數(shù)字信號處理第4章數(shù)字濾波器的原理和設(shè)計(jì)方法

當(dāng)前1頁，總共158頁。

當(dāng)前2頁，總共158頁。

系統(tǒng)輸出輸入差分方程H(z)以及零極點(diǎn)分布H(ejw)h(n)時(shí)域波形頻域成分時(shí)域波形頻域成分當(dāng)前3頁，總共158頁。4.1引言

離散時(shí)間信號在傳輸、檢測、估計(jì)等過程中都要廣泛使用數(shù)字濾波器,主要用于對信號的頻譜進(jìn)行加工.數(shù)字濾波器的優(yōu)點(diǎn):精度高穩(wěn)定度高;結(jié)構(gòu)組合靈活;不存在阻抗匹配問題;便于大規(guī)模集成.易實(shí)現(xiàn)多維濾波器.對于確定的輸入和輸出關(guān)系,可以用不同的結(jié)構(gòu)來實(shí)現(xiàn).如果不考慮量化誤差的影響,不同實(shí)現(xiàn)方法的性能是等效的,但如果考慮量化誤差,則不同實(shí)現(xiàn)方法的性能會有差異,因此結(jié)構(gòu)很重要.當(dāng)前4頁，總共158頁。4.1引言一般時(shí)域離散系統(tǒng)或網(wǎng)絡(luò)可以用差分方程、單位脈沖響應(yīng)以及系統(tǒng)函數(shù)進(jìn)行描述。如果系統(tǒng)輸入輸出服從N階差分方程其系統(tǒng)函數(shù)H(z)為當(dāng)前5頁，總共158頁。

數(shù)字濾波器的兩種實(shí)現(xiàn)方法:1.用數(shù)字硬件構(gòu)成專用的數(shù)字信號處理機(jī)(組成模型)2.編寫濾波運(yùn)算軟件,在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)(軟件工具)當(dāng)前6頁，總共158頁。

給定一個(gè)差分方程，不同的算法有很多種，例如：當(dāng)前7頁，總共158頁。

4.2數(shù)字濾波器的表示方法及其分類

觀察(4.1.1)式，數(shù)字信號處理中有三種基本算法，即乘法、加法和單位延遲，三種基本運(yùn)算用流圖表示如圖所示。當(dāng)前8頁，總共158頁。圖4.2.1三種基本運(yùn)算的流圖表示當(dāng)前9頁，總共158頁。

++1/z1/zx(n)b0a1a2y(n)x(n)y(n)b0a1a21/z1/z當(dāng)前10頁，總共158頁。

FIR網(wǎng)絡(luò)中一般不存在輸出對輸入的反饋支路，因此差分方程用下式描述：其單位脈沖響應(yīng)h(n)是有限長的，按照(4.2.2)式，h(n)表示為其它nFIR系統(tǒng)的特點(diǎn)：（1）h(n)為有限長的序列（2）結(jié)構(gòu)中一般沒有反饋環(huán)路，為非遞歸結(jié)構(gòu)（3）系統(tǒng)函數(shù)H(z)只有b系數(shù)，沒有a系數(shù)當(dāng)前11頁，總共158頁。另一類IIR網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)存在輸出對輸入的反饋支路，也就是說，信號流圖中存在環(huán)路。這類網(wǎng)絡(luò)的單位脈沖響應(yīng)是無限長的。例如一個(gè)簡單的一階IIR網(wǎng)絡(luò)差分方程為

y(n)=ay(n-1)+x(n)

其單位脈沖響應(yīng)h(n)=anu(n)。IIR系統(tǒng)的特點(diǎn)：（1）h(n)為無限長的序列（2）結(jié)構(gòu)中一般含有反饋環(huán)路，為遞歸結(jié)構(gòu)（3）系統(tǒng)函數(shù)H(z)有a系數(shù)當(dāng)前12頁，總共158頁。

4.3無限長脈沖響應(yīng)基本網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

1.直接型對N階差分方程重寫如下：

當(dāng)前13頁，總共158頁。

當(dāng)前14頁，總共158頁。圖4.3.1IIR網(wǎng)絡(luò)直接型Ⅰ型和Ⅱ型結(jié)構(gòu)當(dāng)前15頁，總共158頁。例4.3.1IIR數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)為畫出該濾波器的直接型結(jié)構(gòu)。解由H(z)寫出差分方程如下：當(dāng)前16頁，總共158頁。圖4.3.2例圖當(dāng)前17頁，總共158頁。

2.級聯(lián)型在(4.1.2)式表示的系統(tǒng)函數(shù)H(z)中，分子分母均為多項(xiàng)式，且多項(xiàng)式的系數(shù)一般為實(shí)數(shù)，現(xiàn)將分子分母多項(xiàng)式分別進(jìn)行因式分解，得到(4.3.1)形成一個(gè)二階網(wǎng)絡(luò)Hj(z)；Hj(z)如下式：(4.3.2)當(dāng)前18頁，總共158頁。式中，β0j、β1j、β2j、α1j和α2j均為實(shí)數(shù)。這H(z)就分解成一些一階或二階數(shù)字網(wǎng)絡(luò)的級聯(lián)形式，如下式：

