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動量傳輸?shù)奈⒎址匠痰谝豁?，共一百一十四頁?022年，8月28日2.1描述流體運動（或流場運動）

的兩種方法場的概念：1.流場：流體質(zhì)點運動的全部空間。2.流場分類：通道流場（徑流流場）：徑直流動過程中沒有遇到障礙物的流場.

繞流流場：遇到障礙物，流體要分流繞流的流場3.運動參量：指用以表示流體運動特征的一切物理量。第二頁，共一百一十四頁，2022年，8月28日1.定常流動和非定常流動

流體運動過程中，若各空間點上對應(yīng)的物理量不隨時間而變化，則稱此流動為定常流動，反之為非定常流動。

2.一維、二維、三維流動

在設(shè)定坐標系中，有關(guān)物理量依賴于一個坐標，稱為一維流動，依賴于二個坐標，稱為二維流動，依賴于三個坐標，則稱為三維流動。平面運動和軸對稱運動是典型的二維運動。

3.按流場中是否存在旋轉(zhuǎn)分為：

有旋運動和無旋運動一維流動：A=f(x,t)二維流動：A=f(x,y,t)三維流動：A=f(x,y,z,t)2.1.2流動的分類：第三頁，共一百一十四頁，2022年，8月28日4.層流與湍流2.雷諾數(shù)1.經(jīng)典實驗雷諾實驗(1883)哈根實驗(1839)林格倫實驗(1957)V流速，d特征長度，ρ、μ流體密度、粘度圓管臨界雷諾數(shù)流場顯示

阻力測量

熱線測速第四頁，共一百一十四頁，2022年，8月28日5.內(nèi)流與外流管道流（不可壓縮流體）噴管流（可壓縮流體）明渠流流體機械內(nèi)流粘性邊界層外部勢流外流按流場是否被固體邊界包圍分類第五頁，共一百一十四頁，2022年，8月28日6.常用的流動分析方法質(zhì)量守恒定律動量定律（牛頓第二定律）能量守恒定律（熱力學(xué)第一定律）基本的物理定律系統(tǒng)與控制體分析法微分與積分分析法量綱分析法基本的分析方法第六頁，共一百一十四頁，2022年，8月28日2.1.3描述流體質(zhì)點運動的兩種方法1、拉格朗日法：（拉氏法，質(zhì)點法，Lagrange法）著眼于流體質(zhì)點，以各個運動著的流體質(zhì)點作為研究對象，跟蹤觀察流體質(zhì)點的運動軌跡，以及運動參量隨時間的變化，綜合流場中所有的流體質(zhì)點以弄清全部流場的情況。

為區(qū)別各個流體質(zhì)點，取初始位置a,b,c（拉格朗日變數(shù)）作為各個質(zhì)點的標識。運動方程：經(jīng)dt后運動軌跡（不同時刻某一固定質(zhì)點的運動軌跡）x=x(a,b,c,t)y=y(a,b,c,t)z=z(a,b,c,t)第七頁，共一百一十四頁，2022年，8月28日同理：如固定t，可得到不同流體質(zhì)點在空間的位置分布速度：加速度：第八頁，共一百一十四頁，2022年，8月28日全部流場情況：（1）對于某個確定的流體質(zhì)點，a,b,c為常數(shù)，而t是變量時，得到某一質(zhì)點在不同時刻的運動規(guī)律；（2）對于某個確定時刻，t為常數(shù)，a,b,c為變量時，得到某一時刻不同流體質(zhì)點的運動規(guī)律。該法特點：①流場中跟蹤某一個質(zhì)點來測量某個參量是極其困難的②速度為偏微分量，很少采用第九頁，共一百一十四頁，2022年，8月28日第十頁，共一百一十四頁，2022年，8月28日2．歐拉法（Euler法)⑴著眼于充滿運動流體的空間，以流場中無數(shù)個固定的空間點為研究對象，尋求流體質(zhì)點通過這些空間點時，運動參量隨時間變化規(guī)律而不關(guān)心個別質(zhì)點的行為。例如在氣象觀測中廣泛使用歐拉法。歐拉法應(yīng)用什么物理量來表征空間點上流體運動狀態(tài)變化呢？因不同時刻將有不同的流體質(zhì)點經(jīng)過空間的某一固定點，所以站在固定點上就無法觀測流體質(zhì)點的位置隨時間的變化，從而用位置隨時間的變化去描述流場是不可行的，但是不同時刻流體指點經(jīng)過空間某一固定點的速度則是可以觀測的，所以歐拉法中不選擇位置而是以速度作為描述流體在空間變化的變量，研究其在空間的分布。實際研究問題時，區(qū)分清楚哪個質(zhì)點處于哪個空間點上對多數(shù)問題是沒有任何意義的，只要稿清楚在某一時刻流體在其存在區(qū)域內(nèi)各個空間點上的速度分布就行了。

