第4章概率分布年講義

第4章概率分布年講義學(xué)習(xí)目標(biāo)度量事件發(fā)生的可能性—概率離散型概率分布二項分布，泊松分布，超幾何分布連續(xù)型概率分布由正態(tài)分布導(dǎo)出的幾個重要分布c2-分布，t-分布，F(xiàn)-分布樣本統(tǒng)計量的概率分布4.1度量事件發(fā)生的可能性概率是什么？怎樣獲得概率？怎樣理解概率？第4章概率分布什么是概率？

(probability)概率是對事件發(fā)生的可能性大小的度量明天降水的概率是80%。這里的80%就是對降水這一事件發(fā)生的可能性大小的一種數(shù)值度量你購買一只股票明天上漲的可能性是30%，這也是一個概率一個介于0和1之間的一個值事件A的概率記為P(A)怎樣獲得概率？重復(fù)試驗獲得概率當(dāng)試驗的次數(shù)很多時，概率P(A)可以由所觀察到的事件A發(fā)生次數(shù)(頻數(shù))的比例來逼近在相同條件下，重復(fù)進行n次試驗，事件A發(fā)生了m次，則事件A發(fā)生的概率可以寫為

用類似的比例來逼近一家餐館將生存5年的概率，可以用已經(jīng)生存了5年的類似餐館所占的比例作為所求概率一個近似值主觀概率怎樣理解概率？

投擲一枚硬幣，出現(xiàn)正面和反面的頻率，隨著投擲次數(shù)n的增大，出現(xiàn)正面和反面的頻率穩(wěn)定在1/2左右(注意：拋擲完成后，其結(jié)果就是一個數(shù)據(jù)，要么一定是正面，要么一定是反面，就不是概率問題了)試驗的次數(shù)正面/試驗次數(shù)1.000.000.250.500.7502550751001254.2隨機變量的概率分布

4.2.1隨機變量及其概括性度量

4.2.2離散型概率分布

4.2.3連續(xù)型概率分布第4章概率分布4.2.1隨機變量及其概括性度量4.2隨機變量的概率分布什么是隨機變量？

(randomvariables)事先不知道會出現(xiàn)什么結(jié)果投擲兩枚硬幣出現(xiàn)正面的數(shù)量一座寫字樓，每平方米的出租價格一個消費者對某一特定品牌飲料的偏好一般用X，Y，Z來表示根據(jù)取值情況的不同分為離散型隨機變量和連續(xù)型隨機變量離散型隨機變量

(discreterandomvariables)隨機變量X

取有限個值或所有取值都可以逐個列舉出來x1,x2，…以確定的概率取這些不同的值離散型隨機變量的一些例子試驗隨機變量可能的取值抽查100個產(chǎn)品一家餐館營業(yè)一天電腦公司一個月的銷售銷售一輛汽車取到次品的個數(shù)顧客數(shù)銷售量顧客性別0,1,2,…,1000,1,2,…0,1,2,…男性為0,女性為1連續(xù)型隨機變量

(continuousrandomvariables)可以取一個或多個區(qū)間中任何值所有可能取值不可以逐個列舉出來，而是取數(shù)軸上某一區(qū)間內(nèi)的任意點連續(xù)型隨機變量的一些例子試驗隨機變量可能的取值抽查一批電子元件新建一座住宅樓測量一個產(chǎn)品的長度使用壽命(小時)半年后完工的百分比測量誤差(cm)X00

X100X0離散型隨機變量的期望值

(expectedvalue)描述離散型隨機變量取值的集中程度離散型隨機變量X的所有可能取值xi與其取相對應(yīng)的概率pi乘積之和記為或E(X)，計算公式為離散型隨機變量的方差

(variance)隨機變量X的每一個取值與期望值的離差平方和的數(shù)學(xué)期望，記為2

或D(X)描述離散型隨機變量取值的分散程度計算公式為方差的平方根稱為標(biāo)準(zhǔn)差，記為或D(X)離散型數(shù)學(xué)期望和方差

(例題分析)

【例4-1】一家電腦配件供應(yīng)商聲稱，他所提供的配件100個中擁有次品的個數(shù)及概率如下表。求該供應(yīng)商次品數(shù)的數(shù)學(xué)期望和標(biāo)準(zhǔn)差次品數(shù)X=xi0123概率P(X=xi)pi0.750.120.080.05連續(xù)型隨機變量的期望和方差連續(xù)型隨機變量的期望值方差4.2.2離散型概率分布4.2隨機變量的概率分布離散型隨機變量的概率分布列出離散型隨機變量X的所有可能取值列出隨機變量取這些值的概率通常用下面的表格來表示X=xix1，x2