H(z)=H1(z)H2(z)…Hk(z)(4.3.3)

式中Hi(z)表示一個(gè)一階或二階的數(shù)字網(wǎng)絡(luò)的系統(tǒng)函數(shù)，每個(gè)Hi(z)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)均采用前面介紹的直接型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，如圖所示。當(dāng)前19頁，總共158頁。圖4.3.3一階和二階直接型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)(a)直接型一階網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)；(b)直接型二階網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)當(dāng)前20頁，總共158頁。級聯(lián)型的特點(diǎn)1.零極點(diǎn)的調(diào)整方便,從而容易調(diào)整頻率響應(yīng)特性;2.基本節(jié)之間要有電平放大或衰減,因?yàn)殡娖讲荒芴蠡蛱∫悦庖绯龌虻玫叫〉男旁氡?3.前后位置的排列,必須考慮誤差效應(yīng).當(dāng)前21頁，總共158頁。例4.3.2設(shè)系統(tǒng)函數(shù)H(z)如下式：試畫出其級聯(lián)型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。解將H(z)分子分母進(jìn)行因式分解，得到

當(dāng)前22頁，總共158頁。

3.并聯(lián)型如果將級聯(lián)形式的H(z)，展開部分分式形式，得到IIR并聯(lián)型結(jié)構(gòu)。

圖4.3.4例圖當(dāng)前23頁，總共158頁。式中，Hi(z)通常為一階網(wǎng)絡(luò)和二階網(wǎng)絡(luò)，網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)均為實(shí)數(shù)。二階網(wǎng)絡(luò)的系統(tǒng)函數(shù)一般為(4.3.4)式中，β0i、β1i、α1i和α2i都是實(shí)數(shù)。如果a2i=0則構(gòu)成一階網(wǎng)絡(luò)。由(4.3.4)式，其輸出Y(z)表示為

Y(z)=H1(z)X(z)+H2(z)X(z)+…+Hk(z)X(z)當(dāng)前24頁，總共158頁。

并聯(lián)型的特點(diǎn)1.極點(diǎn)的調(diào)整方便,但不能直接調(diào)整零點(diǎn),如果需要準(zhǔn)確傳輸零點(diǎn),則采用級聯(lián)型;2.運(yùn)行速度快;3.各基本階的誤差互不影響.當(dāng)前25頁，總共158頁。例4.3.3畫出例題中的H(z)的并聯(lián)型結(jié)構(gòu)。解將例中H(z)展成部分分式形式：

將每一部分用直接型結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)，其并聯(lián)型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)如圖所示。當(dāng)前26頁，總共158頁。圖4.3.5例圖x(n)y(n)z-1z-11680.520-16-0.520z-1當(dāng)前27頁，總共158頁。流圖轉(zhuǎn)置

b

a1a2b0b1b2z-1z-1a1b2b0b1a2z-1z-1x(n)y(n)x(n)y(n)兩流圖等效直接Ⅱ型直接Ⅱ型轉(zhuǎn)置當(dāng)前28頁，總共158頁。

4.4有限長脈沖響應(yīng)基本網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

FIR網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)是沒有反饋支路，即沒有環(huán)路，其單位脈沖響應(yīng)是有限長的。設(shè)單位脈沖響應(yīng)h(n)長度為N，其系統(tǒng)函數(shù)H(z)和差分方程為當(dāng)前29頁，總共158頁。

1.直接型按照H(z)或者差分方程直接畫出結(jié)構(gòu)圖如圖所示。這種結(jié)構(gòu)稱為直接型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)或者稱為卷積型結(jié)構(gòu)或抽頭延時(shí)線濾波器或橫向?yàn)V波器.圖4.4.1FIR直接型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)當(dāng)前30頁，總共158頁。

2.級聯(lián)型將H(z)進(jìn)行因式分解，并將共軛成對的零點(diǎn)放在一起，形成一個(gè)系數(shù)為實(shí)數(shù)的二階形式，這樣級聯(lián)型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)就是由一階或二階因子構(gòu)成的級聯(lián)結(jié)構(gòu)，其中每一個(gè)因式都用直接型實(shí)現(xiàn)。例4.4.1設(shè)FIR網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)函數(shù)H(z)如下式：

H(z)=0.96+2.0z-1+2.8z-2+1.5z-3

畫出H(z)的直接型結(jié)構(gòu)和級聯(lián)型結(jié)構(gòu)。

當(dāng)前31頁，總共158頁。解將H(z)進(jìn)行因式分解，得到：

H(z)=(0.6+0.5z-1)(1.6+2z-1+3z-2)

其直接型結(jié)構(gòu)和級聯(lián)型結(jié)構(gòu)如圖所示。圖4.4.2例圖當(dāng)前32頁，總共158頁。3.快速卷積型

FFTFFTIFFTx(n)y(n)h(n)X(k)H(k)X(k)H(k)=Y(k)用循環(huán)卷積計(jì)算線性卷積當(dāng)前33頁，總共158頁。4.線性相位FIR數(shù)字濾波器的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

