材料力學(xué)教學(xué)課件幻燈片一一

返回總目錄第10章

壓桿穩(wěn)定提要：本章著重討論受壓直桿的穩(wěn)定性計(jì)算。通過對(duì)兩端鉸支細(xì)長壓桿的穩(wěn)定性分析，闡明壓桿的平衡穩(wěn)定性的基本概念，明確壓桿的臨界力的意義及其確定方法，并進(jìn)一步討論了不同支承情況對(duì)臨界力的影響及其歐拉公式的統(tǒng)一形式。通過臨界應(yīng)力總圖明確了壓桿的柔度的物理意義，并揭示了壓桿的強(qiáng)度和穩(wěn)定性之間的關(guān)系，從而明確了歐拉公式的適用范圍。介紹了運(yùn)用長、中柔度桿穩(wěn)定計(jì)算公式進(jìn)行簡單的壓桿穩(wěn)定校核的方法。10.1壓桿穩(wěn)定的概念在緒論中已指出，衡量構(gòu)件承載能力的指標(biāo)有強(qiáng)度、剛度、穩(wěn)定性。關(guān)于桿件在各種基本變形以及常見的組合變形下的強(qiáng)度和剛度問題在前述各章節(jié)中已作了較詳細(xì)的闡述，但均未涉及到穩(wěn)定性問題。事實(shí)上，桿件只有在受到壓力作用時(shí)，才可能存在穩(wěn)定性的問題。在材料的拉壓力學(xué)性能實(shí)驗(yàn)中，當(dāng)對(duì)高為20mm，直徑為10mm的短粗鑄鐵試件進(jìn)行壓縮試驗(yàn)時(shí)，其由于強(qiáng)度不足而發(fā)生了破壞。從強(qiáng)度條件出發(fā)，該試件的承載能力應(yīng)只與其橫截面面積有關(guān)，而與試件的長度無關(guān)。但如果將該試件加到足夠的長度，再對(duì)其施加軸向壓力時(shí)，將會(huì)發(fā)現(xiàn)在桿件發(fā)生強(qiáng)度破壞之前，會(huì)突然向一側(cè)發(fā)生明顯彎曲，若再繼續(xù)加力就會(huì)發(fā)生折斷，從而喪失承載能力。由此可見，這時(shí)壓桿的承載能力并不取決于強(qiáng)度，而是與它受壓時(shí)的彎曲剛度有關(guān)，即與壓桿的穩(wěn)定性有關(guān)。

在工程建設(shè)中，由于對(duì)壓桿穩(wěn)定問題沒有引起足夠的重視或設(shè)計(jì)不合理，曾發(fā)生了多起嚴(yán)重的工程事故。例如1907年，北美洲魁北克的圣勞倫斯河上一座跨度為548m的鋼橋正在修建時(shí)，由于兩根壓桿失去穩(wěn)定，造成了全橋突然坍塌的嚴(yán)重事故。又如在19世紀(jì)末，瑞士的一座鐵橋，當(dāng)一輛客車通過時(shí)，橋桁架中的壓桿失穩(wěn)，致使橋發(fā)生災(zāi)難性坍塌，大約有200人遇難。還有在1983年10月4日，地處北京的中國社會(huì)科學(xué)研究院科研樓工地的鋼管腳手架距地面5～6處突然外拱，剎那間，這座高達(dá)54.2m，長17.25m，總重565.4kN的大型腳手架轟然坍塌，5人死亡，7人受傷，腳手架所用建筑材料大部分報(bào)廢，而導(dǎo)致這一災(zāi)難性事故的直接原因就是腳手架結(jié)構(gòu)本身存在嚴(yán)重缺陷，致使結(jié)構(gòu)失穩(wěn)坍塌。實(shí)際上，早在1744年，出生于瑞士的著名科學(xué)家歐拉(L.Euler)就對(duì)理想壓桿在彈性范圍內(nèi)的穩(wěn)定性進(jìn)行了研究，并導(dǎo)出了計(jì)算細(xì)長壓桿臨界壓力的計(jì)算公式。10.1壓桿穩(wěn)定的概念但是，同其他科學(xué)問題一樣，壓桿穩(wěn)定性的研究和發(fā)展與生產(chǎn)力發(fā)展的水平密切相關(guān)。歐拉公式面世后，在相當(dāng)長的時(shí)間里之所以未被認(rèn)識(shí)和重視，就是因?yàn)楫?dāng)時(shí)在工程與生活建造中實(shí)用的木樁、石柱都不是細(xì)長的。直到1788年熟鐵軋制的型材開始生產(chǎn)，然后出現(xiàn)了鋼結(jié)構(gòu)。特別是19世紀(jì)，隨著鐵路金屬橋梁的大量建造，細(xì)長壓桿的大量出現(xiàn)，相關(guān)工程事故的不斷發(fā)生，才引起人們對(duì)壓桿穩(wěn)定問題的重視，并進(jìn)行了不斷深入的研究。除了壓桿以外，還有許多其他形式的構(gòu)件也同樣存在穩(wěn)定性問題，如薄壁球形容器在徑向壓力作用下的變形(圖10.1(a))；狹長梁在彎曲時(shí)的側(cè)彎失穩(wěn)(圖10.1(b))；兩鉸拱在豎向載荷作用下變?yōu)樘摼€所示形狀而失穩(wěn)(圖10.1(c))等。但材料力學(xué)只涉及到了壓桿的穩(wěn)定性問題，同時(shí)它也是其他形狀構(gòu)件穩(wěn)定性分析的理論基礎(chǔ)。10.1壓桿穩(wěn)定的概念圖10.1幾種其他形式的穩(wěn)定性問題薄壁球形容器的失穩(wěn)；(b)狹長矩形截面梁的側(cè)彎失穩(wěn)；(c)兩鉸拱的失穩(wěn)所以，對(duì)細(xì)長壓桿而言，使其失去承載能力的主要原因并不是強(qiáng)度問題，而是穩(wěn)定性問題。10.1壓桿穩(wěn)定的概念我們以圖10.2(a)所示兩端鉸支受軸向壓力的勻質(zhì)細(xì)長直桿為例來說明關(guān)于穩(wěn)定性的基本概念。