物理實(shí)驗(yàn)誤差理論課件

物理實(shí)驗(yàn)誤差理論一、測量與誤差

二、隨機(jī)誤差的高斯分布與標(biāo)準(zhǔn)誤差

三、近真值——算術(shù)平均值

四、標(biāo)準(zhǔn)誤差的估算——標(biāo)準(zhǔn)偏差

五、間接測量值誤差的估算——誤差傳遞公式

一、測量與誤差1.測量：測量是將代測物與一個作為標(biāo)準(zhǔn)的同類量進(jìn)行比較，得出它們之間的倍數(shù)關(guān)系。(1)選來作為標(biāo)準(zhǔn)的同類量稱為單位。倍數(shù)稱為測量數(shù)值。測量值＝測量數(shù)值X單位

(2)以國際單位制（SI制）為國家法定計量單位，以米、千克、安培、開爾文、摩爾和坎德拉作為基本單位，其他量都由以上七個單位導(dǎo)出，稱為國家單位制的導(dǎo)出單位。國際單位制（SI）基本單位(3)測量可分為兩類：一類是直接測量，如用尺量長度，以表計時間，天平稱質(zhì)量等；另一類是間接測量，是根據(jù)直接測量得到的數(shù)據(jù)，根據(jù)一定的公式，通過運(yùn)算，得出所需要的結(jié)果。例如：測量方式的不同引起誤差研究方式的不同。2.誤差：測量值與真值的差值誤差的種類：按其產(chǎn)生的原因與性質(zhì)可分為系統(tǒng)誤差、隨機(jī)誤差和過失誤差三類。(1)系統(tǒng)誤差：有規(guī)律性的，測量結(jié)果都大于或者都小于真值。在測量條件改變時，也按一定規(guī)律在變化。來源：測量儀器、實(shí)驗(yàn)理論和實(shí)驗(yàn)方法、實(shí)驗(yàn)者生理或心理特點(diǎn)。系統(tǒng)誤差的消除或減小是實(shí)驗(yàn)技能問題，采取各種措施將它降低到最小程度。(2)隨機(jī)誤差，又稱偶然誤差：在相同條件下，對同一物理量進(jìn)行多次重復(fù)測量，即使系統(tǒng)誤差減小到最小程度之后，測量值仍然會出現(xiàn)一些難以預(yù)料和無法控制的起伏，而且測量值誤差的絕對值和符號在隨機(jī)變化。但是，如果測量次數(shù)足夠多的話，就會發(fā)現(xiàn)隨機(jī)誤差遵循一定的統(tǒng)計規(guī)律，可用概率理論估算。(3)過失誤差：測量中出現(xiàn)一些錯誤，如讀數(shù)、記錄、操作或者估算錯誤等，應(yīng)盡量避免。

4.絕對誤差、相對誤差和百分差

(1)絕對誤差:

表示測量結(jié)果與真值之間的差值以一定的概率出現(xiàn)的范圍，即真值以一定的概率出現(xiàn)在

(2)相對誤差:

表示絕對誤差在整個物理量中所占的比重，一般用百分比表示。

(3)百分差:

絕對誤差、相對誤差和百分差通常只取1～2個數(shù)字來表示。

二、隨機(jī)誤差的高斯分布與標(biāo)準(zhǔn)誤差

1.高斯分布的特征與數(shù)學(xué)表達(dá)

隨機(jī)誤差的正態(tài)分布曲線服從高斯分布規(guī)律的隨機(jī)誤差具有以下特征：(1)對稱性：大小相等的正誤差和負(fù)誤差出現(xiàn)的機(jī)會均等，對稱分布于真值的兩側(cè)。(2)抵償性：當(dāng)測量次數(shù)非常多時，誤差的代數(shù)和趨向于零。三、近真值——算術(shù)平均值

誤差理論可以證明，如果對一個物理量測量了相當(dāng)多次，算術(shù)平均值就是接近真值的最佳值。

第四章

標(biāo)準(zhǔn)誤差的估算——標(biāo)準(zhǔn)偏差

1.任意一次測量值的標(biāo)準(zhǔn)偏差

2.平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差

一個完整的測量結(jié)果應(yīng)該包括測量值和誤差兩個部分，計算誤差是實(shí)驗(yàn)的一個重要環(huán)節(jié)。標(biāo)準(zhǔn)誤差是誤差的重要形式之一。它又可分為兩種：任意一次測量值的標(biāo)準(zhǔn)偏差平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差。