本節(jié)主要介紹FIR濾波器具有線性相位的條件及幅度特性以及零點(diǎn)、網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)。

1.線性相位條件對于長度為N的h(n)，傳輸函數(shù)為

當(dāng)前34頁，總共158頁。

式中，Hg(ω)稱為幅度特性，θ(ω)稱為相位特性。注意，這里Hg(ω)不同于|H(ejω)|,Hg(ω)為ω的實(shí)函數(shù)，可能取負(fù)值，而|H(ejω)|總是正值。H(ejω)線性相位是指θ(ω)是ω的線性函數(shù)，即

θ(ω)=τω,τ為常數(shù)(4.4.3)

如果θ(ω)滿足下式：

θ(ω)=θ0-τω,θ0是起始相位(4.4.4)

嚴(yán)格地說，此時(shí)θ(ω)不具有線性相位，但以上兩種情況都滿足群時(shí)延是一個(gè)常數(shù)，即當(dāng)前35頁，總共158頁。

也稱這種情況為線性相位。一般稱滿足(4.4.3)式是第一類線性相位；滿足(4.4.4)式為第二類線性相位。下面推導(dǎo)與證明滿足第一類線性相位的條件是：h(n)是實(shí)序列且對(N-1)/2偶對稱，即

h(n)=h(N-n-1)(4.4.5)

滿足第二類線性相位的條件是：h(n)是實(shí)序列且對(N-1)/2奇對稱，即

h(n)=-h(N-n-1)(4.4.6)當(dāng)前36頁，總共158頁。

(1)第一類線性相位條件證明：將(4.4.5)式代入上式得令m=N-n-1,則有(4.4.7)當(dāng)前37頁，總共158頁。

按照上式可以將H(z)表示為將z=ejω代入上式，得到：按照(4.4.2)式，幅度函數(shù)Hg(ω)和相位函數(shù)分別為(4.4.8)(4.4.9)當(dāng)前38頁，總共158頁。

(2)第二類線性相位條件證明：(4.4.10)令m=N-n-1,則有同樣可以表示為當(dāng)前39頁，總共158頁。

因此，幅度函數(shù)和相位函數(shù)分別為(4.4.11)(4.4.12)當(dāng)前40頁，總共158頁。

2.線性相位FIR濾波器幅度特性Hg(ω)的特點(diǎn)

1)h(n)=h(N-n-1),N=奇數(shù)按照(4.4.8)式，幅度函數(shù)Hg(ω)為式中，h(n)對(N-1)/2偶對稱，余弦項(xiàng)也對(N-1)/2偶對稱，可以以(N-1)/2為中心，把兩兩相等的項(xiàng)進(jìn)行合并，由于N是奇數(shù)，故余下中間項(xiàng)n=(N-1)/2。這樣幅度函數(shù)表示為當(dāng)前41頁，總共158頁。

令m=(N-1)/2-n,則有(4.4.13)(4.4.14)式中按照(4.4.13)式，由于式中cosωn項(xiàng)對ω=0,π,2π皆為偶對稱，因此幅度特性的特點(diǎn)是對ω=0,π,2π是偶對稱的。

當(dāng)前42頁，總共158頁。

2)h(n)=h(N-n-1),N=偶數(shù)推導(dǎo)情況和前面N=奇數(shù)相似，不同點(diǎn)是由于N=偶數(shù)，Hg(ω)中沒有單獨(dú)項(xiàng)，相等的項(xiàng)合并成N/2項(xiàng)。令m=N/2-n,則有當(dāng)前43頁，總共158頁。

(4.4.15)(4.4.16)n=1,2,3,…,N/2按照式（4.4.15），當(dāng)ω=π時(shí)， ，余弦項(xiàng)對ω=π呈奇對稱，因此H(π)=0，即H(z)在z=ejπ=-1處必然有一個(gè)零點(diǎn)，而且H(ω)對ω=π呈奇對稱。當(dāng)ω=0或2π時(shí)， 或-1，余弦項(xiàng)對ω=0,2π為偶對稱，幅度函數(shù)H(ω)對于ω=0,2π也呈偶對稱。如果數(shù)字濾波器在ω=π處不為零，例如高通濾波器、帶阻濾波器，則不能用這類數(shù)字濾波器來設(shè)計(jì)。當(dāng)前44頁，總共158頁。

令m=(N-1)/2-n，則有(4.4.17)(4.4.18)

3)h(n)=-h(N-n-1),N=奇數(shù)將(4.4.11)式重寫如下：當(dāng)前45頁，總共158頁。

由于sin(ωn)在ω=0,π,2π處都為零，并對這些點(diǎn)呈奇對稱，因此幅度函數(shù)H(ω)在ω=0,π,2π處為零，即H(z)在z=±1上都有零點(diǎn)，且H(ω)對于ω=0,π,2π也呈奇對稱。如果數(shù)字濾波器在ω=0,π,2π處不為零，例如低通濾波器、高通濾波器、帶阻濾波器，則不能用這類數(shù)字濾波器來設(shè)計(jì)，除非不考慮這些頻率點(diǎn)上的值。當(dāng)前46頁，總共158頁。

