高三數(shù)學(xué)(人教B版)知識點匯總

高三數(shù)學(xué)知識點匯總（1）

撰稿人：王道順

（必修1）第一章集合與函數(shù)概念

一、集合有關(guān)概念

1、集合的含義：某些指定的對象集在一起就成為一個集合，其中每一個對象叫元素。

2、集合的中元素的三個特性：

L元素的確定性；2.元素的互異性；3.元素的無序性

說明：（1）對于一個給定的集合，集合中的元素是確定的，任何一個對象或者是或者不

是這個給定的集合的元素。

（2）任何一個給定的集合中，任何兩個元素都是不同的對象，相同的對象歸入一個集

合時，僅算一個元素。

（3）集合中的元素是平等的，沒有先后順序，因此判定兩個集合是否一樣，僅需比較

它們的元素是否一樣，不需考查排列順序是否一樣。

（4）集合元素的三個特性使集合本身具有了確定性和整體性.

3、集合的表示：｛…｝如（我校的籃球隊員），（太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋）

1.用拉丁字母表示集合：A=｛我校的籃球隊員｝,B=｛1,2,3,4,5｝

2.集合的表示方法：列舉法與描述法。

非負(fù)整數(shù)集（即自然數(shù)集）記作：N

正整數(shù)集N*或N+整數(shù)集Z有理數(shù)集Q實數(shù)集R

關(guān)于“屬于”的概念

集合的元素通常用小寫的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就說a屬于集合A記

作a€A,相反，a不屬于集合A記作aeA

列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，然后用一個大括號括上。

描述法：將集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號內(nèi)表示集合的方法。用確

定的條件表示某些對象是否屬于這個集合的方法。

①語言描述法：例：（不是直角三角形的三角形｝

②數(shù)學(xué)式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是｛x￡R|x-3>2｝或｛x|x-3>2）

4、集合的分類：

（1）.有限集含有有限個元素的集合

（2）.無限集含有無限個元素的集合

（3）.空集不含任何元素的集合例：｛x\x2=-5｝

二、集合間的基本關(guān)系

1.“包含”關(guān)系一子集

注意：有兩種可能（1）A是B的一部分,；（2）A與B是同一集合。

反之：集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,記作AB或BA

2.“相等”關(guān)系（5》5,且545,則5=5）

實例：設(shè)A={xlx2-1=0}B={-1,1}“元素相同”

結(jié)論：對于兩個集合A與B,如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，同時，集

合B的任何一個元素都是集合A的元素，我們就說集合A等于集合B,即：A=B

任何一個集合是它本身的子集。AcA

②真子集：如果AuB,且B<ZA那就說集合A是集合B的真子集，記作A=B（或B=A）

③如果AuB,BuC，那么AcC

④如果AuB同時BuA那么A=B

3.不含任何元素的集合叫做空集，記為中

規(guī)定：空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

三、集合的運算

1.交集的定義：一般地，由所有屬于A且屬于B的元素所組成的集合，叫做A,B的交

集.記作ADB（讀作”A交B”）,即ADB=（x|xBA,且x￡B}.

2、并集的定義：一般地，由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合，叫做A,B

的并集.記作：AUB（讀作"A并B"），即AUB={x|x€A,或x￡B}.

3、交集與并集的性質(zhì)：APIA=A,AH巾=巾，AflB=BHA,AUA=A,

AU<|）=A,AUB=BUA.

4、全集與補集

（1）補集：設(shè)S是一個集合，A是S的一個子集（即）,由S中所有不屬于A的元素

組成的集合，叫做S中子集A的補集（或余集）

（2）全集：如果集合S含有我們所要研究的各個集合的全部元素，這個集合就可以看

作一個全集。通常用U來表示.

四、函數(shù)的有關(guān)概念

1.函數(shù)的概念：設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個確定的對應(yīng)關(guān)系f,使對于集合A

中的任意一個數(shù)x,在集合B中都有唯一確定的數(shù)f（x）和它對應(yīng)，那么就稱f：A-B為從集合

A到集合B的一個函數(shù).記作：y=f（x）,x€A.其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函

數(shù)的定義域；與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f（x）|x￡A）叫做函數(shù)的值

域.

注意：如果只給出解析式y(tǒng)=f（x）,而沒有指明它的定義域，則函數(shù)的定義域即是指能使

這個式子有意義的實數(shù)的集合；函數(shù)的定義域、值域要寫成集合或區(qū)間的形式.

定義域補充

能使函數(shù)式有意義的實數(shù)x的集合稱為函數(shù)的定義域，求函數(shù)的定義域時列不等式組的主

要依據(jù)是：（1）分式的分母不等于零；（2）偶次方根的被開方數(shù)不小于零；（3）對數(shù)式的真數(shù)

必須大于零；（4）指數(shù)、對數(shù)式的底必須大于零且不等于1.（5）如果函數(shù)是由一些基本函數(shù)

通過四則運算結(jié)合而成的.那么，它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合.（6）指

數(shù)為零底不可以等于零⑹實際問題中的函數(shù)的定義域還要保證實際問題有意義.

