固體力學(xué)概論

固體力學(xué)概論第一頁(yè)，共九十五頁(yè)，2022年，8月28日目錄第一章前言第二章基本假設(shè)第三章本構(gòu)關(guān)系（物理方程）第四章基本方程第五章能量原理（包括變分原理）第六章固體力學(xué)中的數(shù)值方法第二頁(yè)，共九十五頁(yè)，2022年，8月28日第一章

前言固體力學(xué)的定義固體力學(xué)的基本假設(shè)與主要研究?jī)?nèi)容學(xué)科分支研究對(duì)象與任務(wù)發(fā)展史參考資料第三頁(yè)，共九十五頁(yè)，2022年，8月28日1.固體力學(xué)的定義研究可變形固體在外界因素(載荷、溫度、濕度)作用下其內(nèi)部質(zhì)點(diǎn)的位移、運(yùn)動(dòng),固體的應(yīng)變和破壞規(guī)律的學(xué)科.主要參書(shū):《力學(xué)詞典》《大百科全書(shū)》（1）固體力學(xué)與理論力學(xué)之區(qū)別：理論力學(xué)研究對(duì)象是質(zhì)點(diǎn)、質(zhì)點(diǎn)系與剛體。固體力學(xué)研究可形變體。（2）固體與流體的區(qū)別：流體是氣體和流體的總稱(chēng)，具有易流性，不能承受剪應(yīng)力，在無(wú)論多小的剪力作用下都會(huì)發(fā)生變形。水和空氣是常見(jiàn)的兩種流體。第四頁(yè)，共九十五頁(yè)，2022年，8月28日2.固體力學(xué)的內(nèi)容:研究彈性問(wèn)題、塑性問(wèn)題、彈塑性問(wèn)題以及流變問(wèn)題;又分線性問(wèn)題、非線性問(wèn)題;主要研究宏觀問(wèn)題、也有微觀問(wèn)題和細(xì)觀問(wèn)題(或稱(chēng)介觀問(wèn)題mesomechanics);研究的對(duì)象主要是均勻介質(zhì),也研究非均勻介質(zhì)(如復(fù)合材料和裂紋體)，各向同性與各向異性介質(zhì);此外研究各種可變形體的偶合問(wèn)題:例如熱(濕)彈性問(wèn)題、熱(濕)塑性問(wèn)題、熱(濕)彈塑性問(wèn)題、以及形體的機(jī)~磁電偶合性能(壓電與壓磁性能)；現(xiàn)在電-磁彈性力學(xué)正快速發(fā)展.第五頁(yè)，共九十五頁(yè)，2022年，8月28日3.學(xué)科分支材料力學(xué)、結(jié)構(gòu)力學(xué)、彈性力學(xué)、塑性力學(xué)、流變學(xué)，斷裂力學(xué)(損傷力學(xué))、復(fù)合材料力學(xué)、結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性、振動(dòng)理論、粘彈(塑)性力學(xué)、沖擊力學(xué)、固體應(yīng)力波問(wèn)題、結(jié)構(gòu)(彈~塑性)動(dòng)力學(xué);以及許多交叉學(xué)科:氣動(dòng)彈性理論，生物固體力學(xué)、巖土力學(xué)、有限元(有限條、有限層、邊界元、離散元、無(wú)網(wǎng)格法等);斷裂力學(xué)(損傷力學(xué))、復(fù)合材料力學(xué)、電-磁彈性力學(xué)，微尺度力學(xué)是發(fā)展中的新興學(xué)科。第六頁(yè)，共九十五頁(yè)，2022年，8月28日4.研究對(duì)象研究各種工程結(jié)構(gòu)：常見(jiàn)的如下結(jié)構(gòu)元件（構(gòu)件）:（1）桿、桿系、梁、柱，（長(zhǎng)＞＞寬和高）（2）板(中厚板)、殼，（厚＜＜長(zhǎng)與寬）（3）三維體(空間結(jié)構(gòu)如桁架與剛架)，（4）薄壁結(jié)構(gòu)（飛機(jī)機(jī)翼與機(jī)身等），（5）以及它們的復(fù)合體.第七頁(yè)，共九十五頁(yè)，2022年，8月28日5研究方法（截面法）截面法是處理固體力學(xué)問(wèn)題的最基本的方法：通過(guò)外力（作用力與約束力）與內(nèi)力（應(yīng)力）平衡求構(gòu)件的響應(yīng)（內(nèi)力），通過(guò)本構(gòu)關(guān)系求變形（位移與應(yīng)變），最重要的是材料力學(xué)中的平截面法，其中尤以梁的平截面假設(shè)最為重要。第八頁(yè)，共九十五頁(yè)，2022年，8月28日截面法截面法:固體力學(xué)問(wèn)題的普適方法,步驟為：（1）取出構(gòu)件,畫(huà)出所有外力(包括約束反力);（2）用平面切開(kāi),并畫(huà)出內(nèi)力(廣義力),若是動(dòng)平衡需用達(dá)朗貝爾原理,化慣性力為作用力；外力與內(nèi)力平衡來(lái)求解內(nèi)應(yīng)力;（3）解出內(nèi)力；算應(yīng)力;（4）利用物理方程求變形;（

5）

根據(jù)應(yīng)力強(qiáng)度準(zhǔn)則或變形準(zhǔn)則進(jìn)行強(qiáng)度校核;（6）進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì).

