數(shù)學運算講義資料

數(shù)學運算講義

第一章數(shù)學運算中常用基礎知識

第一節(jié)數(shù)的整除

知識點一數(shù)的整除特性

1、整除的定義

設a,beZ,且a，0,若存在加wZ,使得反加則我們稱b能被a整除，記作，a|b,

并且稱b是a的倍數(shù)，a是b的因數(shù)（或稱作約數(shù)）。（其中Z表示整數(shù)，表示“屬于"）

2整除的特性

①若a整除b,b整除c,則a整除q

②若a整除b,c整除d則ac整除bet

③若a整除b且a整除c,則a整除（bxRy）,其中5盧Z;

④a,b屬于自然數(shù)，若a整除h則aWb

⑤若a整除b且b整除a,則出th

入整除的檢定

被2整除特點：偶數(shù)

被3整除特點：每位數(shù)字相加的和是3的倍數(shù)

被4（或25）整除特點：末兩位是4（或25）的倍數(shù)

被5整除特點：末位數(shù)字是0或5

被6整除特點：能同時被2和3整除

被7整除特點：若A）的末三位與A去掉末三位尾數(shù)后數(shù)之差是7（或11,13的倍數(shù)，則A

能被7（或11,13）整除。

被8（或125）整除特點：8（或125）整除末三位數(shù)；

被9整除特點：每位數(shù)字相加的和是9的倍數(shù)

被11整除特點：奇數(shù)位上數(shù)字和與偶數(shù)位上數(shù)字和之間的差是11的倍數(shù)

例1:在865后面補上三個數(shù)字，組成一個六位數(shù)，使它能分別被入45整除，且使這個

數(shù)值盡可能的小，這個數(shù)是（）A865010B865020C865000D865230

例2有100元、10元、1元的紙幣共4張，將它們都換成5角的硬幣，剛好可以平分給7

個人，則總幣值的范圍是（）o

A（10A11。B（11g12。C(12g13。DQI卜22。

例3:若干學生住若干房間，如果每間住4人，則有20人沒地方住，如果每間住8人，則

有一間只有4人住，問共有多少學生？A30人B34人C40人D44人

例4某劇場共有100個座位，如果當票價為10元時，票能售完，當票價超過10元時，每

升高2元，就會少賣出5張票。那么當總的售票收入為1360元時，票價為多少？（）

A12元B14元C16元D18元

例5:一張舊發(fā)票上寫有72瓶飲料，總價為x67.9y元，由于兩頭的數(shù)字模糊不清，分別用x

y表示，每瓶飲料的單價也看不清了，那么行。

A1B2C3D4

例6已知甲、乙兩人共有260本書，其中甲的書有1%是專業(yè)書，乙的書有125%是專

業(yè)書，問甲有多少本非專業(yè)書？

A75B87C174D67

例7:一個袋子里放著各種顏色的小球，其中紅球占1/4后來又往袋子里放了10個紅球,

這時紅球占總數(shù)的2/3,問原來袋子里共有多少個球？（）

A8E6C4D2

例&一塊金與銀的合金重250克，放在水中減輕16克。現(xiàn)知金在水中重量減輕1/19,銀

在水中重量減輕1/10,則這塊合金中金、銀各占的克數(shù)為

A100克，150克E150克，100克C170克，80克D190克，60克

例9植物園中，菊花與月季花的盆數(shù)比是31:5,蘭花與梅花的盆數(shù)比為40:9,月季花

與梅花的盆數(shù)之比為25:3,已知植物園中共有200盆蘭花，菊花總盆數(shù)為（）。

A2300B2320C2323D2325

知識點二同余特性

①余數(shù)的和能決定和的余數(shù)

②余數(shù)的積能決定積的余數(shù)

③余數(shù)的幕能決定得的余數(shù)