（又注意：求出不等式組的解集即為函數(shù)的定義域。）

構(gòu)成函數(shù)的三要素：定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域

注意：（1）構(gòu)成函數(shù)三個要素是定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域.由于值域是由定義域和對應(yīng)關(guān)

系決定的，所以，如果兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全一致，即稱這兩個函數(shù)相等（或為同

一函數(shù))(2)兩個函數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全一致，而與表示自變量和函

數(shù)值的字母無關(guān)。相同函數(shù)的判斷方法：①表達(dá)式相同；②定義域一致(兩點必須同時具備)

(見課本21頁相關(guān)例2)

值域補充

(1)、函數(shù)的值域取決于定義域和對應(yīng)法則，不論采取什么方法求函數(shù)的值域都應(yīng)先考慮

其定義域.(2).應(yīng)熟悉掌握一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)、對數(shù)函數(shù)及各三角函數(shù)的值

域，它是求解復(fù)雜函數(shù)值域的基礎(chǔ)。

3.函數(shù)圖象知識歸納

(1)定義：在平面直角坐標(biāo)系中，以函數(shù)y=f(x),(x￡A)中的x為橫坐標(biāo)，函數(shù)值y為

縱坐標(biāo)的點P(x,y)的集合C,叫做函數(shù)y=f(x),(x￡A)的圖象.

集合C上每一點的坐標(biāo)(x,y)均滿足函數(shù)關(guān)系y=f(x),反過來，以滿足y=f(x)的每一組有

序?qū)崝?shù)對x、y為坐標(biāo)的點(x,y),均在C上.即記為C={P(x,y)Iy=f(x),x€A},圖象

C一般的是一條光滑的連續(xù)曲線(或直線)，也可能是由與任意平行與Y軸的直線最多只有一個交

點的若干條曲線或離散點組成.

(2)畫法

A、描點法：根據(jù)函數(shù)解析式和定義域，求出x,y的一些對應(yīng)值并列表，以(x,y)為坐標(biāo)在

坐標(biāo)系內(nèi)描出相應(yīng)的點P(x,y),最后用平滑的曲線將這些點連接起來.

B、圖象變換法(請參考必修4三角函數(shù))

常用變換方法有三種，即平移變換、伸縮變換和對稱變換

⑶作用:

1、直觀的看出函數(shù)的性質(zhì)；2、利用數(shù)形結(jié)合的方法分析解題的思路。提高解題的速度。

發(fā)現(xiàn)解題中的錯誤。

4.了解區(qū)間的概念

(1)區(qū)間的分類：開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間；(2)無窮區(qū)間；(3)區(qū)間的數(shù)軸表示.

5.什么叫做映射

一般地，設(shè)A、B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應(yīng)法則f,使對于集合A中的

任意一個元素x,在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應(yīng)，那么就稱對應(yīng)f：A-B為從

集合A到集合B的一個映射。記作“f:A-B”

給定一個集合A到B的映射，如果a￡A,bSB.且元素a和元素b對應(yīng)，那么，我們把元素

b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象

說明：函數(shù)是一種特殊的映射，映射是一種特殊的對應(yīng)，①集合A、B及對應(yīng)法則f是確定

的；②對應(yīng)法則有“方向性”，即強調(diào)從集合A到集合B的對應(yīng)，它與從B到A的對應(yīng)關(guān)系一

般是不同的；③對于映射f：A-B來說，則應(yīng)滿足：(I)集合A中的每一個元素，在集合B

中都有象，并且象是唯一的；(口)集合A中不同的元素，在集合B中對應(yīng)的象可以是同一個；

(III)不要求集合B中的每一個元素在集合A中都有原象。

常用的函數(shù)表示法及各自的優(yōu)點：

1函數(shù)圖象既可以是連續(xù)的曲線，也可以是直線、折線、離散的點等等，注意判斷一個圖

形是否是函數(shù)圖象的依據(jù)；2解析法：必須注明函數(shù)的定義域；3圖象法：描點法作圖要注

意：確定函數(shù)的定義域；化簡函數(shù)的解析式；觀察函數(shù)的特征；4列表法：選取的自變量要有

代表性，應(yīng)能反映定義域的特征.

解析法：便于算出函數(shù)值。列表法：便于查出函數(shù)值。圖象法：便于量出函數(shù)值.

補充一：分段函數(shù)(參見課本P24-25)

在定義域的不同部分上有不同的解析表達(dá)式的函數(shù)。在不同的范圍里求函數(shù)值時必須把自

變量代入相應(yīng)的表達(dá)式。分段函數(shù)的解析式不能寫成幾個不同的方程，而就寫函數(shù)值幾種不同

的表達(dá)式并用一個左大括號括起來，并分別注明各部分的自變量的取值情況.(1)分段函數(shù)是

一個函數(shù)，不要把它誤認(rèn)為是幾個函數(shù)；(2)分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集，值域是

各段值域的并集.

補充二：復(fù)合函數(shù)

如果y=f(u),(uEM),u=g(x),(x￡A),則y=f[g(x)]=F(x),(x€A)稱為f、g的復(fù)合函

數(shù)。

例如：y=2sinxy=2cos(2x+l)

7.函數(shù)單調(diào)性

(1).增函數(shù)

設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為I,如果對于定義域I內(nèi)的某個區(qū)間D內(nèi)的任意兩個自變量a,

b,當(dāng)a<b時，都有f(a)<f(b),那么就說f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)。區(qū)間D稱為y=f(x)的單

調(diào)增區(qū)間(睇清楚課本單調(diào)區(qū)間的概念)

如果對于區(qū)間D上的任意兩個自變量的值a,b,當(dāng)a<b時，都有f(a)>f(b),那么就說

f(x)在這個區(qū)間上是減函數(shù).區(qū)間D稱為y=f(x)的單調(diào)減區(qū)間.

