初中生數(shù)學學習方法指導

初中生數(shù)學學習方法指導第一頁，共六十五頁，2022年，8月28日第二頁，共六十五頁，2022年，8月28日第三頁，共六十五頁，2022年，8月28日學生的成績永遠是教師、家長、社會最關心的話題之一家長說：看到孩子拿著60分的試卷回家，心里說不出的滋味，孩子就是不喜歡數(shù)學，看到數(shù)學就厭煩......老師說：唉，費了九牛二虎之力學生的數(shù)學成績還不見起色......專家說：只有教不好書的老師,沒有教不好的學生.....校長說：學生成績不好,你要用心提高,否則要你下崗......第四頁，共六十五頁，2022年，8月28日

我們的數(shù)學到底怎么了？學生為什么不喜歡數(shù)學呢？原因我想大致是以下幾個方面：其一，過去所使用的數(shù)學教材太抽象、太枯燥，一個數(shù)學概念，不問因何而產(chǎn)生，也不提有什么用處，上來就給出定義，接著就是定理，再就是例題。著名數(shù)學大師丘成桐說過：“數(shù)學并不枯燥，而是我們把它教枯燥了?！逼涠M管新編的數(shù)學教材加了不少科普內(nèi)容，與實際聯(lián)系緊密了，但仍舊不足以令學生兩眼放光。其三，我們的數(shù)學忽視了對學生內(nèi)動力的培養(yǎng)，忽視了對學生廣泛的數(shù)學能力和全面的數(shù)學文化素養(yǎng)的養(yǎng)成。第五頁，共六十五頁，2022年，8月28日數(shù)學好玩了，學生才有興趣

“數(shù)學好玩”，是2002年8月，91歲的數(shù)學大師陳省身先生致中國少年數(shù)學論壇開幕的題詞。

數(shù)學是什么？有學生說：“數(shù)學是一些居心叵測的成年人為學生挖的陷阱！”另有學生說：“數(shù)學是一些僅僅出現(xiàn)在課本和試卷上的，讓某些老師看著學生崴腳而感到竊喜的東西?！边@些學生的幽默回答卻不免讓授課的老師們感到悲哀，原來他們這些用盡心力教學的老師，在學生心目中無非是一些挖坑布雷的高手，而數(shù)學竟成為老師懲治學生的工具。

“數(shù)學好不好，其實與學習方法有關。”

——和田秀樹第六頁，共六十五頁，2022年，8月28日誰能給數(shù)學差的孩子一條“體面”的出路？

孩子上課坐不住，老師講完沒效果，培訓班換了好幾個，孩子的數(shù)學成績還是一塌糊涂……經(jīng)常聽到家長們諸如此類的抱怨。不知從什么時候開始，中小學生不喜歡數(shù)學已經(jīng)不再是新聞，數(shù)學在孩子的心目中已經(jīng)成了枯燥、乏味的代名詞，很多父母表示：面對孩子的數(shù)學學習問題感到很棘手。導致初中學生數(shù)學成績差的原因