當(dāng)桿件受到一逐漸增加的軸向壓力F作用時(shí)，其始終可以保持為直線平衡狀態(tài)。但當(dāng)同時(shí)受到一水平方向干擾力Q干擾時(shí)，壓桿會(huì)產(chǎn)生微彎(如圖10.2(a)中虛線所示)，而當(dāng)干擾力消失后，其會(huì)出現(xiàn)如下三種情況：①當(dāng)軸向壓力F小于某一極限值Fcr時(shí)，壓桿將復(fù)原為直線平衡。這種當(dāng)去除橫向干擾力Q后，能夠恢復(fù)為原有直線平衡狀態(tài)的平衡稱為穩(wěn)定平衡狀態(tài)，如圖10.2(b)所示。②當(dāng)軸向壓力F大于極限值Fcr時(shí)，雖已去除橫向干擾力Q，但壓桿不能恢復(fù)為原有直線平衡狀態(tài)而呈彎曲狀態(tài)，若橫截面上的彎矩值不斷增加，壓桿的彎曲變形亦隨之增大，或由于彎曲變形過大而屈曲毀壞。10.1壓桿穩(wěn)定的概念將這種原有的直線平衡狀態(tài)稱為不穩(wěn)定平衡狀態(tài)，如圖10.2(c)所示。③當(dāng)軸向壓力F等于極限值Fcr時(shí)，壓桿雖不能恢復(fù)為原有直線平衡狀態(tài)但可保持微彎狀態(tài)。將這種由穩(wěn)定平衡狀態(tài)過渡到不穩(wěn)定平衡狀態(tài)的直線平衡，稱之為臨界平衡狀態(tài),如圖10.2(d)所示。而此時(shí)的臨界值Fcr稱為壓桿的臨界力(criticalforce)。將壓桿喪失其直線平衡狀態(tài)而過渡為曲線平衡，并失去承載能力的現(xiàn)象，稱為喪失穩(wěn)定，或簡稱為失穩(wěn)(loststabilitybuckling)。以上所述“材料均勻、軸線為直線、壓力作用線通過軸線”的等直壓桿又稱為理想的“中心受壓直桿”。而實(shí)際的壓桿由于材料的不均勻、初曲率或加載的微小偏心等等因素的影響，均可引起壓桿變彎。10.1壓桿穩(wěn)定的概念圖10.2細(xì)長壓桿的平衡形式(a)受水平干擾力的桿件微彎；(b)細(xì)長壓桿穩(wěn)定平衡；

(c)細(xì)長壓桿不穩(wěn)定平衡；(d)細(xì)長壓桿臨界平衡10.1壓桿穩(wěn)定的概念所以，實(shí)際壓桿會(huì)在達(dá)到理想壓桿臨界壓力之前就突然變彎而失去承載能力。故實(shí)際壓桿的軸向壓力極限值一定低于理想壓桿的臨界壓力Fcr。但為了便于研究，本章主要以理想中心受壓直桿為研究對(duì)象，來討論壓桿的穩(wěn)定性問題。綜上所述可知，壓桿是否具有穩(wěn)定性，主要取決于其所受的軸向壓力。即研究壓桿的穩(wěn)定性的關(guān)鍵是確定其臨界力Fcr的大小。當(dāng)F

Fcr時(shí)，壓桿處于穩(wěn)定平衡狀態(tài)；當(dāng)F>Fcr時(shí)，則處于不穩(wěn)定平衡狀態(tài)。10.1壓桿穩(wěn)定的概念10.2兩端鉸支中心心壓桿的歐拉拉公式設(shè)兩端鉸支的的理想中心受受壓細(xì)長直桿桿，當(dāng)其壓力力達(dá)到臨界值值Fcr時(shí)，在橫向向因素的干擾擾下壓桿可在在微彎狀態(tài)下下保持平衡。。可見，臨界界壓力Fcr就是使壓桿保保持微彎平衡衡的最小壓力力?，F(xiàn)來確定定此臨界壓力力Fcr的計(jì)算公式。。建立如圖10.3所示坐標(biāo)系xoy，假想距坐標(biāo)標(biāo)原點(diǎn)O為x處將桿件截開開，取其一部部分為研究對(duì)對(duì)象(如圖10.3(b)所示)，則在截面上上除了有軸向向壓力Fcr外，還作用有有彎矩M(x)，彎矩值為(a)圖10.3細(xì)長壓桿的平平衡形式(a)細(xì)長壓桿的受受壓平衡；(b)細(xì)長壓桿受壓壓局部受力分分析10.2兩端鉸支中心心壓桿的歐拉拉公式當(dāng)壓桿的應(yīng)力力在比例極限限范圍以內(nèi)，，即在線彈性性工作條件下下，可利用第第6章的公式(6.1)，即梁在小變變形條件下?lián)蠐锨€近似微微分方程(b)將式(a)代入式(b)可得桿軸微彎彎成曲線的近近似微分方程程為(c)10.2兩端鉸支中心心壓桿的歐拉拉公式令可得一常系數(shù)數(shù)線性二階齊齊次微分方程程(e)(d)此微分方程的的通解為(f)10.2兩端鉸支中心心壓桿的歐拉拉公式式中，，為積積分常數(shù)，可可由桿端的邊邊界條件來確確定。由圖10.3可知，當(dāng)時(shí)，；將其其代入式(f)可得則式(f)可寫為(g)當(dāng)時(shí)，，代入入式(g)可得(h)10.2兩端鉸支中心心壓桿的歐拉拉公式上式只有在或或時(shí)才成立。。而當(dāng)時(shí)，則則式(g)就變?yōu)?，其表表示壓桿任一一橫截面的撓撓度均等于零零，即壓桿并并無彎曲而處處于直線平衡衡狀態(tài)，這與與在臨界壓力力作用下壓桿桿保持微彎的的平衡狀態(tài)這這一前提不相相符，因此，，必然是使上式成立的的kl值為其中n為任意整數(shù)(n=0，1，2，3，…)。由此可得10.2兩端鉸支中心心壓桿的歐拉拉公式將上式代回到到式(d)中，則10.2兩端鉸支中心心壓桿的歐拉拉公式可得由上式可知：：由于n為任意整數(shù)，，所以使壓桿桿保持微彎平平衡狀態(tài)的臨臨界壓力Fcr，在理論上可可以有無窮多多個(gè)，但實(shí)際際上，當(dāng)壓桿桿在最小臨界界壓力作用下下，其就已處處于由穩(wěn)定平平衡向不穩(wěn)定定平衡過渡的的臨界平衡狀狀態(tài)并將喪失失穩(wěn)定性了。。