第十一頁，共一百一十四頁，2022年，8月28日具體如下：一流體質(zhì)點在t1時刻過某一空間點有一運動參量，另一質(zhì)點在t2時刻過同一空間點有另一運動參量，可見對流場中某個任意固定空間點，運動參量是隨t發(fā)生變化，統(tǒng)計流場中所有固定空間點時，則全部流場中的運動參量是空間坐標和時間的函數(shù)A(x,y,z,t)全部流場情況：如

(x,y,z,t)1）當x,y,z不變時，改變t時表示空間某固定點的速度隨時間的變化規(guī)律2）當t不變，x,y,z改變時，說明某一時刻，各個空間固定點上的速度分布規(guī)律。比較一下拉氏法V(a,b,c,t)表示同一質(zhì)點V隨t變化情況。第十二頁，共一百一十四頁，2022年，8月28日⑵速度分解為

(x,y,z,t)

(x,y,z,t)(x,y,z,t)

⑶加速度：速度對時間的全導(dǎo)數(shù)兩個固定空間點速度不同，反映出流體質(zhì)點通過時參量發(fā)生變化，故產(chǎn)生了加速度變化。第十三頁，共一百一十四頁，2022年，8月28日

第十四頁，共一百一十四頁，2022年，8月28日總加速度包括：位變加速度：流體質(zhì)點通過兩個不同空間點時，速度發(fā)生變化產(chǎn)生的加速度，由于流場不均勻而造成的。時變加速度：流體質(zhì)點通過某一固定點時，速度隨時間變化而產(chǎn)生的的加速度，由于流場的不穩(wěn)定而造成的。綜合：任一個參量A=A（x,y,z,t）其中（哈密頓算子）→是具有微分性與矢量性的雙重性質(zhì)

第十五頁，共一百一十四頁，2022年，8月28日穩(wěn)定流動的流場中的任意點的流動參量不隨t改變，但不同點的流動參量可以是不同的，非穩(wěn)定流動的流場中流動參量不但可以隨位置不同而變，而且隨時間不同也在改變，歐拉法比拉格朗日法研究流體力學(xué)較優(yōu)越：①利用歐拉法得到的是場，便于用場論這一數(shù)學(xué)工具來研究，②利用歐拉法得到的加速度是一階導(dǎo)數(shù)，而拉格朗日法得到的是二階導(dǎo)數(shù)，在數(shù)學(xué)上求解容易些，③工程上并不關(guān)心每一質(zhì)點的來龍去脈。第十六頁，共一百一十四頁，2022年，8月28日2.2.1流線和跡線研究目的：除去研究流體質(zhì)點的流動參量隨時間變化外，為使整個流場形象化，從而得到不同流場的運動特征同一瞬時不同質(zhì)點流動參量關(guān)系——流線研究法同一質(zhì)點在不同時間流動參量關(guān)系——跡線研究法⒈跡線：是流體質(zhì)點在一段時間內(nèi)的運動軌跡。說明：⑴是由拉氏法得到的空間中的一條曲線⑵跡線是無數(shù)個曲線簇⑶跡線與流體質(zhì)點有關(guān)，與時間無關(guān)如將不易擴散的染料滴入水流中，能見到染了色的流體質(zhì)點的運動軌跡2.2流體運動的基本概念第十七頁，共一百一十四頁，2022年，8月28日

流線:是指某一瞬時流場中一組假想的曲線，曲線上每一點的切線都與速度矢量相重合。2流線的微分方程：

由流線定義可推出空間點的速度與流線相切。

第十八頁，共一百一十四頁，2022年，8月28日

（t為參考量，為一定數(shù)）說明：速度分量與微元弧段坐標分量間的一一對應(yīng)關(guān)系。or第十九頁，共一百一十四頁，2022年，8月28日

即：

3說明：

①流線上各點的流速與流線相切②通過空間的某一點同一時刻只有一條流線③流線形狀與時間有關(guān)（穩(wěn)態(tài)流場中無關(guān)）④流線密集處，流速較大流線與跡線的聯(lián)系：①二者都是空間流場中的曲線蔟，均與流體運動有關(guān)②穩(wěn)定流動時，流線與跡線相重合，流線形狀不變③只有在滯點（駐點）處速度為0，奇點速度為無窮大時，可以相交。第二十頁，共一百一十四頁，2022年，8月28日第二十一頁，共一百一十四頁，2022年，8月28日穩(wěn)定流動非穩(wěn)定流動第二十二頁，共一百一十四頁，2022年，8月28日4.跡線的微分方程

