醫(yī)用高等數(shù)學題庫

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醫(yī)用高數(shù)學題庫第一章函與極限1．

設

，求，并作出函數(shù)

的圖形。2．設函數(shù)的圖形。

，，求，并作出這兩個3．

設

，求。4．（1）

試證下列函數(shù)在指定區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性：（2）5．下列函數(shù)中哪些是是周期函數(shù)？對于周期函數(shù)，指出其周期：（1）（2）6．設。試求下列復合函數(shù)，并指出x的取值范圍。7．已知對一切實數(shù)x均有，且f(x)為單調(diào)增函數(shù)，試證：2

8．計算下列極限：（1）（2）（3）9．（1）設，求常數(shù)a，b。（2）已知10．計算下列極限：

，求a，b。（1）（2）（x為不等于零的常數(shù)）（3）（4）（5）為正整數(shù)）3

11．計算下列極限：（1）（2）（3）（4）（k為常數(shù)）（5）（6）（7）（8）（a>0，b>0，c>0）（9）（10）（11）4

（12）（13）（14）（15）（16）（17）（18）（19）（20）（21）（22）5

（23）（24）12．當

時，無窮小1-x和（1）（2）

是否同階是否等價13．證明：當

時，有（1）（2）14．利用等價無窮小的性質(zhì)求下列極限：（1），m為正整數(shù)）（2）15．試確定常數(shù)a，使下列各函數(shù)的極限

存在：（1）（2）16．討論下列函數(shù)的連續(xù)性：6

（1）

的連續(xù)性（2）17．設函數(shù)

在x=0處的連續(xù)性在[0，2a]上連續(xù)，,試證方程

在[0，a]內(nèi)至少存在一個實根。18．設函數(shù)

在開區(qū)間（a，b）內(nèi)連續(xù)，，試證：在開區(qū)間(a，b)內(nèi)至少有一點c，使得）。第二章導與微分1．討論下列函數(shù)在x=0處的連續(xù)性與可導性：（1）

（其中（2）2．設

存在，求3．設，問a，b為何值時，

在x=0處可導？7

4．已知

，求

及，并問：

是否存在？5．證明：雙曲線等于。

上任一點處的切線與兩坐標軸構(gòu)成的三角形的面積都6．問當系數(shù)a為何值時，拋物線

與曲線

相切？7．求下列各函數(shù)的導數(shù)：（1）（2）（3）（4）（5）（6）8

（7）（8）（a>0）（9）（10）（11）（12）（13）（14）（15）（16）（17）（18）（19）9

（20）（21）（22）（23）（24）8．求曲線

在點

處的切線方程和法線方程。9．用對數(shù)求導法求下列函數(shù)的導數(shù)：（1）（2）（3）（4）（5）10．求下列隱函數(shù)（1）

的導數(shù)：10

（2），求（3）（4）（5）11．求下列函數(shù)的n階導數(shù)：（1）（2）（3）12．已知函數(shù)，求。13．若

存在，求下列函數(shù)y的二階導數(shù)：（1）（2）14．求由下列方程所確定的隱函數(shù)y的二階導數(shù)：（1）11

（2）15．求下列函數(shù)的微分：（1）（2）（3）16．計算下列各式的近似值：（1）（2）17．求極限：（1）（2）（3）（4）（5）12

（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）（13）18．確定下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：（1）（2）（3）（a>0）（4）19．求下列函數(shù)的極值：13

（1）（2）（3）（4）（5）（6）20．求下列函數(shù)圖形的拐點及凹凸區(qū)間：（1）（2）（3）21．描繪下列函數(shù)的圖形：（1）（2）（3）（4）14

22．要造一圓柱形油罐，體積為V，問底半徑和高h等于多少時，才能使表面積最小這時直徑與高的比是多少23．一火車的鍋爐每小時的耗煤費用與速度的立方成正比。已知當速度為每小時20公里時，每小時耗費的煤價為40元。至于其他費用每小時需200元。問當火車行駛的速度為多少時才能使火車從甲地到乙地的總費用最?。康谌虏环e分1．求下列不定積分：（1）（2）（3）（4）（5）（6）2．設有一曲線，在其上任一點曲線通過點（3，2），求曲線的方程。

處的切線斜率為，并知此3．設有一通過原點的曲線，在其上任一點，其中a為常數(shù)，且知其拐點的橫坐標為15

處切線斜率為，求曲線的方程。

4．求下列不定積分：（1）（2）（（3）

為常數(shù)）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）16

（13）（14）（15）（16）（17）（18）（19）（20）（21）（22）5．求下列各不定積分：（1）17

（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）6．證明下列各式：（1）（2）（3）18

（4）7．求下列各不定積分：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）

與8．求下列各有理函數(shù)的積分：（1）19

（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）9．設

是連續(xù)函數(shù)，求。10．如果

的一個原函數(shù)是，證明：。11．求12．試確定常數(shù)A，B，使下式成立：第四章定分及其用20

1．比較下列各對積分的大?。海?）（2）（3）（4）（5）2．證明不等式：3．設（x>0），求4．（1）設，求（2）設，其中

連續(xù)，求5．設，求6．設7．計算下列極限：

，求21

（1）（2）（3）8．利用牛頓——萊布尼茨公式計算下列各積分：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）22