1.基礎知識薄弱2.缺乏學習興趣3.學習方法不當而導致初中學生數(shù)學成績差的原因又是什么呢？第七頁，共六十五頁，2022年，8月28日

數(shù)學的知識點連貫性比較強，相對于其它課目的難度要略大一些，正是因為如此，許多學生學習起來感到相當?shù)睦щy和吃力，以至于對學習數(shù)學興趣不高，甚至產(chǎn)生厭學、畏學的情緒。當家長們想盡一切辦法想讓孩子把數(shù)學學好時，換來的卻是孩子非常強烈的抵觸情緒。作為中學的主要課程，孩子卻不愿意學習，并且怎么學成績都得不到提高，究竟是什么原因呢?答案顯而易見，那就是學習興趣和學習方法。孔子曰：“知之者不如好之者，好之者不如樂之者?！彼裕胍⒆拥臄?shù)學成績得到提高，就需要想方設法培養(yǎng)孩子學習數(shù)學的興趣以及學習數(shù)學的方法。但需要我們注意的是，提高孩子對數(shù)學的興趣和掌握學習方法不能只是一句空話，關鍵在于能夠喚起孩子的好奇心，然后加以滿足。第八頁，共六十五頁，2022年，8月28日一、初中生數(shù)學學習存在的主要障礙三、組織有效教學二、如何指導學生學習第九頁，共六十五頁，2022年，8月28日一、初中生數(shù)學學習存在的主要障礙1.依賴心理數(shù)學教學中，學生普遍對教師存有依賴心理，缺乏學習的主動鉆研和創(chuàng)造精神．一是期望教師對數(shù)學問題進行歸納概括并分門別類地一一講述，突出重點難點和關鍵；二是期望教師提供詳盡的解題示范，習慣于一步一步地模仿硬套．事實上，我們大多數(shù)數(shù)學教師也樂于此道，課前不布置學生預習教材，上課不要求學生閱讀教材，課后也不布置學生復習教材；習慣于一塊黑板、一道例題和演算幾道練習題．長此以往，學生的鉆研精神被壓抑，創(chuàng)造潛能遭扼殺，學習的積極性和主動性逐漸喪失．在這種情況下，學生就不可能產(chǎn)生“學習的高峰體驗”--高漲的激勵情緒，也不可能在“學習中意識和感覺到自己的智慧力量，體驗到創(chuàng)造的樂趣”第十頁，共六十五頁，2022年，8月28日2.急躁心理一是未弄清題意，不認真讀題、審題，沒弄清哪些是已知條件，哪些是未知條件，哪些是直接條件，哪些是間接條件，需要回答什么問題等；二是未進行條件選擇，沒有從貯存的記憶材料中去提取題設問題所需要的材料進行對比、篩選，就急于猜解題方案和盲目嘗試解題；三是被題設假象蒙蔽，未能采用多層次的抽象、概括、判斷和準確的邏輯推理；四是忽視對數(shù)學問題解題后的整體思考、回顧和反思，包括“該數(shù)學問題解題方案是否正確？是否最佳？是否可找出另外的方案？該方案有什么獨到之處？能否推廣和做到智能遷移”等等．第十一頁，共六十五頁，2022年，8月28日3.定勢心理定勢心理即人們分析問題、思考問題的思維定勢．在教師習慣性教學程序影響下，學生形成一個比較穩(wěn)固的習慣性思考和解答數(shù)學問題程序化、意向化、規(guī)律化的個性思維策略的連續(xù)系統(tǒng)—-解決數(shù)學問題所遵循的某種思維格式和慣性.它一方面有利于學生按照一定的程序思考數(shù)學問題，比較順利地求得一般同類數(shù)學問題的最終答案；另一方面這種定勢思維的單一深化和習慣性增長又帶來許多負面影響，如使學生的思維向固定模式方面發(fā)展，解題適應能力提高緩慢，分析問題和解決問題的能力得不到應有的提高等．第十二頁，共六十五頁，2022年，8月28日在一節(jié)中學數(shù)學課上，老師出了一道難題：8減6是2，8加6也是2，有這種可能嗎？請給以證明。一位男生站起來回答：“數(shù)學上，8減6是2，但8加6也是2卻是不可能的。一個明顯不可能的問題作為可能被提出來，肯定有它可能的因素，所以，8加6是2是可能的。數(shù)學上既然沒有這種可能，生活和自然中肯定有這可能。譬如，上午8點的6個小時之前是凌晨2點，6個小時之后是下午2點?！闭堈页龊推渌?個圖形不一樣的選項，并說出原因第十三頁，共六十五頁，2022年，8月28日4.偏重結論偏重數(shù)學結論而忽視數(shù)學過程，這是數(shù)學教學過程中長期存在的問題．從學生方面來講，同學間的相互交流也僅是對答案、比分數(shù)，很少見同學間有對數(shù)學問題過程的深層次討論和對解題方法的創(chuàng)造性研究．至于思維變式、問題變式更難見有涉及．從教師方面來講，也存在自覺不自覺地忽視數(shù)學問題的解決過程，忽視結論的形成過程，忽視解題方法的探索，對學生的評價也一般只看“結論”評分，很少顧及“數(shù)學過程”．從家長方面來講，更是注重結論和分數(shù)，從不過問“過程”．教師、家長的這些做法無疑助長了中學生數(shù)學學習的偏重結論心理．發(fā)展下去的結果是，學生對定義、公式、定理、法則的來龍去脈不清楚，知識理解不透徹，不能從本質(zhì)上認識數(shù)學問題，無法形成正確的概念，難以深刻領會結論，致使其智慧得不到啟迪，思維的方法和習慣得不到訓練和養(yǎng)成，觀察、分析、綜合等能力得不到提高．此外，還有自卑心理、迷惘心理、厭學心理、封閉心理等等．這些心理障礙都不同程度地影響、制約、阻礙著中學生學習數(shù)學的積極性．第十四頁，共六十五頁，2022年，8月28日4.家庭的功利化教育學校不單單是應試教育的“重災區(qū)”，家庭也是功利化教育不可忽視的主陣地。望子成龍的文化心理，“不能輸在起跑線上”的現(xiàn)實焦慮，使家庭教育一開始就帶有很強的功利色彩。在教育發(fā)達國家，父母基本認同的事實是：各個年齡段的孩子中，特別優(yōu)秀的只有5%到10%，自己的孩子是特別優(yōu)秀還是比較普通，父母會有比較理性的認識；而中國家長則不然，絕大多數(shù)家長都希望孩子成為名列前茅的優(yōu)秀分子，并嚴格按照這樣的標準培養(yǎng)孩子。楊東平：家庭教育被綁架家長成為應試教育幫兇第十五頁，共六十五頁，2022年，8月28日二、如何指導學生學習1.指導學生預習預習是學會學習的一個重要環(huán)節(jié)。教育家葉圣陶曾說過：“要養(yǎng)成學生的閱讀書籍的習慣，就非教給他們預習不可?！鳖A習是上課前對即將學習的數(shù)學內(nèi)容進行閱讀，了解其梗概，做到心中有數(shù)，以便于掌握聽課的主動權。預習是獨立學習的嘗試，對學習內(nèi)容是否正確理解，能否把握其重點、關鍵，洞察到隱含的思想方法等，都能及時在聽課中得到檢驗、加強或矯正，有利于提高學習能力和養(yǎng)成自學的習慣，所以它是數(shù)學學習中的重要一環(huán)。教師指導學生預習不是讓他們單一地看書做題，而是給他們一些基本模式，不同的學習內(nèi)容預習的模式也不能相同。第十六頁，共六十五頁，2022年，8月28日東廬的經(jīng)驗東廬中學制定和使用講學稿，首先由教師集體備課，制定出講學稿，提前發(fā)給學生，上課時，師生共同使用，完成講學稿，做到課前、課后兩次收閱，以講學稿為載體，成為教學過程中的突出特點，達到了國家課程校本化。在東廬中學，班班使用講學稿，人人使用講學稿。講學稿指的是教案、學案、作業(yè)、測試和復習資料于一體的師生共用的教學文本，是教師集體備課（包括備課標、備教材、備學生、備練習、備考試）的結晶。實行教師超前備課，同備課組進行捆綁式考核，實行“考教合一”的做法。第十七頁，共六十五頁，2022年，8月28日導學案