但時(shí)，不合合要求。故當(dāng)時(shí)，F(xiàn)cr為最小值，這這就是保證壓壓桿安全工作作的臨界壓力力Fcr，即上式為兩端鉸鉸支等截面理理想細(xì)長壓桿桿的臨界壓力力計(jì)算公式，，由于此式最最早由歐拉導(dǎo)導(dǎo)出，故又稱稱為歐拉公式(Eulerformula)。若將代入式(g)中，則10.2兩端鉸支中心壓桿桿的歐拉公式(10.1)(i)上式即為壓桿處于于臨界平衡狀態(tài)時(shí)時(shí)的撓曲線方程。?？芍涫前雮€(gè)正正弦波形曲線，如如圖10.3所示。由圖10.3知，，當(dāng)時(shí)時(shí)，(為壓桿中點(diǎn)的撓度度值)，將其代入(i)中可得上式說明積分常數(shù)數(shù)a的物理意義為壓桿桿中點(diǎn)處所產(chǎn)生的的最大撓度，則壓壓桿的撓曲線方程程又可以表示為10.2兩端鉸支中心壓桿桿的歐拉公式在上式中，是一一個(gè)隨機(jī)值。因?yàn)闉楫?dāng)時(shí)時(shí)，，，即壓桿處于穩(wěn)穩(wěn)定平衡狀態(tài)而保保持為直線；當(dāng)時(shí)時(shí)，在橫向因素的的干擾下，壓桿可可在為任意微微小值的情況下而而保持微彎平衡狀狀態(tài)，壓桿所受壓壓力F和中點(diǎn)撓度之之間的關(guān)系可由圖圖10.4中的OAB折線來表示。但實(shí)際上，之所所以具有不確定性性，是因?yàn)樵诠绞酵茖?dǎo)過程中使用用了式(b)的撓曲線近似微分分方程。若采用撓撓曲線的精確微分分方程10.2兩端鉸支中心壓桿桿的歐拉公式(j)圖10.4壓桿的F-關(guān)系圖10.4壓桿的F-關(guān)系可求得壓力F與中點(diǎn)撓度之之間的關(guān)系將如圖圖10.4中的OAC曲線所示。由曲線線可知，當(dāng)時(shí)時(shí)，F(xiàn)與有著一一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。所以以，中點(diǎn)撓度的的不確定性并并不存在。而對(duì)于實(shí)際受壓桿桿件，由于材料的的不均勻、存在的的初曲率或加載的的微小偏心等因素素的影響，在其壓壓力F未達(dá)到臨界壓力Fcr之前，實(shí)際上就已已出現(xiàn)了微彎變形形，可用圖10.4中的OD曲線來表示F和之間的關(guān)關(guān)系。10.2兩端鉸支中心壓桿桿的歐拉公式10.3不同約束條件下壓壓桿的歐拉公式桿件受到軸向壓力力作用而發(fā)生微小小彎曲時(shí)，其撓曲曲線的形式將與桿桿端的約束情況有有直接的關(guān)系，這這說明在其他條件件相同的情況下，，壓桿兩端的約束束不同，其臨界壓壓力也不同。但在推導(dǎo)不同桿端端約束條件下細(xì)長長壓桿的臨界壓力力計(jì)算公式時(shí)，可可以采用上述類似似的方法進(jìn)行推導(dǎo)導(dǎo)。另外，也可以利用用對(duì)比的方法，即即將桿端為某種約約束的細(xì)長受壓桿桿在臨界狀態(tài)時(shí)的的撓曲線形狀與兩兩端鉸支受壓桿的的撓曲線形狀進(jìn)行行對(duì)比分析，來得得到該約束條件下下的臨界壓力計(jì)算算公式。本節(jié)利用該方法給給出幾種典型的約約束條件下，理想想中心受壓直桿的的臨界壓力計(jì)算公公式。由上節(jié)可知，兩端端鉸支細(xì)長壓桿的的撓曲軸線的形狀狀為半個(gè)正弦波。。對(duì)于桿端為其他他約束條件的細(xì)長長壓桿，若能夠找找到撓曲軸線上的的兩個(gè)拐點(diǎn)，即兩兩個(gè)彎矩為零的截截面，則可認(rèn)為在在該截面處為鉸鏈鏈支承。所以，兩拐點(diǎn)間的的一段桿可視為兩兩端鉸支的細(xì)長壓壓桿，而其臨界壓壓力應(yīng)與相同長度度的兩端鉸支細(xì)長長壓桿相同。例如如對(duì)于一端固定、、一端鉸支的細(xì)長長壓桿，在其撓曲曲軸線上距固定端端處有一個(gè)拐點(diǎn)，，這樣上下兩個(gè)鉸鉸鏈的長度，因此此其臨界壓力應(yīng)與與長度為且兩端鉸鉸支細(xì)長壓桿的臨臨界壓力公式相同同；對(duì)于兩端固定定的細(xì)長壓桿，兩兩拐點(diǎn)間的長度為為0.5l，所以，只需將公公式(10.1)中的長度l替換為0.5l即可；而對(duì)于一端端固定另一端自由由而在自由端受到到軸向壓力的細(xì)長長壓桿，相當(dāng)于兩兩端鉸支長為2的壓桿撓曲線的上上半部分等。表10-1給出了幾種工程實(shí)實(shí)際中常見的理想想約束條件下細(xì)長長壓桿的撓曲線形形狀及其相應(yīng)的歐歐拉公式表達(dá)式。。10.3不同約束條件下壓壓桿的歐拉公式表10-1各種支承約束條件件下等截面細(xì)長壓壓桿臨界壓力的歐歐拉公式支端情況兩端鉸支一端固定另端鉸支兩端固定一端固定另端自由兩端固定但可沿橫向方向相對(duì)移動(dòng)臨界狀態(tài)時(shí)撓曲線形狀臨界力公式長度系數(shù)10.3不同約束條件下壓壓桿的歐拉公式公式中：系數(shù)稱稱為壓桿的長度系數(shù)(factoroflength)，與壓桿的桿端約約束情況有關(guān)；稱稱為原壓桿桿的計(jì)算長度，又又稱相當(dāng)長度(equivalentlength)。