外力內(nèi)力內(nèi)力第九頁(yè)，共九十五頁(yè)，2022年，8月28日6.任務(wù)固體力學(xué)的發(fā)展主要?jiǎng)恿κ巧鐣?huì)實(shí)踐：任務(wù)是研究工程結(jié)構(gòu)在服役條件下的安全性、可靠性;就是強(qiáng)度問(wèn)題(應(yīng)力值不超過(guò)許用值)、剛度問(wèn)題(變形不太大)、穩(wěn)定性問(wèn)題、振動(dòng)問(wèn)題.工程結(jié)構(gòu)包括:飛機(jī)、火箭、船舶、車(chē)輛、橋梁、房屋、水壩、反應(yīng)堆、坦克等等.第十頁(yè)，共九十五頁(yè)，2022年，8月28日7.發(fā)展史固體力學(xué)是一門(mén)古老的學(xué)科,可追溯到17世紀(jì)伽利略Calileo(1564~1642)關(guān)于梁與水壩的工作,提出速度、加速度的概念.后來(lái)庫(kù)侖(C.A.Coulomb),泊松(R.Poisson),納維(C-L-M-H.Navier),圣文南(B.deSaint-Venant)哥西(A.L.Couchy),虎克(Hooke)（胡克定律）等人作出很大貢獻(xiàn).伯努利(1654~1705)平截面假設(shè),歐勒(L.Euler)(1707~1783)壓桿穩(wěn)定的歐勒載荷;鐵木生柯(Timoshenko)專(zhuān)著”StrengthofMaterials”,“TheoryofElasticity”、“TheoryofElasticStability”、“TheoryofPlatesandShells”與符拉索夫(薄壁桿件).中國(guó)東漢(127~200)鄭玄提出線性彈性關(guān)系;宋代李誡《營(yíng)造法式》；隋代李春（581~618）趙州橋。第十一頁(yè)，共九十五頁(yè)，2022年，8月28日8.參考資料《力學(xué)詞典》，中國(guó)大百科全書(shū)出版社，1990?！吨袊?guó)大百科全書(shū)》，力學(xué)卷，1985，8。

EncyclopediaofScienceandTechnology,McGraw-Hill,1982E.P.Popov,IntroductiontoMechanicsofSolids,PrenticeHall,INC,1968Y.C.Fung,FoundationofSolidMechanics,PrenticeHall,INC,1965

中國(guó)自然科學(xué)基金，學(xué)科分類(lèi)目錄及學(xué)科代碼，1994(從這里可看出現(xiàn)代固體力學(xué)的發(fā)展方向以及新的學(xué)科分類(lèi)）。第十二頁(yè)，共九十五頁(yè)，2022年，8月28日9.專(zhuān)有名詞的翻譯材料力學(xué)：strengthofmaterials,mechanicsofmaterials彈性力學(xué)：theoryofelasticity,elasticity,(elasticmechanics錯(cuò)誤);塑性力學(xué)：theoryofplasticity,plasticity,(plasticmechanics錯(cuò)誤);介觀力學(xué)：mesomechanics；細(xì)觀力學(xué)，可是，在專(zhuān)著《Micromechanicsofdefectsinsolids》,TMura，“micromechanics”

可翻譯為細(xì)觀力學(xué),不翻成微觀力學(xué)。5.宏（微）觀力學(xué)；macromechanics,micromechanics

這里，英語(yǔ)書(shū)籍里“micromechanics”包含介觀尺度問(wèn)題。6.經(jīng)典力學(xué)：Classicmechanics,（牛頓力學(xué)）7理論力學(xué)：theoreticalmechanics.第十三頁(yè)，共九十五頁(yè)，2022年，8月28日第二章.基本假設(shè)：基本假設(shè)：連續(xù)性假設(shè)~~斷裂問(wèn)題與界面問(wèn)題；

均勻性假設(shè)~~復(fù)合材料。3.小變形假設(shè)~~大變形（幾何非線性問(wèn)題），線彈性假設(shè)~~物理與幾何非線性，5.各向同性假設(shè)~~各向異性，6.平截面假設(shè)(對(duì)直桿拉伸、壓縮與梁彎曲等都適用,尤以梁彎曲的平截面假設(shè)意義最重要）。第十四頁(yè)，共九十五頁(yè)，2022年，8月28日材料力學(xué)中關(guān)于平截面法的應(yīng)用

以下研究對(duì)象都可用平截面法處理：拉伸：桿或棒（拉伸強(qiáng)度問(wèn)題）壓：壓桿，柱（彈性穩(wěn)定性問(wèn)題）彎曲：梁（彎曲撓度與應(yīng)力）扭，扭轉(zhuǎn)：軸（剪切變形與強(qiáng)度）壓彎聯(lián)合作用：梁柱（彎曲與穩(wěn)定性）；第十五頁(yè)，共九十五頁(yè)，2022年，8月28日