導學案是用于幫助和引導學生自主學習、合作展示梳理探究的學習方案，導學案的設計應充分體現(xiàn)新課改理念，必須以學生為主體，讓學生自主發(fā)展，做學習的主人。我們的導學案安排了以下環(huán)節(jié)：“學習目標——自學指導——隨堂檢測——例題精講——達標測試——知識鏈接——總結反思”，其中自學指導就是對學生的預習提出指導性的建議。導學案的目的就是培養(yǎng)學生自主學習的能力，其編制要有利于對學生的“導”，即“導學、導思、導練、導講”。第十八頁，共六十五頁，2022年，8月28日2、指導學生整理知識結構數(shù)學家華羅庚先生說過：“書應當越讀越薄”，書如何能越讀越薄呢？這就需要指導學生整理知識結構，提高概括的能力。這不僅減少不必要記憶的數(shù)量，便于記憶重要的東西。更重要的是提高學生遷移能力,學習中對所學習的知識進行概括，就能順利完成從一個情境到另一個情境的遷移。通過概括這種思維方式促進學生的智力發(fā)展。我認為指導學生概括知識結構是教師“教”的一個重要環(huán)節(jié)。同時學生概括知識結構也是學的一個重要方面。例如學習反比例函數(shù)時，把反比例函數(shù)與一次函數(shù)概括在一起。列出如下一個表格：

定義圖象性質(zhì)一次函數(shù)

反比例函數(shù)

第十九頁，共六十五頁，2022年，8月28日

當學習二次函數(shù)時學生自然會再加一個橫格，把二次函數(shù)納入這一知識結構之中。第二十頁，共六十五頁，2022年，8月28日宜興實驗中學的經(jīng)驗----結構嘗試教學法宜興市實驗中學提出建構知識樹，也就是對章節(jié)都進行了知識梳理，以網(wǎng)絡狀圖表的形式展現(xiàn)，成為課堂教學特色。運用“結構—嘗試”教學思想，以“小組合作學習”為主要形式，開展教學實踐第二十一頁，共六十五頁，2022年，8月28日結構嘗試教學法的基本思想

