概率統(tǒng)計 5-9節(jié)(生物、心理、藥學、中藥)第2章隨機變量及其分布_第1頁
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文檔簡介

2023/3/1412023/3/1412023/3/141在實際問題中,可能遇到多個隨機變量的情形,如:1)

射擊問題中,對于彈著點往往需要橫坐標和縱坐標描述;2)

研究學齡前兒童的發(fā)育情況,觀察身高,體重等;3)

具體評價產品的質量,可能有多個評價指標如尺寸,外形,外包裝等.二維隨機變量2023/3/1422023/3/1422023/3/1421)定義:設

E

是一個隨機試驗,它的樣本空間是S={e},設X=X(e)和Y=Y(e)是定義在S

上的隨機變量。由它們構成的一個向量(X,Y),叫做二維隨機向量,或二維隨機變量。SeX(e)Y(e)二維隨機變量及其分布函數2023/3/1432023/3/1432023/3/143注意事項2023/3/1442023/3/1442023/3/144定義若X,Y均為離散隨機變量,則(X,Y)

為二維離散隨機變量,且二維離散隨機變量1.二維離散隨機變量的聯(lián)合分布律為(X,Y)的分布律或聯(lián)合分布律.2023/3/1452023/3/1452023/3/145YX………………………………其中2023/3/1462023/3/1462023/3/146例1一枚硬幣一面刻有數字1,另一面刻有數字2.

將硬幣拋兩次,以X表示第一次、第二次出現(xiàn)的

數字之和.以Y表示第一次出現(xiàn)的數字減去第二次出

現(xiàn)的數字,求(X,Y)的分布律,P(X+Y>2).

解:所有樣本點(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)XY-101201/4031/401/4401/40對應的X取值為:2,3,3,4Y取值為:0,-1,1,02023/3/147二維連續(xù)隨機變量1.二維連續(xù)隨機變量定義設X,Y均為連續(xù)隨機變量,2023/3/148聯(lián)合概率密度的性質:這個公式非常重要!幾何解釋隨機事件的概率=曲頂柱體的體積2023/3/149二維離散型R.v.的邊緣分布X的邊緣分布Y的邊緣分布2023/3/1410設二維隨機變量(X,Y)的聯(lián)合概率分布如下例1X

Y0123010/506/504/501/5019/5010/503/50025/502/5000解:求隨機變量X與Y的邊緣概率函數。X

Y0123pi.010/506/504/501/5021/5019/5010/503/50022/5025/502/50007/50p.j24/5018/507/501/5012023/3/1411二維連續(xù)隨機變量的邊緣分布、Y的邊緣密度函數:則隨機變量X2023/3/1412同理,由(){}yYPyFY£=()òò¥-+¥¥-ú?ùê?é=ydvdxvxf,=P(-∞<X<+∞,Y≤y)2023/3/1413特別,對于離散型和連續(xù)型的隨機變量,該定義分別等價于相互獨立的隨機變量

★★定義.設X,Y是兩個隨機變量,若對于任意實數a,b(a<b),c,d(c<d),有P(a<X≤b,c<Y≤

d)=P(a<X≤b)P(c<Y≤

d)則稱X,Y相互獨立。2023/3/1414

在實際問題或應用中,當X的取值與Y的取值互不影響時,我們就認為X與Y是相互獨立的,進而把上述定義式當公式運用.在X與Y是相互獨立的前提下,邊緣分布可確定聯(lián)合分布!實際意義補充說明2023/3/1415例1XY123p.j11/61/91/181/321/3αβ1/3+α+βpi.1/21/9+α1/18+β2/3+α+β解:由聯(lián)合概率分布的性質知α≥0,

β≥0,且2/3+α+β=1,即α+β=1/3,由X,Y相互獨立,有2023/3/1416例3

某種保險絲的壽命(以100小時計)X服從參數為3的指數分布。(1)有兩根此種保險絲,其壽命分別為X1,X2設X1,X2相互獨立,求X1,X2的聯(lián)合概率密度;(2)在(1)中一根保險絲是原裝的,另一根是備用的,備用保險絲只在原裝保險絲熔斷時自動投入工作,于是兩根保險絲總的壽命為X1+X2,求概率P(X1+X2≤1).解:X1,X2相互獨立,故X1,X2的聯(lián)合概率密度:x2oDx12023/3/1417隨機變量函數的分布X-2123pk0.30.20.10.4一、一維隨機變量函數的分布求Y=X2-1的分布律例1設隨機變量X的分布律如下,解:Y的所有可能取值為0,3,82023/3/1418例2.

一提煉純糖的生產過程,一天可生產純糖1噸,但由于機器損壞和減速,一天實際產量X是一個隨機變量,設X的概率密度為解:分別記X,Y的分布函數為一天的利潤Y=3X-1,Y也是隨機變量,求Y的概率密度。解:(1)因為X在(0,1)上取值,所以Y=eX

在(1,e)上取值。

2023/3/1419

例3.

設隨機變量X在區(qū)間(0,1)上服從均勻分布,

(1)求隨機變量Y=eX的概率密度;

上式對y求導數,得Y的概率密度為

例3.

設隨機變量X在區(qū)間(0,1)上服從均勻分布,

(2)求Y=-2lnX的概率密度。

解:(1)因為X在(0,1)上取值,所以Y=-2lnX

在(0,+∞)上取值。

2023/3/1420上式對y求導數,得Y的概率密度為2023/3/1421習題二(P70):13,14,17(1),22,23(寫出聯(lián)合概率密度),24,27

作業(yè)

2023/3/1422思考題2023/3/1423備用題1.解2023/3/1424XY01231300002023/3/14252.解2023/3/14262023/3/14272023/3/14283.設隨機事件A,B滿足求(X,Y)的分布列.解2023/3/1429所以(X,Y)的聯(lián)合分布列為2023/3/1430所以(X,Y)的聯(lián)合分布列為2023/3/14314.在長為a的線段的中點的兩邊隨機地各取獨立,它們的聯(lián)合密度函數為Y為線段中點右邊所取點到端點0的距離,一點,求兩點間的距離小于a/3的概率.記X為線段中點左邊所取點到端點0的距離,解OxaXY2023/3/1432圖2.2的陰影部分,因此,所求概率為xyO圖2-22023/3/14335.設隨機變量(X,Y)的概率

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