1平截面假設(shè)(在板殼力學(xué)中又稱(chēng)直法線假設(shè))平截面假設(shè)：初始與梁的中性軸垂直的平面,在變形后仍垂直于軸線,并且在垂直軸線方向上無(wú)變形；下面以梁為例,此假設(shè)大大簡(jiǎn)化了問(wèn)題.無(wú)窮自由度問(wèn)題簡(jiǎn)化為一個(gè)自由度問(wèn)題,只有一個(gè)撓度函數(shù)是要求的.這樣，用彈性力學(xué)理論,有15個(gè)基本方程,15個(gè)基本未知量.根據(jù)平截面假設(shè)大大簡(jiǎn)化：梁的撓度為，梁的基本方程（控制方程）為：p第十六頁(yè)，共九十五頁(yè)，2022年，8月28日①梁的基本方程根據(jù)平截面（直法線）假設(shè)導(dǎo)出梁的撓度方程：第十七頁(yè)，共九十五頁(yè)，2022年，8月28日②板殼力學(xué)中的直法線假設(shè)①初始與板中性面(中面)垂直的(線段）法線,在變形后仍垂直中面；②

垂直于中面的正應(yīng)力遠(yuǎn)小于平行于中面的應(yīng)力分量（無(wú)法向應(yīng)變）；③在發(fā)生彎曲變形時(shí)，板的中面無(wú)拉伸變形。①②為基爾霍夫假定（克?；舴蚣俣ǎ?。第十八頁(yè)，共九十五頁(yè)，2022年，8月28日③平截面假設(shè)的近似性由懸臂梁?jiǎn)栴}可知,截面上最大剪應(yīng)力在中面上,可見(jiàn)最大剪應(yīng)變?cè)谥忻嫔?所以剪切轉(zhuǎn)角在中面上有最大值;而在梁的上下表面剪應(yīng)力(剪應(yīng)變）為零.結(jié)論很明顯,橫截面不再是平的（發(fā)生翹曲）.當(dāng)梁的高長(zhǎng)比時(shí)，平截面假定不再成立，應(yīng)該考慮橫向剪切。稱(chēng)為T(mén)imoshenko梁理論，獨(dú)立未知變量增加一個(gè)，截面轉(zhuǎn)角。但是,當(dāng)梁長(zhǎng)/高比很大時(shí),平截面所得結(jié)果符合工程要求。Timoshenko梁彎曲（非純彎）時(shí)，須考慮剪切效應(yīng)，此時(shí)橫截面仍是平面，但不再垂直梁中面，與中面有一夾角。基本未知量變?yōu)閮蓚€(gè)：第十九頁(yè)，共九十五頁(yè)，2022年，8月28日④梁的橫向剪切問(wèn)題剪切問(wèn)題基本方程:應(yīng)力~應(yīng)變關(guān)系為：僅考慮剪切效應(yīng)：變形前mn和

pq是直線并且平行，變形后二條線不再是直線，產(chǎn)生彎曲，就是產(chǎn)生截面翹曲；工程上近似(平均意義)為:第二十頁(yè)，共九十五頁(yè)，2022年，8月28日⑤三點(diǎn)彎曲梁三點(diǎn)彎曲梁第二項(xiàng)是剪切產(chǎn)生的撓度，是截面系數(shù)，對(duì)于矩形截面，第二十一頁(yè)，共九十五頁(yè)，2022年，8月28日⑥梁的橫向剪切角梁的橫向剪切角如下圖所示：剪切系數(shù)對(duì)于矩形等3/2對(duì)于圓形截面等于4/3。xpz第二十二頁(yè)，共九十五頁(yè)，2022年，8月28日⑦關(guān)于截面形狀系數(shù)的討論剪切截面系數(shù)（又稱(chēng)截面形狀系數(shù)）有如下幾種數(shù)值：①相當(dāng)于用中性軸處的最大剪切應(yīng)變代表梁軸由于橫向剪切產(chǎn)生的傾角，是很粗燥的，它比平均剪應(yīng)變大50%。②用能量原理（單位載荷法）推導(dǎo)了較精確的近似值，③彈性力學(xué)的精確公式為：當(dāng)泊松比時(shí)，彈性力學(xué)精確解比簡(jiǎn)單平均法所得結(jié)果大18%。第二十三頁(yè)，共九十五頁(yè)，2022年，8月28日2彈性桿的拉伸

單向拉伸(或壓縮):假設(shè)在拉伸變形時(shí)桿的截面保持平面，并且拉伸變形均勻；這個(gè)假定被試驗(yàn)證明，非常接近真實(shí)；注意：桿受壓縮有穩(wěn)定性問(wèn)題。基本方程:

拉伸彈性剛度系數(shù)為:PL第二十四頁(yè)，共九十五頁(yè)，2022年，8月28日3等截面桿扭轉(zhuǎn)以圓截面桿為例:圓截面桿在扭矩作用下各個(gè)截面保持平面并且變形均勻；基本方程:

應(yīng)力~應(yīng)變關(guān)系:扭轉(zhuǎn)剛度系數(shù)為:第二十五頁(yè)，共九十五頁(yè)，2022年，8月28日第三章本構(gòu)方程1線性應(yīng)力~應(yīng)變關(guān)系（線彈性）胡克定律：?jiǎn)蜗蚶?，如彈簧等廣義胡克定律：復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)2非線性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系：塑性材料3現(xiàn)代塑性本構(gòu)關(guān)系：含“內(nèi)變量”并與熱相關(guān)4粘彈性本構(gòu)關(guān)系（流變學(xué)）：材料機(jī)械性能與時(shí)間相關(guān)第二十六頁(yè)，共九十五頁(yè)，2022年，8月28日單軸拉伸試驗(yàn)曲線單軸拉伸試驗(yàn)曲線（同樣可作扭轉(zhuǎn)與剪切試驗(yàn)）第二十七頁(yè)，共九十五頁(yè)，2022年，8月28日應(yīng)力張量和應(yīng)變張量應(yīng)力張量：任意質(zhì)點(diǎn)的應(yīng)力有6個(gè)獨(dú)立分量，形成二階張量應(yīng)變張量：任意質(zhì)點(diǎn)的應(yīng)變有6個(gè)獨(dú)立分量，形成二階張量第二十八頁(yè)，共九十五頁(yè)，2022年，8月28日Ⅰ

彈性本構(gòu)關(guān)系：線彈性應(yīng)力~應(yīng)變關(guān)系胡克定律：線彈性應(yīng)力~應(yīng)變關(guān)系，應(yīng)力與應(yīng)變成正比，比例常數(shù)為彈性常數(shù)（楊氏模量）廣義胡克定律

可改寫(xiě)為其中

36個(gè)常數(shù)中只有21個(gè)獨(dú)立。這是指最一般的各向異性材料，對(duì)于各類(lèi)特殊情況，獨(dú)立材料常數(shù)不同。

，

第二十九頁(yè)，共九十五頁(yè)，2022年，8月28日2三維各向同性材料物理方程：以應(yīng)變表示應(yīng)力：是體積應(yīng)變。以應(yīng)力表示應(yīng)變：

，

球應(yīng)力張量。應(yīng)力偏量。第三十頁(yè)，共九十五頁(yè)，2022年，8月28日

拉梅常數(shù)拉梅常數(shù)分別是彈性模量，泊松比與剪切模量。，第三十一頁(yè)，共九十五頁(yè)，2022年，8月28日3非各向同性單斜體材料有一個(gè)對(duì)稱(chēng)面，只有13個(gè)獨(dú)立常數(shù)；正交異性體有2個(gè)相互垂直的對(duì)稱(chēng)面，9個(gè)獨(dú)立常數(shù)；橫觀各向同性體垂直某一方向的各個(gè)平面都是各向同性面；只有5個(gè)獨(dú)立常數(shù)；各向同性體兩個(gè)常數(shù)，；或者；或者后者又稱(chēng)拉梅系數(shù)。平面正交異性體例如單向纖維復(fù)合材料薄板，4個(gè)獨(dú)立常數(shù)

第三十二頁(yè)，共九十五頁(yè)，2022年，8月28日

Ⅱ塑性力學(xué)基本實(shí)驗(yàn)應(yīng)力~應(yīng)變關(guān)系非線性塑性應(yīng)變非恢復(fù)性，有殘余應(yīng)變應(yīng)力與應(yīng)變非一一對(duì)應(yīng)，與加載歷史有關(guān)塑性變形功產(chǎn)生熱；本構(gòu)關(guān)系相當(dāng)復(fù)雜。第三十三頁(yè)，共九十五頁(yè)，2022年，8月28日塑性應(yīng)力~應(yīng)變關(guān)系非線性的簡(jiǎn)化

①②③④⑤①理想彈塑性；②彈性線性硬化模型；③理想剛塑性；④剛性線性硬化模型；⑤密律硬化模型N=0N=1N=0.3第三十四頁(yè)，共九十五頁(yè)，2022年，8月28日屈服準(zhǔn)則：?jiǎn)蜗蚶欤簹堄鄳?yīng)變大于的應(yīng)力為

復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)特雷斯卡（Tresca）條件：在平面上是正六邊形。米賽斯（Misses）條件：在平面上是圓。第三十五頁(yè)，共九十五頁(yè)，2022年，8月28日應(yīng)力強(qiáng)度應(yīng)力強(qiáng)度（又稱(chēng)等效應(yīng)力）：已知應(yīng)力不變量的第二步變量為：

是八面體剪應(yīng)力

形狀改變應(yīng)變能。應(yīng)力強(qiáng)度為：第三十六頁(yè)，共九十五頁(yè)，2022年，8月28日應(yīng)變強(qiáng)度