根據(jù)算術(shù)平均值是近似值的結(jié)論，在實(shí)際估算時可以采用算術(shù)平均值代替真值Tｘ，用各次測量值與算術(shù)平均值的差值

vi=xi-(1－6)

來估算各次的誤差，差值vi稱為殘差。

在計算標(biāo)準(zhǔn)誤差時，可以用殘差來進(jìn)行計算。

誤差理論可以證明，當(dāng)測量次數(shù)n有限，用殘差來估算標(biāo)準(zhǔn)誤差時，其計算式為

σx

(1－7)

σx稱之為任意一次測量值的標(biāo)準(zhǔn)偏差，它是測量次數(shù)有限多時，標(biāo)準(zhǔn)誤差σ的一個估計值。其代表的物理意義是，如果多次測量的隨機(jī)誤差遵從高斯分布，那么，任意一次測量，測量值誤差落在-σx到+σx區(qū)域之間的可能性為68.3%?；蛘哒f，它表示這組數(shù)據(jù)的誤差有68.3%的概率出現(xiàn)在-σx到+σx的區(qū)間內(nèi)。上式說明，平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差是n次測量中任意一次測量值標(biāo)準(zhǔn)偏差的倍。小于σx，這個結(jié)果的合理性是顯而易見的。因?yàn)樗阈g(shù)平均值是測量結(jié)果的最佳值，它比任意一次測量值xi更接近真值，誤差要小。

的物理意義是，在多次測量的隨機(jī)誤差遵從高斯分布的條件下，真值處于

區(qū)間內(nèi)的概率是68.3%。

值得注意的是，用式（1－7）和式（1－8）來估算隨機(jī)誤差，理論上都要求測量次數(shù)相當(dāng)多。但在我們目前的實(shí)驗(yàn)中，往往受到教學(xué)時間的限制，重復(fù)測量的次數(shù)不可能很多，所以，用這兩個式子估算出來的隨機(jī)誤差帶有相當(dāng)程度的近似性。另外，在測量次數(shù)較少時（n<10），

隨著測量次數(shù)n的增加而明顯地減小，以后，隨著測量次數(shù)n的繼續(xù)增加，的減小愈來愈不明顯而逐漸趨近于恒定值。由此可見，過多地增加測量次數(shù)，其價值并不太大。根據(jù)我們的實(shí)際情況，如果需要多次重復(fù)測量，一般測量次數(shù)取5~10次為宜。

有時會遇到測量對象本身不均勻的情況。例如，測量一根鋼絲的直徑。由于它各處的直徑略有微小差異，以致直徑的真值各處不完全一致，所測得的各處測量值取其平均值只是反映了鋼絲直徑的平均大小。多次測量不可能減小鋼絲直徑的不均勻性，所以，計算平均值的誤差實(shí)屬沒有必要。而計算得到的任意一次直徑測量值的標(biāo)準(zhǔn)偏差則反映出鋼絲直徑的不均勻程度。

誤差的一般傳遞公式

設(shè)待測量N是n個獨(dú)立的直接測量值A(chǔ)，B，C，…，H的函數(shù)，即N=f（A，B，C，…，H）（1－9）若各直接測量值的絕對誤差分別為△A，△B，△C，…，△H，則間接測量值N的絕對誤差為△N。

下面介紹具體算法。將式（1－9）求全微分，得

很明顯，這樣做會導(dǎo)致測量結(jié)果誤差偏大。相對誤差為

式（1－12）和式（1－13）稱為誤差的一般傳遞公式，或稱為誤差算術(shù)合成。

2.標(biāo)準(zhǔn)誤差的傳遞公式

若各個獨(dú)立的直接測量值的絕對誤差分別為標(biāo)準(zhǔn)偏差σA，σB，σC，…，σH

等，則間接測量值N的誤差估算需要用誤差的方和根合成，即絕對誤差為

相對誤差為

以上兩式稱為標(biāo)準(zhǔn)誤差的傳遞公式或稱為誤差的方和根合成。

幾種常用的標(biāo)準(zhǔn)公式列于表1－1中，供計算誤差使用。

從表1－1中可見

1、對于和或差的函數(shù)關(guān)系，函數(shù)N的絕對誤差都是直接測量值標(biāo)準(zhǔn)偏差的“方和根”。所以，建議先計算出N的絕對誤差σN,然后按照公式EN=σN/N