⒈教給學生學科的基本結構，即學科基本概念、原理、法則、思想方法及其內(nèi)在聯(lián)系，學生就能有效地掌握學科基礎知識并解決學科基本問題。⒉以知識樹或綱要信號的其它形式能直觀有效地呈現(xiàn)并揭示知識結構的內(nèi)在聯(lián)系⒊課堂教學中應創(chuàng)設問題情景，促進學生自主建構概括化、結構化的知識內(nèi)容和方法程序。⒋學習不同的知識類型，要優(yōu)化設計不同的教學過程和方法。結構嘗試教學法的基本環(huán)節(jié)反饋預習明確目標知識為例探尋方法變式訓練感悟驗證當堂檢測應用提高回歸系統(tǒng)深化理解第二十二頁，共六十五頁，2022年，8月28日結構嘗試教學法的教學設計⒈合理設置并有效陳述教學目標。（我們把學生帶到哪里）⒉優(yōu)化設計教學過程和教學方法。（怎樣把學生帶到那里）⒊有效組織教學效果的檢測和評價。（學生是否已到那里）第二十三頁，共六十五頁，2022年，8月28日第二十四頁，共六十五頁，2022年，8月28日第二十五頁，共六十五頁，2022年，8月28日第二十六頁，共六十五頁，2022年，8月28日第二十七頁，共六十五頁，2022年，8月28日乘方(意義)科學計數(shù)法冪單項式×單項式單項式×多項式多項式×多項式因式分解整式乘法開方n代數(shù)案例（概括化、結構化的知識內(nèi)容）第二十八頁，共六十五頁，2022年，8月28日幾何案例（概括化、結構化的知識內(nèi)容）第二十九頁，共六十五頁，2022年，8月28日式數(shù)實數(shù)有理數(shù)無理數(shù)分類運算分式整式二次根式整式概念整式加減整式乘除因式分解數(shù)與式加減乘除乘方方程的運算邏輯線索和知識網(wǎng)絡合并同類項字母不變，系數(shù)相加減第三十頁，共六十五頁，2022年，8月28日有理數(shù)的加減法正數(shù)和負數(shù)有理數(shù)乘方乘法近似數(shù)有理數(shù)的乘除法有理數(shù)的乘方加法減法科學技術法除法有理數(shù)數(shù)軸絕對值相反數(shù)概念和分類分類思想數(shù)形結合思想轉(zhuǎn)化思想（利用相反數(shù)）運算法則運算律轉(zhuǎn)化思想（利用倒數(shù)）運算法則運算律有理數(shù)大小比較邏輯線索和知識網(wǎng)絡第三十一頁，共六十五頁，2022年，8月28日3、把“雙基”的培養(yǎng)真正落到實處后六中學的經(jīng)驗后六中學，提出"常規(guī)+細節(jié)+過程=奇跡"，就是要把常規(guī)做好，把細節(jié)抓緊，把過程抓實。作業(yè)的管理很嚴格，特別是老師布置的作業(yè)必須及時批閱，自己來不及批閱的作業(yè)堅決不允許布置。向45分鐘要效益，評價一節(jié)課，絕不是教師在45分鐘里教給學生多少，而應該是教會了學生多少，學生已掌握了多少。洋思的經(jīng)驗

先學后教，當堂訓練，實行“日日清，周周清，月月清”。做的實在、到位、有效。第三十二頁，共六十五頁，2022年，8月28日

4、處理好“看”、“聽”、“思”、“記”的關系（1）“看”就是上課要注意觀察，觀察教師的板書的過程、內(nèi)容、理解老師所講的內(nèi)容．（2）“聽”是學生直接用感官接受知識，應讓學生在聽的過程中明確：a:聽每節(jié)課的學習目的和學習要求．b:聽新知識的引入及知識的形成過程．c:理解教師對新課的重點、難點的剖析（尤其是預習中的疑問）．d:聽例題解法的思路和數(shù)學思想方法的體現(xiàn)．（3）“思”是指學生思考問題．沒有思考，就發(fā)揮不了學生的主體作用．古人說的好“學而不思則罔.”學生是學習的主人，在課堂上對于老師的講解，學生不僅僅只是會做，而且要經(jīng)常思考;在思考方法指導時，應使學生明確：第三十三頁，共六十五頁，2022年，8月28日a:多思、勤思，隨聽隨思．b:深思，即追根溯源地思考，要善于大膽提出問題，如：本節(jié)課教師為什么要這樣講？這道題為什么要這樣做？等等．c:善思，由聽和觀察去聯(lián)想、猜想、歸納．d:樹立辯證意識，學會反思?？梢哉f“聽”是“思”的基礎，“思”是“聽”的深層次掌握，是學習方法的核心和本質(zhì)的內(nèi)容，會思考才會學習．（4）“記”是指學生記課堂筆記．初一學生一般不會合理記筆記，通常是教師黑板上寫什么學生就抄什么，往往是用“記”代替“聽”和“思”．有的筆記雖然記得很全，但收效甚微．因此在指導學生作筆記時應要求學生：記要點、記疑問、記易錯點、記解題思路和方法、記老師所補充的內(nèi)容第三十四頁，共六十五頁，2022年，8月28日5.培養(yǎng)學生反思的習慣教師可以在課上先結合習題給以指導，給時間讓學生進行反思，并對反思的結果進行交流，互相學習，不斷提高學習反思的能力和自覺性．逐漸地，學生上完課后能夠會反思了，也有了主動性．第三十五頁，共六十五頁，2022年，8月28日高考狀元的經(jīng)驗清華大學侯華偉：1、近乎癡迷的興趣；2、持之以恒、百折不撓的毅力；3、事半功倍的方法.“數(shù)學好的人都聰明”這句話的逆命題“聰明人數(shù)學一定好”，這兩個命題都有些問題。因為在我們身邊，就有許許多多的聰明人的數(shù)學并不好；而好多數(shù)學學習好的學生不見得有多聰明，那么他們?yōu)槭裁茨軌蛉〉美硐氲臄?shù)學成績呢？原因是他們掌握了比較好的數(shù)學學習方法北京大學段楠：我能學好數(shù)學是背例題背出來。我不喜歡題海戰(zhàn)術，喜歡從每種類型的題中找出一兩道典型題“背”過一兩次，理解之后，再看到難題就會拿著例題往里套了。日本學者和田秀書不懂的問題，直接看解答，先背起來再說。如此一來，一題一般只要5分鐘便背下來，從量來看，可以追趕得上成績好的同學。第三十六頁，共六十五頁，2022年，8月28日北京市十三中的高考狀元馮平平:教材試卷化，試卷教材化第一步:把試卷依照教材的順序清理好，并編上序號。因為試卷基本都是按教材走的，清理起來并不費勁。第二步:在試卷的開始處寫上一段“導語”。主要內(nèi)容有：一是此試卷考什么，二是與考試有關的知識要點。第三步:在試卷結尾處，寫上一段“小結”，總結自己考試情況，寫出自己在知識上的缺陷。清華大學余林:回過來做課本上的題1.課本上的習題，是編教材的老師費盡心思、反復考慮才挑選出來，是最具代表性的題，是最具代表性的題，是最好的題，值得去做2.一般來講，課本上的習題，尤其注意與概念、公式、定律的聯(lián)系，而數(shù)學成績不太穩(wěn)定的同學的一大通病，就是基礎不勞，概念、公式、定律等掌握得不是很好，為此也值得去做課本上的題3.課本上的習題，有的老師講過，有的教參書上有比較詳細的講解，比較容易做對，從而增強自己的信心第三十七頁，共六十五頁，2022年，8月28日貴州文科第二名張正偉:先求快，再求準自己計時做題，要求在規(guī)定時間內(nèi)完成，然后自我改卷平分。先求“快”，力求做完，再求“準”。北大蔡珍:專攻大題路雖遠,行則必至,事雖難,做到必成第三十八頁，共六十五頁，2022年，8月28日三、組織有效教學1、教師上課應關注讓學生學會思考當學習內(nèi)容和學習目標確定后，我們更強調(diào)的是學生對那些隱藏在數(shù)學后面的概念的理解，從而在口頭上和書寫中能夠運用他們所學的東西進行交流，而不是對數(shù)學的死記硬背。我們的目標是培養(yǎng)孩子成為解決問題的能手，學會思考，讓孩子把自信建立在自己的能力之上，從而去珍視數(shù)學。我們的課程是讓學生積極參與到學習中，通過循序漸進、適當?shù)慕虒W活動去學習具體的操作計算。舉個例子，這是在我們縣舉行的公開課上一位教師主講的《二元一次方程組——實踐與探索》教學片斷：第三十九頁，共六十五頁，2022年，8月28日

