2022人教數(shù)學(xué)A版選修《復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算》優(yōu)化訓(xùn)練

1．(2022年高考課標全國卷)復(fù)數(shù)eq\f(2＋i,1－2i)的共軛復(fù)數(shù)是()A．－eq\f(3,5)i \f(3,5)iC．－i D．i答案：C2．(2022年高考山東卷)已知eq\f(a＋2i,i)＝b＋i(a，b∈R)，其中i為虛數(shù)單位，則a＋b＝()A．－1 B．1C．2 D．3解析：選B.∵eq\f(a＋2i,i)＝b＋i，∴a＋2i＝bi－1.∴a＝－1，b＝2.∴a＋b＝1.3．(2022年高考江西卷)若z＝eq\f(1＋2i,i)，則復(fù)數(shù)eq\x\to(z)＝()A．－2－i B．－2＋iC．2－i D．2＋i解析：選＝eq\f(1＋2i,i)＝eq\f(i＋2i2,i2)＝eq\f(i－2,－1)＝2－i.4．復(fù)數(shù)eq\f(2i,－1＋\r(3)i)的虛部是________．解析：原式＝eq\f(2i－1－\r(3)i,1＋3)＝eq\f(2\r(3)－2i,4)＝eq\f(\r(3),2)－eq\f(1,2)i，∴虛部為－eq\f(1,2).答案：－eq\f(1,2)一、選擇題1．(2022年高考浙江卷)設(shè)i為虛數(shù)單位，則eq\f(5－i,1＋i)＝()A．－2－3i B．－2＋3iC．2－3i D．2＋3i解析：選\f(5－i,1＋i)＝eq\f(5－i1－i,1＋i1－i)＝eq\f(4－6i,2)＝2－3i.2．(2022年高考廣東卷)若復(fù)數(shù)z1＝1＋i，z2＝3－i，則z1·z2＝()A．4＋2i B．2＋iC．2＋2i D．3＋i解析：選·z2＝(1＋i)·(3－i)＝1×3－i×i＋(3－1)i＝4＋2i.故選A.3．(2022年高考安徽卷)已知i2＝－1，則i(1－eq\r(3)i)＝()\r(3)－i \r(3)＋iC．－eq\r(3)－i D．－eq\r(3)＋i解析：選(1－eq\r(3)i)＝i－eq\r(3)i2＝eq\r(3)＋i.4．(2022年高考福建卷)i是虛數(shù)單位，(eq\f(1＋i,1－i))4等于()A．i B．－iC．1 D．－1解析：選C.(eq\f(1＋i,1－i))4＝[(eq\f(1＋i,1－i))2]2＝(eq\f(2i,－2i))2＝1.5．已知復(fù)數(shù)z＝1－2i，那么eq\f(1,\x\to(z))＝()\f(\r(5),5)＋eq\f(2\r(5),5)i \f(\r(5),5)－eq\f(2\r(5),5)i\f(1,5)＋eq\f(2,5)i \f(1,5)－eq\f(2,5)i解析：選\f(1,\x\to(z))＝eq\f(1,1＋2i)＝eq\f(1－2i,1＋2i1－2i)＝eq\f(1－2i,5)＝eq\f(1,5)－eq\f(2,5)i.6．已知z是純虛數(shù)，eq\f(z＋2,1－i)是實數(shù)，那么z等于()A．2i B．iC．－i D．－2i解析：選D.設(shè)z＝bi(b∈R，b≠0)，則eq\f(z＋2,1－i)＝eq\f(bi＋2,1－i)＝eq\f(bi＋21＋i,1－i1＋i)＝eq\f(2－b＋b＋2i,2)＝eq\f(2－b,2)＋eq\f(b＋2,2)i是實數(shù)，所以b＋2＝0，b＝－2，所以z＝－2i.二、填空題7．若復(fù)數(shù)z滿足z＝i(2－z)(i是虛數(shù)單位)，則z＝________.解析：∵z＝i(2－z)，∴z＝2i－iz，∴(1＋i)z＝2i，∴z＝eq\f(2i,1＋i)＝1＋i.答案：1＋i8．若復(fù)數(shù)(1＋ai)(2－i)的實部與虛部相等，則實數(shù)a＝__________.解析：∵(1＋ai)(2－i)＝(2＋a)＋(2a－1)i的實部與虛部相等，∴2＋a＝2a－1.∴a＝3.答案：39．已知復(fù)數(shù)z1＝3＋4i，z2＝t＋i，且z2的共軛復(fù)數(shù)與z1的積是實數(shù)，則實數(shù)t的值為________．解析：由題意知eq\x\to(z)2＝t－i(t∈R)，eq\x\to(z)2z1＝(t－i)(3＋4i)＝(3t＋4)＋(4t－3)i.∵eq\x\to(z)2z1∈R，∴4t－3＝0，∴t＝eq\f(3,4).答案：eq\f(3,4)三、解答題10．計算：(1)eq\f(2＋2i,1－i2)＋(eq\f(\r(2),1＋i))2022；(2)(4－i5)(6＋2i7)＋(7＋i11)(4－3i)．解：(1)eq\f(2＋2i,1－i2)＋(eq\f(\r(2),1＋i))2022＝eq\f(2＋2i,－2i)＋(eq\f(2,2i))1005＝i(1＋i)＋(eq\f(1,i))1005＝－1＋i＋(－i)1005＝－1＋i－i＝－1.(2)原式＝(4－i)(6－2i)＋(7－i)(4－3i)＝22－14i＋25－25i＝47－39i.11．已知復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為eq\x\to(z)，且z·eq\x\to(z)－3iz＝eq\f(10,1－3i)，求z.解：設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)，則eq\x\to(z)＝a－bi.又z·eq\x\to(z)－3iz＝eq\f(10,1－3i)，∴a2＋b2－3i(a＋bi)＝eq\f(101＋3i,10)，∴a2＋b2＋3b－3ai＝1＋3i，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋b2＋3b＝1，,－3a＝3.))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝0，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝－3.))∴z＝－1，或z＝－1－3i.12．已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的一個根(b、c為實數(shù))．(1)求b，c的值；(2)試說明1－i也是方程的根嗎？解：(1)因為1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的根，∴(1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0，即(b＋c)＋(2＋b)i＝0.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b