材料力學(xué)課件八

第9章應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)分析§9–１應(yīng)力狀態(tài)的概念一、問(wèn)題的提出P鑄鐵壓縮PP低碳鋼拉伸

鋼筋混凝土梁的斜裂縫2.受力構(gòu)件內(nèi)應(yīng)力的特征1.實(shí)例1）構(gòu)件不同截面上的應(yīng)力狀況一般是不同的。2）構(gòu)件同一截面上不同點(diǎn)處的應(yīng)力一般是不相同的。3）構(gòu)件內(nèi)同一點(diǎn)處，在不同方位截面上的應(yīng)力一般也是不相同的。因此，當(dāng)提及應(yīng)力時(shí)，必須指明“應(yīng)力的點(diǎn)和面”

二、一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)通過(guò)受力構(gòu)件內(nèi)的一點(diǎn)，不同方位截面上的應(yīng)力集合，稱為該點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)（StateofStressataGivenPoint）。1.定義：3.應(yīng)力狀態(tài)的表示在于確定在哪個(gè)截面上該點(diǎn)處有最大正應(yīng)力，在哪個(gè)截面上該點(diǎn)處有最大剪應(yīng)力，以及它們的數(shù)值，為處于復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下桿件的強(qiáng)度計(jì)算提供依據(jù)。

2.研究危險(xiǎn)點(diǎn)處應(yīng)力狀態(tài)的目的用單元體表示點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。圍繞所研究的點(diǎn)，截取一單元體(如微小正六面體)，以單元體各面上的應(yīng)力分量表示周圍材料對(duì)其作用，這樣的應(yīng)力單元體，就表示該點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)。xyzs

xsz

s

ytxytxz4.應(yīng)力單元體的特征1）單元體的尺寸無(wú)限小，每個(gè)面上的應(yīng)力為均勻分布。2）單元體表示一點(diǎn)處的應(yīng)力，故相互平行截面上的應(yīng)力相同。3）同一點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)，若所取單元體的方位不同，則所表示的形態(tài)并不相同，如圖所示均為軸向拉桿A點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)，但兩單元體是等價(jià)的。三、主平面、主應(yīng)力1.主平面(PrincipalPlane)

應(yīng)力單元體中剪應(yīng)力為零的平面，稱為主平面。2.主單元體(Principalbidy)由主平面構(gòu)成的單元體。3.主應(yīng)力主平面上的正應(yīng)力。主應(yīng)力的記號(hào)分別用表示，且規(guī)定按代數(shù)值排列。4.主方向：主平面的法向。5.應(yīng)力狀態(tài)的普遍情況在任意載荷的作用下，物體內(nèi)一點(diǎn)處應(yīng)力狀態(tài)的普遍情況，最多可能有9個(gè)應(yīng)力分量，即yxz由剪應(yīng)力互等定理，可知因比，普遍情況下一點(diǎn)處應(yīng)力狀態(tài)的獨(dú)立應(yīng)力分量是6個(gè)。在普通情況下，任一點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)，必定存在一個(gè)由三對(duì)相互垂直的主平面所組成的主應(yīng)力單元體。但在三個(gè)主應(yīng)力中有兩個(gè)或三個(gè)主應(yīng)力相等的特殊情況下，主平面及主方向便會(huì)多余三個(gè)。四、應(yīng)力狀態(tài)的分類單向應(yīng)力狀態(tài)——只有一個(gè)主應(yīng)力不等于零的應(yīng)力狀態(tài)。二向應(yīng)力狀態(tài)——有兩個(gè)主應(yīng)力不等于零的應(yīng)力狀態(tài)。三向（空間）應(yīng)力狀態(tài)——三個(gè)主應(yīng)力均不等于零的應(yīng)力狀態(tài)。