例1：數(shù)學競賽團體獎品是10000本數(shù)學課外讀物。獎品發(fā)給前五名代表隊所在的學校。名

次在前的代表隊獲獎的本數(shù)多，且每一名次的獎品本數(shù)都是100的整數(shù)倍。如果第一名所得

的本數(shù)是第二名與第三名所得的本數(shù)之和，第二名所得的本數(shù)是第四名與第五名所得本數(shù)之

和，那么，第三名最多可以獲得多少本？（）

A1600E1800C1700D2100

例2有一食品店某天購進了6箱食品，分別裝著餅干和面包，重量分別為&Q16.2Q

2227公斤。該店當天只賣出一箱面包，在剩下的5箱中餅干的重量是面包的兩倍，則當

天食品店購進了（）公斤面包。

A44B45C50D52

例3:三位采購員定期去某商店，小王每隔8天去一次，大劉每隔10天去一次，老楊每隔

16天去一次，三熱年星期二第一次在商店相會，下次相會是星期幾？

A星期一B星期三C星期五D星期日

例4:2008年H月18日是星期二，再過200goM天后是星期幾？

A星期一B星期二C星期三D星期五

例5:某次數(shù)學競賽共有10道選擇題，評分辦法是答對一道得4分，答錯一道扣1分，不

答得0分。設這次競賽最多有明中可能的成績，則N應等于多少？

A45E47C49D51

例6:某單位以箱為單位向困難職工分發(fā)救濟品，如果有12人每人各分7箱，其余的每人

分5箱，則余下148箱；如果有30人每人各分8箱，其余的每人分7箱，則余下20箱。由

此推知該單位共有困難職工（）o

A61人B54人C56人D48人

例7:有紅、黃、白三種球共160to如果取出紅球的1/3,黃球的1A白球的1Z5,則還

剩120個；如果取出紅球的S,黃球的1/4白球的則剩116個，問原有黃球幾個？

A48B40C60D20

知識點三剩余定理

例1：有物不知其數(shù)，三個一數(shù)余二，五個一數(shù)余三，七個一數(shù)又余二，問該物總數(shù)幾何？

例2有一個三位數(shù)能被7整除，這個數(shù)除以2余1除以3余2,除以5余4除以6余5.

這個數(shù)最小是多少？（）

A105B119C137D359

例3:自然數(shù)PW足下列條件：P除以10的余數(shù)為9,除以9的余數(shù)為&除以8的余數(shù)為

%如果10（X改1000,則這樣的P有幾個？

A不存在R1個C2個D3個

例4:在1000以內，除以3余2,除以7余3,除以11余4的數(shù)有多少個？

A5B6C7D4

第二節(jié)數(shù)的拆分

1、約數(shù)與倍數(shù)

例1:把144張卡片平均分成若干盒，每盒在10張到40張之間，則共有（）種不同的分

法。

A4B5C6D7

例290張多米諾骨牌整齊地排成一列，依順序編號1、2.3,……90,第一次拿走所有奇

數(shù)位置上的骨牌，第二次再從剩余骨牌中拿走所有奇數(shù)位置上的骨牌，依此類推，請問最后

剩下的一張骨牌的編號是多少？

A32B64C88D16

2.質因數(shù)與質因數(shù)分解

例1:將1T＞九個自然數(shù)分成3組，每組三個數(shù)，第一組三個數(shù)之積是4&第二組三個數(shù)之

積是45,三組數(shù)字之和最大是多少？

例22000X1999X1998X1997X1996…….X3X2X1,問該式子在項乘后有幾個零。

把若干個自然數(shù)1、2,?……連乘到一起，如果已知這個乘積的最末53位恰好都是零，

那么最后出現(xiàn)的自然數(shù)最小應該是多少？（）

A100B150C300D220

例3:五個一位正整數(shù)之和為30,其中兩個數(shù)為1和&而這五個數(shù)和乘積為2520,則其余

三個數(shù)為

A6.69B4,69C5,7,9口5,&8

例4:已知ABC三個自然數(shù)，其和為22,其積是B的55倍，且上BeG則B的值是

A5B7C6D11

例5:張大伯賣白菜，開始定價是每千克5角錢，一點都賣不出去，后來每千克降低了幾分

錢，全部白菜很快賣了出去，一共收入2226元，則每千克降低了幾分錢？

A3B4C6D8

例6四個連續(xù)自然數(shù)的積是1680,則這四個數(shù)的和是多少？

例7:將1T）九個自然數(shù)分成三組，每組三個數(shù)，第一組三個數(shù)之積是48,第二組三個數(shù)之

積是45,三組數(shù)字中數(shù)字之和最大是多少？

A15E17C18D20

3.最小公倍數(shù)與最大公約數(shù)

例1:甲每5天進城一次，乙每9天進城一次，丙每12天進城一次，某天三人在城里相遇,

那么下次相遇至少要（）。

A60天B180天

C540天D1620天

例2兩個三位數(shù)的最大公約數(shù)為29,他們的最小公倍數(shù)是4959,那么這兩個三位數(shù)的差

是多少？

4約數(shù)的個數(shù)

例1：學校準備了1152塊正方形彩板，用它們拼成一個長方形，有多少種不同的拼法？

A52B36C28D12

例21440的正約數(shù)的個數(shù)為L

例3:將450拆分成若干連續(xù)自然數(shù)的和，共有幾種拆法？

例4一間教室，共有100盞燈。有一個人，先將這一百盞滅著的燈貼上序號，從1貼到100,

第一輪，他按下所有貼有1的倍數(shù)序號燈的開關，第二輪，他又按下了所有貼有2的倍數(shù)序

號燈的開關，……，經(jīng)過一百輪后，請問，教室里總共亮著多少盞燈。

A5B10C15D20

第三節(jié)數(shù)的奇偶

奇數(shù)：不能被2整除的整數(shù)；偶數(shù)：能被2整除的整數(shù)，這里要注意零也是整數(shù)。

性質1：奇數(shù)+奇數(shù)=偶數(shù)

性質2偶數(shù)+偶數(shù)=偶數(shù)

性質3:奇數(shù)+偶數(shù)=奇數(shù)

性質4奇數(shù)x奇數(shù)=奇數(shù)

