Kalman濾波誤差分析課件

Kalman濾波誤差分析§1矩陣Riccati方程的解§2Kalman濾波誤差方差陣的上、下界§1矩陣Riccati方程的解從前面Kalman濾波方程中，我們知道，對(duì)于如下系統(tǒng)：為了弄清楚誤差的變化情況，最直接的辦法當(dāng)然是求解上述方程。為方便，下面以連續(xù)系統(tǒng)為例求解P(t)。從的表達(dá)式可以看出，這是一個(gè)非線(xiàn)性矩陣微分方程。如將起展開(kāi)則為一個(gè)非線(xiàn)性微分方程組，而非線(xiàn)性微分方程目前尚無(wú)一般解法，通常只能用數(shù)值解法，因此得不到封閉形式的解。但是，從形式上可以看出，它是一個(gè)矩陣Riccati方程，仿照在最佳控制理論中，Riccati方程的導(dǎo)出過(guò)程，可知，如設(shè)：則上述非線(xiàn)性矩陣Riccati方程可分解為兩個(gè)線(xiàn)性微分方程：采用擴(kuò)充狀態(tài)變量（增廣狀態(tài)矢量）的辦法，可以將兩個(gè)線(xiàn)性D.E合并成一個(gè)：一般情況下，C(t)、D(t)相互交聯(lián)在一起，求解過(guò)程比較麻煩，在特殊情況下，如Q(t)=0或R-1(t)=0，即沒(méi)有系統(tǒng)噪聲或量測(cè)噪聲方差陣非常大時(shí)（對(duì)量測(cè)噪聲沒(méi)有任何先驗(yàn)知識(shí)）問(wèn)題可以簡(jiǎn)化。從動(dòng)態(tài)方程亦可看到，這是增廣系統(tǒng)陣為三角陣（上三角陣或下三角陣）。若Q(t)=0，則有

注意Φ為原系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移陣不是濾波系統(tǒng)轉(zhuǎn)移陣這亦是一個(gè)齊次方程，式中：注意下標(biāo)關(guān)系，上下標(biāo)限方向：1.不斷擴(kuò)展，充分充要條件 2.針對(duì)具體問(wèn)題，討論具體條件既然上面已經(jīng)證明了Pk的上界，顯然若能將下界問(wèn)題轉(zhuǎn)化為上界問(wèn)題，問(wèn)題的證明將會(huì)比較方便。根據(jù)矩陣?yán)碚?，若，這啟示我們要利用逆陣的關(guān)系，但實(shí)際計(jì)算時(shí)還有些技巧。實(shí)際運(yùn)算表明，直接采用對(duì)應(yīng)的“倒數(shù)”（逆矩陣）關(guān)系還是有點(diǎn)麻煩的。只要設(shè)法建立某種“倒數(shù)”關(guān)系，問(wèn)題就可望解決。寫(xiě)成標(biāo)準(zhǔn)式：為方便起見(jiàn)，合寫(xiě)在一起：設(shè)某一線(xiàn)性預(yù)測(cè)估計(jì)為可見(jiàn)，對(duì)于一致完全可控，一致完全可觀測(cè)的隨機(jī)系統(tǒng)，其濾波誤