用主應(yīng)變表示：應(yīng)變強(qiáng)度又稱(chēng)有效應(yīng)變。羅德參數(shù)：

應(yīng)力的羅德參數(shù)：應(yīng)變羅德參數(shù)：第三十七頁(yè)，共九十五頁(yè)，2022年，8月28日

3.塑性全量理論—

塑性形變（或塑性變形）理論

在簡(jiǎn)單加載（比例加載）條件下，對(duì)塑性變形的簡(jiǎn)化;應(yīng)力強(qiáng)度與應(yīng)變強(qiáng)度一一對(duì)應(yīng)，若無(wú)卸載，與非線性彈性相同。Henckyrelation:對(duì)于比例加載，塑性形變理論與流動(dòng)理論結(jié)果相同。第三十八頁(yè)，共九十五頁(yè)，2022年，8月28日

塑性增量理論—流動(dòng)理論流動(dòng)理論（又稱(chēng)增量理論）：當(dāng)彈性應(yīng)變比塑性應(yīng)變很小時(shí)，加載比與塑性功成比例。

第三十九頁(yè)，共九十五頁(yè)，2022年，8月28日Ⅲ流變學(xué)（粘彈性力學(xué)）定義：研究材料在外載、溫度、濕度等環(huán)境條件下與時(shí)間有關(guān)的變形和流動(dòng)行為的規(guī)律的力學(xué)分支；粘彈性介質(zhì)具有固體與流體的雙重性質(zhì)。研究?jī)?nèi)容：蠕變：材料在恒應(yīng)力作用下變形隨時(shí)間增大的過(guò)程稱(chēng)為蠕變，是由分子或原子重新排列引起的。蠕變過(guò)程中材料的柔度（模量的倒數(shù)）逐漸增大。以應(yīng)力為輸入量而求應(yīng)變響應(yīng)者為蠕變。松弛：材料在固定變形下應(yīng)力隨時(shí)間減小的過(guò)程稱(chēng)為松弛。材料的模量（松弛模量）逐漸減小。以應(yīng)變?yōu)檩斎肓慷髴?yīng)力響應(yīng)者為松弛。第四十頁(yè)，共九十五頁(yè)，2022年，8月28日1流變體的幾種理想介質(zhì)：（1）虎克固體：（2）粘性元件（粘壺）,又稱(chēng)牛頓流體或阻尼器：

或

是粘性系數(shù)，單位是應(yīng)力乘時(shí)間。（3）理想塑性體（圣文南體）：當(dāng)p＜F時(shí)當(dāng)P＞F時(shí)，u位移取決于其它條件。

第四十一頁(yè)，共九十五頁(yè)，2022年，8月28日2馬克斯威爾體彈簧與粘壺串聯(lián)，控制方程：特性：①若應(yīng)力是階躍函數(shù)應(yīng)變?cè)趖=0時(shí)，應(yīng)變發(fā)生突變；當(dāng)時(shí)，表現(xiàn)為流動(dòng)性質(zhì)。②若應(yīng)變保持常數(shù)，應(yīng)力趨于零，為松弛時(shí)間。

，

第四十二頁(yè)，共九十五頁(yè)，2022年，8月28日

3開(kāi)爾文體（Kelvin）或Voigtsolid:

將粘壺與彈簧并聯(lián)；控制方程：性能：①施加

應(yīng)變輸出：當(dāng)時(shí)，其中，是漸近彈性模量。突出缺點(diǎn)：當(dāng)時(shí)，

。第四十三頁(yè)，共九十五頁(yè)，2022年，8月28日

4標(biāo)準(zhǔn)固體（standardsolid）:將彈簧與開(kāi)爾文體串聯(lián)，構(gòu)成標(biāo)準(zhǔn)線性固體，由于當(dāng)時(shí)，所以，它最終具有固體性質(zhì)。（7）四元件模型（四參量模型）：將開(kāi)爾文體與馬克斯威爾體串聯(lián)，構(gòu)成四參量模型。最終具有流體特性。（8）廣義馬克斯威爾體,將多個(gè)馬克斯威爾體并聯(lián)構(gòu)成，最終具有流體特性。（9）廣義固體模型：將開(kāi)爾文體串聯(lián)構(gòu)成，最終具有固體特性。第四十四頁(yè)，共九十五頁(yè)，2022年，8月28日第四十五頁(yè)，共九十五頁(yè)，2022年，8月28日5微分型本構(gòu)關(guān)系更普遍的線性粘彈性模型：以標(biāo)準(zhǔn)固體（standardsolid）模型為例:將彈簧與開(kāi)爾文體串聯(lián)，構(gòu)成標(biāo)準(zhǔn)線性固體，本構(gòu)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式：，

第四十六頁(yè)，共九十五頁(yè)，2022年，8月28日

6三維本構(gòu)關(guān)系三維本構(gòu)關(guān)系：分體量與偏量：是微分算子，例如，有時(shí)，可假設(shè)體積應(yīng)變的蠕變分量可忽略。

第四十七頁(yè)，共九十五頁(yè)，2022年，8月28日7遺傳積分（蠕變型）又稱(chēng)記憶積分或卷積積分：疊加原理，Boltzmannsuperpositionprinciple：在作用下，應(yīng)變服從疊加原理：當(dāng)一系列應(yīng)力增量連續(xù)作用時(shí)，產(chǎn)生的應(yīng)變等于：