9．計算下列各積分：（1）（2）（3）（4）（5）（6）10．計算下列定積分：（1）（2）（3）（4）（5）23

（6）（7）（8）（9）（10）11．利用分部積分法計算下列定積分：（1）（2）（3）（4）（5）（6）12．利用函數(shù)的奇偶性計算下列積分：24

（1）（2）（3）13．下列各廣義積分如果收斂，求其值：（1）（2）（3）（4）（a>0）（5）（6）14．求面積：（1）求曲線

與直線

所圍成的平面圖形的面積。（2）求由拋物線

與直線

所圍成的平面圖形的面積。25

（3）求由曲線（4）求三次曲線積。（5）求拋物線

與直線與直線與直線

所圍成的平面圖形的面積。所圍成的平面圖形的面之間的面積。15．已知塔高為80米，離它的頂點x米處的水平截面是邊長為

米的正方形，求塔的體積。16．一立體的底面為一半徑為5的圓，已知垂直于底面的一條固定直徑的截面都是等邊三角形，求立體的體積。17．一立體的底面為由雙曲線

與直線

所圍成的平面圖形。如果垂直于x軸的立體截面分別是：（1）正方形；（2）等邊三角形；（3）高為的等腰三角形；求各種情況的立體體積。18．直徑為20cm，高為80cm的圓柱體內(nèi)充滿壓強為保持不變，要使蒸汽體積縮小一半，問需要作多少功？

的蒸汽。設溫度第五章微方程1．下列等式中哪些是微分方程？（1）26

（2）（3）（4）（5）2．說出下列微分方程的階數(shù)：（1）（2）（3）（4）3．求下列微分方程的通解：（1）（2）（3）4．求下列微分方程滿足所給初值條件的特解：27

（1）（2）5．用分離變量法求下列各微分方程的通解：（1）（2）（3）（4）6．求下列齊次微分方程的通解：（1）（2）（3）7．求滿足下列微分方程和初始條件的特解：（1）（2）28

（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）8．求解下列微分方程：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）29

（8）（9）（10）（11）（12）（13）（14）（15）（16）9．質(zhì)量為1kg的質(zhì)點受外力的作用作直線運動，該力和時間成正比，和質(zhì)點運動的速度成反比。在t=10s時，速度為4520s后的速度為多少？

，力為4N。問從運動開始經(jīng)過30

10．一桶內(nèi)有100

的水，現(xiàn)以濃度為2

的鹽溶液用3

的速率注入桶內(nèi)，同時，被攪拌均勻的混合溶液以同樣的速率流出。（1）求任一時刻t桶內(nèi)鹽的含量m；（2）何時桶內(nèi)存鹽100kg?11．設汽車A從原點出發(fā)，以固定速度

沿y軸正向行駛，汽車B以固定速度

出發(fā)（

），其速度方向永遠指向汽車A，求汽車B的運動軌跡。12．在某粘性液體中，一單位質(zhì)點P受一力作用沿直線運動，該力與P點到原點O的距離成正比（比例系數(shù)為10），粘性液體的阻力與運動速度成正比（比例系數(shù)為3），求該質(zhì)點的運動規(guī)律（運動開始時，質(zhì)點靜止，距原點kcm）。第六章概論初步1．寫出下列隨機試驗的樣本空間及下列事件中的樣本點：（1）一個口袋中有5只外形完全相同的球，編號分別為，2，，，4，5，從中同時取3只球，球的最小號碼為1。（2）在1，2，3，4四個數(shù)中可重復地取兩個數(shù)，一個數(shù)是另一個數(shù)的2倍。（3）將a,b兩個球隨機地放到三個盒子中去，第一個盒子中至少有一個球。（4）10件產(chǎn)品中有一件廢品，從中任取兩件得一件廢品。（5）兩個口袋各裝一個白球與一個黑球，從一袋中任取一球記下其顏色放入第二袋，攪勻后再從第二袋中任取一球，兩次取出的球有相同的顏色。（6）重復擲硬幣，擲了偶次后才第一次得到正面。31

2．在數(shù)學系學生中任選一名學生，令事件表示被選學生是男生，事件B表示該生是三年級學生，事件C表示該生是運動員。（1）敘述事件

的意義。（2）在什么條件下ABC=C成立？（3）什么時候關系式

成立？（4）什么時候

成立？3．將下列事件用A，B，C表示出來：（1）A發(fā)生（2）只有A發(fā)生（3）A與B都發(fā)生而C不發(fā)生（4）三個事件都發(fā)生（5）三個事件中至少有一個發(fā)生（6）三個事件中至少有兩個發(fā)生（7）三個事件中恰好發(fā)生一個32