當以歐拉法表示流體運動物性時，可用歐拉法與拉氏法相互轉(zhuǎn)換求出描述跡線的方程式。如一流場的歐拉表達式為：

第二十三頁，共一百一十四頁，2022年，8月28日例題已知有一流場，其歐拉表達式為：Vx=x+tvy=-y+tvz=0（t為自變量）——跡線微分方程式則第二十四頁，共一百一十四頁，2022年，8月28日由流線微分方程：兩邊積分：

求此流場的流線方程式及t=0時過M(-1,-1)點的流線和跡線。第二十五頁，共一百一十四頁，2022年，8月28日整理：

討論：⒈）取流場中任一點A（1，2，3）t=1時，C=2，B=3流線方程式為：第二十六頁，共一百一十四頁，2022年，8月28日⒉）

t=1.5時，流線方程為（x+1.5）（-y+1.5）=1.25z=3⒊）當t=1時，過另一空間點A’(1,1.5,3)時

C=1，B=3流線方程：說明：同一時刻不同空間點的流線不同。說明：不同時刻通過同一點流線不同。第二十七頁，共一百一十四頁，2022年，8月28日當t=0時，x=-1,y=-1代入C=-1過M（-1，-1）點流線方程為xy=1的雙曲線跡線方程：

x，y隨t變化規(guī)律第二十八頁，共一百一十四頁，2022年，8月28日當t=0,x=-1,y=-1代入過M（-1，-1）點的跡線方程為：討論：本例說明雖然給出的是速度分布式（歐拉法），即各空間點上速度分量隨時間的變化規(guī)律，仍然可由此求出－指定流體質(zhì)點在不同時刻經(jīng)歷的空間位置，即運動軌跡（拉格朗日法）。第二十九頁，共一百一十四頁，2022年，8月28日思考題

⒈研究流體運動的拉格朗日法和歐拉法的實質(zhì)是什么？⒉在歐拉法中加速度的表達式是什么？何謂時變加速度和位變加速度？⒊何謂流線、跡線、一維流動、二維、三維流動、穩(wěn)定流動？非穩(wěn)定流動？⒋流線和跡線有何區(qū)別和聯(lián)系？第三十頁，共一百一十四頁，2022年，8月28日2.2.2流管、流束和流量研究目的：流線只能表示流場中質(zhì)點的流動參量，但不能表明流過的數(shù)量，故引入流管、流束和流量的概念。第三十一頁，共一百一十四頁，2022年，8月28日1、流管定義：在流場中取任意封閉曲線，通過曲線上各點作流線，所組成的管狀表面。說明：⑴流管是由流線組成的；（流管上任取一條線，此線上任取一點，通過此點的流體質(zhì)點速度方向與流線相切）⑵象剛體的管壁，限制流體運動在管內(nèi)或管外。第三十二頁，共一百一十四頁，2022年，8月28日2、流束和微小流束引入意義：有了流束概念就可以計算流量，因為在微小流束有效截面中流線的流動參量相同。流束：過流管橫截面上各點作流線，得到充滿流管的一束流線簇，稱為流束。微小流束：斷面無窮小（dA）的流束稱為微小流束。說明：⑴dA任何點處運動參量是不變的；⑵當dA→0時，微小流束→流線⑶流管邊界以內(nèi)的全部流體（如管道或渠道中流體）稱為總流。第三十三頁，共一百一十四頁，2022年，8月28日3、有效截面、流量；平均流速有效截面：流體是在流束中沿著無數(shù)個流線流動的，與流體流動相垂直的表面叫有效截面。說明：①與流線（束）全部垂直的橫截面；②可以是平面、曲面第三十四頁，共一百一十四頁，2022年，8月28日流量：單位時間通過有效截面的流體數(shù)量稱作流量。表示為：⑴單位時間內(nèi)通過有效截面的體積流量：

⑵單位時間內(nèi)通過有效截面的質(zhì)量流量：

⑶單位時間內(nèi)通過有效截面的重量流量：式中V—有效截面上各點真實流速。第三十五頁，共一百一十四頁，2022年，8月28日平均流速：引入原因：即：通過任一截面上是不均勻的，用