純剪切應(yīng)力狀態(tài)——單元體的各個(gè)側(cè)面只有剪應(yīng)力而無(wú)正應(yīng)力的應(yīng)力狀態(tài)。

單向應(yīng)力狀態(tài)和二向應(yīng)力狀態(tài)均屬于平面應(yīng)力狀態(tài)。三向應(yīng)力狀態(tài)屬于空間應(yīng)力狀態(tài)。單向應(yīng)力狀態(tài)也稱簡(jiǎn)單應(yīng)力狀態(tài)，而二向應(yīng)力狀態(tài)和三向應(yīng)力狀態(tài)稱復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)。

零應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力狀態(tài)的疊加：其結(jié)果不一定屬于原有應(yīng)力狀態(tài)。§9–2平面應(yīng)力狀態(tài)分析的解析法sxtxysyxyzxysxtxysyO等價(jià)xysxtxysyO一、任意a斜截面上的應(yīng)力sasytyxsxtaaxyOtnatxy符號(hào)規(guī)定sasytyxsxtaaxyOtnatxy正應(yīng)力——以拉應(yīng)力為正；剪應(yīng)力t——以使單元體繞單元體內(nèi)任意一點(diǎn)有順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)趨勢(shì)者為正；方向角a——以逆時(shí)針為正。二、用解析法求任意a斜截面上的應(yīng)力1.公式推導(dǎo)：2.任意a斜截面上的應(yīng)力公式3.正應(yīng)力極值——主應(yīng)力3.正應(yīng)力極值——主應(yīng)力max的指向是介于僅由單元體剪應(yīng)力txy=tyx產(chǎn)生的主拉應(yīng)力指向與單元體正應(yīng)力x、y中代數(shù)值較大的一個(gè)正應(yīng)力指向之間。xxyytxytyxmaxmin

主單元體4.剪正應(yīng)力極值極值剪應(yīng)力作用面面上的正應(yīng)力：5.平面應(yīng)力狀態(tài)分析析的特征1）斜截面應(yīng)力、主主應(yīng)力及最大剪應(yīng)應(yīng)力均是指xy平面內(nèi)的應(yīng)力，即其作用面均均垂宜于xy平面。2)任意兩相互垂直截截面上的正應(yīng)力之之和為常量3）平面應(yīng)力狀態(tài)中中，垂直于該平面面的主應(yīng)力為零。。故單元體三個(gè)主應(yīng)力的序號(hào)號(hào)應(yīng)根據(jù)max和min的正負(fù)號(hào)而定，即即4）主平面上的剪應(yīng)應(yīng)力必等于零；最最大剪應(yīng)力作用面面上的正應(yīng)力一般不等于零，，且等于(x+y)/2。5）主平面與最大剪剪應(yīng)力作用面必互互成450。6.用解析法求任意a斜截面上的應(yīng)力示示例例：分析受扭構(gòu)件件的破壞規(guī)律。TC例：§9–3平面應(yīng)力狀態(tài)分析析的圖解法xysxtxysyOsasytyxsxtaaxyOtnatxy1.應(yīng)力圓（StressCircle）對(duì)上述方程消去參參數(shù)（2），得應(yīng)力圓方程：此方程曲線為圓——應(yīng)力圓（或莫爾圓圓，由德國(guó)工程師師：OttoMohr引入）2.應(yīng)力圓的畫法(2)在坐標(biāo)系內(nèi)畫出點(diǎn)A(x，xy)和B(y，yx)(3)AB與sa軸的交點(diǎn)C便是圓心。(4)以C為圓心，以AC為半徑畫圓——應(yīng)力圓；sxtxysyxyOnsataaOsataCA(sx,txy)B(sy,tyx)x2anD(sa,

ta)(1)建立應(yīng)力坐標(biāo)系，，如下圖所示，（注意選好比例尺尺）3.單元體與應(yīng)力圓的的對(duì)應(yīng)關(guān)系sxtxysyxyOnsataa單元體應(yīng)力圓圓單元體某平面上的的應(yīng)力分量單元體兩平面間的的夾角a單元體的主應(yīng)力值值單元體的最大剪應(yīng)應(yīng)力值應(yīng)力圓某定點(diǎn)的坐坐標(biāo)應(yīng)力圓兩對(duì)應(yīng)點(diǎn)所所夾的中心角2a應(yīng)力圓與sa軸交點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)力圓的半徑OsataCA(sx,txy)B(sy,tyx)x2anD(sa,