大屏幕展示世界杯球賽圖片，教師解說，接著引出問題：某球迷協(xié)會組織36名球迷擬租乘汽車去比賽場地，為中國國家男子足球隊吶喊助威?？勺庥玫钠囉袃煞N:一種每輛可乘坐8人，另一種每輛可乘坐4人，要求租用的汽車不留空座，也不超載。你能設計出幾種不同的租車方案？師：小組討論，相互交流，給大家8分鐘時間。教師讓各小組派代表匯報情況。生1：我們設計出了四種方案。方案一：9輛小車。方案二：1輛大車，7輛小車。方案三：2輛大車，5輛小車。方案四：3輛大車，3輛小車。師（認真地聽）：很合理的方案！我們再來看看其他組有沒有不同的想法？第四十頁，共六十五頁，2022年，8月28日生2：我們組還要補充一種方案——4輛大車，1輛小車。師：大家說對嗎？（學生表示同意。）還有沒有別的方案了？（學生表示沒有了。）好，我請一個小組說出你們的解題思路及辦法。生：我們是逐個驗證的。師：怎么去驗證呢？生：根據(jù)題中的條件，不留空座也不超載，那就說明座位數(shù)等于人數(shù)。36能被4整除，所以我們可以只選小車，最多選9輛，然后逐個增加大車數(shù)量而減少小車的數(shù)量。師：想法非常好！師：哪個小組還有不同的辦法？生：我們用直觀的數(shù)學式子表示出來，讓所有人都能一目了然?。ㄟ@個小組非常自豪。）設大車為x輛，小車為y輛，則4x+8y=36。師：太棒了！大家同意他的觀點嗎？（學生表示同意。）第四十一頁，共六十五頁，2022年，8月28日師：的確，他們組以簡潔直觀的式子表示出了要討論的內(nèi)容，省去了大段的文字敘述，這就體現(xiàn)了數(shù)學的簡潔美！4x+8y=36這其實就是一個二元一次方程，我們知道它的解有無數(shù)多個，為什么你們只選了5個呢？生：因為x和y分別表示車輛的個數(shù)，它只能取整數(shù)，而且必須是正整數(shù)。師：我有一個小小的不同的意見，0是正整數(shù)嗎？按照你的說法我們的第一種方案就不合理了！生：我說錯了，x=0也行，x,y應該是非負整數(shù)。師：你說得太好了！大家再考慮這道題歸根結底我們是要找什么？生：二元一次方程組的非負整數(shù)解。師：我們再來觀察一下我們找到的這個方程4x+8y=36……（老師未來得及說完。）生：我發(fā)現(xiàn)，這個方程的兩邊可以同時除以4，得到x+2y=9師：你太厲害了。你給大家找到了一個解決這類問題的捷徑，我們化簡這個方程之后求解應該更方便些?！谒氖?，共六十五頁，2022年，8月28日【案例評析】此情形中，教師成功地扮演了一個傾聽者，加強了課堂討論的環(huán)節(jié)，讓學生在討論中獲得知識，學會與學生交流合作；同時，在小組匯報的過程中每次提問都給學生自由的空間，通過不同學生的思維成果展示和比較，優(yōu)化學生解決問題的思維模式。教師作為引導者，幫助學生認識錯誤并吸取其中的合理成分，走向成功；當學生陷入困境時，積極引導并鼓勵其重新點燃思維的火花，使他們樹立探索發(fā)現(xiàn)的信心。整個教學過程，學生是在愉悅和諧的氣氛中度過的，他們自始至終處于主體地位，他們的興趣與動機、意志與自信、情感與態(tài)度在“聽”和“說”的過程中都得到了發(fā)展。這節(jié)課上，教師不但做了一個傾聽者，而且和學生的對話適時適度，恰到好處。第四十三頁，共六十五頁，2022年，8月28日再舉個例子，我們教材中關于《雞兔同籠》的計算：