，…

，xnP(X=xi)=pip1，p2

，…

，pn

P(X=xi)=pi稱為離散型隨機變量的概率函數(shù)pi0；常用的有二項分布、泊松分布、超幾何分布等二項試驗

(Bernoulli試驗)

二項分布建立在Bernoulli試驗基礎(chǔ)上貝努里試驗滿足下列條件一次試驗只有兩個可能結(jié)果，即“成功”和“失敗”“成功”是指我們感興趣的某種特征一次試驗“成功”的概率為p，失敗的概率為q=1-p，且概率p對每次試驗都是相同的

試驗是相互獨立的，并可以重復(fù)進行n次

在n次試驗中，“成功”的次數(shù)對應(yīng)一個離散型隨機變量X

二項分布

(Binomialdistribution)重復(fù)進行

n

次試驗，出現(xiàn)“成功”的次數(shù)的概率分布稱為二項分布，記為X~B(n，p)設(shè)X為n次重復(fù)試驗中出現(xiàn)成功的次數(shù)，X取x

的概率為二項分布

(期望值和方差)期望值

=E(X)=np方差

2

=D(X)=npq0.00.20.40.6012345XP(X)n=5p=0.50.20.40.6012345XP(X)n=5p=0.1二項分布

(例題分析)

【例4-2】已知一批產(chǎn)品的次品率為4%，從中任意有放回地抽取5個。求5個產(chǎn)品中

(1)沒有次品的概率是多少？

(2)恰好有1個次品的概率是多少？

(3)有3個以下次品的概率是多少？二項分布

(用Excel計算概率)第1步：在Excel表格界面，直接點擊【fx】(插入函數(shù))命令第2步：在【選擇類別】中點擊【統(tǒng)計】，并在【選擇函數(shù)】

中點擊【BINOMDIST】，然后單擊【確定】第3步：在【Number_s】后填入試驗成功次數(shù)(本例為1)

在【Trials】后填入總試驗次數(shù)(本例為5)

在【Probability_s】后填入試驗的成功概率(本例為

0.04)

在【Cumulative】后填入0(或FALSE)，表示計算成功次數(shù)恰好等于指定數(shù)值的概率(填入1或TRUE表示計算成功次數(shù)小于或等于指定數(shù)值的累積概率值)計算二項分布的概率Excel泊松分布

(Poissondistribution)1837年法國數(shù)學(xué)家泊松(D.Poisson，1781—1840)首次提出用于描述在一指定時間范圍內(nèi)或在一定的長度、面積、體積之內(nèi)每一事件出現(xiàn)次數(shù)的分布泊松分布的例子一定時間段內(nèi)，某航空公司接到的訂票數(shù)一定時間內(nèi)，到車站等候公共汽車的人數(shù)一定路段內(nèi)，路面出現(xiàn)大損壞的次數(shù)一定時間段內(nèi)，放射性物質(zhì)放射的粒子數(shù)一匹布上發(fā)現(xiàn)的疵點個數(shù)一定頁數(shù)的書刊上出現(xiàn)的錯別字個數(shù)泊松分布

(概率分布函數(shù))—給定的時間間隔、長度、面積、體積內(nèi)“成功”的平均數(shù)e=2.71828x—給定的時間間隔、長度、面積、體積內(nèi)“成功”的次數(shù)泊松分布

(期望值和方差)期望值

E(X)=方差

D(X)=

0.00.20.40.6012345XP(X)0.00.20.40.60246810XP(X)l

=6l

=0.5泊松分布

(例題分析)【例4-3】假定某航空公司預(yù)訂票處平均每小時接到42次訂票，那么10分鐘內(nèi)恰好接到6次的概率是多少？解：設(shè)X=10分鐘內(nèi)航空公司預(yù)訂票處接到的次數(shù)泊松分布

(用Excel計算概率)第1步：在Excel表格界面，直接點擊【fx】(插入函數(shù))命令第2步：在【選擇類別】中點擊【統(tǒng)計】，并在【選擇函數(shù)】

中點擊【POISSON】，然后單擊【確定】第3步：在【X】后填入事件出現(xiàn)的次數(shù)(本例為6)

在【Means】后填入泊松分布的均值(本例為7)