是蠕變?nèi)崃俊?/p>

第四十八頁(yè)，共九十五頁(yè)，2022年，8月28日8松弛型遺傳積分當(dāng)一系列應(yīng)變?cè)隽窟B續(xù)作用時(shí)，產(chǎn)生的應(yīng)力等于：是松弛模量。修正的疊加原理：其中是應(yīng)變的非線性函數(shù)。第四十九頁(yè)，共九十五頁(yè)，2022年，8月28日

9拉普拉斯變換：Laplacetransformation拉普拉斯變換對(duì)求解線性粘彈性問(wèn)題至關(guān)重要，通過(guò)下式將時(shí)域問(wèn)題變換為S域內(nèi)問(wèn)題：很多教科書(shū)上有變換表。其逆變換式為：

,

第五十頁(yè)，共九十五頁(yè)，2022年，8月28日

10對(duì)應(yīng)原理對(duì)上式進(jìn)行拉氏變換得：于是得到拉氏變換域內(nèi)的“線彈性”問(wèn)題。還可以在拉氏變換域內(nèi)進(jìn)行有限元計(jì)算。但是，逆變換相當(dāng)復(fù)雜，這里學(xué)問(wèn)很深。第五十一頁(yè)，共九十五頁(yè)，2022年，8月28日

11復(fù)模量

當(dāng)材料或結(jié)構(gòu)受簡(jiǎn)諧變化應(yīng)力作用時(shí),即輸入，代入本構(gòu)方程：

是復(fù)數(shù)柔量。是松弛模量。第五十二頁(yè)，共九十五頁(yè)，2022年，8月28日第四章基本方程彈性力學(xué)有15個(gè)基本方程：

3個(gè)平衡方程；

6個(gè)協(xié)調(diào)方程；

6個(gè)本構(gòu)方程；15個(gè)基本未知量：

3個(gè)位移分量；

6個(gè)應(yīng)力分量；

6個(gè)應(yīng)變分量；*加適當(dāng)邊界條件。第五十三頁(yè)，共九十五頁(yè)，2022年，8月28日1.平衡或運(yùn)動(dòng)方程

平衡方程展開(kāi)一個(gè)方程:運(yùn)動(dòng)方程:

指標(biāo)重復(fù)服從加法約定,,第五十四頁(yè)，共九十五頁(yè)，2022年，8月28日2幾何方程(應(yīng)力~位移關(guān)系)對(duì)于小應(yīng)變情況，這是哥西應(yīng)變式，共有六個(gè)應(yīng)變，六個(gè)方程。

對(duì)于大變形（計(jì)入非線性項(xiàng)）：分拉格朗日與歐拉表示：拉格朗日應(yīng)變：歐拉應(yīng)變：,，

第五十五頁(yè)，共九十五頁(yè)，2022年，8月28日3變形協(xié)調(diào)方程：（i,j交換）共有六個(gè)方程:以下只寫(xiě)出兩個(gè)有代表性的式子：第五十六頁(yè)，共九十五頁(yè)，2022年，8月28日4彈性本構(gòu)關(guān)系（1）.彈性應(yīng)力~應(yīng)變關(guān)系：廣義胡克定律

可改寫(xiě)為其中

36個(gè)常數(shù)中只有21個(gè)獨(dú)立。這是指最一般的各向異性材料，對(duì)于各類(lèi)特殊情況，獨(dú)立材料常數(shù)不同。

，

第五十七頁(yè)，共九十五頁(yè)，2022年，8月28日5邊界條件：

（1）位移邊界條件：在給定位移的邊界上，

(a)

又稱(chēng)第一類(lèi)邊界條件，代號(hào)。，第五十八頁(yè)，共九十五頁(yè)，2022年，8月28日（2）應(yīng)力邊界條件：在給定外力的邊界（）上：（b)

是外法線方向余弦。第二類(lèi)邊界條件，代號(hào)。第五十九頁(yè)，共九十五頁(yè)，2022年，8月28日（3）混合邊界條件混合邊界條件:

在（），為（a）；在（）（b）.此外，還有彈性邊界條件和移動(dòng)（滑動(dòng)）邊界條件；動(dòng)邊界條件（例如彈性支持條件，接觸，摩擦邊界條件），問(wèn)題比較復(fù)雜。第六十頁(yè)，共九十五頁(yè)，2022年，8月28日彈性力學(xué)問(wèn)題的解法（位移法和應(yīng)力法）①.位移方法：拉梅（Lame,G.）方程，即用位移表示平衡方程,以下是三種不同表示方法：需將應(yīng)力邊界條件改寫(xiě)為位移.