注意：1函數(shù)的單調(diào)性是在定義域內(nèi)的某個區(qū)間上的性質(zhì)，是函數(shù)的局部性質(zhì)；

2必須是對于區(qū)間D內(nèi)的任意兩個自變量a,b;當(dāng)a<b時，總有f(a)<f(b)。

(2)圖象的特點

如果函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，那么說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間上具有(嚴(yán)

格的)單調(diào)性，在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左到右是上升的，減函數(shù)的圖象從左到右是下降

的.

(3).函數(shù)單調(diào)區(qū)間與單調(diào)性的判定方法

(A)定義法：任取a,b€D,且a<b;2作差f(a)-f(b);3變形(通常是因式分解和配

方)；4定號(即判斷差f(a)-f(b)的正負(fù))；5下結(jié)論(指出函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的

單調(diào)性).

(B)圖象法(從圖象上看升降)一(C)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性

復(fù)合函數(shù)f[g(x)]的單調(diào)性與構(gòu)成它的函數(shù)u=g(x),y=f(u)的單調(diào)性密切相關(guān)

注意：1、函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間，不能把單調(diào)性相同的區(qū)間和在一起

寫成其并集.2、還記得我們在選修里學(xué)習(xí)簡單易行的導(dǎo)數(shù)法判定單調(diào)性嗎？

8.函數(shù)的奇偶性

(1)偶函數(shù)

一般地，對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個X,都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做偶

函數(shù).

(2).奇函數(shù)

一般地，對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個X,都有f(-x)=—f(x),那么f(x)就叫做

奇函數(shù).

注意：1、函數(shù)是奇函數(shù)或是偶函數(shù)稱為函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的整體性

質(zhì)；函數(shù)可能沒有奇偶性，也可能既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)。

2、由函數(shù)的奇偶性定義可知，函數(shù)具有奇偶性的一個必要條件是，對于定義域內(nèi)的任意

一個x,則-x也一定是定義域內(nèi)的一個自變量(即定義域關(guān)于原點對稱).

3、具有奇偶性的函數(shù)的圖象的特征

偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱；奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱.

總結(jié)：利用定義判斷函數(shù)奇偶性的格式步驟：1首先確定函數(shù)的定義域，并判斷其定義域

是否關(guān)于原點對稱；2確定f(-x)與f(x)的關(guān)系；3作出相應(yīng)結(jié)論：若f(-x)=f(x)或

f(-X)-f(x)=0,則f(x)是偶函數(shù)；若f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0,則f(x)是

奇函數(shù).

注意：函數(shù)定義域關(guān)于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件.首先看函數(shù)的定義域是否

關(guān)于原點對稱，若不對稱則函數(shù)是非奇非偶函數(shù).若對稱，(1)再根據(jù)定義判定；(2)有時判定

f(-x)=±f(x)比較困難，可考慮根據(jù)是否有f(-X)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1來判定；⑶利

用定理，或借助函數(shù)的圖象判定.

9、函數(shù)的解析表達(dá)式

(1).函數(shù)的解析式是函數(shù)的一種表示方法，要求兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系時，一是要求

出它們之間的對應(yīng)法則，二是要求出函數(shù)的定義域.

(2).求函數(shù)的解析式的主要方法有：待定系數(shù)法、換元法、消參法等，如果已知函數(shù)解

析式的構(gòu)造時，可用待定系數(shù)法；已知復(fù)合函數(shù)f［g(x)］的表達(dá)式時，可用換元法，這時要注

意元的取值范圍；當(dāng)已知表達(dá)式莪簡單時，也可用湊配法；若已知抽象函數(shù)表達(dá)式，則常用解

方程組消參的方法求出f(x)

10.函數(shù)最大(小)值(定義見課本)

(1)、利用二次函數(shù)的性質(zhì)(配方法)求函數(shù)的最大(小)值.

(2)、利用圖象求函數(shù)的最大(小)值

(3)、利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大(小)值：如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間［a,b］上單

調(diào)遞增，在區(qū)間［b,c］上單調(diào)遞減則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最大值f(b);如果函數(shù)y=f(x)在

區(qū)間［a,b］上單調(diào)遞減，在區(qū)間［b,c］上單調(diào)遞增則函數(shù)y=f(在在x=b處有最小值f(b);

第二章基本初等函數(shù)

一、指數(shù)函數(shù)

(一)指數(shù)與指數(shù)嘉的運算

1.根式的概念：一般地，如果/=。，那么X叫做。的〃次方根(nthroot),其中

n>1,且〃￡N;

當(dāng)〃是奇數(shù)時，正數(shù)的"次方根是一個正數(shù)，負(fù)數(shù)的〃次方根是一個負(fù)數(shù).此時，。的

〃次方根用符號〃'表示.式子"Z叫做根式(radical),這里〃叫做根指數(shù)(radica1

exponent),e叫做被開方數(shù)(radicand).