在【Cumulative】后填入0(或FALSE)，表示計算成功次數(shù)恰好等于指定數(shù)值的概率(填入1或TRUE表示計算成功次數(shù)小于或等于指定數(shù)值的累積概率值)計算泊松分布的概率Excel超幾何分布

(hypergeometricdistribution)采用不重復(fù)抽樣，各次試驗并不獨立，成功的概率也互不相等總體元素的數(shù)目N很小，或樣本容量n相對于N來說較大時，樣本中“成功”的次數(shù)則服從超幾何概率分布概率分布函數(shù)為超幾何分布

(例題分析)【例4-4】假定有10支股票，其中有3支購買后可以獲利，另外7支購買后將會虧損。如果你打算從10支股票中選擇4支購買，但你并不知道哪3支是獲利的，哪7支是虧損的。求

(1)有3支能獲利的股票都被你選中的概率有多大？

(2)3支可獲利的股票中有2支被你選中的概率有多大？解：設(shè)N=10，M=3，n=4超幾何分布

(用Excel計算概率)第1步：在Excel表格界面，直接點擊【fx】(插入函數(shù))命令第2步：在【選擇類別】中點擊【統(tǒng)計】，并在【選擇函數(shù)】

中點擊【HYPGEOMDIST】，然后單擊【確定】第3步：在【Sample_s】后填入樣本中成功的次數(shù)x(本例為3)

在【Number_sample】后填入樣本容量n(本例為4)

在【Population_s】后填入總體中成功的次數(shù)M(本例為3)

在【Number_pop】后填入總體中的個體總數(shù)N

(本例為10)計算超幾何分布的概率Excel4.2.3連續(xù)型概率分布4.2隨機變量的概率分布連續(xù)型隨機變量的概率分布連續(xù)型隨機變量可以取某一區(qū)間或整個實數(shù)軸上的任意一個值它取任何一個特定的值的概率都等于0不能列出每一個值及其相應(yīng)的概率通常研究它取某一區(qū)間值的概率用概率密度函數(shù)的形式和分布函數(shù)的形式來描述常用連續(xù)型概率分布正態(tài)分布

(normaldistribution)由C.F.高斯(CarlFriedrichGauss，1777—1855)作為描述誤差相對頻數(shù)分布的模型而提出描述連續(xù)型隨機變量的最重要的分布許多現(xiàn)象都可以由正態(tài)分布來描述可用于近似離散型隨機變量的分布例如：二項分布經(jīng)典統(tǒng)計推斷的基礎(chǔ)xf(x)概率密度函數(shù)f(x)=隨機變量X的頻數(shù)

=正態(tài)隨機變量X的均值=正態(tài)隨機變量X的方差

=3.1415926;e=2.71828x=隨機變量的取值(-<x<+)正態(tài)分布函數(shù)的性質(zhì)圖形是關(guān)于x=對稱鐘形曲線，且峰值在x=處均值和標(biāo)準(zhǔn)差一旦確定，分布的具體形式也惟一確定，不同參數(shù)正態(tài)分布構(gòu)成一個完整的“正態(tài)分布族”均值可取實數(shù)軸上的任意數(shù)值，決定正態(tài)曲線的具體位置；標(biāo)準(zhǔn)差決定曲線的“陡峭”或“扁平”程度。越大，正態(tài)曲線扁平；越小，正態(tài)曲線越高陡峭當(dāng)X的取值向橫軸左右兩個方向無限延伸時，曲線的兩個尾端也無限漸近橫軸，理論上永遠不會與之相交正態(tài)隨機變量在特定區(qū)間上的取值概率由正態(tài)曲線下的面積給出，而且其曲線下的總面積等于1和對正態(tài)曲線的影響xf(x)CAB=1/212=1正態(tài)分布的概率概率是曲線下的面積!abxf(x)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布

(standardizenormaldistribution)

標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)隨機變量具有均值為0，標(biāo)準(zhǔn)差為1的正態(tài)分布任何一個一般的正態(tài)分布，可通過下面的線性變換轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布

標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)正態(tài)分布

(用Excel計算正態(tài)分布的概率)第1步：在Excel表格界面中，點擊“fx

”(插入函數(shù))命令第2步：在【選擇類別】中點擊【統(tǒng)計】，并在【選擇函數(shù)】

中點擊【NORMDIST】，然后單擊【確定】第3步：在【X】后輸入正態(tài)分布函數(shù)計算的區(qū)間點(即x值)

在【Mean】后輸入正態(tài)分布的均值在【Standard_dev】后輸入正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)差在【Cumulative】后輸入1(或TRUE)表示計算事件出現(xiàn)次數(shù)小于或等于指定數(shù)值的累概率單擊【確定】正態(tài)分布