代替截面上不均勻的速度分布，但有一條件：意義：

反映了流道中各微小流束的流速是有差別的

第三十六頁，共一百一十四頁，2022年，8月28日思考題⒈何謂流管、流束、有效截面及流量？⒉平均流速引入的條件及意義？⒊系統(tǒng)和控制體各有何特點？研究問題時有何不同？⒋連續(xù)性方程的積分形式及簡化形式。第三十七頁，共一百一十四頁，2022年，8月28日2.3流體運動的連續(xù)性方程

首先介紹一下系統(tǒng)和控制體的概念：

系統(tǒng)和控制體是流體力學(xué)中研究解決問題提出來的，二者既有聯(lián)系又有區(qū)別。系統(tǒng)：是一團流體質(zhì)點的集合，在運動中系統(tǒng)的形狀和位置可以不斷變化，而它所包含的流體質(zhì)點卻始終不變，系統(tǒng)是與拉氏法相聯(lián)系的。第三十八頁，共一百一十四頁，2022年，8月28日控制體：是指流場中的某一確定空間區(qū)域，其周界即為控制面，我們常選六面體作為控制體，六個面即為控制面。

特點是：控制體一經(jīng)選定，他們形狀和位置都不再變化，而其內(nèi)部所包含的流體質(zhì)點一般是變化的，是與歐拉法相聯(lián)系的概念。二者在研究問題時有何不同：

系統(tǒng)：內(nèi)部流體質(zhì)點不變，故無法與外界進行質(zhì)量交換，即有能量與動量交換也僅限于系統(tǒng)邊界。控制體：可以有質(zhì)量流進流出，進行與外界的質(zhì)量，能量，動量的傳遞。且可引起控制體內(nèi)動量、能量及質(zhì)量的變化。第三十九頁，共一百一十四頁，2022年，8月28日2.3.1直角坐標系下的連續(xù)性

微分方程式

1.連續(xù)性微分方程定義：描述流體微團（或系統(tǒng)）質(zhì)量守蘅性質(zhì)的方程，可表達成代數(shù)，積分和微分形式；理論依據(jù)：質(zhì)量守蘅數(shù)學(xué)描述：描述流體質(zhì)量不變關(guān)系式有兩種可能

⑴穩(wěn)定流動時：

[單位時間流入質(zhì)量]=[單位時間流出質(zhì)量]

⑵非穩(wěn)定流動時：

[單位時間流出的質(zhì)量]-[單位時間流入的質(zhì)量]+[單位時間質(zhì)量的累積or增量]=0第四十頁，共一百一十四頁，2022年，8月28日

假定流體連續(xù)地充滿整個流場，從中任取出以點為中心的微小六面體空間作為控制體如右圖?？刂企w的邊長為dx，dy，dz，分別平行于直角坐標軸x，2.公式推導(dǎo)：（1）單位時間內(nèi)流入、流出微元體流體總質(zhì)量變化第四十一頁，共一百一十四頁，2022年，8月28日

y，z。設(shè)控制體中心點處流速的三個分量為,液體密度為。將各流速分量按泰勒級數(shù)展開，并略去高階微量，可得到該時刻通過控制體六個表面中心點的流體質(zhì)點的運動速度。例如：通過控制體前表面中心點M的質(zhì)點在x方向的分速度為通過控制體后表面中心點N的質(zhì)點在x方向的分速度為

第四十二頁，共一百一十四頁，2022年，8月28日因所取控制體無限小，故認為在其各表面上的流速均勻分布。所以單位時間內(nèi)沿x軸方向流入控制體的質(zhì)量為流出控制體的質(zhì)量為于是，單位時間內(nèi)在x方向流出與流入控制體的質(zhì)量差為第四十三頁，共一百一十四頁，2022年，8月28日

同理可得在單位時間內(nèi)沿y，z方向流出與流入控制體的質(zhì)量差為和

故單位時間內(nèi)流出與流入微元體流體質(zhì)量總變化為：第四十四頁，共一百一十四頁，2022年，8月28日⑵控制體內(nèi)質(zhì)量變化：因控制體是固定的，質(zhì)量變化是因密度變化引起的，dt時間內(nèi)：單位時間內(nèi)，微元體質(zhì)量增量：

