(a1＋a9)＝9a5>0，∴a5>0．又S10＝(a1＋a10)＝5(a5＋a6)<0，∴a5＋a6<0，∴a6<0，且|a6|>a5．∴數(shù)列{an}的前5項均為正數(shù)，從第6項開始均為負數(shù)，則當n≤5時，數(shù)列是遞增的正數(shù)項數(shù)列，其最大項為；當n>6時，各項均為負數(shù)．∴數(shù)列中最大．選B．11.某舉辦科技節(jié)活動,有甲、乙、丙、丁四個團隊參加“智能機器人”項目比賽,該項目只設置一個一等獎.在評獎揭曉前,小張、小王、小李、小趙四位同學對這四個參賽團隊獲獎結果預測如下:小張說:“甲或乙團隊獲得一等獎”；小王說:“丁團隊獲得一等獎”；小李說:“乙、丙兩個團隊均未獲得一等獎”；小趙說:“甲團隊獲得一等獎”,若這四位同學中只有兩位預測結果是對的,則獲得一等獎的團隊是（）A.甲B.乙C.丙D.丁【答案】D【解析】1.若甲獲得一等獎,則小張、小李、小趙的預測都正確,與題意不符;2.若乙獲得一等獎,則只有小張的預測正確,與題意不符;3.若丙獲得一等獎,則四人的預測都錯誤,與題意不符;4.若丁獲得一等獎,則小王、小李的預測正確,小張、小趙的預測錯誤,符合題意，故選D.【思路點睛】本題主要考查演繹推理的定義與應用以及反證法的應用，屬于中檔題.本題中，若甲獲得一等獎,則小張、小李、小趙的預測都正確,與題意不符；若乙獲得一等獎,則只有小張的預測正確,與題意不符；若丙獲得一等獎,則四人的預測都錯誤,與題意不符；若丁獲得一等獎,則小王、小李的預測正確,小張、小趙的預測錯誤,符合題意.12.若函數(shù)在區(qū)間內有兩個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】因為，所以在內有兩解，令，則，所以在為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以當時，取得最小值，當時，，當時，，所以，所以，即實數(shù)的取值范圍是，故選D.二、填空題13.已知函數(shù)，，若與的圖像上存在關于直線對稱的點，則實數(shù)的取值范圍是__________．【答案】【解析】關于直線對稱的直線為

∴直線與在上有交點．

作出與的函數(shù)圖象，如圖所示：

若直線經過點，則，

若直線與相切，設切點為則，解得故答案為．14.如圖，在四面體中，平面，是邊長為的等邊三角形.若，則四面體外接球的表面積為__________．【答案】【解析】取的中點，連結在四面體中，平面是邊長為的等邊三角形，是等腰三角形，的中心為，作交的中垂線于為外接球的中心，，，四面體外接球的表面積為，故答案為.15.已知首項為2的數(shù)列的前項和滿足：，記，當取得最大值時，的值為__________．【答案】8【解析】因為，所以，所以.所以，因為，所以，所以數(shù)列是以為首項，公比為2的等比數(shù)列，所以，即，所以數(shù)列是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，所以，即.所以，因為對稱軸，所以當時，取得最大值故答案為：8.點睛：求解數(shù)列中的最大項或最小項的一般方法：（1）研究數(shù)列的單調性，利用單調性求最值；（2）可以用或；（3）轉化為函數(shù)最值問題或利用數(shù)形結合求解.16.已知為常數(shù)，函數(shù)的最小值為，則的所有值為____．【答案】【解析】由題意得函數(shù)為奇函數(shù).∵函數(shù)∴令，得，則.∵函數(shù)的最小值為∴∴，得.①當時，函數(shù)的定義域為，由得或，由得，函數(shù)在，上為增函數(shù)，在上為減函數(shù).∵，，∴，則②當時，函數(shù)的定義域為，由得，得或，函數(shù)在上為增函數(shù)，在，為減函數(shù).∵，∴，則.綜上所述，或.故答案為，.三、解答題17.已知…，．記．（1）求的值；（2）化簡的表達式，并證明：對任意的，都能被整除．【答案】(1)30；(2)證明見解析.【解析】試題分析：（1）由二項式定理，得，；（2），進而可得到結論.解析：由二項式定理，得（i0，1，2，…，2n+1）．（1）；（2）∵∴．∴．∵∴能被整除．18.設函數(shù)．（1）若函數(shù)是R上的單調增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；（2）設，是的導函數(shù)．①若對任意的，求證：存在使；②若求證：．【答案】(1)；(2)①.證明見解析；②證明見解析.【解析】試題分析：（1）由題意，對恒成立，對恒成立；（2）①，由題中條件得到令，則，代入表達式得到，得證；②，，即，，只需證，換元研究函數(shù)最值即可............................解析:（1）由題意，對恒成立.∵∴對恒成立，∵∴，從而．（2）①，則．若，則存在，使，不合題意.∴．取，則．此時．∴存在，使．②依題意，不妨設，令，則．由（1）知函數(shù)單調遞增，則，從而．∵∴∴．∴．下面證明，即證明，只要證明．設，則在恒成立．∴在單調遞減，故，從而得證．∴，即．點睛：本題考查函數(shù)的單調性極值及恒成立問題，涉及函數(shù)不等式的證明，綜合性強，難度大，屬于難題.處理導數(shù)大題時，注意分層得分的原則，力爭第一二問答對，第三問爭取能寫點，一般涉及求函數(shù)單調性及極值時，比較容易入手，求導后注意分類討論，對于恒成立問題一般要分離參數(shù)，然后利用函數(shù)導數(shù)求函數(shù)的最大值或最小值，對于含有不等式的函數(shù)問題，一般要構造函數(shù)，利用函數(shù)的單調性來解決，但涉及技巧比較多，需要多加體會.19.若對任意的正整數(shù)，總存在正整數(shù)，使得數(shù)列的前項和，則稱是“回歸數(shù)列”．（）①前項和為的數(shù)列是否是“回歸數(shù)列”？并請說明理由．②通項公式為的數(shù)列是否是“回歸數(shù)列”？并請說明理由；（）設是等差數(shù)列，首項，公差，若是“回歸數(shù)列”，求的值．（）是否對任意的等差數(shù)列，總存在兩個“回歸數(shù)列”和，使得成立，請給出你的結論，并說明理由．【答案】（）見解析;（）;（）見解析.【解析】試題分析：利用當時，，當時，即可得到，再利用“回歸數(shù)列”的意義即可得出；②，，為偶數(shù)，即可證明數(shù)列是“回歸數(shù)列”利用等差數(shù)列的前項和即可得到，對任意，存在，使，取時和根據即可得出結論設等差數(shù)列的公差為，構造數(shù)列，，可證明和是等差數(shù)列。再利用等差數(shù)列的前項和公式及其通項公式，“回歸數(shù)列”，即可得出；解析：（）①當時，，當時，，當時，，