性質5:偶數(shù)X偶數(shù)=偶數(shù)

性質6奇數(shù)X偶數(shù)=偶數(shù)

例1:10個連續(xù)自然數(shù)，其中的奇數(shù)之和為85,在這10個連續(xù)自然數(shù)中，是3的倍數(shù)的數(shù)

字之和為多少？

例2書店有單價為10分，15分，25分，40分的四種賀年卡，小華花了幾張一元錢，正好

買了30張，其中某兩種各5張，另兩種各10張，問小華買賀年卡花去多少錢？

例3:同時仍出AB兩顆色子（其上面的數(shù)都為LZ3,45,⑥，問兩顆色子出現(xiàn)的數(shù)

字的積為偶數(shù)的情形有幾種？

例4:某次測驗有道50判斷題，每做對一題得3分，不做或做錯一題倒扣1分，某學生共

得82分，問答對題數(shù)和答錯題數(shù)包括不做）相差多少？0

A33E39G17D16

例5:某年級有4個班，不算甲班其余三個班的總人數(shù)是131人；不算丁班其余三個班的總

人數(shù)是134人；乙、丙兩班的總人數(shù)比甲、丁兩班的總人數(shù)少1人，問這四個班共有多少人?

A177B176C266D265

第四節(jié)算式等式

例1:口、△、。分別代表三個數(shù)字，如果口然工），則下列哪一個結論不正確？

A口2PB△<]OCAO/OD口=0松

例2一個兩位數(shù)除以一個一位數(shù)，商仍是兩位數(shù)，余數(shù)是&問：被除數(shù)、除數(shù)、商以及

余數(shù)之和是多少？

A98E107C114D125

例3:減數(shù)、被減數(shù)與差三者之和除以被減數(shù)，商是多少（）。

A0E1C2D減數(shù)與差之和

例4兩個整數(shù)相除，商是5,余數(shù)是11,被除數(shù)、除數(shù)、商與余數(shù)的和是99,求被除數(shù)是

多少？

A120B41C67D71

例5:兩個數(shù)的差是2345,兩數(shù)相除的商是&求這兩個數(shù)之和。

A2353B2896C3015D3456

例6:甲、乙兩數(shù)之和加上甲數(shù)是220,加上乙數(shù)是17Q甲、乙兩數(shù)之和是多少（）。

A50B130C210D390

例7：小張在做一道除法題時，誤將除數(shù)45看成54,結果得到的商是3,余數(shù)是％問正確

的商和余數(shù)之和是：

A11B18C26D37

例&一個人到書店購買了一本書和一本雜志，在付錢時，他把書的定價中的個位上的數(shù)字

和十位上的看反了，準備付21元取貨。售貨員說：“您應該付39元才對?！闭垎枙入s志貴

多少錢？

A20B21

C23D24

例9有四個自然數(shù)ABGQ它們的和不超過400,并且A除以B商是5余5,A除以C

商是6余6A除以D商是7余%那么，這四個自然數(shù)的和是：（）

A216B108C314D348

例1Q一個三位數(shù)除以43,商是a,余數(shù)是b,則"的最大值是（）。

A957B64C56D33

第五節(jié)排列組合

D題型概述

這節(jié)課，我們來學習公務員考試中一個比較特殊的知識排列組合，說它特殊，

是因為他的研究對象獨特，研究問題的方法和我們以前學習的不同，知識系統(tǒng)也相對獨立！

而且還是我們以后學習簡單概率問題的一個基礎。并且從最近幾年的公務員考試形勢來看，

這部分考題的難度有逐年上升的趨勢！而且，題型也越來越靈活！

所以，我們就從最基本的問題開始，相對系統(tǒng)的來說下這部分的內容！

【復習基本原理】

首先，我們先來一個例題。

問題1：從甲地到乙地，可以乘火車，也可以乘汽車，還可以乘輪船.一天中，火車有4個

班次，汽車有2個班次，輪船有3個班次.那么一天中乘坐這些交通工具從甲地到乙地，共

有多少種不同的走法？

加法原理：做一件事，完成它可以有n類辦法，在第一類辦法中有m種不同的方法，

在第二類辦法中有m種不同的方法，……，在第n類辦法中有m種不同的方法，那么完成

這件事共有：

種不同方法。

再看下面一道例題：

問題2由A村去引寸的道路有3條，由B村去用的道路有2條.從州寸經(jīng)B村去C

村，共有多少種不同的走法？

乘法原理：做一件事，完成它可以有n個步驟，在第一個步驟中有m種不同的方法，

在第二個步驟中有m種不同的方法，……，在第n個步驟中有m種不同的方法，那么完成

這件事共有：

bHnXmx???xm

種不同的方法。

【區(qū)別】：運用加法原理的前提條件是，做一件事有n類方案，選擇任何一類方案中的任何

一種方法都可以完成此事，就是說，完成這件事的各種方法是相互獨立的；運用乘法原理的

前提條件是，做一件事有n個驟，只要在每個步驟中任取一種方法，并依次完成每一步驟就

能完成此事，就是說，完成這件事的各個步驟是相互依存的。

簡單的說，如果完成一件事情的所有方法是屬于分類的問題，每次得到的是最后結果，

要用加法原理；如果完成一件事情的方法是屬于分步的問題，每次得到的該步結果，就要用

乘法原理。

例1書架上層放有6本不同的數(shù)學書，下層放有5本不同的語文書.