（微團密度在單位時間內(nèi)的變率與微團體積的乘積）第四十五頁，共一百一十四頁，2022年，8月28日⑶根據(jù)連續(xù)性條件：矢量形式：其中：——三維連續(xù)性微分方程（哈密算子）第四十六頁，共一百一十四頁，2022年，8月28日3.公式說明：⑴適用于不可壓縮和可壓縮流體理想和實際流體穩(wěn)態(tài)及非穩(wěn)態(tài)流動⑵對不可壓縮性流體：or

⒈說明流體體變形率為零，即流體不可壓縮。

or流入體積流量與流出體積流量相等。⒉判斷流場是否存在（條件

=const）

存在，否則不存在。第四十七頁，共一百一十四頁，2022年，8月28日⑶穩(wěn)定流動：所有流體物性參數(shù)均不隨時間而變，⑷若為平面流動：一維穩(wěn)態(tài)流動的連續(xù)性方程無法用微分形式表示。第四十八頁，共一百一十四頁，2022年，8月28日思考題⒈推導(dǎo)連續(xù)性方程的理論依據(jù)是什么？如何描述？⒉連續(xù)性方程有幾種形式？各適用條件？⒊連續(xù)性方程的應(yīng)用：判斷流場是否連續(xù)（存在）？已知可求已知可求已知可求第四十九頁，共一百一十四頁，2022年，8月28日

2.3.2一維不可壓縮流體定?？偭鬟B續(xù)性方程

如圖，從總流中任取一段，進、出口斷面的面積分別為A1、A2，在從總流中任取一個元流，其進、出口斷面的面積和流速分別為dA1、v1；dA2、v2。根據(jù)質(zhì)量守恒原理，單位時間內(nèi)從dA1流進的流體質(zhì)量等于從dA2流出的流體質(zhì)量，即

對于不可壓縮均質(zhì)流體，。上式變?yōu)?/p>

總流是流場中所有元流的總和，所以由上式可寫出總流連續(xù)性方程第五十頁，共一百一十四頁，2022年，8月28日公式說明：

①適用條件：定常流動，可壓縮和不可壓縮流體②不可壓縮流體：

=const

（不僅質(zhì)量流量守恒，且體積流量守恒）（d↑則↓）

沿途有分支時（一維流體且不可壓縮）應(yīng)用最多的是微分形式的連續(xù)性方程，三維可轉(zhuǎn)成二維，但不能轉(zhuǎn)為一維。一元流動積分形式連續(xù)性方程針對管道中流動的情況。第五十一頁，共一百一十四頁，2022年，8月28日例題一液壓系統(tǒng)中有兩個串聯(lián)油缸，工作流量為Q，活塞面積分別為A1，A2。求兩個活塞的運動速度比。解：液壓油可視為不可壓縮流體，由一元流動連續(xù)性方程得到V1=Q/A1V2=Q/A2故V2=A1/A2?V1分析：使V2產(chǎn)生變化的措施有哪些？第五十二頁，共一百一十四頁，2022年，8月28日思考題⒈推導(dǎo)連續(xù)性方程的理論依據(jù)是什么？如何描述？⒉連續(xù)性方程有幾種形式？各適用條件？⒊連續(xù)性方程的應(yīng)用：判斷流場是否連續(xù)（存在）？已知可求已知可求已知可求第五十三頁，共一百一十四頁，2022年，8月28日例題1

不可壓縮流體的速度分布為:vx=3(x+y3)vy=4y+z2vz=x+y+2z

試分析該流動是否連續(xù)?解:∵不滿足連續(xù)方程∴流動不存在.第五十四頁，共一百一十四頁，2022年，8月28日例題2

可壓縮流體流場可用下式描述：

試計算t=0時，點（3，2，2）處密度的時間變化率。

解:

第五十五頁，共一百一十四頁，2022年，8月28日當t=0,x=3,y=2,z=2處:第五十六頁，共一百一十四頁，2022年，8月28日例題3

有一個三維不可壓縮流場，已知其x方向和y方向的分速度分別為，

求其z方向的分速度的表達式。

解：不可壓縮的流體的連續(xù)性方程為

由已知條件第五十七頁，共一百一十四頁，2022年，8月28日將其代入連續(xù)方程，得

積分常數(shù)可以是常數(shù)，也可以是x,y的函數(shù)。可以滿足本題所要求的。表達式有無窮多個。取最簡單的情況，即C（x,y）=0,則積分后，得第五十八頁，共一百一十四頁，2022年，8月28日2.4三維理想流體的運動方程