其物理意義就為為在各種不同支承承情況下兩拐點(diǎn)之之間的長度，即撓撓曲線上相當(dāng)于半半波正弦曲線的一一段長度。應(yīng)當(dāng)指出，當(dāng)桿端端在各個(gè)方向的約約束情況相同時(shí)(如球形鉸約束)，歐拉公式中的慣慣性矩I應(yīng)取最小值，即應(yīng)應(yīng)取最小形心主慣慣性矩；由表10-1可知，對(duì)于各種不不同約束條件下的的等截面中心受壓壓細(xì)長直桿的臨界界壓力的歐拉公式式可寫成統(tǒng)一的形形式(10.2)10.3不同約束條件下壓壓桿的歐拉公式而若在不同方向桿桿端約束情況不同同(如柱形鉸約束)，則慣性矩I應(yīng)取撓曲時(shí)橫截面面對(duì)其中性軸的慣慣性矩。另外，在在工程實(shí)際中，由由于實(shí)際支承與理理想支承約束的差差異，其長度系數(shù)數(shù)應(yīng)以表10-1中的參數(shù)作為參考考來根據(jù)實(shí)際情況況進(jìn)行選取，在有有關(guān)的設(shè)計(jì)規(guī)范中中，對(duì)壓桿的長度度系數(shù)多有具體的規(guī)定。?！纠?0.1】圖10.5示一矩形截面的細(xì)細(xì)長壓桿，其兩端端為柱形鉸約束，，即在xoy面內(nèi)可視為兩端鉸鉸支，在xoz面內(nèi)可視為兩端固固定。若壓桿是在在彈性范圍內(nèi)工作作，試確定壓桿截截面尺寸b和h之間應(yīng)有的合理關(guān)關(guān)系。10.3不同約束條件下壓壓桿的歐拉公式分析：所謂求解桿桿件截面的相應(yīng)合合理關(guān)系，也就是是應(yīng)使桿件在不同同平面內(nèi)具有相同同的穩(wěn)定性。即應(yīng)應(yīng)使壓桿分別在xoy和xoz兩平面內(nèi)失穩(wěn)時(shí)的的臨界壓力相同。。圖10.5例10.1圖解：(1)若壓桿在xoy平面內(nèi)失穩(wěn)，壓桿桿可視為兩端鉸支支，則則長度系數(shù)為，且截面面對(duì)中性軸的慣性性矩；；10.3不同約束條件下壓壓桿的歐拉公式由公式(10.2)知(2)若壓桿在xoz平面內(nèi)失穩(wěn)，壓桿桿可視為兩端固定定，，則長度系數(shù)為，且截面對(duì)對(duì)中性軸的慣性矩矩；；由公式(10.2)知10.3不同約束條件下壓壓桿的歐拉公式(3)由分析，應(yīng)有即可得即其合理的截面尺尺寸關(guān)系為10.3不同約束條件下壓壓桿的歐拉公式【例10.2】試推導(dǎo)一端固定、、一端自由細(xì)長壓壓桿的臨界壓力歐歐拉拉公式，已知壓桿桿長度為l，抗彎剛度為EI。分析：壓桿在臨界界力作作用下，其撓曲曲線形狀如圖10.6所示。其最大撓度度值在自由端處，可先先寫出壓桿任意橫橫截面上的彎矩方方程，再由撓曲線線近似微分方程求求解。10.3不同約束條件下壓壓桿的歐拉公式圖10.6例10.2圖解：其任意x橫截面上由臨界力力所引起的彎矩為為將值值代入入梁在小變形條件件下?lián)锨€近似微微分方程，得則10.3不同約束條件下壓壓桿的歐拉公式令，，有該微分方程通解為為式中，a、b、k為待定常數(shù)，可由由邊界條件確定：：由x=o時(shí)，y=0，得；；由x=o時(shí)，，，得a=0。10.3不同約束條件下壓壓桿的歐拉公式所以再將邊界條件時(shí)時(shí)，代代入上式，得由上式知，。。即10.3不同約束條件下壓壓桿的歐拉公式取其最小值，即當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，，，則得所以，得到一端自自由一端固定細(xì)長長壓桿的臨界力歐歐拉公式：10.3不同約束條件下壓壓桿的歐拉公式對(duì)于兩端為其他支支承形式的理想中中心受壓直桿的臨臨界力歐拉公式均均可利用上述類似似的方法而求得。。10.4臨界應(yīng)力與歐拉公公式應(yīng)用范圍一.計(jì)算臨界應(yīng)力的歐歐拉公式在研究理想直桿受受到壓力作用的強(qiáng)強(qiáng)度問題時(shí)，我們們是通過應(yīng)力進(jìn)行行相關(guān)計(jì)算的。為為了對(duì)壓桿的工程程實(shí)際問題進(jìn)行系系統(tǒng)的分析研究，，以下將引入臨界應(yīng)力(criticalforce)的概念。所謂臨界界應(yīng)力就是在臨界界壓力的作用下，，壓桿橫截面上的的平均正應(yīng)力。若若假設(shè)壓桿的橫截截面面積為A，則其臨界應(yīng)力為為式中，，，，即為壓壓桿橫截面的慣性半徑(radiusofgyrationofanarea)，可參見附錄1.2。則臨界應(yīng)力公式為為引入?yún)?shù)可知(10.4)(10.3)上式即為計(jì)算細(xì)長長壓桿臨界應(yīng)力的的歐拉公式。式中中，稱稱為壓桿的柔度或長細(xì)比(slenderness)，其為無量綱的量量。它反映了壓桿桿長度、支承情況況以及橫截面形狀狀和尺寸等因素對(duì)對(duì)臨界應(yīng)力的綜合合影響。