(4.4.19)(4.4.20)

4)h(n)=-h(N-n-1),N=偶數(shù)類似上面3)情況，推導(dǎo)如下：令m=N/2-n,則有當(dāng)前47頁，總共158頁。

當(dāng)ω=0,2π時(shí)， ，且對ω=0,2π呈奇對稱，因此H(ω)在ω=0,2π處為零，即H(z)在z=1處有一個(gè)零點(diǎn)，且H(ω)對ω=0,2π也呈奇對稱。當(dāng)ω=π時(shí)， 或1，則 對ω=π呈偶對稱，幅度函數(shù)H(ω)對于ω=π也呈偶對稱。如果數(shù)字濾波器在ω=0,2π處不為零，例如低通濾波器、帶阻濾波器，則不能用這類數(shù)字濾波器來設(shè)計(jì)。

當(dāng)前48頁，總共158頁。

當(dāng)前49頁，總共158頁。

奇對稱單位沖擊響應(yīng)h(n)=-h(N-1-n)當(dāng)前50頁，總共158頁。

3.線性相位FIR濾波器零點(diǎn)分布特點(diǎn)第一類和第二類線性相位的系統(tǒng)函數(shù)分別滿足(4.4.7)式和(4.4.10)式，綜合起來用下式表示：(4.4.21)圖4.4.1線性相位FIR濾波器零點(diǎn)分布當(dāng)前51頁，總共158頁。

4.線性相位FIR濾波器網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)設(shè)N為偶數(shù)，則有令m=N-n-1,則有當(dāng)前52頁，總共158頁。

(4.4.22)如果N為奇數(shù)，則將中間項(xiàng)h［(N-1)/2］單獨(dú)列出，(4.4.23)當(dāng)前53頁，總共158頁。

圖4.4.2第一類線性相位網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)當(dāng)前54頁，總共158頁。

圖4.4.3第二類線性相位網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)當(dāng)前55頁，總共158頁。

5.頻率采樣結(jié)構(gòu)頻率域等間隔采樣，相應(yīng)的時(shí)域信號會以采樣點(diǎn)數(shù)為周期進(jìn)行周期性延拓，如果在頻率域采樣點(diǎn)數(shù)N大于等于原序列的長度M，則不會引起信號失真，此時(shí)原序列的z變換H(z)與頻域采樣值H(k)滿足下面關(guān)系式：設(shè)FIR濾皮器單位脈沖響應(yīng)h(n)長度為M，系統(tǒng)函數(shù)H(z)=ZT［h(n)］，(4.4.1)式中H(k)用下式表示：

(4.4.1)當(dāng)前56頁，總共158頁。要求頻率域采樣點(diǎn)數(shù)N≥M。(4.4.1)式提供了一種稱為頻率采樣的FIR網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。請讀者分析IIR濾波網(wǎng)絡(luò)，為什么不采用頻率采樣結(jié)構(gòu)。將(4.4.1)式寫成下式：(4.4.2)式中Hc(z)是一個(gè)梳狀濾波器，頻率響應(yīng)幅度特性為半波正弦圖形,其零點(diǎn)為當(dāng)前57頁，總共158頁。圖4.4.3FIR濾波器頻率采樣結(jié)構(gòu)當(dāng)前58頁，總共158頁。

(1)在頻率采樣點(diǎn)ωk，H(ejωk)=H(k)，只要調(diào)整H(k)(即一階網(wǎng)絡(luò)Hk(z)中乘法器的系數(shù)H(k))，就可以有效地調(diào)整頻響特性，使實(shí)際調(diào)整方便。

(2)只要h(n)長度N相同，對于任何頻響形狀，其梳狀濾波器部分和N一階網(wǎng)絡(luò)部分結(jié)構(gòu)完全相同，只是各支路增益H(k)不同。這樣，相同部分便于標(biāo)準(zhǔn)化、模塊化。當(dāng)前59頁，總共158頁。然而，上述頻率采樣結(jié)構(gòu)亦有兩個(gè)缺點(diǎn)：

(1)系統(tǒng)穩(wěn)定是靠位于單位圓上的N個(gè)零極點(diǎn)對消來保證的。

(2)結(jié)構(gòu)中，H(k)和W-kN一般為復(fù)數(shù)，要求乘法器完成復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算，這對硬件實(shí)現(xiàn)是不方便的。為了克服上述缺點(diǎn)，對頻率采樣結(jié)構(gòu)作以下修正。首稱將單位圓上的零極點(diǎn)向單位圓內(nèi)收縮一點(diǎn)，收縮到半徑為r的圓上，取r<1且r≈1。此時(shí)H(z)為(4.4.3)當(dāng)前60頁，總共158頁。另外，由DFT的共軛對稱性知道，如果h(n)是實(shí)數(shù)序列，則其離散傅里葉變換H(k)關(guān)于N/2點(diǎn)共軛對稱，即H(k)=H*(N-k)。而且W-kN=W(N-k)N，我們將Hk(z)和

