多元函數(shù)取得極值的條件

多元函數(shù)取得極值的條件第一頁，共二十一頁，2022年，8月28日無約束問題取得極值的條件第二頁，共二十一頁，2022年，8月28日必要條件若函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)P(x0,y0)存在兩個偏導(dǎo)數(shù)，且

P(x0,y0)是函數(shù)f(x,y)的極值點(diǎn)，則駐點(diǎn)充分條件若函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)P(x0,y0)的某鄰域內(nèi)連續(xù)且存在一階及二階偏導(dǎo)數(shù)，又令則時具有極值，且當(dāng)A<0時有極大值，當(dāng)A>0時有極小值。<0時沒有極值不能確定n元函數(shù)取得極值的條件？第三頁，共二十一頁，2022年，8月28日梯度具有偏導(dǎo)數(shù)，Hesse矩陣第四頁，共二十一頁，2022年，8月28日必要條件若n元函數(shù)f(x)在存在偏導(dǎo)數(shù)，且x*是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)，則一階條件二階條件第五頁，共二十一頁，2022年，8月28日二階充分條件證明:所以第六頁，共二十一頁，2022年，8月28日約束問題取得極值的條件第七頁，共二十一頁，2022年，8月28日對于多元函數(shù)的條件極值，在高等數(shù)學(xué)中給出Lagrange乘子法。Lagrange乘子法只給出可能極值點(diǎn)，沒有給出判別這些點(diǎn)究竟是否是極值點(diǎn)的方法，也沒有給出判別是極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn)的方法。問題：對于一般的有約束極值問題，取得極值的條件是什么？一般的約束極值問題：幾個概念：可行域：可行方向：(1)第八頁，共二十一頁，2022年，8月28日指標(biāo)集起作用集起作用約束在x的領(lǐng)域限制了可行點(diǎn)的范圍。當(dāng)點(diǎn)沿某些方向稍微離開x時，仍能滿足約束條件；而沿另一些方向離開x時，不論步長多么小，都將違背這些約束。對于非起作用約束（ci(x)>0），x是否是局部最優(yōu)解與這些非起作用約束無關(guān)。序列可行方向：第九頁，共二十一頁，2022年，8月28日序列可行方向的性質(zhì)設(shè)ci(x)在x處可微，則證明性質(zhì)1同樣可證性質(zhì)2設(shè)fi(x)在x*處可微，且取得局部極小值，則第十頁，共二十一頁，2022年，8月28日必要條件說明Lagrane函數(shù)K——T條件等價于λi稱為Lagrange乘子Lagrange乘子法x*稱為K——T點(diǎn)一階條件第十一頁，共二十一頁，2022年，8月28日證明首先證明集合非空由于該方程組的系數(shù)矩陣的行向量組線性無關(guān)，所以該方程組有解考察方程組是SFD(x*,X)的子集第十二頁，共二十一頁，2022年，8月28日而SFD(x*,X)是閉集，所以S*的閉包c(diǎn)l(S*)SFD(x*,X)，即下面證明第十三頁，共二十一頁，2022年，8月28日下面證明d∈cl(S*)于是所以定理得證第十四頁，共二十一頁，2022年，8月28日一階充分條件證明第十五頁，共二十一頁，2022年，8月28日二階條件線性化零約束方向集設(shè)x*是K——T點(diǎn)，λ是相應(yīng)的Lagrange乘子，d∈Rn。如果則稱d是在x*處的線性化零約束方向。在x*處的所有線性化零約束方向的集合記為G(x*,λ)序列零約束方向集設(shè)x*是K——T點(diǎn)，λ是相應(yīng)的Lagrange乘子。如果存在序列dk∈Rn和δk>0(k=1,2,…)使得則稱d是在x*處的序列零約束方向。在x*處的所有序列零約束方向的集合記為S(x*,λ)?？勺CS(x*,λ)G(x*,λ)第十六頁，共二十一頁，2022年，8月28日二階必要條件設(shè)x*是問題（1）的局部極小點(diǎn)，λ是相應(yīng)的Lagrange乘子。則必有證明則存在序列dk∈Rn和δk>0(k=1,2,…)使得因此由于x*是問題（1）的局部極小點(diǎn)，對充分大的k有第十七頁，共二十一頁，2022年，8月28日充分條件設(shè)x*是K——T點(diǎn)，λ是相應(yīng)的Lagrange乘子。如果則x*是問題（1）的局部嚴(yán)格極小點(diǎn)。證明第十八頁，共二十一頁，2022年，8月28日定理成立推論設(shè)x*是K——T點(diǎn)，λ是相應(yīng)的Lagrange乘子。如果第十九頁，共二十一頁，2022年，8月28日解