當(dāng)〃是偶數(shù)時，正數(shù)的〃次方根有兩個，這兩個數(shù)互為相反數(shù).此時，正數(shù)。的正的〃

次方根用符號后表示，負(fù)的〃次方根用符號-標(biāo)表示.正的〃次方根與負(fù)的〃次方根可

以合并成±"7(。>0).由此可得:負(fù)數(shù)沒有偶次方根;0的任何次方根都是0,記作強=0。

注意：當(dāng)〃是奇數(shù)時，后=a，當(dāng)〃是偶數(shù)時，(°-0)

[-a(a<0)

2.分?jǐn)?shù)指數(shù)幕

正數(shù)的分?jǐn)?shù)指數(shù)寡的意義，規(guī)定：

m____%1]

an=\la,n(a>0,e>1),ci"=—=,——>(a>0,m,neN,n>1)

..ya

an

0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)得等于0,。的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)暴沒有意義

指出：規(guī)定了分?jǐn)?shù)指數(shù)嘉的意義后，指數(shù)的概念就從整數(shù)指數(shù)推廣到了有理數(shù)指數(shù)，

那么整數(shù)指數(shù)累的運算性質(zhì)也同樣可以推廣到有理數(shù)指數(shù)基.

3.實數(shù)指數(shù)寡的運算性質(zhì)

(1)a，?優(yōu)=a"'(a>0,r,s￡R);

(2)(a〉0,r,seR);

(3)(")'=優(yōu)優(yōu)(a>O,r,seR).

(-)指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

1、指數(shù)函數(shù)的概念：一般地，函數(shù)y=a*(a〉0,且aW1)叫做指數(shù)函數(shù)(exponential

function),其中x是自變量，函數(shù)的定義域為R.

注意：指數(shù)函數(shù)的底數(shù)的取值范圍，底數(shù)不能是負(fù)數(shù)、零和1.

2、指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)

函數(shù)圖象都過定點(0,1)a°=1

自左向右自左向右

看，看，

增函數(shù)減函數(shù)

圖象逐漸圖象逐漸

上升下降

在第一象在第一象

x>0,ax>1x>0,ax<1

限內(nèi)的圖象縱限內(nèi)的圖象縱

坐標(biāo)都大于1坐標(biāo)都小于1

在第二象在第二象

x<0,ax<1x<0,ax>1

限內(nèi)的圖象縱限內(nèi)的圖象縱

坐標(biāo)都小于1坐標(biāo)都大于1

函數(shù)值開函數(shù)值開

圖象上升圖象上升

始增長較慢，到始減小極快，到

趨勢是越來越趨勢是越來越

了某一值后增了某一值后減

陡緩

長速度極快；小速度較慢；

注意：利用函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合圖象還可以看出:

(1)在[a,b]±,其*)=2*伯>0且2/1)值域是了5)』也)]或任(1))』9)];

(2)若XHO,則f(x)wl;f(x)取遍所有正數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)XGR;

(3)對于指數(shù)函數(shù)f(x)=aX(a>0且avl),總有其l)=a;

(4)當(dāng)a〉l時，若X]<X2，則f(X|)<f(X2)；

二、對數(shù)函數(shù)

(一)對數(shù)

1.對數(shù)的概念：一般地，如果屋=N(a>O,awl),那么數(shù)x叫做?。為用N的對

數(shù)，記作：x=log(,N(a-底數(shù)，N—真數(shù)，log“N一對數(shù)式)

說明：①注意底數(shù)的限制?！?,且

<2)a*=Nolog“N=x:

③注意對數(shù)的書寫格式.

兩個重要對數(shù)：

O常用對數(shù)：以10為底的對數(shù)IgN;

<2>自然對數(shù)：以無理數(shù)e=2.71828…為底的對數(shù)的對數(shù)InN.

對數(shù)式與指數(shù)式的互化

log（,N=x=a'=N

對數(shù)式。指數(shù)式

對數(shù)底數(shù)一a-嘉底數(shù)

對數(shù)一x-指數(shù)

真數(shù)-N一嘉

（二）對數(shù)的運算性質(zhì)

如果?！?,且M>0,N〉0,那么：（1）log“（〃-N）=log?M+log?N;

(2)log,一=log”M-log,N;(3)logMn=nlog,M(ne/?).

(N(a(

注意：換底公式log"b=(a>0,且aHl;c>0,且CHI;b>Q).

log.a

利用換底公式推導(dǎo)下面的結(jié)論

n

(1)log"">"=—log”。；

m

（二）對數(shù)函數(shù)

1、對數(shù)函數(shù)的概念：函數(shù)y=log,,x（a>0,且。#1）叫做對數(shù)函數(shù)，其中x是自變

量，函數(shù)的定義域是（0,+8）.

注意：①對數(shù)函數(shù)的定義與指數(shù)函數(shù)類似，都是形式定義，注意辨別。

Y

如：y=21og2x,y=log5-都不是對數(shù)函數(shù)，而只能稱其為對數(shù)型函數(shù).

<2>對數(shù)函數(shù)對底數(shù)的限制：（a>0,且awl）.

2、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)：

a>l0<a<l

1

?