---歐拉運動微分方程理想流體運動微分方程：是牛頓第二定律在流體力學(xué)上的具體應(yīng)用，它建立了理想流體的密度、速度、壓力與外力之間的關(guān)系。1775年由歐拉推出流體力學(xué)中心問題是流速問題，流體流速與其所受到外力間的關(guān)系式即是運動方程。第五十九頁，共一百一十四頁，2022年，8月28日1.推導(dǎo)過程：⑴取微小六面控制體牛頓第二定律or動量定理：⑵推導(dǎo)依據(jù)：即作用力之合力=動量隨時間的變化速率

第六十頁，共一百一十四頁，2022年，8月28日⑶分析受力：質(zhì)量力：

單位質(zhì)量力：

X方向上所受質(zhì)量力為：

表面力：

因是理想流體，沒有粘性，

表面力只有壓力。

X方向上作用于垂直x軸方向兩個面的壓力分別為：X方向上質(zhì)點所受表面力合力：第六十一頁，共一百一十四頁，2022年，8月28日流體質(zhì)點加速度

的計算方法：

（即流速是坐標和時間的函數(shù)）流速的全導(dǎo)數(shù)應(yīng)是：當?shù)丶铀俣龋毫鲌鲋心程幜黧w運動速度對時間的偏導(dǎo)數(shù)，反映了流體速度在固定位置處的時間變化特性遷移加速度：流場由于流出、流進某一微小區(qū)域而表現(xiàn)出的速度變化率。第六十二頁，共一百一十四頁，2022年，8月28日流體質(zhì)點加速度

在三個坐標軸上的分量表示成：第六十三頁，共一百一十四頁，2022年，8月28日⑷代入牛頓第二定律求得運動方程：得x方向上的運動微分方程：

單位體積流體的運動微分方程：單位質(zhì)量流體的運動微分方程：第六十四頁，共一百一十四頁，2022年，8月28日同理可得y,z方向上的：第六十五頁，共一百一十四頁，2022年，8月28日向量形式：

式中：

——理想流體歐拉運動微分方程

第六十六頁，共一百一十四頁，2022年，8月28日⑸說明：適用條件：理想流體，不可壓縮流體和可壓縮流體當流體處于平衡靜止狀態(tài)時，

方程變成歐拉平衡方程式

通常

已知，不可壓縮流體

可壓縮流體要加上流體狀態(tài)方程未知數(shù)有及P四個方程有：連續(xù)性方程三個方向的動量方程流體的狀態(tài)方程第六十七頁，共一百一十四頁，2022年，8月28日例題1

設(shè)有一不可壓縮的理想流體的穩(wěn)定流,其流線方程為:x2-y2=c.求:⑴其加速度a的大小。⑵當質(zhì)量力可忽略時,求此情況下的壓力分布方程式解:

流線方程:x2-y2=c.為二維理想穩(wěn)態(tài)流體已知流線微分方程形式:

x2-y2=c兩邊同時微分2xdx-2ydy=0∴vx=2yvy=2x對于穩(wěn)定流:第六十八頁，共一百一十四頁，2022年，8月28日第六十九頁，共一百一十四頁，2022年，8月28日根據(jù)理想流體運動微分方程:忽略質(zhì)量力,二維流:第七十頁，共一百一十四頁，2022年，8月28日2.5實際流體運動方程—納維斯托克斯方程（N-S方程）理想流體：無粘性故沒有切向力；法向力只有壓力，作用在流體內(nèi)法線方向。實際流體：因有粘性，故有切向力，用τ

表示；法向力：不僅是理想流體的表面力且還有由于剪切變形的附加法向力，用表示；拉力取正，壓力取負，與彈性理論一致。第七十一頁，共一百一十四頁，2022年，8月28日1—4

——三維不可壓縮粘性流體流動微分方程又稱Navier—stokes方程（N—S）第七十二頁，共一百一十四頁，2022年，8月28日寫成矢量形式：式中：拉普拉斯算子慣性力=質(zhì)量力+壓力+粘性力1.公式適用條件：①不可壓縮流體；第七十三頁，共一百一十四頁，2022年，8月28日②黏度不變；（氣體當受T影響小時可適用）③層流2.N—S方程應(yīng)用：方程未知數(shù)四個方程可求。（1）

=0時，N—S方程→理想Euler方程。（2）靜止狀態(tài)：歐拉方程→歐拉平衡方程；第七十四頁，共一百一十四頁，2022年，8月28日②初始條件、邊界條件：初始條件：在求解流場問題時確定的某一初始時刻流場中流體流動的條件。邊界條件：在求解流場問題時確定的流場邊界處流體流動的條件。