D從中任取一本，有多少種不同的取法？

2從中任取數(shù)學書與語文書各一本，有多少的取法？

例2由數(shù)字0,1,2,3,4可以組成多少個數(shù)字可以重復三位整數(shù)（各位上的數(shù)字允許

重復）？

【基本概念】

【排列】

從n個不同元素中，任取min<n）個元素（這里的被取元素各不相同）枝照、二定的順

序排成一?列，叫做從n個不同八;素中取Hlm個元素的一個磔砌

1.什么叫不同的排列？

2.什么叫相同的排列？

【排列數(shù)】

從n個不同元素中，任取m初4〃）個元素的所有排列的個數(shù)叫做從n個元素中取出m

元素的排列數(shù)，用符號表示.其中p：=n（n-D（n-4…（cnH）

例題：由數(shù)字1、23.4可以組成多少個無重復數(shù)字的三位數(shù)？

【組合】

從n個不同元素種取出m（m<n）個元素拼成一組，稱為從n個不同元素取出m個元

素的一個組合

【組合數(shù)】

從n個不同元素中，任取個元素的所有組合的個數(shù)叫做從n個元素中取出m

元素的組合數(shù)，用符號表示.其中C："=n(n-1)(n-2)???(n-mFl)/rl

【經(jīng)典例題】

L某鐵路線上有25個車站，那么應該為這條路線準備多少種不同的車票原價?

2.判斷下列各命題是排列問題還是組合問題：

(1)從五種不同的水稻良種中，選出3種：

①分別種在土質一樣的三塊田里作試驗，有多少種方法？是問題.

②分別種在土質不同的三塊田里作試驗，有多少種方法？是問題.

②從50件不同的產(chǎn)品中抽出5件來檢查，有多少種不同的抽法？是問題.

6)五個人中互送照片一張，共送了多少張照片？是問題.

⑷平面內有不共線的三點：

①過其中任意兩點作直線，一共可以作多少條直線？是問題.

②以其中一點為端點，并過另一點的射線有多少條？是問題.

⑥①從5本不同的書中選出2本借給某人，有多少種不同的借法？是一問題.

②若從5本不同的書中選出2本分別借給甲、乙兩人，又有多少種不同的借法？

是問題.

(7)6個人站成一排，有多少種不同的排列方法？是_______問題

練習：

1.從7名同學中選3人去完成3種不同的工作，每人完成一種,有多少種不同的選派方法?

2.從7名同學中選3人去某地參加一個會議........................()

3.從6名同學中選4人，參加4<100m接力賽，有多少種不同的參賽方案……()