第六十一頁(yè)，共九十五頁(yè)，2022年，8月28日②

應(yīng)力解法用應(yīng)力表示的協(xié)調(diào)方程，即拜爾脫拉密（Beltrami,E.）~密乞爾(Michell,J.H.)方程：用應(yīng)力表示協(xié)調(diào)方程。當(dāng)然，位移邊界條件也需要用應(yīng)力表示。

第六十二頁(yè)，共九十五頁(yè)，2022年，8月28日

彈性力學(xué)一般定理

（1）.應(yīng)變能定理–克拉貝龍定理,即功能互等定理:

又俗稱(chēng)為“功能互等定理”注意與”功的互易（reciprocal）定理”相區(qū)別。彈性體內(nèi)的應(yīng)變能等于變形過(guò)程中外力所做之功；(證明從略)注意：與虛功原理相對(duì)照（外力虛功等于內(nèi)里虛功）。第六十三頁(yè)，共九十五頁(yè)，2022年，8月28日（2）唯一性定理—克?；舴蚨ɡ砘蚣~曼定理

證明：兩組解它們滿足平衡方程:邊界條件:

第六十四頁(yè)，共九十五頁(yè)，2022年，8月28日

證明(2)：構(gòu)造新的解（1）-（2），（3）-（4），（5）-（6）得到，

第六十五頁(yè)，共九十五頁(yè)，2022年，8月28日

證明(3)上式的解肯定為0。所以證明，兩組解相等。***注釋?zhuān)喝羧吔缇鶠閼?yīng)力條件，則位移解可能差一剛體位移。結(jié)論：對(duì)于線彈性材料（結(jié)構(gòu)），只要給出一組滿足平衡方程，協(xié)調(diào)方程，與邊界條件的解，那么它就是真解（與彈性常數(shù)無(wú)關(guān)）。所以，彈性力學(xué)就有試湊法。第六十六頁(yè)，共九十五頁(yè)，2022年，8月28日（3）圣文南原理物體在上受一平衡力系作用時(shí)，在離較遠(yuǎn)的區(qū)域應(yīng)力可以忽略。時(shí),

是外力作用區(qū)的最大線尺寸與我們關(guān)注的質(zhì)點(diǎn)和力作用點(diǎn)的距離。

第六十七頁(yè)，共九十五頁(yè)，2022年，8月28日（4）功的互易(等)定理又稱(chēng)位移互等定理（reciprocaltheoryofdisplacement）：設(shè)兩組力（體力與面力）作用在同一物體上，第一組力對(duì)第二組力產(chǎn)生的位移所做之功，等于第二組力對(duì)第一組力產(chǎn)生的位移所做之功；

=第六十八頁(yè)，共九十五頁(yè)，2022年，8月28日第五章能量原理能量原理是宇宙間普適的,從熱力學(xué)第一定律,理論力學(xué)的能量(機(jī)械能)守恒定律,與虛位移(虛功)原理,材料力學(xué)的卡氏定理,彈性力學(xué)的變分原理，以及各種近似數(shù)值方法.

例如,求第二宇宙速度時(shí)，飛船離開(kāi)火箭時(shí)的速度（動(dòng)能）應(yīng)能克服地球?qū)λ囊?shì)。動(dòng)能引力勢(shì)由此得到：第六十九頁(yè)，共九十五頁(yè)，2022年，8月28日（1）虛位移原理

（理論力學(xué)）物體(或質(zhì)點(diǎn)與質(zhì)點(diǎn)系)在n個(gè)外力(包括約束力)作用下而平衡,則外力所作之虛功之和為零.對(duì)于理想約束則外加作用力所作功為零.第七十頁(yè)，共九十五頁(yè)，2022年，8月28日

彈性力學(xué)的能量原理

1.虛功原理（包括虛位移原理與虛力原理）虛位移：所有幾何約束允許的位移(滿足協(xié)調(diào)條件和位移邊界條件）即為虛位移，寫(xiě)為。虛位移又稱(chēng)為“可能位移”。彈性體在平衡狀態(tài)下，外力、內(nèi)力在微小虛位移下做的功（稱(chēng)為虛功）之和等于零。第七十一頁(yè)，共九十五頁(yè)，2022年，8月28日2.虛位移原理彈性體在平衡狀態(tài)下，外力對(duì)虛位移所做的功（稱(chēng)為虛功）等于虛位移所引起的彈性體應(yīng)變能的增量。

第七十二頁(yè)，共九十五頁(yè)，2022年，8月28日虛位移原理（續(xù)1）上式第一項(xiàng)為零，第二項(xiàng)等于這是內(nèi)力虛功，即內(nèi)力（應(yīng)力）對(duì)虛位移產(chǎn)生的虛應(yīng)變所做的功（或?yàn)閼?yīng)力對(duì)虛應(yīng)變所作的虛功）。結(jié)論：內(nèi)力虛功等于外力虛功第七十三頁(yè)，共九十五頁(yè)，2022年，8月28日虛功原理(續(xù)2)根據(jù)專(zhuān)著（胡):虛功原理的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：此式中，和是變形可能位移與應(yīng)變，是靜力可能應(yīng)力。***是可能面力。這個(gè)原理包括虛功原理與虛余功原理兩個(gè)原理第七十四頁(yè)，共九十五頁(yè)，2022年，8月28日虛功原理(續(xù)3)包括虛位移原理與虛內(nèi)力（應(yīng)力）原理：按大百科全書(shū)的詞條：這里有疏誤.