Q/10

/

-

圖象特征函數(shù)性質(zhì)

0<a<1

a>1a>10<a<1

函數(shù)圖象都在y軸右側(cè)函數(shù)的定義域為（0,+8）

圖象關(guān)于原點和y軸不對稱非奇非偶函數(shù)

向y軸正負(fù)方向無限延伸函數(shù)的值域為R

函數(shù)圖象都過定點（1,0）log01=0

自左向自左向

右看，右看，

增函數(shù)減函數(shù)

圖象逐圖象逐

漸上升漸下降

第一象第一象

x>l,logx>00<x<l,logx>

限的圖象縱限的圖象縱flfl

坐標(biāo)都大于0坐標(biāo)都大于0

第二象第二象

0<x<l,logx<(x>l』og〃x<0

限的圖象縱限的圖象縱z

坐標(biāo)都小于0坐標(biāo)都小于0

三、母函數(shù)

1、嘉函數(shù)定義：一般地，形如），=》"（〃€夫）的函數(shù)稱為嘉函數(shù)，其中a為常數(shù).

2、寡函數(shù)性質(zhì)歸納.

（1）所有的募函數(shù)在（0,+8）都有定義，并且圖象都過點（1,1）；

（2）a＞0時，嘉函數(shù)的圖象通過原點，并且在區(qū)間［0,+oo）上是增函數(shù).特別地，當(dāng)

二＞1時，嘉函數(shù)的圖象下凸；當(dāng)0＜。＜1時，幕函數(shù)的圖象上凸；

（3）a＜0時，嘉函數(shù)的圖象在區(qū)間（0,+8）上是減函數(shù).在第一象限內(nèi)，當(dāng)x從右

邊趨向原點時，圖象在y軸右方無限地逼近y軸正半軸，當(dāng)x趨于+8時，圖象在x軸上

方無限地逼近x軸正半軸.

第三章函數(shù)的應(yīng)用

一、方程的根與函數(shù)的零點

1、函數(shù)零點的概念：對于函數(shù)y=/(x)(xe￡>),把使/(x)=0成立的實數(shù)x叫做

函數(shù)y=/(x)(xe。)的零點。

2、函數(shù)零點的意義：函數(shù)y=/(x)的零點就是方程/(x)=0實數(shù)根，亦即函數(shù)

y=/(x)的圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)。即：

方程/(幻=0有實數(shù)根=函數(shù)y=/(x)的圖象與x軸有交點=函數(shù)y=/(x)有零

點.

3、函數(shù)零點的求法：求函數(shù)y=/(x)的零點：

①(代數(shù)法)求方程/(x)=0的實數(shù)根；

<2>(幾何法)對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù)y=/(x)的圖象聯(lián)系起

來，并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點.

4、二次函數(shù)的零點：

二次函數(shù)>,=ax2+bx+c(a+0).

1)△>0,方程a/+8x+c=o有兩不等實根，二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個交點,

二次函數(shù)有兩個零點.

2)△=0,方程a/+bx+c=0有兩相等實根(二重根)，二次函數(shù)的圖象與x軸

有一個交點，二次函數(shù)有一個二重零點或二階零點.

3)△<0,方程ax?+"+c=0無實根，二次函數(shù)的圖象與*軸無交點，二次函數(shù)

無零點.

(必修2)立體幾何初步

1.特殊幾何體表面積公式(C為底面周長，h為高，"為斜高，1為母線)

S直棱柱側(cè)面積=ch

5正棱錐惻面積=/c〃'

SJE枝臺(M積+c2)h'

S圓柱側(cè)=271rhS圓柱表=2m(r+/)

S圓錐側(cè)面積二口1S圓錐表="（r+1）

5圓臺AM面積=（「+R）6S圓臺表="（廣+”+即+R~）

2.柱體、錐體、臺體的體積公式

%=S/z

%小

嗅=1（5'+VS7+S）〃

丫圓柱=Sh=Tvrh

%健=；勿%

唳臺=g（S+炳+SM=；%+水+R2）6

43

3.球體的表面積和體積公式：求3；S球而=4成2

4.空間幾何體的三視圖

定義三視圖：正視圖（光線從幾何體的前面向后面正投影）；側(cè)視圖（從左向右）、

俯視圖（從上向下）

注：正視圖反映了物體的高度和長度；俯視圖反映了物體的長度和寬度；側(cè)視圖反映了物

體的高度和寬度。

3、空間幾何體的直觀圖一一斜二測畫法

斜二測畫法特點：①原來與x軸平行的線段仍然與x平行且長度不變；

②原來與y軸平行的線段仍然與y平行，長度為原來的一半。

第二章直線與平面的位置關(guān)系

2.1空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系

1平面含義：平面是無限延展的

2三個公理：

(1)公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi).

符號表示為

A€L]/----------------7

B€L[=>LCa(Z?/

A€aJ

B€a

公理]作用：判斷直線是否在平面內(nèi).

(2)公理2:過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面。/B一7

符號表示為：A、B、C三點不共線=>有且只有一個平面a,/,C?/

使A￡a、B￡a、C￡a。乙---------/

公理2作用：確定一個平面的依據(jù)，

(3)公理3:如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共

直線。

符號表示為：P€aAp=>aClp=L,且PEL<\

公理3作用：判定兩個平面是否相交的依據(jù)./

2.1.2空間中直線與直線之間的位置關(guān)系N—X)/

1空間的兩條直線有如下三種關(guān)系：\/

共面直線(相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個公共點；V

平行直線：1同一平面內(nèi)，沒有公共點；

異面直線：不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點。

2公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.