10.4臨界應(yīng)力與歐拉公公式應(yīng)用范圍由公式(10.4)看出，壓桿的臨界界應(yīng)力與其柔度的的平方成反比，壓壓桿的柔度值越大大，其臨界應(yīng)力越越小，壓桿越容易易失穩(wěn)?？梢姡崛岫仍趬簵U穩(wěn)定計(jì)計(jì)算中是一個(gè)非常常重要的參數(shù)。二.歐拉公式的應(yīng)用用范圍對(duì)于受壓桿件而而言，在什么條條件下需要以強(qiáng)強(qiáng)度為原則進(jìn)行行分析，而什么么情況下又需考考慮其穩(wěn)定性呢呢？事實(shí)上，在在推導(dǎo)壓桿臨界界力歐拉公式時(shí)時(shí)，使用了10.2節(jié)中公式(c)的梁的撓曲線近近似微分方程，，而該方程是在在材料服從胡克克定律即在線彈彈性范圍以內(nèi)才才成立的。所以，歐拉公式式的應(yīng)用也有其其適用的范圍，，即其臨界應(yīng)力力不能超過材料料的比例極限，，故10.4臨界應(yīng)力與歐拉拉公式應(yīng)用范圍圍可得上式中比例極限限及彈性性模量E均是只與材料有有關(guān)的參量，可可令(10.5)則(10.6)10.4臨界應(yīng)力與歐拉拉公式應(yīng)用范圍圍上式即為歐拉公公式的適用范圍圍。也就是說，，只有當(dāng)壓桿的的實(shí)際柔度大大于或等于與與材料的比例極極限所對(duì)對(duì)應(yīng)的柔度值時(shí)時(shí)，歐拉拉公式才適用。。僅僅與材料的力力學(xué)性能有關(guān)，，不同的材料有有不同的值值。以Q235低碳鋼為例，，，，，代入式式(12.6)得這表明用Q235鋼制成的壓桿，，只有當(dāng)其柔度度時(shí)時(shí)，才才能應(yīng)用歐拉公公式(10.2)、公式(10.4)計(jì)算其臨界力、、臨界應(yīng)力。將將的的壓桿稱為為大柔度桿(slendercolumn)或長細(xì)桿，前面所提到的的細(xì)長壓桿均為為這類壓桿。10.4臨界應(yīng)力與歐拉拉公式應(yīng)用范圍圍三.超過比例極限時(shí)時(shí)壓桿的臨界應(yīng)應(yīng)力當(dāng)壓桿的柔度值值時(shí)時(shí)，說明壓桿桿橫截面上的應(yīng)應(yīng)力已超過了材材料的比例極限，，這時(shí)歐拉公式式已不適用。在在這種情況下，，壓桿的臨界應(yīng)應(yīng)力在工程計(jì)算中常常采用建立在實(shí)實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)上的經(jīng)經(jīng)驗(yàn)公式來計(jì)算算，其中有在機(jī)機(jī)械工程中常用的的直線型經(jīng)驗(yàn)公公式和在鋼結(jié)構(gòu)構(gòu)中常用的拋物物線型經(jīng)驗(yàn)公式。直線經(jīng)驗(yàn)公式其一般表達(dá)式為為(10.7)10.4臨界應(yīng)力與歐拉拉公式應(yīng)用范圍圍上式表明，壓桿桿的臨界應(yīng)力與與其柔度成線性性關(guān)系。式中，，a、b為與材料性質(zhì)有有關(guān)的常數(shù)，其其單位為MPa。表10-2中給出了幾種常常見材料的a、b值，供查用。我們知道，壓桿桿的柔度越小，，其臨界應(yīng)力就就越大。以由塑塑性材料制成的的壓桿為例，當(dāng)當(dāng)其臨界應(yīng)力達(dá)達(dá)到材料的屈服服極限時(shí)，其已已屬于強(qiáng)度問題題了。所以，直直線經(jīng)驗(yàn)公式也也有一個(gè)適用范范圍，即由經(jīng)驗(yàn)驗(yàn)公式算出的臨臨界應(yīng)力，不能能超過壓桿材料料的壓縮屈服極極限應(yīng)力。即10.4臨界應(yīng)力與歐拉拉公式應(yīng)用范圍圍材料Q235鋼3041.1210061.44602.57100605773.7410060鉻鉬鋼9805.35540硬鋁3722.1450鑄鐵3321.4580木材390.250表10-2幾種常見材料的的直線公式系數(shù)數(shù)a，b及柔度，，10.4臨界應(yīng)力與歐拉拉公式應(yīng)用范圍圍由上式可得上式中，a、b、均為只與與材料力學(xué)性能能有關(guān)的常數(shù)，，可令(10.7)則(10.8)式中，是對(duì)對(duì)應(yīng)于材料屈服服極限時(shí)時(shí)的柔度值。10.4臨界應(yīng)力與歐拉拉公式應(yīng)用范圍圍例如Q235鋼的屈服極限，，常數(shù)、、，則幾種常見的材料料的值可由表10-2中查得。10.4臨界應(yīng)力與歐拉拉公式應(yīng)用范圍圍可見，當(dāng)壓桿的的實(shí)際柔度與與時(shí)時(shí)，才才能用直線經(jīng)驗(yàn)驗(yàn)公式(10.7)計(jì)算其臨界應(yīng)力力，故直線經(jīng)驗(yàn)驗(yàn)公式的適用范范圍為。。當(dāng)壓桿柔度值時(shí)時(shí)，，其臨界應(yīng)力將將達(dá)到或超過材材料的屈服極限限，其已屬于強(qiáng)強(qiáng)度問題，而不不會(huì)出現(xiàn)失穩(wěn)現(xiàn)現(xiàn)象。