籠中有若干只雞和兔，它們共有5個頭和14只腳，問雞兔各有多少只？

《二元一次方程組的應用問題》教學片段大屏幕展示：一個籠子里有若干只雞和兔子，它們共有50個頭和140條腿，問籠中雞和兔子各有多少只？師：我請同學說說解題思路及方法。生1：設雞的只數(shù)為x只，兔的只數(shù)為y只。由題意可得以下方程組：

（生2舉手示意有不同的方法。)師：很好，答案正確！我們看下一題。（老師不予理會生2，沒有去聽舉手的同學想說什么。）第四十四頁，共六十五頁，2022年，8月28日【案例評析】此情形中，教師的做法是不可取的。我曾經(jīng)私下問過這位教師，是沒看見生2舉手，還是別的什么原因。這位教師說，生1已經(jīng)回答正確了，再聽生2的，怕耽誤時間，完不成教學進度。我想這位教師不僅剝奪了一個學生表達自我的機會，還反映出教師本身不具備傾聽學生之言和培養(yǎng)學生學會傾聽的意識。只有讓學生在課堂上學會傾聽教師的講解，傾聽同學的發(fā)言，在聽的過程中培養(yǎng)獨立思考的能力，獲取知識、經(jīng)驗，才能使學生獲得情感體驗。第1個老師的成功之處，就是充分激發(fā)了學生回答的積極性，并通過師生互動，肯定了學生的思考，使學生把數(shù)學和生活有機、自然地聯(lián)系起來了，拉近了數(shù)學與生活、數(shù)學與學生的距離。對話中學生的主體地位與教師的主導作用得到了充分的展示，這才是理想的課堂。第四十五頁，共六十五頁，2022年，8月28日在許多人眼里，這完全是一個計算問題。設兔為x，雞為y，x+y=5；4x+2y=14到底我們該把它看作算術教學，還是數(shù)學教學？讓我們來看美國的數(shù)學教師是怎樣處理類似問題的：

某個住在湖邊的老人養(yǎng)有狗和鴨子。某天，老人看到5個頭和14只腳。老人看到的是多少條狗？多少只鴨？（以下是課堂實錄）老師：能不能找到解決問題的方法？學生們紛紛要求回答問題。學生A：要找到答案并不難，只要兩個公式：一個解決腳的問題，另一個解決頭的問題……老師制止學生A繼續(xù)往下講，說道：“很好！誰來設計這兩個公式？”學生B：設狗為x，設鴨為y；4x+2y=14學生C寫道：x+y=5老師：這兩個公式對不對？學生七嘴八舌：“對啦！”