HN-k(z)合并為一個(gè)二階網(wǎng)絡(luò)，并記為Hk(z)，則當(dāng)前61頁，總共158頁。顯然，二階網(wǎng)絡(luò)Hk(z)的系數(shù)都為實(shí)數(shù)，其結(jié)構(gòu)如圖4.4.4(a)所示。當(dāng)N為偶數(shù)時(shí)，H(z)可表示為式中

(4.4.4)當(dāng)前62頁，總共158頁。式中，H(0)和H(N/2)為實(shí)數(shù)。(4.4.4)式對應(yīng)的頻率采樣修正結(jié)構(gòu)由N/2-1個(gè)二階網(wǎng)絡(luò)和兩個(gè)一階網(wǎng)絡(luò)并聯(lián)構(gòu)成，如圖4.4.4(b)所示。圖4.4.4頻率采樣修正結(jié)構(gòu)當(dāng)前63頁，總共158頁。當(dāng)N=奇數(shù)時(shí)，只有一個(gè)采樣值H(0)為實(shí)數(shù)，H(z)可表示為(4.4.5)上圖比較復(fù)雜,但所有系數(shù)是實(shí)數(shù),另外：1.每個(gè)二階子系統(tǒng)的輸出都與H(k)成比例,如果H(k)的多數(shù)取樣值為零,如窄帶低通或窄帶帶通,則這種結(jié)構(gòu)比直接型少用乘法器,但存儲器還是要多.2.如果N階相同,則梳狀濾波器與二階諧振網(wǎng)絡(luò)可以公用,只需對二階諧振網(wǎng)絡(luò)的輸出做適當(dāng)調(diào)整就可以組成各種不同的濾波器,實(shí)際中是很經(jīng)濟(jì)的.適合時(shí)分復(fù)用的場合.當(dāng)前64頁，總共158頁。

確定濾波器的技術(shù)指標(biāo)用一個(gè)穩(wěn)定的因果系統(tǒng)逼近,即由指標(biāo)確定H(z)確定網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu),進(jìn)行誤差分析并選擇存儲器的有限字長數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)步驟:與實(shí)際應(yīng)用有關(guān)本章內(nèi)容上節(jié)內(nèi)容以及第六章當(dāng)前65頁，總共158頁。

系統(tǒng)函數(shù)主要有兩個(gè)主要特性：幅度平方響應(yīng)＊相位響應(yīng)或群時(shí)移當(dāng)前66頁，總共158頁。

11-δ1δ2ωPωTπ1+δ1技術(shù)指標(biāo)的描述數(shù)字理想低通濾波器的容限

當(dāng)前67頁，總共158頁。

濾波器歸結(jié)為技術(shù)指標(biāo)的數(shù)字逼近問題FIR網(wǎng)絡(luò)用多項(xiàng)式逼近H(z)或IIR網(wǎng)絡(luò)用有理函數(shù)去逼近H(z)或當(dāng)前68頁，總共158頁。

IIR濾波器的設(shè)計(jì)方法：(1)以模擬濾波器函數(shù)為基礎(chǔ)的變換法；(2)直接設(shè)計(jì)法：根據(jù)零、極點(diǎn)對系統(tǒng)特性的影響，調(diào)整零極點(diǎn)位置得H(z)。(3)最優(yōu)化設(shè)計(jì)法：(計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì))在某種最小化誤差準(zhǔn)則下，建立差分方程系數(shù)ak、bi

對理想特性的逼近方程，使用迭代方法解方程組得到最佳逼近系統(tǒng)。由于此方法計(jì)算量大，需要借助于計(jì)算機(jī)進(jìn)行設(shè)計(jì)。(參考文獻(xiàn)1和2)本課程主要討論第1種方法。當(dāng)前69頁，總共158頁。

利用模擬濾波器設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器方法：1、根據(jù)所給出的數(shù)字濾波器性能指標(biāo)計(jì)算出相應(yīng)的模擬濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)。

2、根據(jù)得出的濾波器設(shè)計(jì)指標(biāo)設(shè)計(jì)出相應(yīng)的模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(S)。3、根據(jù)得出的模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(S)，經(jīng)某種變換得到對該模擬濾波器相應(yīng)的數(shù)字濾波器H(z)。

當(dāng)前70頁，總共158頁。

說明：利用模擬濾波器來設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器的方法是利用了模擬濾波器成熟的設(shè)計(jì)技術(shù)。模擬濾波器特性能滿足設(shè)計(jì)指標(biāo)，為了使數(shù)字濾波器也能滿足數(shù)字濾波要求，需要選擇適當(dāng)?shù)淖儞Q關(guān)系。本章介紹的變換方法有：沖擊響應(yīng)不變法和雙線性變換法。當(dāng)前71頁，總共158頁。

理想濾波器的特性及逼近方法理想濾波器特性：(1)、理想濾波器的特性：當(dāng)前72頁，總共158頁。

當(dāng)前73頁，總共158頁。

h(t)t|H(j?)|??c-?c理想低通濾波器特性：當(dāng)前74頁，總共158頁。

A0.707Aβ*A|H(j?)|?c?S?對相位特性的逼近在一般的應(yīng)用中不作要求。實(shí)際低通濾波器特性：理想濾波器特性的逼近方法：工程上是用有限沖擊響應(yīng)的因果LTI系統(tǒng)或具有連續(xù)頻率特性的LTI系統(tǒng)來逼近理想特性。在滿足一定的誤差要求的情況下來實(shí)現(xiàn)理想濾波特性。當(dāng)前75頁，總共158頁。

|H(j?)|

?