【附加知識點】

D組合數(shù)性質：

_?-?n=m

J〃一

%二項式定理基礎知識：

(a+b)11=C>n+C：a，+…+C：bn

基本思維方法

一、排隊模型

6個人站成一排，有多少種排法？

1、優(yōu)先法

甲不站在兩端，有多少種排法？〃堆先法〃

2分類法

甲不站排頭，乙不站排尾，有多少種不同的排列方法？

人捆綁法

甲乙必須相鄰，有多少種排法？少姻綁〃

4插空法

甲乙必須分開，有多少種排法？/備相空〃

'對稱法

甲必須在乙的左邊，有多少種不同的排列方法？

（插入08國家插入新節(jié)目問題）”雌一〃

二、插板法

例：10臺電腦分給3所學校，每所學校至少分一湎臺，有多少種分法？

三、平均分堆問題

D.平均分堆到指定位置

例題1：將8個蘋果平均分給4個小朋友，問有多少種不同的分配方法？

2）.平均分堆不到指定位置

例題1:將8個蘋果平均分成4堆有多少種分法？

練習

1.某單位有3名職工和6名實習生需要被分派到ARC三個地區(qū)進行鍛煉，每個地區(qū)分配

1名職工和2名實習生，則不同的分派方案有多少種？

A90B180C270D540

四、特殊排列組合問題

D錯位重排問題

例題：4只小鳥飛入4個不同的籠子里去，每只小鳥都有自己的一個籠子（不同的鳥，籠子

也不同），每個籠子只能飛進一只鳥。若都不飛進自己的籠子里去，有（）種不同的飛

法

A16E15C12D9

0傳球問題

3隨堂練習

L由數(shù)字L2.3,45,6共可組成多少個沒有重復數(shù)字的四位奇數(shù)？

2.在一場象棋循環(huán)賽中，每位棋手必須和其他棋手對奕一局，且同一對棋手只奕一次。這

次比賽共弈了36局棋，問棋手共有幾位？

A6B7C8D9

3.4只小鳥飛入4個不同的籠子里去，每只小鳥都有自己的一個籠子（不同的鳥，籠子也

不同），每個籠子只能飛進一只鳥。若都不飛進自己的籠子里去，有（）種不同的飛法

A16B15C12D9

4.有10粒糖，如果每天至少吃一粒，吃完為止。求有多少種不同的吃法？

A488B512C218D256

5.某單位今年新進了3個工作人員，可以分配到3個部門，但每個部門至多只能接收2個

人，問：共有幾種不同的分配方案？

A12種B16種C24種D以上都不對

6.恰有兩為數(shù)字相同的三位數(shù)共有（）個

A458B327C243D90

7.一張節(jié)目表上原有3個節(jié)目，如果保持這3個節(jié)目的相對順序不變，再添進去2個新節(jié)

目，有多少種安排方法？

A20B12C6D4

第二章常用方法

第一節(jié)遞推法

1）建立遞推思維

例1.一種揮發(fā)性藥水，原來有一整瓶，第二天揮發(fā)后變?yōu)樵瓉淼?/2;第三天變?yōu)榈诙?/p>

的2/3；第四天變?yōu)榈谌斓腣4請問第幾天時藥水還剩下/30瓶？（）

A5天B12天C30天D100天

例2某公共汽車從起點站開往終點站，途中共有13個停車站。如果這輛公共汽車從起點站

開出，除終點站外，每一站上車的乘客中，正好各有一位乘客從這一站到以后的第一站。

為了使每位乘客都有座位，那么，這輛公共汽車至少應有多少個座位？（）

A48B52C56D54

例區(qū)有兩個容器，第一個容器中有1升水，第二個容器是空的。將第一個容器中的水的4

倒入第二個容器中，然后將第二個容器里的水的心倒回第一個容器中，然后再將第一個容

器里的水的3倒入第二個容器中，……如此進行下去，倒了1993次后，第一個容器里有

多少水？

例4有50名學生參加聯(lián)歡會，第一個到會的女生同每個男生握過手，第二個到會的女生

只差1個男生沒握過手，第三個到會的女生只差2個男生沒握過手，如此等等，最后一個到

會的女生和7個男生握過手，那么這50名學生中有幾名男生？

例5.若干個同樣的盒子排成一排，小明把五十多個同樣的棋子分裝在盒中，其中只有一只

盒子沒有裝棋子，然后他外出了，小光從每個有棋子的盒子里各拿了一個棋子放在空盒

內，再把盒子重新排了一下。小明回來后仔細查看了一下，沒有發(fā)現(xiàn)有人動過這些盒子

和棋子。問共有多少個盒子。

A20B5C9D11

例6.一個整數(shù)除以2余L用所得的商除以5余4,再用所得的商除以6余L用這個整數(shù)