ta)2a04.在應(yīng)力圓上標(biāo)出極極值應(yīng)力OCsataA(sx,txy)B(sy,tyx)x2a12a0s1s2s3§9–4梁的主應(yīng)力及其主主應(yīng)力跡線12345P1P2q一、梁內(nèi)各點(diǎn)的主主應(yīng)力可見(jiàn)：梁內(nèi)任一點(diǎn)點(diǎn)的兩個(gè)非零主應(yīng)應(yīng)力中，一個(gè)為拉拉應(yīng)力，另一個(gè)為為壓應(yīng)力，且互相相垂直。主應(yīng)力的的方向沿梁高連續(xù)續(xù)變化。梁內(nèi)各點(diǎn)的主應(yīng)力力21s1s3s33s1s34s1s1s35a0–45°a0stA1A2D2D1COsA2D2D1CA1Ot2a0stD2D1CD1O2a0=–90°sD2A1Ot2a0CD1A2stA2D2D1CA1O二、平面彎曲梁內(nèi)內(nèi)的主應(yīng)力跡線：：在梁的xy平面內(nèi)繪出的表示示各點(diǎn)主應(yīng)力方向向兩組正交曲線，，一組曲線表示主主拉應(yīng)力方向，另另一組曲線表示主主壓應(yīng)力方向，曲曲線上各點(diǎn)的主應(yīng)應(yīng)力方向均與曲線線相切。1.定義：2.目的：在工程中，為了更更好地發(fā)揮材料的的作用，常采用兩兩種材料制成的梁梁。如鋼筋混凝土土梁。明確主拉應(yīng)應(yīng)力方向，以便合合理地布置鋼筋。。拉力壓力實(shí)線表示拉主應(yīng)力力跡線；虛線表示壓主應(yīng)力力跡線。3.主應(yīng)力跡線的畫法法：xy11截面22截面33截面44截面ii截面nn截面bacdq13314.主應(yīng)力跡線特點(diǎn)：(1)兩組曲線在相交處處互相垂直；(2)所有主應(yīng)力跡線都將穿過(guò)中性層，且且與中性層成450；(3)在梁底（頂）處，，主應(yīng)力跡線與底（頂）平行或垂直直；(4)梁的支承和荷載不不同，主應(yīng)力跡線形形式不同；(5)主應(yīng)力跡線只顯示示主應(yīng)力的方向，不不反映大小。§9–5空間應(yīng)力狀態(tài)簡(jiǎn)介介1、空間應(yīng)力狀態(tài)s2s1xyzs32、三向應(yīng)力分析圖a圖btmaxs2s1xyzs3(1)彈性理論證明，圖圖a單元體內(nèi)任意一點(diǎn)點(diǎn)任意截面上的應(yīng)應(yīng)力都對(duì)應(yīng)著圖b的應(yīng)力圓上或陰影影區(qū)內(nèi)的一點(diǎn)。(2)整個(gè)單元體內(nèi)的最最大剪應(yīng)力為：§9–6廣義虎克定律1.單拉下的應(yīng)力--應(yīng)變關(guān)系2.純剪的應(yīng)力--應(yīng)變關(guān)系xyzsxxyz

x

y一、廣義胡克定律律3.復(fù)雜狀態(tài)下的應(yīng)力力---應(yīng)變關(guān)系依疊加原理,及根據(jù)連續(xù)均勻各各向同性線彈性材材料，正應(yīng)力僅引引起線應(yīng)變，剪應(yīng)應(yīng)力僅引起相應(yīng)平平面的剪應(yīng)變，得得:

xyzszsytxysx廣義胡克定律4.主應(yīng)力---主應(yīng)變關(guān)系s1s3s2主應(yīng)力與主應(yīng)變方向一致5.平面狀態(tài)下的應(yīng)力力---應(yīng)變關(guān)系:二、材料彈性常數(shù)數(shù)E、G、n間的關(guān)系對(duì)于各向同性材料料，獨(dú)立的彈性常常數(shù)為2個(gè)三、體積應(yīng)變與應(yīng)應(yīng)力分量間的關(guān)系系對(duì)于各向同性材料料，線應(yīng)變僅由正正應(yīng)力引起，又由由于剪應(yīng)變不引起起體積改變。因此此，在線彈性、微微小應(yīng)變情況下，，空間應(yīng)力狀態(tài)單單元體的體積應(yīng)變?yōu)椋后w應(yīng)變又稱體積應(yīng)應(yīng)變，是指在應(yīng)力力狀態(tài)下單元體單單位體積的體積改改變。三、體應(yīng)變s1s3s2dxdydz1.主單元體：2.純剪切平面應(yīng)力狀狀態(tài)txyCtyx可見(jiàn)，剪應(yīng)力的存在并不不影響該點(diǎn)處的體體應(yīng)變。3.一般單元體

szsytxysx小變形時(shí)連續(xù)均質(zhì)質(zhì)各向同性線彈性性體內(nèi)，一點(diǎn)處的的體應(yīng)變，只與過(guò)過(guò)該點(diǎn)沿三個(gè)相互互垂直的坐標(biāo)軸方方向正應(yīng)力的代數(shù)數(shù)和成正比，而與與坐標(biāo)方位和切應(yīng)應(yīng)力無(wú)關(guān)。結(jié)論：例已知一受力構(gòu)件自自由表面上某一點(diǎn)點(diǎn)處的兩個(gè)面內(nèi)主主應(yīng)變分別為：1=24010-6，2=–16010-6，彈性模量E=210GPa，泊松比為n=0.3，試求該點(diǎn)處的主應(yīng)應(yīng)力及另一主應(yīng)變變。例圖a所示為承受內(nèi)壓的的薄壁容器。為測(cè)測(cè)量容器所承受的的內(nèi)壓力值，在容容器表面用電阻應(yīng)應(yīng)變片測(cè)得環(huán)向應(yīng)應(yīng)變，，若已知容容器平均直徑D=500mm，壁厚=10mm，容器材料的E=210GPa，n=0.25，試求:1.導(dǎo)出容器橫截面和和縱截面上的正應(yīng)應(yīng)力表達(dá)式；2.計(jì)算容器所受的內(nèi)內(nèi)壓力。pppxs1smlDxABy§9－7復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的的彈性變形能一、應(yīng)變能和比能能1.應(yīng)變能U彈性體由于外力在在外力作用方向的的位移上作功而積積蓄在彈性體中的能量。2.比能（應(yīng)應(yīng)變比能能）u彈性體單單位體積積內(nèi)積蓄蓄的應(yīng)變變能。s微元功元比能(1)單向應(yīng)力力狀態(tài)下下的比能能(2)三向應(yīng)力力狀態(tài)下下的比能能23

1二、體積積改變比比能和形形狀改變變比能23

1圖am圖bmm圖c3-m

1-m2-m1.體積改變變比能uV：圖b示單元體體受平均均應(yīng)力作作用，其其體積應(yīng)應(yīng)變就是是該點(diǎn)處處的體積應(yīng)變變，即與與圖所示示單元的的體應(yīng)變變相同；；且由于于三個(gè)主主應(yīng)力相相等，變變形后形形狀與原原來(lái)形狀狀相似，，只有體體積的改改變而無(wú)無(wú)形狀的的改變，，故全部部比能為為體積改改變比能能。1.體積改變變比能uV2.形狀改變變比能或歪形能能uf：圖c所示單元元體體積積應(yīng)變?yōu)闉榱?，其其?yīng)變比比能就是是該點(diǎn)處處的形狀狀改變比比能：例：用能量法法證明三三個(gè)彈性性常數(shù)間間的關(guān)系系。1）純剪單元元體的比比能為：：2）純剪單元元體比能能的主應(yīng)應(yīng)力表示示為：txyA13§9–7平面應(yīng)力力狀態(tài)下下的應(yīng)變變分析xyO一、疊加加法求應(yīng)應(yīng)變分