若將這類類壓桿也按穩(wěn)定定形式處理，則則材料的臨界應(yīng)應(yīng)力可可表示為綜上所述，在計(jì)計(jì)算壓桿的臨界界應(yīng)力時(shí)應(yīng)根據(jù)據(jù)其柔度值來選選擇相應(yīng)的計(jì)算算公式。如由塑塑性材料制成的的壓桿的臨界應(yīng)應(yīng)力與其柔度的的關(guān)系曲線及相相應(yīng)的計(jì)算公式式可用圖10.7來表示，稱其為為臨界應(yīng)力總圖(totaldiagramofcriticalstress)10.4臨界應(yīng)力與歐拉拉公式應(yīng)用范圍圍圖10.7直線型臨界應(yīng)力力總圖由圖知，可將壓壓桿分為三大類類。當(dāng)時(shí)時(shí)，稱為細(xì)細(xì)長桿，或大柔柔度桿；可用歐歐拉公式(10.4)計(jì)算其臨界應(yīng)力力。(2)當(dāng)時(shí)時(shí)，稱稱為中長桿，或或中柔度桿；可可用直線經(jīng)驗(yàn)公公式(10.7)計(jì)算其臨界應(yīng)力力。(3)當(dāng)時(shí)時(shí)，稱為短短粗桿，或小柔柔度桿；其臨界界應(yīng)力就為材料料的屈服極限，，屬強(qiáng)度問題。。10.4臨界應(yīng)力與歐拉拉公式應(yīng)用范圍圍2.拋物線型經(jīng)驗(yàn)公公式其一般表達(dá)式為為(10.10)上式表明，壓桿桿的臨界應(yīng)力與與其柔度成二次次拋物線關(guān)系。。式中，a1、b1為與材料性質(zhì)有有關(guān)的常數(shù)。而而在鋼結(jié)構(gòu)中，，常用如下公式式10.4臨界應(yīng)力與歐拉拉公式應(yīng)用范圍圍(10.11)式中，、、c為與材料有關(guān)的的常量。其中c是細(xì)長壓桿和非非細(xì)長壓桿的分分界值。由于初曲率、壓壓力的偏心及殘殘余應(yīng)力等因素素的影響，工程程中的實(shí)際受壓壓桿件不可能處處于理想中心受受壓直桿的狀態(tài)態(tài)，所以在實(shí)用用上并不是以比比例極限所對(duì)應(yīng)應(yīng)的柔度值為分分界點(diǎn)，而是以以與材料相關(guān)的的經(jīng)驗(yàn)值c為分界值。例如Q235鋼的，，，，各種常用用材料的、c值可由相關(guān)手冊冊查得。所以，，當(dāng)壓桿的柔度度值時(shí)時(shí)，其臨臨界應(yīng)力可用經(jīng)經(jīng)驗(yàn)公式(10.11)計(jì)算。其臨界應(yīng)應(yīng)力總圖如圖10.8所示。根據(jù)壓桿桿的柔度值c可將壓桿分為兩兩大類：(1)當(dāng)時(shí)時(shí)，稱為細(xì)細(xì)長桿，可用歐歐拉公式(10.4)計(jì)算其臨界應(yīng)力力。(2)當(dāng)時(shí)時(shí)，，稱為非非細(xì)長桿桿，可用用拋物線線經(jīng)驗(yàn)公公式(10.11)計(jì)算其臨臨界應(yīng)力力。10.4臨界應(yīng)力力與歐拉拉公式應(yīng)應(yīng)用范圍圍對(duì)于非細(xì)細(xì)長壓桿桿，除以以上兩種種經(jīng)驗(yàn)公公式以外外，其臨臨界應(yīng)力力的計(jì)算算還有很很多不同同的觀點(diǎn)點(diǎn)，如折折減彈性性模量理理論等，，可參閱閱有關(guān)的的書籍。?！纠?0.3】一兩端鉸鉸支的空空心圓管管，其外外徑D=60mm，內(nèi)徑d=45mm，材料的的，，，，其直直線經(jīng)驗(yàn)驗(yàn)公式為為。。試求：(1)可應(yīng)用歐歐拉公式式計(jì)算該該壓桿臨臨界應(yīng)力力的最小小長度；；(2)當(dāng)壓桿長長度為時(shí)時(shí)，其臨臨界應(yīng)力力的值。。分析：應(yīng)應(yīng)用歐拉拉公式的的條件是是壓桿必必須為大大柔度桿桿，所以以根據(jù)條條件即可確定定。。10.4臨界應(yīng)力力與歐拉拉公式應(yīng)應(yīng)用范圍圍解：(1)由公式(10.3)可知壓桿桿的柔度度為且慣性半半徑由歐拉公公式的應(yīng)應(yīng)用條件件且由兩端端鉸支可可知長度度系數(shù)，，則10.4臨界應(yīng)力力與歐拉拉公式應(yīng)應(yīng)用范圍圍所以壓桿桿的最小小長度為為(2)當(dāng)壓桿長長度時(shí)，，其柔柔度值為為因?yàn)?，，所以壓桿桿為中長長桿，應(yīng)應(yīng)用直線線經(jīng)驗(yàn)公公式可得10.4臨界應(yīng)力力與歐拉拉公式應(yīng)應(yīng)用范圍圍10.5壓桿的穩(wěn)穩(wěn)定校核核將作為壓壓桿具有有穩(wěn)定性性的極限限應(yīng)力，，則可得得壓桿的的穩(wěn)定條條件壓桿的臨臨界應(yīng)力力就是壓壓桿具有有穩(wěn)定性性的極限限應(yīng)力。。但由于于壓桿初初曲率、、壓力的的偏心、、材料的的不均勻勻以及支支座的缺缺陷等因因素對(duì)臨臨界壓力力的影響響非常大大，所以以，需將將由歐拉拉公式或或經(jīng)驗(yàn)公公式計(jì)算算出的臨臨界應(yīng)力力除除以一一個(gè)大于于1的穩(wěn)定安安全系數(shù)數(shù)nst，可得壓壓桿的穩(wěn)穩(wěn)定許用用應(yīng)力或以荷載載表示(10.12)(10.13)在應(yīng)用時(shí)時(shí)，也可可將上述述穩(wěn)定條條件表示示為安全全系數(shù)法法或(10.14)上式中為為實(shí)際穩(wěn)穩(wěn)定安全全系數(shù)，，為為給定的的穩(wěn)定安安全系數(shù)數(shù)。