除以60,余數(shù)是多少？

A19B21C49D29

例7.李明從圖書館借來一批圖書，他先給了甲5本和剩下的1/5,然后給了乙4本和剩下

的1/4又給了丙3本和剩下的1/3,又給了丁2本和剩下的1/2,最后自己還剩2本。

李明共借了多少本書？

A30B40C50D60

0簡單重復操作問題

例L袋子里有若干個球，小明每次拿出其中的一半再放回一個球，一共這樣做了五次，袋

中還有3個球，問原來袋中有多少個球？

A18E34C66D158

例2一個箱子中有若干個玩具，每次拿出其中的一半再放回去一個玩具，這樣共拿了5次,

箱子里還有5個玩具，箱子原有玩具的個數(shù)為

A76E98C100D120

例3.有一堆棋子（棋子數(shù)大于1）,把它們四等分后剩一枚，拿去三份零一枚，將剩下的棋

子再四等分后還是剩一枚，再拿去三份零一枚，將剩下的棋子四等分還是剩一枚。問原來至

少多少枚棋子？

A23B37C65D85

例4從裝有100克濃度為10%的鹽水瓶中倒出10克鹽水后，再向瓶中倒入10克清水，這

樣算一次操作，照這樣進行下去，第三次操作完成后，瓶中鹽水的濃度為：

A7%B7.12%C7.22%D7.29%

例5.從裝滿100克濃度為80%的鹽水杯中倒出40克鹽水再倒入清水將杯倒?jié)M，這樣反復三

次后，杯中鹽水的濃度是：

A17.28%B28.洸C11.52%D4眺

3分組分堆問題

例1.有磚26塊，兄弟二人爭著去挑。弟弟搶在前面，剛擺好磚，哥哥趕到了。哥哥看弟弟

挑的太多。就搶過一半。弟弟不肯，又從哥哥那兒搶走一半。哥哥不服，弟弟只好給哥哥5

塊，這時哥哥比弟弟多挑2塊。問最初弟弟準備挑多少塊？

A18B16C14D12

例2三筐蘋果共重120斤，如果從第一筐中取出15斤放人第二筐，從第二筐中取出8斤放

人第三筐，從第三筐中取出2斤放入第一筐，這時三筐蘋果的重量相等，問原來第二筐中有

蘋果多少斤？

A33斤B34斤C40斤D53斤

例3.食堂買來一批面粉，第一天吃這些面粉總量的1/10,第二天吃了余下面粉總量的1/9,

以后7天，每天吃去當天面粉總量的1/區(qū)以……,1^,1/2最后，第十天吃了

4袋，正好吃完。這批面粉原來共有多少袋？

例4.父親把所有財物平均分成若干份后全部分給兒子們，其規(guī)則是長子拿一份財物和剩下

的十分之一，次子拿兩份財物和剩下的十分之一，三兒子拿三份財物和剩下的十分之一，以

此類推，結果所有兒子拿到的財物都一樣多，請問父親一共有幾個兒子？（）

A6E8C9D10

例5.甲、乙、丙三堆棋子共98粒。小文先從甲堆里分棋子給乙、丙兩堆，使乙、丙兩堆

棋子數(shù)各增加一倍；再把乙堆的棋子照上面那樣分配給甲、丙兩堆；最后又把丙堆的棋子仍

4

照上面那樣分配給甲、乙兩堆。結果甲堆的棋子是丙堆旗子的乙堆棋子是丙堆棋子的

22

—o原來丙堆有多少粒棋子？（）A6B16C30D32

第二節(jié)數(shù)學歸納法

1.在一張正方形的紙片上，有900個點，加上正方形的4個頂點，共有904個點。這些

點中任意3個點不共線，將這紙剪成三角形，每個三角形的三個點是這904個點中的點，每

個三角形都不含這些點?？梢约舳嗌賯€三角形？

2.用1條直徑和1條弦最多可以把圓分成4份（不一定相等），用2條直徑與1條弦最多可

以把圓分成7份……問：用20條直徑與1條弦最多可以把圓分成多少份？

3.有一樓梯共10級，如規(guī)定每次只能跨上一級或兩級，要登上第10級，共有多少種不同

走法？

A89E55C34D78

4小明家住二層，他每次回家上樓梯時都是一步邁兩級或三級臺階。已知相鄰樓層之間有

16級臺階，那么小明從一層到二層共有多少種不同的走法？

A54B64C57D37

5.53+63+73+…+2（）3=?

6.一把鑰匙只能開一把鎖，現(xiàn)有10把鑰匙和10把鎖，最多要試驗多少次就能配好全部的

鑰匙和鎖？

A45B55C36D54

7.ARGDE這5個小組開展撲克牌比賽，每兩個小組之間都要比賽一場，到現(xiàn)在為止，

捶且已經(jīng)比賽了4場,B組已經(jīng)比賽了3場，C組已經(jīng)比賽了2場，建且已經(jīng)比賽1場。問E

組比了幾場？

A0B1C2D3

&有1993個人和1993斤面粉。第1個人拿走了全部面粉的口第2個人拿走了余下面粉

的第3個人拿走了再余下的口……第1992個人拿走了前面拿走后剩下面粉的

1/4993,最后剩下的都被第1993個人拿走了。那么第1993個人拿走了多少斤面粉？

第三節(jié)尾數(shù)法

1）四則運算末位數(shù)字尾數(shù)法的應用

1.1!+246!-M!+5!+?-100Q尾數(shù)是幾？

2.1+2毋訃??…書1=2005003,則自然數(shù)IK

A2000B2001

C2002D2003

2）嘉的尾數(shù)

:0fl

3.產(chǎn)7轉。。7+52°"+7-40°,的值的個位數(shù)是：

A5R6C8D9

3）尾數(shù)法的擴展應用

4&8&88&8888??…，如果把前88個數(shù)相加，那么它們的和的末三位數(shù)是多少？

4）奇偶性的應用

5.若&y,z是三個連續(xù)的負整數(shù)，并且心丫力則下列表達式中正奇數(shù)的是:

Ayz—xB&-2Cx—yzDxfy+^）

第四節(jié)特值法

1.如果%,見，…,48為各項都大于零的等差數(shù)列，公差標°，則有，…

Aaias')a4a5B(a4a5Catas)a4a5Daq=a4a

2.如圖所示，矩形ABCD的面積為1,ERGH分別為四條邊的中點，I是FE上任一動

點，問陰影部分的面積為多少？

3.如下圖，將凸四邊形A0O資各邊都延長一倍至A、8、C、

D，連接這些點得到一個新的四邊形ABCD，若四邊形A

BCD的面積為30平方厘米，那么四邊形ABO洶面積是多少?