⒈靜止固壁：黏附條件

⒉運動固壁：原則上N—S可解，但因高階非線性偏微分方程數(shù)學(xué)上遇到很大困難，目前求解穩(wěn)態(tài)層流且邊界條件很簡單的例子。第七十五頁，共一百一十四頁，2022年，8月28日N—S方程物理意義：就是流體微團的動量變化率等于作用在流體微團上的合力（牛頓第二定律）一般形式：

第七十六頁，共一百一十四頁，2022年，8月28日思考題：1.N—S方程有什么物理意義？方程中哪些是慣性力項，質(zhì)量力項，表面力項，和粘性力項？哪些項是線性的？哪些項是非線性的？2.N—S方程、歐拉方程有何不同？第七十七頁，共一百一十四頁，2022年，8月28日2.6伯努利方程(Bernoulli)2.6.1理想流體穩(wěn)定流動的伯努利微分方程由理想流體歐拉運動微分方程是穩(wěn)定流動，vx,vy,vz，p都只是坐標函數(shù)，與時間無關(guān)，方程轉(zhuǎn)換去除t項伯努利（D.Bernouli1700－1782）方程的提出和意義第七十八頁，共一百一十四頁，2022年，8月28日⑴公式變換去除t：公式右側(cè)變換為：流體質(zhì)量力只有重力：fx=fy=0,fz=-g⑵簡化歐拉方程：第七十九頁，共一百一十四頁，2022年，8月28日歐拉方程簡化形式：第八十頁，共一百一十四頁，2022年，8月28日各項分別乘dx,dy,dz

得：第八十一頁，共一百一十四頁，2022年，8月28日說明：伯努利方程是能量方程式，因推導(dǎo)中曾對歐拉方程中以力為單位的各項乘以長度dx,dy,dz，所以伯努利方程式說明能量守衡概念。上式三項加得：因流體質(zhì)點在空間任意方向上速度與各方向分速度間：存在：第八十二頁，共一百一十四頁，2022年，8月28日微分后：

簡化后：

Or

——伯努利方程微分形式。說明：流體質(zhì)點在微小控制體dxdydz范圍內(nèi)，沿任意方向流線流動時的能量平衡關(guān)系式。第八十三頁，共一百一十四頁，2022年，8月28日①適用范圍：理想流體、穩(wěn)定流體、質(zhì)量力只有重力且在微小控制體dxdydz范圍內(nèi)沿某一根流線；②物理意義：揭示了沿某一根流線運動著的流體質(zhì)點速度，位移和壓強、密度四者之間的微分關(guān)系。

⑶說明：第八十四頁，共一百一十四頁，2022年，8月28日2.6.2伯努利方程積分形式1.沿流線的積分方程：設(shè)：

Or

——理想流體微元流束的伯努利方程。第八十五頁，共一百一十四頁，2022年，8月28日①適用條件：理想流體、不可壓縮性流體、穩(wěn)定流動、質(zhì)量力只有重力，且沿某一根流線；

②任選一根流線上的兩點：說明：（流線變化了則C值變化）

③靜止流體：靜止容器內(nèi)任一點的z與P/r之和為常數(shù)。

靜力學(xué)方程第八十六頁，共一百一十四頁，2022年，8月28日2.物理意義及幾何意義：z:單位重量流體所具有的位能N·M/N；（可以看成mgz/mg）P/r:單位重量流體所具有的壓力能；⑴物理意義：：單位重量流體所具有的動能；三者之和為單位重量流體具有的機械能。理解：質(zhì)量為m微團以v運動，具有mv2/2動能，若用重量mg除之得v2/2g第八十七頁，共一百一十四頁，2022年，8月28日理想、不可壓縮流體在重力場中作穩(wěn)定流動時，沿流線or無旋流場中流束運動時，單位重量流體的位能，壓力能和動能之和是常數(shù)，即機械能是守恒的，且它們之間可以相互轉(zhuǎn)換。物理意義：⑵幾何意義：z：單位重量流體的位置水頭；（距離某一基準面的高度）P/r

:單位重量流體的壓力水頭，或靜壓頭；（具有的壓力勢能與一段液柱高度相當）:單位重量流體具有的動壓頭or速度水頭,速度壓頭。物理中：質(zhì)量為m以速度v垂直向上拋能達到的最高高度為v2/2g三者之和為單位重量流體的總水頭。第八十八頁，共一百一十四頁，2022年，8月28日理想、不可壓縮流體在重力場中作穩(wěn)態(tài)流動時，沿一根流線（微小流束）的總水頭是守恒的，同時可互相轉(zhuǎn)換。幾何意義：第八十九頁，共一百一十四頁，2022年，8月28日注：由連續(xù)性方程