符號表示為：設(shè)a、b、c是三條直線

a"b=>a〃c

cIIb」

強調(diào)：公理4實質(zhì)上是說平行具有傳遞性，在平面、空間這個性質(zhì)都適用。

公理4作用：判斷空間兩條直線平行的依據(jù)。

3等角定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補.

4注意點：

①〃與卜所成的角的大小只由a、b的相互位置來確定，與0的選擇無關(guān)，

為了簡便，點0一般取在兩直線中的一條上；

②兩條異面直線所成的角6E(0,乃)；

③當(dāng)兩條異面直線所成的角是直囪時，我們就說這兩條異面直線互相垂直，記作a_Lb;

④兩條直線互相垂直，有共面垂直與異面垂直兩種情形；

⑤計算中，通常把兩條異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為兩條相交直線所成的角。

2.1.3-2.1.4空間中直線與平面、平面與平面之間的位置關(guān)系

1、直線與平面有三種位置關(guān)系：

(1)直線在平面內(nèi)一一有無數(shù)個公共點

(2)直線與平面相交一一有且只有一個公共點

(3)直線在平面平行一一沒有公共點

指出：直線與平面相交或平行的情況統(tǒng)稱為直線在平面外，可《aa來表示

2.2.1直線與平面平行的判定

1、直線與平面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與

此平面平行。

簡記為：線線平行，則線面平行.

符號表示：

aCa

bUa—1=>aIIa

aIIbU

2.2.2林與平面平行的判定

1、兩個平面平行的判定定理：一個平面內(nèi)的兩條交直線與另一個平面平行，則這兩個平面

平行。

符號表示:

aCp、

bCp

aDb=P>=>P//a產(chǎn)了7

aIIa

bIIa，

2、判斷兩平面平行的方法有三種:

(1)用定義；/7

(2)判定定理；

(3)垂直于同一條直線的兩個平面平行。

2.2.3-2.2.4直線與平面、平面與平面平行的性質(zhì)

1、直線與平面平行的性質(zhì)定理：一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此

平面的交線與該直線平行。

簡記為：線面平行則線線平行。

符號表示：

aIIa]

aCp?=>aIIb

aA0=b，

作用：利用該定理可解決直線間的平行問題。

2、兩個平面平行的性質(zhì)定理：如果兩個平行的平面同時與第三個平面相交，那么它們的交

線平行。

符號表示：

a//P

aCly=aa=>a//b

6n丫=bJ

作用：可以由平面與平面平行得出直線與直線平行

2.3直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)

2.3.1直線與平面垂直的判定

1、定義：如果直線L與平面a內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線L與平面a互相垂

直，記作LJ_a,直線L叫做平面a的垂線，平面a叫做直線L的垂面。如圖，直線與平面垂

直時，它們唯一公共點P叫做垂足。

2、直線與平面垂直的判定定理：一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直

線與此平面垂直。

注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；

b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。

2.3.2平面與平面垂直的判定

1、二面角的概念：表示從空間一直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形

?；騛-AB-p

3、兩個平面互相垂直的判定定理：一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直。

2.3.3-2.3.4直線與平面、平面與平面垂直的性質(zhì)

1、直線與平面垂直的性質(zhì)定理：垂直于同一個平面的兩條直線平行。

2、兩個平面垂直的性質(zhì)定理：兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個

平面垂直。

第三章直線與方程

(1)直線的傾斜角

定義：了軸正向與直線向上方向之間所成的角叫直線的傾斜角。特別地，當(dāng)直線與“軸平

行或重合時，我們規(guī)定它的傾斜角為0度。因此，傾斜角的取值范圍是0°4a<180。

(2)直線的斜率

①定義：傾斜角不是90。的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率。直線的斜率常

用k表示。即—ana。斜率反映直線與軸的傾斜程度。

當(dāng)直線1與x軸平行或重合時，a=0。，k=tan0°=0;

當(dāng)直線1與x軸垂直時，a=90°,k不存在.

當(dāng)ae|0°,90°）時，^>0;當(dāng)ae(9(T,180°)時，々<0;當(dāng)a=90°時，k不存

在。

②過兩點的直線的斜率公式:k=~~—(%,X,)(Pl(xl,yl),P2(x2,y2),xl*x2)

x2-x,

注意下面四點：(1)當(dāng)司=》2時，公式右邊無意義，直線的斜率不存在，傾斜角為90。；

Q)k與P、、月的順序無關(guān)；

(3)以后求斜率可不通過傾斜角而由直線上兩點的坐標(biāo)直接求得;

(4)求直線的傾斜角可由直線上兩點的坐標(biāo)先求斜率得到。

(3)直線方程

①點斜式：>一%=%(x—X])直線斜率且過點(西方)

注意：當(dāng)直線的斜率為0°時，k=0,直線的方程是片％.