計算N的相對誤差EN。2、對于乘或除的函數(shù)關(guān)系，函數(shù)N的相對誤差EN都是各直接測量值相對誤差的“方和根”。建議先計算出N的相對誤差EN,再按照公式σN=N·EN計算絕對誤差σN。誤差傳遞公式除了可以用來估算間接測量值N的誤差以外，還有一個重要的功能，就是可以用它來分析各直接測量值的誤差對最后結(jié)果誤差的影響大小。對于那寫些影響大的直接測量值，可以預(yù)先考慮措施，以減小它們的影響，為合理選用儀器和實(shí)驗(yàn)方法提供依據(jù)。

第三章

數(shù)據(jù)處理

一、不確定度與測量結(jié)果表達(dá)

二、有效數(shù)字、簡算方法與數(shù)字取舍規(guī)則

三、數(shù)據(jù)處理方法

一、不確定度與測量結(jié)果表達(dá)1：不確定度測量結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)形式X=xU（單位）其中x為測量值，或多次測量的算術(shù)平均值；U為不確定度例如：基本電荷e=(1.602177330.00000049)×10-19c不確定度:是指可疑、不能肯定或測不準(zhǔn)的意思。不確定度是測量結(jié)果攜帶的一個必要參數(shù)，以表征待測量的分散性、準(zhǔn)確性和可靠程度。2：不確定度的種類絕對不確定度：uX=su(單位)s就是標(biāo)準(zhǔn)誤差；

u=儀/c相對不確定度：X/X=（絕對不確定度/測量值）×100%3、直接測量量的結(jié)果表示X=X佳UX（單位）它表示被測量的真值具有一定的概率落在（X-U，X+U）區(qū)間內(nèi)X佳——多次測量=平均值；單次=測量值4、間接測量量的結(jié)果表示X=XU（單位）X——各直接量的X佳按有效數(shù)字運(yùn)算規(guī)則算出U——各直接量的U和X佳代入不確定度計算式算出5、不確定度的傳遞若=F（A，B，C…）；UA，UB，UC…則不確定度的計算式U2=（F/A）2UA2+（F/B）2UB2+（F/C）2UC2…（常用于和差形式）相對不確定度的計算式（/）2=（lnF/A）2UA2+（lnF/B）2UB2+（lnF/C）2UC2…（常用于積商形式）6、常用不確定度傳遞公式X=A±BX=A×B或A/BX=AaBb/CcU=（UA2+UB2）

?U/X=[（UA/A）2+（UB/

B

）2]1/2U/X=[（aUA/A）2+（bUB/

B

）2+（cUC/C）2]1/2二、有效數(shù)字、簡算方法

與數(shù)字取舍規(guī)則1.有效數(shù)字的概念、性質(zhì)和位數(shù)2.簡算方法與數(shù)字取舍規(guī)則1.有效數(shù)字的概念、性質(zhì)和位數(shù)有效數(shù)字的定義：數(shù)值中的可靠數(shù)字與一位可疑數(shù)字統(tǒng)稱為有效數(shù)字。

可靠數(shù)字是從測量工具上的刻度準(zhǔn)確讀出的?？梢蓴?shù)字是在測量工具的最小刻度之間估計讀出的。若正好與某刻度對齊，則在估讀位上記為“0”。有效數(shù)字的性質(zhì)：與單位無關(guān)。

有效數(shù)字的位數(shù)：從第一個不是零的數(shù)字開始，到最后一位數(shù)字，有幾個數(shù)字就稱為有幾位有效數(shù)字。

非零數(shù)字中間或數(shù)據(jù)末尾的“0”是有效數(shù)字。例如：0.2050m有2、0、5、0總共4位有效數(shù)字。2前面的0只表示小數(shù)點(diǎn)的位置，不是有效數(shù)字。

