量子力學(xué)試題

量子力學(xué)試題(一)及答案一.(20分)質(zhì)量為m的粒子，在一維無限深勢(shì)阱中213223nn(2)求t>0時(shí)的波函數(shù)v(x,t)及能量的可測(cè)值與相應(yīng)的取值幾率"22Enn3,…manaa(1)首先，將v(x,0)歸一化。由=131132133WE6;能量取其它值的幾率皆為零。W(E)=4;(2)因?yàn)楣茴D算符不顯含時(shí)間，故t>0時(shí)的波函數(shù)為| ()i| ()i|v(x,t)=6Q(x)exp(|_iEt)|+4Q(x)exp(|_iEt)|+131(i1)132(i2)3Q(x)exp(|_iEt)|133(i3)二.(20分)質(zhì)量為m的粒子在一維勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)(V>0)，若已知該粒子在此勢(shì)阱中有一個(gè)能量E=_V0的狀態(tài)，試確定02此勢(shì)阱的寬度a。V解：對(duì)于E=_0<0的情況，三個(gè)區(qū)域中的波函數(shù)分別為V2iia=iv(a)=v(a)23kka1當(dāng)E=_V時(shí)，由于20(0(0i0ivnvpvq (4)mVvnvpvq (4)mV故4(4)若算符A?的矩陣元為A=vA?v，證明mnmn(1)對(duì)于任意一個(gè)態(tài)矢v，有H?vvv_vvH?v=mn故故mn(3)算符的跡為kkxxvvkmvvnkvvnkk (4)算符而AQAQxQQQA?Q=pqpqpkkq2i于均勻外磁場(chǎng)B=Bk中，設(shè)t=0時(shí)，粒子處于s=的狀態(tài)，0x2(1)求出t>0時(shí)的波函數(shù)；(2)求出t>0時(shí)與的可測(cè)值及相應(yīng)的取值幾率。xz0z2zz的本征解為1E=-O,21Q=-2z2v(0)=+xx+=1[++-]x2-=1[+--]x2v(t)=1++1-2(i1)2(i2) zz變，換句話說，只要計(jì)算t=0時(shí)s的取值幾率就知道了t>0時(shí)s的取值幾率。zzz而s的取值幾率為x (x2)x (x2)2與原子核的庫侖相互作用為r當(dāng)核電荷變?yōu)?Z+1)e時(shí)，相互作用能增加W?=-e2，試用微擾論計(jì)算它對(duì)能量r0nlmi2i式中，a=為玻爾半徑。r1E(1)=nlmWnlm=e2nlnlnr1T=V2E=T+V=V=nlnln22r12EZe2EenlEenlnrZn2a0EEnn000EZeZeZee2nnanan2a2n2a00000量子力學(xué)試題(二)及答案?(,0)=Cv1()+v2()+v3()pe1E=-En2i2n2nlmnllmC=(|1+1+1)|-=3 (232)2?(,t)=3v()exp(|-iEt)|+1v()exp(|-iEt)|+3v()exp(|-iEt)|81(i1)22(i2)83(i3)式中，V>0。導(dǎo)出能量本征值滿足的超越方程，進(jìn)而求出使得體系至少存在0一個(gè)束縛態(tài)的V值。0k;mk;a=在v(a)=v(a)v(a)=v(a)23得到Asin(ka+n爪)=Bexp(_aa)Akcos(ka+n爪)=_Baexp(_aa)ktanka=_kankakaka0k=00ka>ka00sin(ka)幾a幾ka=2AV0i0符為2m2(dx)2m2dp22m2(dx)2m2dp2由于動(dòng)量的本征函數(shù)為6(p-p')，故哈密頓算符的矩陣元為1四、(20分)設(shè)兩個(gè)自旋為非全同粒子構(gòu)成的體系，哈密頓量2解：體系的哈密頓算符為12212是對(duì)角矩陣，即 ||||1[+-+-+]2444 ||||1[+-+-+]2444CH=i24010000100)00-0-3)|E=E1E=E2Ci2，4Ci2，4=1-1=--23=00=1[+---+]2v(0)=-+v(0)=-+=2(i)]-exp|(-iE4)|(i)]1[+-+-+]exp(|-iCit)|-1[+---+]exp(|3iCit)|2(4)2(4)z粒子1處于軸負(fù)方向的幾率為W(|s=-i,t)|=--v(t)2+-+v(t)2= (1z2)z而粒子2處于軸負(fù)方向的幾率為==2+_v(t)2= (2z2)W(|s=_i2+_v(t)2= (2z2)n(1)利用費(fèi)曼－海爾曼定理求出嚴(yán)格的能量本征值。n又知在任何束縛態(tài)n下，均有ndxn=1n[x,H?]n=1nxH?_H?xn=0dtiiiinn=_a的微分方程E入E=_=_ii0n最后，得到H?的本征值為E=E0-nn已知H?滿足的本征方程為00n由ii0山ii0山iinmmnk入pE(1)=Wpkkkxxiixknnk=E(knnk=kE0-E0knkkniiknnkE0-EnkkniiknnkE0-E0kn=-(E0-=-2nknk2kkknnkiiknknnkiinknkkkknnkiiknknnkiinknknnnii函數(shù)k，有(xp)=1iikk2x(E2x(E22=2山kk量子力學(xué)試題(三)及答案其中，Q(x)為該氫原子的第n個(gè)能量本征態(tài)。求能量及自旋z分量的取值概率nt知?dú)湓拥谋菊髦禐閚22n2(2)(2)(3)(3)7273|(4)_4Q(x)|717273|(4)_4Q(x)|71)E,E,E，相應(yīng)的取值幾率為172737 自旋z分量的可能取值為,-，相應(yīng)的取值幾率為22727(2)14727(2)14 二.(20分)質(zhì)量為m的粒子在如下一維勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)(V>0)0x>a若已知該粒子在此勢(shì)阱中有一個(gè)能量若已知該粒子在此勢(shì)阱中有一個(gè)能量E=-0的狀態(tài)，試確定此勢(shì)阱的寬度a。2解對(duì)于-V<E<0的情況，三個(gè)區(qū)域中的波函數(shù)分別為0|lv3(x)=Bexp(-ax)kv(a)=v(a)23(1) (4)mV (4)mVtan(ka)=-ka當(dāng)E=-1V時(shí)，由于20(6)故00(5)mV0a=n"-"4(7)a=|n-a=|n-|(8)證明對(duì)x分量有yzzyxxnnvp=vnnpnnnvp=vp=pnv*=n-w-w-wkkkxmnmkxknkkk(x)=dxv*(x)xv(x)=xmnmxn-w-wmxn-w-wdxv*(x)xdx'6(x'-x)v(x'-w-wmx'ndxv*(dxv*(x)xdx'xv*(x')v(x)v(x')=mkkx'nxdxv*(x)xv(x)dxv'*(x')v(x')=mkkx'nxk()-wmkxknkzxyzzxyzz有(100)=|000|()100zzv(|0)|zz z xyx2+-=1(-)y2i+-而土xyxyxy xxxx1,01,-1=1,11,0=-iyy21,-11,0=1,01,1=iyy2xy-i0i(00)-i0i(00)10)-i|i (|i (0xy2|22 3ii203ii20i3(16)2|(i)|i22相應(yīng)的久期方程為|i -i0i(c)1c|-i0i(c)1c|||(8)2 (c)-(8)2 (c)ii-0-2ii(9)ii(9)-ii22(10)(10)123，得到相應(yīng)的本征矢為(-i)(-i)v2|;L滿足的本征方程為x1(1)(i)v2(1)(i)v2=|0|;v3=|2|(12)(13)02=02