4.兩人合養(yǎng)一群羊，共NN。到一定時間后，全部賣出，平均每只羊恰好賣了N元。兩人

商定平分這些錢。由甲先拿10元錢，再由乙拿10元錢，甲再拿10元，乙再拿10元，……

最后，甲拿過之后，剩余不足10元，由乙拿去。那么，甲應該給乙多少元？（）。

A8B2C4D6

第五節(jié)列表法

1.幼兒園里五個小朋友ARCD和E聚在一起玩一種叫“三人玩”的游戲，其規(guī)則如

下：游戲的每一圈只能三個人玩；每個人都必須玩三圈；沒有人可以連續(xù)兩圈不玩；沒有人

可以連續(xù)玩三圈?，F(xiàn)在，如果AB和D玩第一圈，BE玩第三圈，那么哪個小朋友不

可能玩第四圈，而只能玩第五圈？

AABCCDDE

2.爸爸、哥哥、妹妹現(xiàn)在的年齡和是64歲。當爸爸的年齡是哥哥的3倍時，妹妹是9歲;

當哥哥的年齡是妹妹的2倍時，爸爸34歲?，F(xiàn)在爸爸的年齡是多少歲？

A34B39C40D42

3.5年前甲的年齡是乙的三倍，10年前甲的年齡是丙的一半，若用y表示丙當前的年齡，

下列哪一項能表示乙的當前年齡？

y5yy-10

A-+5B—+10C--------D5

633

第六節(jié)代入法與排除法

1.一個三位數(shù)，各位上的數(shù)的和是15,百位上的數(shù)與個位上的數(shù)的差是5,如顛倒百位與

個位上的數(shù)的位置，則所成的新數(shù)比原數(shù)的3倍少3%求這個三位數(shù)（）。

A196B348C267D429

2.1999年，一個青年說“今年我的生日已經(jīng)過了，我現(xiàn)在的年齡正好是我出生年份的四個

數(shù)字之和”，這個青年是哪年生的？

A1975B1976C1977D1978

2.有10個連續(xù)奇數(shù)，第1個數(shù)等于第10個數(shù)的VH,求第1個數(shù)？

A5B11C13D15

3.裝某種產(chǎn)品的盒子有大、小兩種，大盒每盒裝11個，小盒每盒裝8個，要把89個產(chǎn)品

裝入盒內，要求每個盒子都恰好裝滿，需要大、小盒子各多少個？

A3.7R46C5.4D63

4.某鞋業(yè)公司的旅游鞋加工車間要完成一出口訂單，如果每天加工50雙，要比原計劃晚3

天完成，如果每天加工60雙，則要比原計劃提前2天完成，這一訂單共需要加工多少雙旅

游鞋？

A1200雙B1300雙C1400雙D1500雙

5.已知三個連續(xù)自然數(shù)，它們都小于2002,其中最小的自然數(shù)能被13整除，中間的一個

自然數(shù)能被15整除,。最大的一個自然數(shù)能夠被17整除。那么最小的一個自然數(shù)是（）

A1664B1524C1734D1756

6.小明家的電話號碼是7位數(shù)。將前四位數(shù)組成的數(shù)與后三位數(shù)組成的數(shù)相加得9534,將

前三位組成的數(shù)與后四位組成的數(shù)相加得2523b那么小明家的電話號碼是？

A6939189B7531770C8901633D9332202

7、某汽車銷售商銷售AB兩種汽車，A種汽車的售價20萬元每輛，B種汽車的售價是5

萬元每輛,上季度A種汽車銷售金額的一半和B種汽車銷售金額的小合計5000萬元，R種

汽車銷售金額的一半和喇汽車銷售金額的小合計3500萬元，問該汽車銷售商上季度銷

售抽丫汽車、B種汽車各多少輛？

A500100B400200C300360D480120

&1998年，甲的年齡是乙的年齡的4倍。2002年，甲的年齡是乙的年齡的3倍。問甲、乙

二人2000年的年齡分別是多少歲？

A34歲，12歲E32歲，8歲C36歲，12歲D34歲，10歲

女某次考試中，小林的準考證號碼是三位數(shù)，個位數(shù)字是十位數(shù)字的2倍，十位數(shù)字是百位

數(shù)字的4倍，三個數(shù)字的和是13,則準考證號碼是：

A.148B.418C.841D.814

10.一本100多頁的書，被人撕掉了4張，剩下的頁碼總和為8037,則該書最多有多少頁？

A134B136

C138D140

第七節(jié)十字交叉法

十字交叉法主要用于解決加權平均值的問題，也就是兩個部分的“平均值”混合形成一個新

的平均值的問題，這里的“平均值”可以是濃度、平均分、產(chǎn)量、價格、利潤等等。

一、方法精析

?基本要點：

找出各個部分和總體的“平均值"，各個“平均值”間的數(shù)量比

?解題步驟：

L找出各部分的“平均值”及總體的“平均值”

2平均值間交叉作差，寫出部分對應量或對應量的比，得到十字豎式

3.利用比例關系解答

如：部分1（量圓、部分2（量B混合，量A的平均值為a,量B的平均值為h混合后的

平均值為r（平均值可以為濃度，價格，成績等等，心的，利用十字交叉法有：

平均值交叉作差后對應量

第一部分aI）A

\/

總體平均值r

/\

第二部份ba-rB

r-b_A

得到等式：a~r］（部分的平均值對總體的平均值交叉作差后得到的比與對應量的比相

等）。

二、它的實質：

是某溶液相對于混合后溶液，溶質的增加；是某溶液相對于混合后溶液，溶質的減少；由于

溶質不變，這2個肯定是相等的.