另外須指指出，壓壓桿的穩(wěn)穩(wěn)定性是是對(duì)其整整體而言言的，故故當(dāng)其截截面有局局部削弱弱(如開孔、、開槽)時(shí)，可不不考慮其其對(duì)穩(wěn)定定性的影影響。但但對(duì)削弱弱的截面面需作強(qiáng)強(qiáng)度校核核。在鋼結(jié)構(gòu)構(gòu)中，常常用折減減系數(shù)法法對(duì)壓桿桿穩(wěn)定性性進(jìn)行計(jì)計(jì)算，即即(10.15)10.5壓桿的穩(wěn)穩(wěn)定校核核式中稱稱為為折減系系數(shù)，它它是壓桿桿穩(wěn)定許許用應(yīng)力力與與材料的的強(qiáng)度許許用應(yīng)力力的的比值，，實(shí)實(shí)際是壓壓桿柔度度的的函函數(shù)，對(duì)對(duì)應(yīng)不同同的的的值值可由鋼鋼結(jié)構(gòu)的的相關(guān)資資料中查查得?！纠?0.4】在例10.1中，若已已知矩形形截面的的高h(yuǎn)=60mm，寬b=25mm，壓桿長長度l=1.5m。壓桿的的材料為為Q235鋼，規(guī)定定的穩(wěn)定定安全系系數(shù)，，當(dāng)壓壓桿受到到F=90kN的壓力作作用時(shí)，，試校核核壓桿的的穩(wěn)定性性。分析：欲欲校核該該壓桿的的穩(wěn)定性性，須先先確定壓壓桿的柔柔度值，，以此確確定計(jì)算算臨界應(yīng)應(yīng)力的公公式，然然后即可可由穩(wěn)定定性條件件對(duì)壓桿桿進(jìn)行校校核。由由于壓桿桿在xoy和xoz平面內(nèi)的的柔度值值不同，，所以須須分別計(jì)計(jì)算并取取一較大大的柔度度值進(jìn)行行穩(wěn)定性性校核。。10.5壓桿的穩(wěn)穩(wěn)定校核核解：(1)計(jì)算柔度度。壓桿若在在xoy面內(nèi)失穩(wěn)穩(wěn)，由例例10.1及圖10.5可知，在在該平面面內(nèi)壓桿桿可視為為兩端鉸鉸支，即即長度系系數(shù)，，此此時(shí)橫截截面繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)，，所以慣慣性半徑徑為所以柔度度而若在xoz面內(nèi)失穩(wěn)穩(wěn)，則壓壓桿可視視為兩端端固定，，即長度度系數(shù)，，此時(shí)橫橫截面繞繞y軸轉(zhuǎn)動(dòng)，，則慣性性半徑為為10.5壓桿的穩(wěn)穩(wěn)定校核核所以柔度度比較兩個(gè)個(gè)方向的的柔度值值，因?yàn)闉?，，故壓桿桿必先在在xoz平面內(nèi)失失穩(wěn)，所所以應(yīng)以以來計(jì)算算壓桿的的臨界應(yīng)應(yīng)力。(2)計(jì)算臨界界壓力。。查表10-2可知，Q235鋼的，，，，所以以，，說明壓壓桿為中中柔度桿桿，應(yīng)由由直線經(jīng)經(jīng)驗(yàn)公式式進(jìn)行計(jì)計(jì)算。由由Q235鋼的經(jīng)驗(yàn)驗(yàn)公式可得10.5壓桿的穩(wěn)穩(wěn)定校核核(3)穩(wěn)定性校校核。由穩(wěn)定性性條件式式(10.12)，且壓桿桿的許用用臨界應(yīng)應(yīng)力為則所以，壓壓桿的穩(wěn)穩(wěn)定性滿滿足要求求。10.5壓桿的穩(wěn)穩(wěn)定校核核在上例中中還可用用安全系系數(shù)法對(duì)對(duì)壓桿進(jìn)進(jìn)行穩(wěn)定定性校核核，即由穩(wěn)定性性條件式式(10.14)可知，壓壓桿是穩(wěn)穩(wěn)定的。。另外，，亦可采采用式(10.13)或式(10.15)對(duì)壓桿進(jìn)進(jìn)行穩(wěn)定定校核，，可自行行分析計(jì)計(jì)算。10.5壓桿的穩(wěn)穩(wěn)定校核核【例10.5】】一兩端鉸支支的圓截面面壓桿，長長度l=2m，材料的彈彈性模量E=200GPa，=200GPa，最大的軸軸向壓力，，規(guī)定的穩(wěn)穩(wěn)定安全系系數(shù)nst=4，試按穩(wěn)定定條件設(shè)計(jì)計(jì)壓桿的直直徑d。分析：因壓壓桿的直徑徑d為所求量，，所以無法法確定桿件件的柔度，，也就不能能確定臨界界應(yīng)力的計(jì)計(jì)算公式。。因此，只只能采用試試算法。即即可先假設(shè)設(shè)可應(yīng)用歐歐拉公式計(jì)計(jì)算，待求求出直徑后后，再求出出柔度并驗(yàn)驗(yàn)證是否滿滿足歐拉公公式的應(yīng)用用條件。解：由歐拉拉公式(10.2)，且長度系系數(shù)，，所以10.5壓桿的穩(wěn)定定校核由式(10.15)安全系數(shù)法法所以壓桿的的慣性半徑徑解得則柔度值為為10.5壓桿的穩(wěn)定定校核因?yàn)?，，所所以?yīng)用歐歐拉公式計(jì)計(jì)算是正確確的，可d=43mm。