當(dāng)直線的斜率為90。時，直線的斜率不存在，它的方程不能用點斜式表示.但因/上每一

點的橫坐標(biāo)都等于不，所以它的方程是尸為。

②斜截式：y=kx+b,直線斜率為匕直線在y軸上的截距為6

③兩點式：—~^?(X|W々，)'尸為)直線兩點(不)'3(*2，%)

為一名》2—引

④截矩式：2+)=1其中直線/與x軸交于點(a,O),與y軸交于點(O,b),即/與x軸、y軸

ab

的截距分別為出人。

⑤一般式：Ax+By+C=0(Ay耳不全為0)

注意：①各式的適用范圍。特殊的方程如：

平行于彳軸的直線：y=h(。為常數(shù))；平行于y軸的直線：x=a(，為常數(shù))；

(6)兩直線平行與垂直當(dāng)1:y=k}x+b],l2-y=k2x+b2時，

6〃/2<=>k[=%2,仇。b2;

Z]_Ll2ok}k2=—1

注意：利用斜率判斷直線的平行與垂直時，要注意斜率的存在與否。

(7)兩條直線的交點

/]:Axx+Bxy+Cx=012:A2X+B2y+C2=0相交

交點坐標(biāo)即方程組jA'+^y+G=°的一組解。

[A2x+B2y+C2=0

方程組無解=/J〃2；方程組有無數(shù)解=/|與，2重合

（8）兩點間距離公式：設(shè)力（西,%），B（&,乃）是平面直角坐標(biāo)系中的兩個點，

則IAB\=｛（々一±）2+（必一%）2

（9）點到直線距離公式：一點p（xo,yo）到直線/（:Ax+By+C=0的距離

,|4XO+B），0+C|

-JA1+B-

（10）兩平行直線距離公式

已知兩條平行線直線4和乙的一般式方程為點4x+By+G=0，

/2:Ax+By+C,=0,則6與/，的距離為d=單二St

ylA2+B2

第四章圓與方程

1、圓的定義：平面內(nèi)到一定點的距離等于定長的點的集合叫圓，定點為圓心，定長為圓的

半徑。

2、圓的方程

（1）標(biāo)準(zhǔn)方程（x—a）2+（y-b『=/,圓心（q,b）,半徑為r;

點與圓。一。）2+（＞-6）2=/的位置關(guān)系：

當(dāng)（.—4）2+（%—匕）2＞產(chǎn)，點在圓外

當(dāng)（入0-。）2+（凡-匕）2=巴點在圓上

當(dāng)（X。一4）~+（＞0—b）~〈廠，點在圓內(nèi)

（2）一般方程x2+y2+Ox+Ey+b=0

當(dāng)。2+七2-4/＞0時，方程表示圓，此時圓心為,半徑為一白方+小花

當(dāng)。2+石2-4/=0時，表示一個點;

當(dāng)。2+后2-4/<0時，方程不表示任何圖形。

(3)求圓方程的方法：

一般都采用待定系數(shù)法：先設(shè)后求。確定一個圓需要三個獨立條件，若利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，

需求出a,b,r;若利用一般方程，需要求出D,E,F;

另外要注意多利用圓的幾何性質(zhì)：如弦的中垂線必經(jīng)過原點，以此來確定圓心的位置。

3、直線與圓的位置關(guān)系：

直線與圓的位置關(guān)系有相離，相切，相交三種情況：

(1)設(shè)直線/:Ax+8y+C=0,圓C:(x-ay+(y_b)2=H圓心。［力)到/的距離

為,_|"+8b+C|,則有d>廠o/與。相離:d=「=/與。相切:"<「=/與。相交

J4？+爐

(2)過圓外一點的切線：①k不存在，驗證是否成立②k存在，設(shè)點斜式方程，用圓心到

該直線距離=半徑,求解k,得到方程【一定兩解】

(3)過圓上一點的切線方程：圓行-幻>，4-〃二圓上一點為出，%),則過此點的切線

2

方程為(x0-a)(x-a)+(yo-b)(y-b)=r

4、圓與圓的位置關(guān)系：通過兩圓半徑的和(差)，與圓心距(d)之間的大小比較來確定。

22

設(shè)圓G：(x-a)+(丫-仇)=/，C2：(x—與丫+(y—/)=R2

兩圓的位置關(guān)系常通過兩圓半徑的和(差)，與圓心距(d)之間的大小比較來確定。

當(dāng)d>R+r時兩圓外離，此時有公切線四條；

當(dāng)"=/?+/時兩圓外切，連心線過切點，有外公切線兩條，內(nèi)公切線一條；

當(dāng)R-r<d<??+r時兩圓相交，連心線垂直平分公共弦，有兩條外公切線；

^_d=\R-r\時，兩圓內(nèi)切，連心線經(jīng)過切點，只有一條公切線；

當(dāng)4<|R-廠|時，兩圓內(nèi)含；當(dāng)d=0時，為同心圓。

注意：已知圓上兩點，圓心必在中垂線上；已知兩圓相切，兩圓心與切點共線

圓的輔助線一般為連圓心與切線或者連圓心與弦中點

必修3

第一章：算法初步

1：算法的概念

(1)算法概念：在數(shù)學(xué)上，現(xiàn)代意義上的“算法”通常是指可以用計算機來解決的某一類

問題是程序或步驟，這些程序或步驟必須是明確和有效的，而且能夠在有限步之內(nèi)完成.

(2)算法的特點：

①有限性：一個算法的步驟序列是有限的，必須在有限操作之后停止，不能是無限的.

②確定性：算法中的每一步應(yīng)該是確定的并且能有效地執(zhí)行且得到確定的結(jié)果，而不應(yīng)當(dāng)

是模棱兩可.

③順序性與正確性：算法從初始步驟開始，分為若干明確的步驟，每一個步驟只能有一個

確定的后繼步驟，前一步是后一步的前提，只有執(zhí)行完前一步才能進(jìn)行下一步，并且每一步都

準(zhǔn)確無誤，才能完成問題.