例如：一個50%的溶液x克和一個30%的溶液'克混合成36%的溶液（x+?。┛?

問x：y=?

506x

366:14=x:y,得出6y=14x

3014y

其中6相當于溶質的增加濃度，14相當于溶液的減少濃度，6y就是增加的溶質，14x

就是減少的溶質..

三、具體問題：

一、平均數(shù)問題

1.某車間進行季度考核，整個車間平均分是85分，其中2/3的人得80分以上含80分），

他們的平均分是90分，則低于80分的人的平均分是多少？

A68B70C75D78

2.小明前三次數(shù)學測驗的平均分數(shù)是88分，要想平均分數(shù)達到90分以上，他第四次測驗

至少要多少分？

A98分B96分C94分D92分

3.某班男生比女生人數(shù)多80%一次考試后，全班平均成績?yōu)?5分，而女生的平均分比男

生的平均分高20%則此班女生的平均分是：

A84分E85分C86分D87分

4在一次法律知識競賽中，甲機關20人參加，平均80分，乙機關30人參加，平均70分,

問兩個機關參加競賽的人總平均分是多少？

A76B75C74D73

二、濃度問題

1.有濃度為甥勺鹽水若干克，蒸發(fā)了一些水分后濃度變成再加入300克4%勺鹽水后,

濃度變?yōu)?變的鹽水，問最初的鹽水多少克？

A200克B300克C400克D500克

推廣到3個的情況：

2.把濃度為2叱3燃口5穌勺溶液混合在一起，得到濃度為36%勺溶液50升。已知濃度為

3呢勺溶液用量是濃度為2期勺溶液用量的2倍，濃度為勺溶液用量是多少升？

A18R8G10D20

解析：設5仍的溶液有了,2如勺溶液有）

5%16%X

3%36%6%2y

2叱1物丁

根據(jù)十字交叉法的實質：16%<>抬%<2y=14%<x

x+2y+y=50

解出：x=20,y=l°

三、雞兔同籠

1.某零件加工廠按照工人完成的合格零件和不合格零件支付工資，工人每做出一個合格零

件能得到工資10元，每做一個不合格零件將被扣除5元，已知某人一天共做了12個零件，

得工資90元，那么他在這一天做了多少個不合格零件？

A2B3C4D6

2足球比賽的記分規(guī)則為：勝一場得3分；平一場得1分；負一場得0分。一個隊打了14

場，負5場，共得19分，那么這個隊勝了幾場？

A3B4C5D6

3.為節(jié)約用水，某市決定用水收費實行超額超收，標準用水量以內每噸2.5元，超過標準

的部分加倍收費。某用戶某月用水15噸，交水費625元，若該用戶下個月用水12噸，則

應交水費多少錢？

A425元B47.5元C50元D55元

四、平均速度

1.小王登山，上山的速度是每小時4kn）到達山頂后返回，速度為每小時6附設山路長為

9kn）小王的平均速度為（）kn）4i

A4.8B5

C4.4D4.6

五、工程問題

1.甲、乙合做一項工程,24天完成。如果甲隊做6天，乙隊做4天，只能完成工程的

兩隊單獨做完成任務各需要多少天?

2.某工程由小張、小王兩人合作剛好可在規(guī)定的時■間內完成。如果小張的工作效率提高

20%,那么兩人只需用規(guī)定時間的力0就可完成工程；如果小王的工作效率降低25%,那

么兩人就需延遲2.5小時完成工程。問規(guī)定的時間是：

A20小時B24小時C26小時D30小時

六、比例變化

1.某高校2006年度畢業(yè)學生7650名，比上年度增長2%其中本科生畢業(yè)數(shù)量比上年度減

少2%而研究生畢業(yè)數(shù)量比上年度增加10%那么，這所高校今年畢業(yè)的本科生有：

A3920人B4410C4900人D5490人

1.解析：2005年畢業(yè)生人數(shù)為76581.02=7500人，2005年本科生和研究生比例可以用十

字交叉法得到。

2005年本科生：-210-2=8

2

2005年研究生：IO//2-(-3M

8^2

所以，2005年該校畢業(yè)的本科生和研究生的比例為Zi,所以，這所高校今年畢業(yè)的本

2

科生有7500X1+2x(1—劫=4900人。

七、利潤利率

1.一批商品，按期望獲得5跳勺利潤來定價，結果只銷掉7崛商品，為了盡快把剩下的商

品全部賣出，商店決定按定價打折扣出售，這樣所獲得的全部利潤是原來期望利潤的82%

則打了多少折出售？

A八折B八五折C九折D九五折

【答案】A

【解析】混合利潤問題采用十字交叉法，在這里“平均值”就是利潤，計算出全部利潤為：

5(%<82^41%找出已知的平均值和對應量，寫成下圖：

獲得5仍利潤的部分：50%(21%7