且由式(10.5)知10.5壓桿的穩(wěn)定定校核【例10.6】】一兩端固定定的壓桿長長l=7m，其橫截面面由兩個(gè)10號(hào)槽鋼組成成，已知材材料的E=200GPa，，，且材料的的經(jīng)驗(yàn)公式式為，規(guī)定穩(wěn)定定安全系數(shù)數(shù)。。試求當(dāng)當(dāng)兩個(gè)槽鋼鋼靠緊(如圖10.9(a)所示)和離開相距距a=40mm放置(圖10.9(b))時(shí)，鋼桿的的許可載荷荷F。圖10.9例10.5圖10.5壓桿的穩(wěn)定定校核分析：壓桿桿的許可載載荷取決于于桿件的臨臨界力。所所以，需先先求出壓桿桿的柔度值值并選擇相相應(yīng)的臨界界應(yīng)力計(jì)算算公式即可可求解。解：由型鋼鋼表可知10號(hào)槽鋼的參參數(shù)：A=1247cm，，，，。。(1)當(dāng)截面為圖圖10-9(b)兩槽鋼靠緊緊放置時(shí)，，可知所以截面的的最小慣性性半徑為10.5壓桿的穩(wěn)定定校核由圖10.9(a)可知，壓桿桿在各方向向的支承均均為兩端固固定，故長長度系數(shù)均均為。。所以可知壓桿為為大柔度桿桿，可用歐歐拉公式計(jì)計(jì)算其臨界界應(yīng)力則10.5壓桿的穩(wěn)定定校核由穩(wěn)定性條條件式(10.13)可得許可載載荷為(2)當(dāng)截面為圖圖10.9(c)兩槽鋼離開開一定距離離放置時(shí)，，需計(jì)算兩兩個(gè)方向的的慣性矩并并以此判斷斷壓桿可能能失穩(wěn)的方方向。10.5壓桿的穩(wěn)定定校核由穩(wěn)定性條條件式(10.13)可得許可載載荷為(2)當(dāng)截面為圖圖10.9(c)兩槽鋼離開開一定距離離放置時(shí)，，需計(jì)算兩兩個(gè)方向的的慣性矩并并以此判斷斷壓桿可能能失穩(wěn)的方方向。10.5壓桿的穩(wěn)定定校核因?yàn)?，，且在兩兩方向的長長度系數(shù)均均為，所以以壓桿應(yīng)首首先繞y軸失穩(wěn)。由柔度公式式(10.12)壓桿為非細(xì)細(xì)長桿，臨臨界應(yīng)力可可由經(jīng)驗(yàn)公公式計(jì)算10.5壓桿的穩(wěn)定定校核由式(10-13)可得許可載載荷為比較以上兩兩種情況可可知，將兩兩槽鋼離開開一定距離離的截面形形式可使壓壓桿的穩(wěn)定定性明顯增增強(qiáng)，承載載能力大大大提高。在在條件許可可的情況下下，最好能能使，以便便使壓桿在在兩個(gè)方向向有相等的的抵抗失穩(wěn)穩(wěn)的能力。。這也是設(shè)設(shè)計(jì)壓桿的的合理截面面形狀的基基本原則。。10.5壓桿的穩(wěn)定定校核所謂提高壓壓桿的穩(wěn)定定性，就是是要提高壓壓桿的臨界界應(yīng)力。由由計(jì)算臨界界應(yīng)力的歐歐拉公式(10.4)可知，欲提提高壓桿的的臨界應(yīng)力力可從以下下兩方面考考慮。10.6提高壓桿穩(wěn)穩(wěn)定性的措措施合理的選用用材料對(duì)于大柔度度壓桿，其其臨界應(yīng)力力與材料的的彈性模量量E成正比，所所以選用E值大的材料料可提高壓壓桿的穩(wěn)定定性。但在工程實(shí)實(shí)際中，一一般壓桿均均是由鋼材材制成的，，由于各種種類型的鋼鋼材的彈性性模量E值均在200～240GPa之間，差別別不是很大大。故用高高強(qiáng)度鋼代代替普通鋼鋼做成壓桿桿，對(duì)提高高其穩(wěn)定性性意義不大大。而對(duì)于于中、小柔柔度桿，由由經(jīng)驗(yàn)公式式可知，其其臨界應(yīng)力力與材料強(qiáng)強(qiáng)度有關(guān)，，所以選用用高強(qiáng)度鋼鋼將有利于于壓桿的穩(wěn)穩(wěn)定性。2.減小壓桿的的柔度由臨界應(yīng)力力公式可知知，壓桿的的柔度越小小，其臨界界應(yīng)力越大大。所以，，減小柔度是是提高壓桿桿穩(wěn)定性的的主要途徑徑。由式(10.3)的柔度計(jì)算算公式可知，對(duì)于于減小壓桿桿柔度可從從三方面考考慮：(1)選擇合理的的截面形狀狀，增大截截面的慣性性矩。在壓桿橫截截面面積A一定時(shí)，應(yīng)應(yīng)盡可能使使材料遠(yuǎn)離離截面形心心，使其慣慣性矩I增大。這樣樣可使其慣慣性半徑增增大，則柔柔度值將減減小。如圖圖10.10(a)所示，當(dāng)面面積相同時(shí)時(shí)，空心圓圓截面要比比實(shí)心圓合合理10.6提高壓桿穩(wěn)穩(wěn)定性的措措施圖10.10(b)中由四個(gè)等等邊角鋼組組成的截面面，分散布布置形式的的組合截面面要比集中中布置形式式的組合截截面合理。。但也不能為為了增加截截面的慣性性矩而無限限制地加大大圓環(huán)截面面的半徑并并減小其壁壁厚，這樣樣將會(huì)由于于壓桿管壁壁過薄而發(fā)發(fā)生局部折折皺導(dǎo)致整整體失穩(wěn)；；對(duì)于由型型鋼組合而而成的壓桿桿，應(yīng)用綴綴條或板把把分開放置置的型鋼聯(lián)聯(lián)成一個(gè)整整體以提高高其整體穩(wěn)穩(wěn)定性，相相關(guān)內(nèi)容將將在鋼結(jié)構(gòu)構(gòu)課程中介介紹。另外，在以以上述原則則選擇截面面的同時(shí)，，還應(yīng)考慮慮