?c10.707N=1N=2N=5巴特沃斯(Butterworth)濾波器(B型)：1、Butterworth濾波器幅度頻率特性隨著Ｎ的增大，曲線在截止頻率附近變得越來越陡峭，在通帶內(nèi)的幅度接近１，阻帶以更快的速度下降為０，有極點(diǎn)，零點(diǎn)在當(dāng)前76頁，總共158頁。

當(dāng)前77頁，總共158頁。

當(dāng)前78頁，總共158頁。

根據(jù)逼近要求通過查特性曲線或計(jì)算求取階數(shù)Ｎ，?c

Butterworth濾波器的設(shè)計(jì)步驟：當(dāng)前79頁，總共158頁。

(3)求模擬巴特沃斯濾波器的極點(diǎn)，并由左半平面的的極點(diǎn)構(gòu)成Ｈa(s)(4)用脈沖響應(yīng)不變法或雙線性變換法將Ｈa(s)轉(zhuǎn)換成Ｈ(z)當(dāng)前80頁，總共158頁。

(5)驗(yàn)證技術(shù)指標(biāo)。高階Butterworth濾波器是充分帶限的,所以不會有很大的混疊失真.但如果不滿足技術(shù)指標(biāo),就可以采用更高階的濾波器,或適當(dāng)調(diào)整濾波器的系數(shù)加以解決.(６)畫出濾波器的結(jié)構(gòu)圖(７)誤差分析(８)硬軟件實(shí)現(xiàn)當(dāng)前81頁，總共158頁。

例４.2

歸一化巴特沃斯濾波器的設(shè)計(jì)將簡化整個(gè)設(shè)計(jì)過程當(dāng)前82頁，總共158頁。

階數(shù)Ｎ＼系數(shù)b0b1b2b3b4b5b6

11.000021.00001.414231.00002.00002.000041.00002.61313.41422.613151.00003.23615.23615.23613.236161.00003.86377.46419.14167.46413.863771.00004.494010.097814.59214.59210.09784.4940當(dāng)前83頁，總共158頁。

例：當(dāng)前84頁，總共158頁。巴特沃斯逼近法的特點(diǎn)1.最大平坦幅度特性顯然前2N-1階導(dǎo)數(shù)在?=0處均為零,以最大平坦特性來逼近理想低通.當(dāng)前85頁，總共158頁。

巴特沃斯逼近法的特點(diǎn)2.通帶、阻帶下降的單調(diào)特性3.半功率點(diǎn)不變特性,N改變,半功率點(diǎn)不變.4.可以利用歸一化的模擬低通原形的系統(tǒng)函數(shù)來設(shè)計(jì).

當(dāng)前86頁，總共158頁。

數(shù)字切比雪夫(Chebyshev)濾波器與巴特沃斯濾波器不同,切比雪夫?yàn)V波器的幅頻特性在通帶等波紋,在阻帶單調(diào)衰減,或在通帶單調(diào)衰減,在阻帶等波紋.要滿足相同的技術(shù)指標(biāo),切比雪夫?yàn)V波器比巴特沃斯濾波器具有更低的階數(shù).更節(jié)省成本.當(dāng)前87頁，總共158頁。

C型N=3,ε=0.3B型N=3C型N=6,ε=0.3B型N=6對理想特性的逼近：同樣階次N，C型濾波器優(yōu)于B型濾波器。特別在通帶截止頻率附近。兩類濾波器特性比較：當(dāng)前88頁，總共158頁。

1.切比雪夫多項(xiàng)式的幾種定義(1)二項(xiàng)式定義雙曲函數(shù)當(dāng)前89頁，總共158頁。

雙曲函數(shù)應(yīng)用上常遇到的雙曲函數(shù)是:雙曲正弦:雙曲余弦:雙曲正切:下頁雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)當(dāng)前90頁，總共158頁。

雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)反雙曲函數(shù)雙曲函數(shù)y=shx,y=chx,y=thx的反函數(shù)依次記為反雙曲正弦:y=arshx,反雙曲余弦:y=archx,反雙曲正切:y=arthx.可以證明結(jié)束>>>當(dāng)前91頁，總共158頁。

當(dāng)前92頁，總共158頁。

|H(j?)|2?/?c111/(1+ε2)N=3ε=0.5N=6ε=0.32、切比雪夫(Chebyshev)濾波器幅度頻率特性：當(dāng)前93頁，總共158頁。

N=3

N=4

N=5

N=6

3、Chebyshev低通濾波器的特點(diǎn)：當(dāng)前94頁，總共158頁。

N=3

N=4

N=5

N=6

當(dāng)前95頁，總共158頁。

N=3

N=3

N=6

N=6

(3)過渡帶寬為cs??-：

最小阻帶衰耗指標(biāo)sA應(yīng)滿足dB-ACjHscsNs￡+=))(11log(10)(222??e?

