拋物線 新高考 數(shù)學一輪復習專項提升精講精練 （含答案解析）

9.4拋物線（精練）（提升版）題組一題組一拋物線的定義及應用1．（2022·廣西貴港）已知點是拋物線的焦點，是上的一點，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由拋物線的定義可知，，所以．故選：C.2．（2022·全國·課時練習）已知拋物線的焦點是，點是拋物線上的動點，若，則的最小值為______，此時點的坐標為______．【答案】

【解析】易知點在拋物線內(nèi)部，設拋物線的準線為，則的方程為，過點作于點，則，當，即，，三點共線時，最小，最小值為，此時點的縱坐標為2，代入，得，所以此時點的坐標為．故答案為：；．3．（2022·江蘇·南京市金陵中學河西分校高三階段練習）是拋物線上的動點，到軸的距離為，到圓上動點的距離為，則的最小值為________．【答案】【解析】圓的圓心為，半徑，拋物線的焦點，因為是拋物線上的動點，到軸的距離為，到圓上動點的距離為，所以要使最小，即到拋物線的焦點與到圓的圓心的距離最小，連接，則的最小值為減去圓的半徑，再減去拋物線焦點到原點的距離，即，所以的最小值為，故答案為：4．（2022·河南平頂山）已知拋物線，為該拋物線上一點，B為圓上的一個動點，則的最小值為___________.【答案】3【解析】由題意得：,拋物線焦點為，準線為，則,當A,F,C三點共線時取等號，而，故的最小值為，故答案為：35．（2022·全國·課時練習）已知點為拋物線上的一個動點，設點到拋物線的準線的距離為，點，則的最小值為______．【答案】【解析】拋物線的焦點，準線方程為．過點作拋物線準線的垂線，垂足為點，由拋物線的定義可得，則，當且僅當為線段與拋物線的交點時，等號成立，因此，的最小值為.故答案為：.6．（2023·全國·高三專題練習）已知P為拋物線上任意一點，F(xiàn)為拋物線的焦點，為平面內(nèi)一定點，則的最小值為__________．【答案】5【解析】由題意，拋物線的準線為，焦點坐標為，過點向準線作垂線，垂足為，則，當共線時，和最??；過點向準線作垂線，垂足為，則，所以最小值為5.故答案為：5.題組二題組二直線與拋物線的位置關系1．（2022·安徽·高三開學考試）過拋物線的焦點的直線與交于兩點，若，則的傾斜角（

）A． B．或 C．或 D．或【答案】D【解析】因為焦點，設，令，由，消可得，，所以，所以所以，解得：所以的斜率為，則的傾斜角或故選：D.2．（2022·浙江·高三開學考試）已知為坐標原點，直線與拋物線交于兩點，以為直徑的圓經(jīng)過，則直線恒過（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖所示：設直線方程為：，，聯(lián)立方程得，有.，，，故中點，即圓心C的坐標為直徑.因為以為直徑的圓經(jīng)過，故有，即，化簡得：，故直線方程為：，當時，，即直線經(jīng)過定點.故選：D3．（2022·全國·課時練習）已知直線l過點，且與拋物線只有一個公共點，則直線l的方程可以是______．（寫出一個符合題意的直線方程即可）【答案】（答案不唯一）【解析】由題意知直線l的斜率存在，設其方程為，當時，，易知直線過點，且與拋物線只有一個公共點，符合題意．當時，聯(lián)立，可得，．當時，，解得或，此時直線l的方程為或，即或，易知直線和直線都過點，且與拋物線都只有一個公共點，符合題意．故直線l的方程可以是或或．故答案為：（答案不唯一）4．（2022·全國·高二單元測試）已知拋物線的焦點為，過且被拋物線截得的弦長為的直線有且僅有兩條，寫出一個滿足條件的拋物線的方程______．【答案】（答案不唯一，滿足即可）【解析】設直線的方程為，且直線與拋物線交于，，聯(lián)立，可得，所以，所以，取等號時，所以拋物線過焦點的弦長最短為，又因為被拋物線截得的弦長為的直線有且僅有兩條，所以，所以，取，此時拋物線方程為．故答案為：（答案不唯一，滿足即可）5．（2022·山東）已知拋物線C的方程為，直線l過定點，若拋物線C與直線l只有一個公共點，求直線l的方程．【答案】或或【解析】由題意知直線l的斜率存在，設直線的斜率為k．當時，直線l的方程為，此時直線l與拋物線的對稱軸平行，顯然只有一個公共點；當時，設直線l的方程為，由，得，因為拋物線C與直線l只有一個公共點，所以，解得或，所以直線l的方程為或，即或．綜上，直線l的方程為或或．題組三題組三弦長1．（2022·陜西·渭南市華州區(qū)咸林中學高三開學考試（文））已知拋物線，過的焦點且斜率為的直線交于兩點，若，則__________.【答案】4【解析】由題意，拋物線，可得，則直線的方程為，聯(lián)立方程組，整理得，設，則，因為且，所以，即，所以，可得，因為，所以.故答案為：.2．（2022·廣東·深圳外國語學校高三階段練習）若直線l經(jīng)過拋物線的焦點，與該拋物線交于A，B兩點，且線段AB的中點的縱坐標為3，則線段AB的長為______.【答案】8【解析】拋物線的焦點為，直線與拋物線交于兩點，則其斜率存在，設的方程為，，則由得，，，又，所以，即，，所以．故答案為：8．3．（2022·海南）過拋物線的焦點作直線與拋物線交于，兩點，則當點，到直線的距離之和最小時，線段的長度為______【答案】【解析】由拋物線可得，設直線的方程為，由，可得，設，，則，所以，則線段的中點坐標，到直線的距離為，則點，到直線的距離之和，所以當時，取最小值，此時，故答案為：.4（2022·長寧區(qū)）已知直線與拋物線交于，兩點，則______．【答案】16【解析】聯(lián)立，得：，即，設，，則，，所以.故答案為：16.題組四題組四綜合運用1．（2022·湖南湘潭·高三開學考試）（多選）已知直線與拋物線交于兩點，點為坐標原點，若線段的中點是，則（