④不唯一性：求解某一個問題的解法不一定是唯一的，對于一個問題可以有不同的算法.

⑤普遍性：很多具體的問題，都可以設(shè)計合理的算法去解決，如心算、計算器計算都要經(jīng)

過有限、事先設(shè)計好的步驟加以解決.

2:程序框圖

(1)程序框圖基本概念：

①程序構(gòu)圖的概念：程序框圖又稱流程圖，是一種用規(guī)定的圖形、指向線及文字說明來準(zhǔn)

確、直觀地表示算法的圖形。

一個程序框圖包括以下幾部分：表示相應(yīng)操作的程序框；帶箭頭的流程線；程序框外必要

文字說明。

②構(gòu)成程序框的圖形符號及其作用

程序框名稱功能

■、表示一個算法的起始和結(jié)束，是任何流程圖

起止框

不可少的。

表示一個算法輸入和輸出的信息，可用在算

二輸入、輸出框法中任何需要輸入、輸出的位置。

賦值、計算，算法中處理數(shù)據(jù)需要的算式、

—處理框公式等分別寫在不同的用以處理數(shù)據(jù)的處理框

內(nèi)。

判斷某一條件是否成立，成立時在出口處標(biāo)

判斷框

O明“是”或“Y”;不成立時標(biāo)明“否”或“N”.

學(xué)習(xí)這部分知識的時候，要掌握各個圖形的形狀、作用及使用規(guī)則，畫程序框圖的規(guī)則如

下：

1、使用標(biāo)準(zhǔn)的圖形符號。2、框圖一般按從上到下、從左到右的方向畫.3、除判斷框外,

大多數(shù)流程圖符號只有一個進(jìn)入點和一個退出點。判斷框具有超過一個退出點的唯一符號04、

判斷框分兩大類，一類判斷框“是”與“否”兩分支的判斷，而且有且僅有兩個結(jié)果；另一類

是多分支判斷，有幾種不同的結(jié)果。5、在圖形符號內(nèi)描述的語言要非常簡練清楚.

3:算法的三種基本邏輯結(jié)構(gòu)：順序結(jié)構(gòu)、條件結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)。

(1)順序結(jié)構(gòu)：順序結(jié)構(gòu)是最簡單的算法結(jié)構(gòu)，語句與語句之間，框與框之間是按從上到

下的順序進(jìn)行的，它是由若干個依次執(zhí)行的處理步驟組成的，它是任何一個算法都離不開的一A

種基本算法結(jié)構(gòu)。

順序結(jié)構(gòu)在程序框圖中的體現(xiàn)就是用流程線將程序框自上而下地連接起來，按順序執(zhí)行算

法步驟。如在示意圖中，A框和B框是依次執(zhí)行的，只有在執(zhí)行完A框指定的操作后，才能接

著執(zhí)行B框所

指定的操作。

(2)條件結(jié)構(gòu)：條件結(jié)構(gòu)是指在算法中通過對條件的判斷根據(jù)條件是否成立而選擇不同流

向的

算法結(jié)構(gòu)。

條件P是否成立而選擇執(zhí)行A框或B框。無論P條件是否成立，只能執(zhí)行A框或B框之一,

不可能同時執(zhí)行

A框和B框，也不可能A框、B框都不執(zhí)行。一個判斷結(jié)構(gòu)可以有多個判斷框。

(3)循環(huán)結(jié)構(gòu)：在一些算法中，經(jīng)常會出現(xiàn)從某處開始，按照一定條件，反復(fù)執(zhí)行某一處

理步驟的情況，這就是循環(huán)結(jié)構(gòu)，反復(fù)執(zhí)行的處理步驟為循環(huán)體，顯然，循環(huán)結(jié)構(gòu)中一定包含

條件結(jié)構(gòu)。循環(huán)結(jié)構(gòu)又稱重復(fù)結(jié)構(gòu)，循環(huán)結(jié)構(gòu)可細(xì)分為兩類：

①一類是當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)，如下左圖所示，它的功能是當(dāng)給定的條件P成立時，執(zhí)行A框，A

框執(zhí)行完畢后，再判斷條件P是否成立，如果仍然成立，再執(zhí)行A框，如此反復(fù)執(zhí)行A框，直

到某一次條件P不成立為止，此時不再執(zhí)行A框，離開循環(huán)結(jié)構(gòu)。

②另一類是直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)，如下右圖所示，它的功能是先執(zhí)行，然后判斷給定的條件P

是否成立，如果P仍然不成立，則繼續(xù)執(zhí)行A框，直到某一次給定的條件P成立為止，此時不

再執(zhí)行A框，離開循環(huán)結(jié)構(gòu)。

A

——t當(dāng)型循環(huán)結(jié)崩］「直到黑點環(huán)結(jié)構(gòu)

成千注意：1循環(huán)結(jié)構(gòu)要在某個條件下.I終止蕭記這就需要條件結(jié)

構(gòu)來仗判立斷。因11暨海環(huán)結(jié)構(gòu)中一定包含條件結(jié)構(gòu)，但不允許“死循環(huán)”。2在循環(huán)結(jié)構(gòu)

中都有一I個計數(shù)變量和累加變量。計數(shù)變量用于記錄循環(huán)次數(shù)，累加變量用于輸出結(jié)