（8）三個事件中恰好發(fā)生兩個（9）三個事件都不發(fā)生（10）三個事件中不多于二個事件發(fā)生（11）三個事件中不多于一個事件發(fā)生4．證明下列各式：（1）（2）（3）（4）（5）（6）5．證明下列各式：（1）（2）（3）（4）33

6．一部五卷文集任意地排列到書架上，問卷號自左向右或自右向左恰好為12345的順序的概率等于多少？7．把一個表面涂有顏色的立方體等分為一千個小立方體，從這些小立方體中任取一個，求所取小立方體有k面（k=0,1,2,3涂有顏色的概率。8．甲從2，4，6，8，10中任取一數(shù)，乙從，3，5，7，9中任取一數(shù)。求甲取的數(shù)大于乙取的數(shù)的概率。9．在中國象棋的棋盤上任意地放上一只紅“車”及一只黑“車”，求他們正好可以互相吃掉的概率。10．一批燈泡有40只，其中3只是壞的，從中任取只檢查。問：（1）5只都是好的概率為多少？（2）5只中有2只壞的概率為多少？11．一幢10層樓中的一架電梯在底層走上為乘客。電梯在每一層都停，乘客從第二層起離開電梯，設沒位乘客在每層離開都是等能的，求沒有為乘客在同一層離開的概率。12．一個班級有2n個男生及2n個女生，把全班學生任意的分成人數(shù)相等的兩組，求每組中男女生人數(shù)相等的概率。13．公共汽車每隔五分鐘有一輛汽車到站，乘客到汽車站的時刻是任意的。求一個乘客候車時間不超過三分鐘的概率。14．平面上有兩組互相垂直的平行線把平面劃分為邊長為的正方形。向平面任意地透一半徑為r（2r<a）的圓，求此圓不與平行線相交的概率。34

15．在三角形ABC中任取一點P，證明：

的面積之比大于的概率為。16．兩艘船都要?？吭谕淮a頭，它們可能在一晝夜的任意時刻到達。設兩船?？康臅r間分別為1小時和2小時，求有一艘船要靠位必須等待一段時間的概率。17．把長為1的棒任意地折成三段，求：（1）三小段的長度都不超過a

的概率。（2）三小段能構(gòu)成一個三角形的概率。18．從裝有a個白球及b個黑球的口袋中輪流摸取一球，甲先取，取后都不放回，直至兩人中有一人取到白球為止。試給出描述這一隨機現(xiàn)象的概率空間，并求甲或乙取到白球的概率。19．設

為兩個隨機事件，證明：（1）（2）（3）20．在某城市中共發(fā)行三種報紙：甲，乙，丙。在這城市的居民中訂甲報的有45%，訂乙報的有35%，訂丙報的有30%，同時訂甲，乙兩報的有10%，同時訂乙，丙兩報的有5%，同時訂三種報的有3%，求下列百分比：（1）只訂甲報的；35

（2）只訂甲，乙兩報的；（3）只訂一種報紙的；（4）正好訂兩種報紙的；（5）至少訂一種報紙的；（6）不訂任何報紙的。21．已知一個家庭有三個小孩，且其中一個是女孩，求至少有一個男孩的概率。（假設一個小孩為男或女是等可能的）22．設M件產(chǎn)品中有m件廢品，從中任取兩件。（1）在所取產(chǎn)品中有一件是廢品的條件下，求另一件也是廢品的概率；（2）在所取產(chǎn)品中有一件是正品的條件下，求另一件是廢品的概率。23．乒乓球盒中有15只球，其中9只是沒有用過的新球。第一次比賽時任取3只使用，用畢返回。第二次比賽時也任取3球，求次3只球全是沒有用過的概率。24．某射手射靶五次，各次命中的概率為，求下列各事件的概率：（1）前三次中靶，后兩次脫靶；（2）第一，三，五次中靶，第二，四次脫靶；（3）五次中恰有三次中靶。25．一架轟炸機襲擊1號目標，另一架轟炸機襲擊號目標，擊中1號目標的概率為，擊中2號目標的概率為，求至少擊中一個目標的概率。36

26．一口袋中裝有m個白球，n-m個黑球，連續(xù)不返回地從袋中取球，直到取出黑球為止，設此時取出了

個白球，求

的分布列。27．每年襲擊某地的臺風次數(shù)近似服從

的普哇松分布，求（1）該地一年中受臺風襲擊次數(shù)<6的概率（2）一年中該地受到臺風襲擊的次數(shù)為7~9的概率。28．一個射手射擊了n次，每次射中的概率為，設第n次射擊是射中的，且為第

次射中，求

的分布列。29．設隨機變量

與

的分布列為已知，求。30．已知隨