）A． B． C． D．【答案】AC【解析】設，由得，所以，所以，又點在直線l上，所以，所以A正確，B錯誤；對于C，因為直線l經(jīng)過拋物線的焦點，所以，所以C正確；對于D，因為，所以，所以，所以D錯誤，故選:AC．2．（2022·浙江·高三開學考試）（多選）已知拋物線的焦點為，直線與交于點與點，點關于原點的對稱是點，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若在以為直徑的圓上，則D．若直線與與拋物線都相切，則【答案】ACD【解析】設方程為，由得，，，，A．由得得，所以直線過點，A正確；B．，由，當時，，，B錯誤；C．，，，，即，所以，，，C正確；D．設（或）方程為，由上面推理過程得，，代入得，，不妨設，，則，所以直線過點，D正確．故選：ACD．3．（2022·全國·單元測試）（多選）已知：的焦點為，斜率為且經(jīng)過點的直線與拋物線交于點，兩點（點在第一象限），與拋物線的準線交于點，若，則（

）A． B．為線段的中點C． D．【答案】AB【解析】易知，由題意可得直線的方程為．由，消去并整理，得，解得，．由，得，∴．過點作垂直準線于點，易知，∴，∴．.∵，∴為線段的中點．故選：AB．4．（2022福建）（多選）過拋物線的焦點的直線交拋物線于，兩點，為線段的中點，則（

）A．以線段為直徑的圓與直線相切B．以線段為直徑的圓與軸相切C．當時，D．的最小值為6【答案】ACD【解析】由拋物線方程知，準線方程為，由題意可知，直線的斜率存在，可設：，設，．對于選項A，易知，∵為的中點，∴點到準線的距離，∴以線段為直徑的圓與直線相切，A正確；對于B，由，得，，，，∴，∴，設的中點為，則，，∵不恒成立，∴以線段為直徑的圓與軸未必相切，B錯誤；對于C，若，則，不妨設，，∵，∴，，則，，∴，C正確；對于D，∵，∴當時，，D正確．故選:ACD．5．（2022·湖北·高三開學考試）（多選）已知拋物線的焦點為，過的直線與拋物線相交于兩點，分別過兩點作的切線，且相交于點，則（

）A． B．點在直線上C．為直角三角形 D．面積的最小值為16【答案】BCD【解析】由題可知，拋物線的焦點，顯然直線的斜率存在，設直線方程為，，，聯(lián)立，消去并整理得，，，由得，，，故切線的方程為：①故切線的方程為：②聯(lián)立①②得，對于A，，，不正確，故A不正確；對于B，，顯然點在直線上，故B正確；對于C，，，，，將，，且，，代入上式化簡得：，，為直角三角形，故C正確；對于D，到直線的距離為：，，，當時，，故D正確.故選：BCD6．（2022·全國·）（多選）已知拋物線的焦點到準線的距離為，直線過點且與拋物線交于，兩點，若是線段的中點，則（

）A． B．拋物線的方程為C．直線的方程為 D．【答案】ACD【解析】因為焦點到準線的距離為4，根據(jù)拋物線的定義可知，故A正確故拋物線的方程為，焦點，故B錯誤則，．又是的中點，則，所以，即，所以直線的方程為．故C正確由，得．故D正確故選：ACD．7．（2022·湖南·高三開學考試）（多選）已知是拋物線上兩動點，為拋物線的焦點，則（

）A．直線過焦點時，最小值為4B．直線過焦點且傾斜角為時（點在第一象限），C．若中點的橫坐標為3，則最大值為8D．點坐標，且直線斜率之和為與拋物線的另一交點為，則直線，方程為：【答案】ACD【解析】對于A選項，直線過焦點，當垂直于軸時，取最小值，故正確；對于B選項，由題意，作圖如下：則，軸，軸，即，，，，即，，，，，，故錯誤；對于C選項，由于為兩動點，所以，當且僅當直線過焦點時等號成立，故正確；對于D選項，依題意，，故，即，由題意，，同理可得，故直線方程為，故正確.故選：ACD.8．（2022·湖南）（多選）已知直線：過拋物線：（）的焦點，且與拋物線交于A，兩點，過A，兩點分別作拋物線準線的垂線，垂線分別為，，則下列說法錯誤的是（

）A．拋物線的方程為 B．線段的長度為C． D．線段的中點到軸的距離為【答案】BD【解析】由題意不妨設點A在點上方，直線：與x軸交點，又經(jīng)過的焦點，故，可得，即拋物線方程為：，A正確．由，可得，解得或，可得，，所以，B錯誤．由以上分析可知，，，，可得，則，即，C正確．因為，，故線段的中點為，則線段的中點到軸的距離為，D錯誤，故選：BD．9．（2022·河北）（多選）已知拋物線：的焦點為，準線為，過點的直線與拋