或

dB-ACscsN￡+-))(1log(1022??e。如果給定設(shè)計(jì)指標(biāo)sA、s?、c?和e，則可以由此關(guān)系式確定階數(shù)N。類似的如果用通帶最大波動值cA作為設(shè)計(jì)指標(biāo)，即

dB-Ac3+-)1log(102e。則得波動系數(shù)11010-￡cAe。

當(dāng)前96頁，總共158頁。

當(dāng)前97頁，總共158頁。

說明：可以證明Chebyshev濾波器特性是較佳的全極點(diǎn)濾波器，在滿足給定的設(shè)計(jì)指標(biāo)(通帶和阻帶逼近誤差容限)中，它具有較低的階數(shù)Ｎ?；蛘哒f，在相同的Ｎ階全極點(diǎn)濾波器中，Chebyshev濾波器特性對理想特性的逼近誤差較小。如果需要更加陡的過渡帶衰耗特性，則需要在阻帶截止頻率附近設(shè)置靠近單位圓的零點(diǎn)。如橢圓濾波器(Cauer濾波器)等。當(dāng)前98頁，總共158頁。

３階切比雪夫?yàn)V波器的極點(diǎn)位置極點(diǎn)分布在橢圓上,橫坐標(biāo)與小圓有關(guān),縱坐標(biāo)與大圓有關(guān),注意2π被2N整除的角度射線與兩圓相交決定橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)當(dāng)前99頁，總共158頁。

4、Chebyshev濾波器的設(shè)計(jì)步驟：根據(jù)逼近要求通過查特性曲線或計(jì)算求取階數(shù)Ｎ和波動系數(shù)ε，計(jì)算Ｈ（S）或者查表得Ｈ（S）．(1)設(shè)計(jì)指標(biāo)：Chebyshev濾波器逼近函數(shù)有兩個(gè)參數(shù)：階數(shù)Ｎ和波動系數(shù)ε

。它們可通過給定的2個(gè)特征頻率點(diǎn)?c，?s的參數(shù)指標(biāo)Ac，As來確定。(即通頻帶波動和阻帶衰耗值。)當(dāng)前100頁，總共158頁。

當(dāng)前101頁，總共158頁。

當(dāng)前102頁，總共158頁。

當(dāng)前103頁，總共158頁。

（４）利用脈沖響應(yīng)不變法或雙線性變換法將H(s)轉(zhuǎn)換為H（z）。當(dāng)前104頁，總共158頁。

N=4ε=0.3493N=5ε=0.3493N=6ε=0.3493當(dāng)前105頁，總共158頁。

N=4ε=0.3493N=5ε=0.3493N=6ε=0.3493當(dāng)前106頁，總共158頁。

例４.４Ｐ133P134

P135當(dāng)前107頁，總共158頁。

從模擬濾波器到IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)思想：

s平面z平面

模擬系統(tǒng)

數(shù)字系統(tǒng)H(z)的頻率響應(yīng)要能模仿H(s)的頻率響應(yīng)，

即s平面的虛軸映射到z平面的單位圓因果穩(wěn)定的H(s)映射到因果穩(wěn)定的H(z)，

即s平面的左半平面Re[s]<0

映射到z平面的單位圓內(nèi)|z|<1當(dāng)前108頁，總共158頁。

沖激響應(yīng)不變法數(shù)字濾波器的單位沖激響應(yīng) 模仿模擬濾波器的單位沖激響應(yīng)1、變換原理T—抽樣周期當(dāng)前109頁，總共158頁。

當(dāng)前110頁，總共158頁。

2、混迭失真僅當(dāng)數(shù)字濾波器的頻響在折疊頻率內(nèi)重現(xiàn)模擬濾波器的頻響而不產(chǎn)生混迭失真：數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)是模擬濾波器頻率響應(yīng)的周期延拓，周期為

當(dāng)前111頁，總共158頁。

脈沖響應(yīng)不變法的頻率混疊現(xiàn)象當(dāng)前112頁，總共158頁。

實(shí)際系統(tǒng)不可能嚴(yán)格限帶，都會混迭失真，在 處衰減越快，失真越小當(dāng)濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)以數(shù)字域頻率給定時(shí)，不能通過提高抽樣頻率來改善混迭現(xiàn)象當(dāng)前113頁，總共158頁。