式中

是體力和位移；是面上可能面力和可能位移，

分別是可能應(yīng)力分量和可能應(yīng)變分量。此原理可包括（1）虛位移原理和（2）虛內(nèi)力（應(yīng)力）原理。

第七十五頁(yè)，共九十五頁(yè)，2022年，8月28日3.最小勢(shì)能原理以位移為基本未知量的變分原理。總勢(shì)能等于:

分別為真實(shí)位移與虛位移。

第七十六頁(yè)，共九十五頁(yè)，2022年，8月28日最小勢(shì)能原理（續(xù)）定義：平衡時(shí)，所有可允許位移（可能位移）中，真實(shí)位移使總勢(shì)能取極小值：可能位移是滿足協(xié)調(diào)方程與位移邊界條件的位移。意義：因?yàn)槲灰茲M足了連續(xù)性條件和位移邊界條件，由最小勢(shì)能原理可導(dǎo)出平衡方程和應(yīng)力邊界條件。由此導(dǎo)出有限元基本方程第七十七頁(yè)，共九十五頁(yè)，2022年，8月28日4最小余能原理以應(yīng)力為未知量的變分原理。真實(shí)應(yīng)力所具有的余能恒小于其他可能應(yīng)力相應(yīng)的余能。所有可能應(yīng)力（滿足平衡方程與靜力邊界條件的應(yīng)力）函數(shù)中，真實(shí)應(yīng)力場(chǎng)取總余能為最小。，

第七十八頁(yè)，共九十五頁(yè)，2022年，8月28日

最小余能原理（續(xù)）它代表應(yīng)變協(xié)調(diào)方程和位移邊界條件。虛余功：虛余能：

總余能：最小余能原理：

第七十九頁(yè)，共九十五頁(yè)，2022年，8月28日5廣義變分原理是以上兩個(gè)原理的推廣；彈性力學(xué)的解必須滿足廣義勢(shì)能變分為零的條件，（又稱(chēng)駐值條件），即：

為邊界指定面力和位移。此變分原理具有三類(lèi)變量：位移，應(yīng)力與應(yīng)變。

第八十頁(yè)，共九十五頁(yè)，2022年，8月28日6瑞斯納變分原理瑞斯納變分原理（Reissner）

其中是應(yīng)變余能，兩類(lèi)獨(dú)立變函數(shù)共9個(gè)。有限元法的雜交元由此導(dǎo)出.第八十一頁(yè)，共九十五頁(yè)，2022年，8月28日A材料力學(xué)中的能量法（一）卡氏第一定理：若彈性體受數(shù)個(gè)已知廣義力作用，在他們的作用點(diǎn)產(chǎn)生沿各廣義力方向上的位移：則由廣義位移表示的應(yīng)變能U對(duì)某個(gè)廣義位移的偏導(dǎo)數(shù)等于與相應(yīng)的廣義力，數(shù)學(xué)表達(dá)式為：此定理英文名稱(chēng)：Castigliano‘sfirsttheorem.第八十二頁(yè)，共九十五頁(yè)，2022年，8月28日材料力學(xué)中的能量法（二）克羅蒂~恩蓋塞定理（Crotti~Engesser‘stheorem):若彈性體作用有n個(gè)廣義力，產(chǎn)生n個(gè)廣義位移，它們方向與相應(yīng)的廣義力相同；則由廣義力表示的應(yīng)變能對(duì)廣義力的偏導(dǎo)數(shù)，等于相應(yīng)的廣義位移，表達(dá)式為：此定理又稱(chēng)卡氏第二定理。第八十三頁(yè)，共九十五頁(yè)，2022年，8月28日B彈性穩(wěn)定理論中的能量法第八十四頁(yè)，共九十五頁(yè)，2022年，8月28日C振動(dòng)問(wèn)題的能量法瑞利商：根據(jù)瑞利原理，保守系統(tǒng)的機(jī)械振動(dòng)的自振頻率的近似值，由下式泛函的駐值決定。是動(dòng)能；是勢(shì)能例如，弦振動(dòng)，設(shè)振形函數(shù)為當(dāng)n=2時(shí)，相對(duì)誤差為

0.007

精確解為：

第八十五頁(yè)，共九十五頁(yè)，2022年，8月28日D結(jié)構(gòu)力學(xué)的能量法1力法（forcemethod）：以廣義力為未知量求解靜不定結(jié)構(gòu)的方法稱(chēng)為力法?；靖拍钍?，將多余約束去掉，代之以廣義力(多余廣義力），為保證解除多余約束的結(jié)構(gòu)變形與內(nèi)力（應(yīng)力）與原結(jié)構(gòu)相同，必須滿足連續(xù)性條件，即變形協(xié)調(diào)條件。n度靜不定系統(tǒng)就有n個(gè)連續(xù)性條件,正好彌補(bǔ)了平衡方程數(shù)的不足。將n

個(gè)連續(xù)性條件與平衡方程聯(lián)立，就能解出所有未知廣義力。第八十六頁(yè)，共九十五頁(yè)，2022年，8月28日2單位載荷法：根據(jù)虛功原理導(dǎo)出的求結(jié)構(gòu)位移的方法。求給定結(jié)構(gòu)某點(diǎn)的位移時(shí)，在該點(diǎn)施加單位載荷：?jiǎn)挝粡V義力。單位載荷方向與所求位移方向相同。于是，