(計算標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率和反函數(shù)值)第1步：在Excel表格界面中，點擊“fx

”(插入函數(shù))命令第2步：在【選擇類別】中點擊【統(tǒng)計】，并在【選擇函數(shù)】中點擊

【NORMSDIST】，單擊【確定】第3步：在【Z】后輸入Z的值。單擊【確定】第1步：在Excel表格界面中，點擊“fx

”(插入函數(shù))命令第2步：在【選擇類別】中點擊【統(tǒng)計】，并在【選擇函數(shù)】中點擊

【NORMSINV】，然后單擊【確定】第3步：在【Probability】后輸入給定的概率值。單擊【確定】計算概率計算z值正態(tài)分布

(例題分析)【例4-5】計算以下概率

(1)

X～N(50,102)，求和

(2)

Z～N(0,1)，求和

(3)正態(tài)分布概率為0.05時，求標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)累積分布函數(shù)的反函數(shù)值z

正態(tài)分布的計算概率

Excel數(shù)據(jù)正態(tài)性的評估對數(shù)據(jù)畫出頻數(shù)分布的直方圖或莖葉圖若數(shù)據(jù)近似服從正態(tài)分布，則圖形的形狀與上面給出的正態(tài)曲線應(yīng)該相似繪制正態(tài)概率圖。有時也稱為分位數(shù)—分位數(shù)圖或稱Q-Q圖或稱為P-P圖用于考察觀測數(shù)據(jù)是否符合某一理論分布，如正態(tài)分布、指數(shù)分布、t分布等等P-P圖是根據(jù)觀測數(shù)據(jù)的累積概率與理論分布(如正態(tài)分布)的累積概率的符合程度繪制的Q-Q圖則是根據(jù)觀測值的實際分位數(shù)與理論分布(如正態(tài)分布)的分位數(shù)繪制的使用非參數(shù)檢驗中的Kolmogorov-Smirnov檢驗(K-S檢驗)用SPSS繪制正態(tài)概率圖

第1步：選擇【Graphs】下拉菜單，并選擇【P-P】

或【Q-Q】選項進入主對話框第2步：在主對話框中將變量選入【Variables】

，點擊【OK】繪制正態(tài)概率圖SPSS正態(tài)概率圖的繪制

(例題分析)P-P圖Q-Q圖

【例4-6】第2章中電腦銷售額的正態(tài)概率圖正態(tài)概率圖的分析

(normalprobabilityplots)實際應(yīng)用中，只有樣本數(shù)據(jù)較多時正態(tài)概率圖的效果才比較好。當(dāng)然也可以用于小樣本，但此時可能會出現(xiàn)與正態(tài)性有較大偏差的情況在分析正態(tài)概率圖時，最好不要用嚴(yán)格的標(biāo)準(zhǔn)去衡量數(shù)據(jù)點是否在一條直線上，只要近似在一條直線上即可對于樣本點中數(shù)值最大或最小的點也可以不用太關(guān)注，除非這些點偏離直線特別遠，因為這些點通常會與直線有偏離。如果某個點偏離直線特別遠，而其他點又基本上在直線上時，這個點可能是離群點，可不必考慮4.3由正態(tài)分布導(dǎo)出的幾個重要分布

4.3.1t

分布

2

分布

4.3.3F

分布第4章概率分布4.3.1t

分布4.3由正態(tài)分布導(dǎo)出的幾個重要分布t-分布

(t-distribution)提出者是WilliamGosset，也被稱為學(xué)生分布(student’st)

t分布是類似正態(tài)分布的一種對稱分布，通常要比正態(tài)分布平坦和分散。一個特定的分布依賴于稱之為自由度的參數(shù)。隨著自由度的增大，分布也逐漸趨于正態(tài)分布xt

分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的比較t分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布t不同自由度的t分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布t(df=13)t(df=5)zt-分布

(用Excel計算t分布的概率和臨界值)利用Excel中的【TDIST】統(tǒng)計函數(shù)，可以計算給定值和自由度時分布的概率值語法：TDIST(x,degrees_freedom,tails)

利用【TINV】函數(shù)則可以計算給定概率和自由度時的相應(yīng)

語法：TINV(probability,degrees_freedom)計算t分布的臨界值Excel4.3.22

分布4.3由正態(tài)分布導(dǎo)出的幾個重要分布由阿貝(Abbe)于1863年首先給出，后來由海爾墨特(Hermert)和卡·皮爾遜(K·Pearson)分別于1875年和1900年推導(dǎo)出來設(shè)，則令，則y服從自由度為1的2分布，即對于n個正態(tài)隨機變量y1