第四十六頁，共六十五頁，2022年，8月28日老師：現(xiàn)在我們不要去計算答案。我們按照這兩個公式來推理，看看答案是否合理……大家你望我，我望你。不讓計算，卻去猜答案。老師葫蘆里賣的什么藥？老師：犯愁了？不錯！我們現(xiàn)在不打算去計算準確的答案，我們只是去猜測大致的答案。學生仍然丈二和尚摸不著頭腦……老師:既然你們不回答，那我就來問你們，5條狗和4只鴨，對不對？學生哄然：不對！5條狗和4只鴨，一共是9個頭，老人只看到5個頭。老師：那么，誰能告訴我，狗腳和鴨腳的數(shù)目？學生們又是你望我，我望你，不知所措……老師：如果我告訴你們，狗不少于4條。你們認為怎么樣？第四十七頁，共六十五頁，2022年，8月28日學生B：不對，請看看我設計的公式：腳的總數(shù)是14，而4條狗就有16條腿。除非老人喝醉了，把自己的腳也數(shù)進去了！哄堂大笑！老師：非常好！那能不能是3條狗呢？學生們陷入思考……學生C：那也不對！老師很感興趣地問：“為什么？”學生C：除非有1只鴨子，少了兩條腿。您看我設計的公式，總共有5個頭。3條狗有12只腳。要符合5個頭，14只腳的條件，就只剩兩個鴨頭，兩只鴨腳。因此，除非有1只鴨沒有腳……又是一陣哄堂大笑！老師：好吧，讓我們假設所有的狗和鴨子都是進化完整的，沒有缺胳膊少腿的。那么，該有多少只鴨子呢？學生再沒有像前面那樣沉默，而是議論紛紛學生D：不管怎么說，前提是不能超過5個頭，14只腳。老師：如果狗少于3只，我們能在鴨子的數(shù)量上做什么文章呢？第四十八頁，共六十五頁，2022年，8月28日學生E：這就是說，鴨子必須是3只以上。因為，頭的總數(shù)是5個，狗少于3只，鴨子沒有3只以上湊不夠5只。老師：有道理。狗只能少于3只，鴨不能少于3只。那么，我們應該尋找的下一個線索是什么呢？學生思索……老師：如果是3只鴨子，鴨腳應該是……學生們：6只鴨腳。老師：對！如果是3只鴨子，6只鴨腳，狗的數(shù)目又該怎么算呢？學生A：如果狗腳不能多于12只，這就是說，狗不能多于3條，鴨子至少得有3只才能湊夠5個頭。3只鴨，鴨腳就是6只。于是，狗只能是2條，狗腳……老師高興地大笑：“好！不要往下說了。請大家用公式計算吧”到了這一步，再用公式計算，簡直是吃豆腐：狗是2條，鴨是3只。學生B有些不太高興：“老師，看到您那么高興，我倒有些費解了。這2條狗、3只鴨的答案，我們推理來推理去，花了快一節(jié)課的時間。其實，一開始就讓我們拿公式來算，早就該做完了……”第四十九頁，共六十五頁，2022年，8月28日老師微笑著點頭：“你提出了一個非常好的問題，甚至超過了‘2條狗，3只鴨’的答案。請大家想一想，為什么我們沒有一開始就用公式來計算，而是花了一節(jié)課的時間來走完整個推理的過程？”學生E：我們浪費了不少時間去推論那些不正確的答案。學生C：我不同意“浪費”的說法。有時候，你不能證實一個答案是錯的，你就不能證實另一個答案是對的。學生F：但是，值不值得花那么多時間？學生們七嘴八舌……老師會心地笑了：“謝謝大家！數(shù)學課不是算術，更不是用一個似懂非懂的公式去計算一個只有公式才能告訴你的答案。公式告訴你做什么？怎么做？我們充其量像個計算器。要真正理解：為什么這么做是對的？為什么那么做是不對的？問題就不那么簡單了。就像知道點擊電腦的什么鍵，電腦會怎么反應一樣，那是電腦操作員的工作。只有理解：為什么點擊電腦第五十頁，共六十五頁，2022年，8月28日的這里會產(chǎn)生這個結果？為什么點擊那里會產(chǎn)生那個結果？那才能成為電腦程序員。我們要的是通過演繹推理和歸納推理來證實和證偽某些答案，以及在這個過程中所培養(yǎng)和鍛煉的推理能力?！?/p>

美國著名心理學家布魯納說：“學習者不應是信息的被動接受者，而應該是知識獲取過程中的主動參與者?！苯處煈浞中湃螌W生，把學習主動權交給學生，讓學生的學習主動性得到充分發(fā)揮。我們教育培養(yǎng)的是聰明的孩子，美國教師教育培養(yǎng)的是智慧的學生。

日本的教師給他的學生講完中日“甲午戰(zhàn)爭”布置了這樣一道歷史試題：“日本跟中國每一百年就打一次仗，19世紀打了日清戰(zhàn)爭（即甲午戰(zhàn)爭），20世紀打了一場日中戰(zhàn)爭（即抗日戰(zhàn)爭），21世紀如果跟中國開火，你認為大概是什么時候？可能的遠因和近因在哪里？如果日本贏了，是贏在什么地方？輸了又輸在什么條件上？分析之！”第五十一頁，共六十五頁，2022年，8月28日

其中有個日本學生是這樣分析的：“我們跟中國很可能在臺灣回到中國以后，有一場激戰(zhàn)。臺灣如果回到中國。中國會把基隆和高雄封鎖。臺灣海峽就會變成中國的內(nèi)海，我們的油輪就統(tǒng)統(tǒng)走右邊。這樣，會增加日本的運油成本。我們的石油從波斯灣出來跨過印度洋，穿過馬六甲海峽，上中國的南海，跨臺灣海峽進東海，到日本，這是石油生命線。中國如果把臺灣海峽封鎖起來，我們的貨輪一定要從那里經(jīng)過，我們的主力艦和驅(qū)逐艦就會出動，中國海軍一看到日本出兵，馬上會上場，那就打！按照判斷，公元2015年至2020年之間，這場戰(zhàn)爭可能爆發(fā)。所以，我們現(xiàn)在就要做好對華抗戰(zhàn)的準備。”第五十二頁，共六十五頁，2022年，8月28日舉一個例子：在講授“西安事變”一課時，大多數(shù)學校老師講完史實后，要求學生記時間、地點、人物、事件等，以“學會”為目的，滿足于考試結果?？疵绹蠋熓侨绾螁l(fā)孩子的發(fā)散性思維：如果蔣不妥協(xié)？如果張、楊不和共產(chǎn)黨合作？如果張、楊把蔣處死？如果蔣逃出西安……甚至讓學生自己設想發(fā)散性的問題。無論哪種方式，學生都在收集材料、研究材料、組織觀點的過程中，培養(yǎng)了“會學”的能力。2.課堂教學問題的設計要激發(fā)學生的探索的欲望