3、模擬濾波器的數(shù)字化方法當(dāng)前114頁，總共158頁。

當(dāng)前115頁，總共158頁。

系數(shù)相同：極點(diǎn)：s平面

z平面穩(wěn)定性不變：s平面z平面當(dāng)前116頁，總共158頁。

當(dāng)T很小時(shí)，數(shù)字濾波器增益很大，易溢出，需修正令：則：當(dāng)前117頁，總共158頁。

試用沖激響應(yīng)不變法，設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器例：設(shè)模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為解：據(jù)題意，得數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)：設(shè)T=1s，則當(dāng)前118頁，總共158頁。

模擬濾波器的頻率響應(yīng)：數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)：數(shù)字信號處理內(nèi)容掃描\第四章\第四節(jié)\Scan0123.tif當(dāng)前119頁，總共158頁。

當(dāng)前120頁，總共158頁。

4、優(yōu)缺點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)：缺點(diǎn)：保持線性關(guān)系： 線性相位模擬濾波器轉(zhuǎn)變?yōu)榫€性相位數(shù)字濾波器頻率響應(yīng)混迭 只適用于限帶的低通、帶通濾波器h(n)完全模仿模擬濾波器的單位抽樣響應(yīng) 時(shí)域逼近良好當(dāng)前121頁，總共158頁。

定義變換式：為雙線性變換對于一個(gè)模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)

通過變換可得到相應(yīng)的數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù):雙線性變換法當(dāng)前122頁，總共158頁。

說明：雙線性變換是針對基本單元S-1得出的，如果模擬濾波器的逼近函數(shù)是有理分式，則變換所得的數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)H(z)是Z-1的有理分式。它是否是一個(gè)因果穩(wěn)定的LTI系統(tǒng)，需要對映射關(guān)系進(jìn)行分析。

當(dāng)前123頁，總共158頁。

6.6.2雙線性變換的映射關(guān)系：1、s平面與z平面的映射關(guān)系：當(dāng)前124頁，總共158頁。

當(dāng)前125頁，總共158頁。

雙線性變換的頻率坐標(biāo)關(guān)系：當(dāng)前126頁，總共158頁。

頻率坐標(biāo)關(guān)系圖ωΩπ-π當(dāng)前127頁，總共158頁。

低通濾波器當(dāng)前128頁，總共158頁。

正切變換實(shí)現(xiàn)頻率壓縮：

式中T仍是采樣間隔，當(dāng)Ω1從-π/T經(jīng)過0變化到π/T時(shí)，Ω則由-∞經(jīng)過0變化到+∞，實(shí)現(xiàn)了s平面上整個(gè)虛軸完全壓縮到s1平面上虛軸的±π/T之間的轉(zhuǎn)換。這樣便有

當(dāng)前129頁，總共158頁。

再通過轉(zhuǎn)換到z平面上，得到：

當(dāng)前130頁，總共158頁。

下面分析模擬頻率Ω和數(shù)字頻率ω之間的關(guān)系。雙線性變換法的映射關(guān)系當(dāng)前131頁，總共158頁。

當(dāng)前132頁，總共158頁。

雙線性變換法設(shè)計(jì)可得穩(wěn)定但有畸變的數(shù)字濾波器。如果選擇變換常數(shù)CT=2/T，則變換后僅低頻段特性較好。為了保證數(shù)字濾波器特性在要求的特征頻率點(diǎn)上的特性指標(biāo)，需要采用予畸方法。4、雙線性變換的予畸方法：當(dāng)前133頁，總共158頁。

當(dāng)前134頁，總共158頁。

雙線性變換法設(shè)計(jì)步驟：（予畸設(shè)計(jì)方法）當(dāng)前135頁，總共158頁。

例4.3當(dāng)前136頁，總共158頁。

當(dāng)前137頁，總共158頁。

當(dāng)前138頁，總共158頁。

z-1z-1z-1z-10.0680.1340.0681.142-0.413x(n)y(n)采用直接實(shí)現(xiàn)方框圖：當(dāng)前139頁，總共158頁。

數(shù)字濾波器指標(biāo)模擬濾波器指標(biāo)模擬原型低通數(shù)字原型低通模擬頻率變換非低通型基本數(shù)字濾波器模擬/數(shù)字變換數(shù)字頻率變換4.5IIR濾波器的頻率變換為了得到其他基本類型的數(shù)字濾波器，可以先用以上介紹的設(shè)計(jì)方法設(shè)計(jì)出低通濾波器，再經(jīng)過變換來得到。當(dāng)前140頁，總共158頁。

說明：具體的變換方法有兩種：模擬變換與數(shù)字變換；兩種變換都是先利用模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)方法得到模擬原型低通函數(shù)Ha(s)；模擬變換方法是把模擬原型低通函數(shù)Ha(s)變換成模擬非低通實(shí)際濾波器H(s)，再經(jīng)過S→Z映射變換得到非低通基本數(shù)字濾波器H(z)。數(shù)字變換方法是先把模擬原型低通函數(shù)Ha(s)經(jīng)過S→Z映射變換得到數(shù)字原型低通Hl(z)，再經(jīng)過數(shù)字/數(shù)字頻率變換得到非低通實(shí)