單位換算過程中有效數(shù)字的位數(shù)不變。為避免出錯，建議采用科學(xué)計數(shù)法作為標(biāo)準(zhǔn)形式，即用10的方冪來表示其數(shù)量級，前面為有效數(shù)字，小數(shù)點(diǎn)前取一位數(shù)字。如果進(jìn)行單位換算，則只需將10的方冪改變。例如：不確定度有效數(shù)字位數(shù)的取法：不確定度的首位數(shù)對應(yīng)結(jié)果中有效數(shù)字的末位數(shù)。例如：

2.簡算方法與數(shù)字取舍規(guī)則

（1）加減運(yùn)算：幾個數(shù)相加減時，最后結(jié)果的可疑數(shù)字與各數(shù)值中最先出現(xiàn)的可疑數(shù)字對齊。例如：簡化為數(shù)字取舍規(guī)則：四舍六入五湊偶1.欲舍去數(shù)字的最高位為4或4以下的數(shù)，則“舍去”；若為6或6以上的數(shù)，則“入”。2.被舍去數(shù)字的最高位為5時，若前一位數(shù)為奇數(shù)，則“入”；若前一位數(shù)為偶數(shù)，則“舍”。這樣使得“入”和“舍”的數(shù)字服從概率數(shù)理統(tǒng)計規(guī)律。舉例如下：8.0861——8.098.0845——8.088.0850——8.088.0754——8.08（2）乘除運(yùn)算：計算結(jié)果的有效數(shù)字位數(shù)與各數(shù)值中有效數(shù)字位數(shù)最少的一個相同。（3）乘方運(yùn)算：結(jié)果的有效位數(shù)與其底數(shù)相同。（4）對數(shù)、三角函數(shù)和n次方運(yùn)算：先計算出不確定度，結(jié)果最后一位數(shù)字與不確定度對齊。三、數(shù)據(jù)處理方法列表法作圖法逐差法直線擬合法（最小二乘法）——曲線直線化1、列表法注意以下幾點(diǎn)：各欄目都要注明名稱和單位。欄目的順序應(yīng)充分注意數(shù)據(jù)間的聯(lián)系和計算順序，力求簡明、齊全、有條理。反映測量值函數(shù)關(guān)系的數(shù)據(jù)表格，應(yīng)按自變量由小到大或由大到小的順序排列。2、作圖法(作圖規(guī)則)坐標(biāo)分度：能反映測量值的有效位數(shù)坐標(biāo)軸：物理量名稱、符號、單位實(shí)驗(yàn)點(diǎn)：用特殊符號（、、）標(biāo)出并區(qū)分不同組的實(shí)驗(yàn)點(diǎn)連圖線：實(shí)驗(yàn)點(diǎn)分布均勻，曲線光滑曲線名稱及說明作圖示例三、逐差法

在2個變量間存在多項(xiàng)式函數(shù)關(guān)系，且自變量為等差級數(shù)變化的情況下，用逐差法處理數(shù)據(jù)，既能充分利用實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，又具有減小誤差的效果。具體做法是將測量得到的偶數(shù)組數(shù)據(jù)分成前后2組，將對應(yīng)項(xiàng)分別相減,然后再求平均值。下面舉例說明。

在拉伸法測量鋼絲的楊氏彈性模量實(shí)驗(yàn)中，已知望遠(yuǎn)鏡中標(biāo)尺讀數(shù)x和加砝碼質(zhì)量m之間滿足線性關(guān)系m=kx，式中k為比例常數(shù)，現(xiàn)要求計算k的數(shù)值，見表 次數(shù)12345678910x（cm）15.9516.5517.1817.8018.4019.0219.6320.2220.8421.74如果用逐項(xiàng)相減，然后再計算每增加0.500kg砝碼標(biāo)尺讀數(shù)變化的平均值

，即

===0.613(cm)==于是比例系數(shù)這樣中間測量值x2，x3，…x9，

全部未用，僅用到了始末2次測量值x1

和x10，它與一次增加9個砝碼的單次測量等價。若改用多項(xiàng)間隔逐差，即將上述數(shù)據(jù)分成后組(x10

，x9，x8，x7

，x6)和前組(x