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第四章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用4.3最大值與最小值例1

求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值．

解

=

=

令，得到駐點(diǎn)

因?yàn)?，，?/p>

，

，

，

所以，最大值為，最小值為．

注意：閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最大值與最小值只可能在駐點(diǎn)以及區(qū)間的端點(diǎn)處取得．

例2

用一塊邊長(zhǎng)為1米的正方形鐵皮，四角各截去一個(gè)大小相同的小正方形，然后將四邊折起90度，做成一個(gè)無(wú)蓋的正方體形盒子．問(wèn)：盒子的底邊為多長(zhǎng)時(shí)才能使得容器的容積最大，最大的容積是多少？（忽略鐵皮的厚度）

解設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為，則方盒子底邊的邊長(zhǎng)為，

且

又設(shè)方盒子的容積是，則

==0令得到駐點(diǎn)或（舍）由題設(shè)知道，方盒子容積的最大值是存在的，而在開(kāi)區(qū)間內(nèi)的駐點(diǎn)只有一個(gè)，所以必定是最大值點(diǎn)，即時(shí)方盒子的容積最大．最大容積是（立方米）=

說(shuō)明：這種實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題也可以利用極值判定定理做出更加明確地判斷．例3已知生產(chǎn)某種玩具的總成本函數(shù)為（元），該產(chǎn)品的價(jià)格函數(shù)為，求該玩具的產(chǎn)量為多少件時(shí)可以獲得最大利潤(rùn)？最大利潤(rùn)是多少？解顯然

總收入函數(shù)為總利潤(rùn)函數(shù)為

=

=

令

，解得駐點(diǎn)

由題設(shè)，最大利潤(rùn)是存在的，且在內(nèi)駐點(diǎn)又是唯一的，所以這個(gè)

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