問題是數(shù)學的心臟，問題也是問題解決的起點。2000年美國《中小學數(shù)學課程標準》（草案）中指出：“解決問題不僅是數(shù)學學習的目的，也是一種主要的學習方式。當學生運用解決問題的途徑去研究學習內(nèi)容時，他們可以發(fā)展新的數(shù)學理解，強化運用所學數(shù)學知識的能力?！币虼私處熢谠O計問題時要提出一些探索性的問題，激發(fā)學生的探索研究的欲望。第五十三頁，共六十五頁，2022年，8月28日例如：教材中有這樣一個問題：學校辦廠需制作一塊廣告牌，請來兩名工人，已知師傅單獨完成需4天，徒弟單獨完成需6天，現(xiàn)由徒弟先做1天，再兩人合作，完成后共得報酬450元，如果按個人完成的工作量計算報酬，那么該如何分配？如果直接讓學生解答該問題，難度較大，不符合學生的認知規(guī)律，而且該題探究性不強，抑制學生的思維空間，不利于培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維。所以教學時，我對問題進行了改編：課外活動時李老師來教室布置作業(yè)，有一道題只寫了"學校辦廠需制作一塊廣告牌，請來兩名工人，已知師傅單獨完成需4天，徒弟單獨完成需6天，"就因校長叫他聽一個電話而離開了教室，留下的題你能幫他補齊嗎？試試看。我給予學生足夠的時間和空間，讓學生自主探索，再以4人一小組相互交流，繼而合作探究，學生的學習興趣很濃，搶著發(fā)言，課堂氣氛很活躍。第五十四頁，共六十五頁，2022年，8月28日

現(xiàn)把學生的補充題歸類展示如下：①、兩人合作，需要多少天完成？②、一人先做再兩人合作，需要多少天完成？③一人先做再另一個人做，需要多少天完成？④一人先做再兩人合格，然后一個人單獨做，需要多少天完成？⑤有關報酬問題，學生提出問題后，我引導學生逐一地分析學生提出的問題，找出已知量、未知量，找出相等關系的關鍵詞語，把這些實際問題抽象出一元一次方程的數(shù)學模型來解答。第五十五頁，共六十五頁，2022年，8月28日

《分式》教學片段師：今天我們學習新課《分式》，首先我告訴大家分式的概念：形如A/B（A、B是整式，B中含有未知數(shù)且B不等于0）的式子叫做分式。其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。請同學們記住概念，下面我們來看一個例題……?！景咐u析】

在該情形中，上課伊始，教師直接生硬地給學生介紹了分式的概念，學生只能被動地接受，即把學生學習知識的過程歸結為教師講、學生聽，教師寫、學生記；上課做不完，課外繼續(xù)練。因為不是按學生的知識形成過程開展教學，所以很難有好的教學效果。教師也在教學中使用了講述與講授基本功，但使用得過于傳統(tǒng)，沒有為新知識的學習創(chuàng)設情境，突兀的講解使學生茫然而不知所措，很難調(diào)動學生學習的積極性。

第五十六頁，共六十五頁，2022年，8月28日例如"相似三角形的識別"一節(jié)，由于上節(jié)課已認識了相似三角形，知道用定義識別相似三角形比較麻煩。有沒有更為簡單一點的識別方法呢？設置懸念--引入課題，提出設問：你是否能夠通過動手探索得出識別相似三角形的簡便方法呢？首先讓學生去猜想，教師不直接指出可行性，要求學生分組討論驗證自己的想法。（可以對一些小組進行提示：比如少一些角對應相等或少一些邊對應成比例等等，讓他們盡可能多地找出所有可能出現(xiàn)的結果，哪些成立呢？簡要說明理由）。教師在本節(jié)課不忙于下結論。通過這樣自主探索兩個三角形的"兩對應相等，兩三角形相似"這一識別方法。學生自主探索中完成對知識的理解和升華，而且達到了較好的效果。第五十七頁，共六十五頁，2022年，8月28日3、課堂問題設計要給學生思考的空間

如果把一個知識學習的難度看成一座很難攀登的高山，那么教師引導學生登上這座高山的方法就是想辦法分散難點，即尋找一些小路，迂回上去。或者是尋找登山的技巧，好