空泡現(xiàn)象：Z對于流體在水平管道中流動，位置差對流動影響不大。當p↓→↑對流體而言，當P↓→Pv（飽和蒸汽壓）時，則流體要蒸發(fā)生成氣泡，即空泡現(xiàn)象，則伯努利方程不再適用。應(yīng)用：可求管道中流動的最大流速能達到多少？第九十頁，共一百一十四頁，2022年，8月28日2.6.3伯努利方程的應(yīng)用可求解流動中的流體v、P及過某一截面的流量；以伯努利方程為原理測量流量的裝置。1.皮托管（畢托管）：測量流場中某一點流速的儀器。皮托曾用一兩端開口彎成直角的玻璃管測塞那河道中任一點流速。第九十一頁，共一百一十四頁，2022年，8月28日A點為駐點總壓⑴皮托管：B點：A點前選一點不受玻璃管干擾的點；A--B認為是一條流線。列沿流線AB上兩點的伯努利方程：zA=zB=0PB總=PA=r(H0+h)PB=rH0總壓靜壓動壓第九十二頁，共一百一十四頁，2022年，8月28日在皮托管上再接一個靜壓管，即為皮托靜壓管，二者差即為動壓。⑵皮托—靜壓管第九十三頁，共一百一十四頁，2022年，8月28日列1、2兩點的伯努利方程：第九十四頁，共一百一十四頁，2022年，8月28日欲求，須求層流：，紊流：2.文丘里管流量計⑴結(jié)構(gòu)：包括收縮段，喉部及擴張段1、2點分別與U型管壓差計相連。⑵原理：兩端分別與管道相聯(lián)接第九十五頁，共一百一十四頁，2022年，8月28日列1、2兩點沿流線的伯努利方程其中：第九十六頁，共一百一十四頁，2022年，8月28日真實流量——修正系數(shù)（因?qū)嶋H有粘性，流量測量值與實際值有偏差）第九十七頁，共一百一十四頁，2022年，8月28日2.7粘性流體總流的伯努利方程實際流體因存在粘性，在流動中產(chǎn)生阻力，伯努利方程中應(yīng)有項。而計算與流體流動狀態(tài)有關(guān)，即層流、紊流。故對圓管中層流、紊流的速度分布進行分析，進而討論阻力計算。第九十八頁，共一百一十四頁，2022年，8月28日復(fù)習(xí)：理想流體在重力場中沿某一根流線作穩(wěn)定流動的微分形式：注：對一微元體而言，流體ρ

指該點上的值，該式可用于壓縮流體及不可壓縮流體。

積分形式：注：該式描述流體在流場中由一處運動到另一處時各種能量間關(guān)系，假設(shè)

=const，只適用于不可壓縮穩(wěn)定有勢流動情況。以上兩式是對穩(wěn)定條件下的理想流體而言第九十九頁，共一百一十四頁，2022年，8月28日2.7.1粘性流體沿微元流束的伯努利方程復(fù)習(xí)：理想流體微元流束的伯努利方程：

故寫成

——實際流體單位時間通過單位重量微元流束的伯努利方程粘性流體微元流束的伯努利方程：第一百頁，共一百一十四頁，2022年，8月28日2.7.2粘性流體總流的伯努利方程總流：管內(nèi)充滿著運動著的全部流體，認為是由無數(shù)個微小流束所組成的，稱為總流。工程實際中，管道中由流線1點→2點能量變化沒有意義，關(guān)心的是由1—1截面→2—2截面過程中能量的變化情況，需在微元流束伯努利方程基礎(chǔ)上導(dǎo)出。1．緩變流及其特性：⑴定義：流線間的夾角很小，流線的曲率半徑很大的近乎平行直線的流動，稱為緩變流。第一百零一頁，共一百一十四頁，2022年，8月28日直管道中流體的流動；流線間夾角很??；曲率半徑為無窮大。由于緩變流曲率很小，引起的離心慣性力很小，所以緩變流體積力只有重力。平行流線在其垂直截面上任一點的z+P/r=C(對于穩(wěn)定的緩變流)

即管道內(nèi)任一點壓力各個方向都相同，便于測量。⑵緩變流特性：第一百零二頁，共一百一十四頁，2022年，8月28日⒉推導(dǎo)總流的伯努利方程：簡化方程：第一百零三頁，共一百一十四頁，2