，y2

，yn，則隨機變量稱為具有n個自由度的2分布，記為c2-分布

(2-distribution)分布的變量值始終為正分布的形狀取決于其自由度n的大小，通常為不對稱的正偏分布，但隨著自由度的增大逐漸趨于對稱期望為：E(2)=n，方差為：D(2)=2n(n為自由度)可加性：若U和V為兩個獨立的2分布隨機變量，U~2(n1)，V~2(n2),則U+V這一隨機變量服從自由度為n1+n2的2分布c2-分布

(性質(zhì)和特點)不同自由度的c2-分布c2n=1n=4n=10n=20c2-分布

(用Excel計算c2分布的概率)利用Excel提供的【CHIDIST】統(tǒng)計函數(shù)，計算c2分布右單尾的概率值語法：CHIDIST(x,degrees_freedom)，其中df為自由度，x,是隨機變量的取值利用【CHIINV】函數(shù)則可以計算給定右尾概率和自由度時相應(yīng)的反函數(shù)值語法：CHIINV(probability,degrees_freedom)

計算c2

分布的概率Excel4.3.3F

分布4.3由正態(tài)分布導(dǎo)出的幾個重要分布為紀(jì)念統(tǒng)計學(xué)家費希爾(R.A.Fisher)以其姓氏的第一個字母來命名則設(shè)若U為服從自由度為n1的2分布，即U~2(n1)，V為服從自由度為n2的2分布，即V~2(n2),且U和V相互獨立，則稱F為服從自由度n1和n2的F分布，記為F-分布

(Fdistribution)不同自由度的F分布F(1,10)(5,10)(10,10)F-分布

(用Excel計算F分布的概率和臨街值)利用Excel提供的【FDIST】統(tǒng)計函數(shù)，計算分布右單尾的概率值語法：FDIST(x,degrees_freedom1,degrees_freedom2)利用【FINV】函數(shù)則可以計算給定單尾概率和自由度時的相應(yīng)

語法：

FINV(probability,degrees_freedom1,degrees_freedom2)

計算F分布的概率Excel4.4樣本統(tǒng)計量的概率分布

4.4.1統(tǒng)計量及其分布

4.4.2樣本均值的分布

4.4.3其他統(tǒng)計量的分布

4.4.4統(tǒng)計量的標(biāo)準(zhǔn)誤差第4章概率分布4.4.1統(tǒng)計量及其分布4.4樣本統(tǒng)計量的概率分布參數(shù)和統(tǒng)計量參數(shù)(parameter)描述總體特征的概括性數(shù)字度量，是研究者想要了解的總體的某種特征值一個總體的參數(shù)：總體均值()、標(biāo)準(zhǔn)差()、總體比例()；兩個總體參數(shù)：(1-2)、(1-2)、(1/2)總體參數(shù)通常用希臘字母表示統(tǒng)計量(statistic)用來描述樣本特征的概括性數(shù)字度量，它是根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算出來的一些量，是樣本的函數(shù)一個總體參數(shù)推斷時的統(tǒng)計量：樣本均值(x)、樣本標(biāo)準(zhǔn)差(s)、樣本比例(p)等兩個總體參數(shù)推斷時的統(tǒng)計量：(x1-x2)、(p1-p2)、(s1/s2)樣本統(tǒng)計量通常用小寫英文字母來表示樣本統(tǒng)計量的概率分布，是一種理論分布在重復(fù)選取容量為n的樣本時，由該統(tǒng)計量的所有可能取值形成的相對頻數(shù)分布隨機變量是樣本統(tǒng)計量樣本均值,樣本比例，樣本方差等結(jié)果來自容量相同的所有可能樣本提供了樣本統(tǒng)計量長遠而穩(wěn)定的信息，是進行推斷的理論基礎(chǔ)，也是抽樣推斷科學(xué)性的重要依據(jù) 抽樣分布

(samplingdistribution)抽樣分布的形成過程

(samplingdistribution)總體樣本計算樣本統(tǒng)計量如：樣本均值、比例、方差4.4.2樣本均值的分布4.4樣本統(tǒng)計量的概率分布在重復(fù)選取容量為n的樣本時，由樣本均值的所有可能取值形成的相對頻數(shù)分布一種理論概率分布推斷總體均值的理論基礎(chǔ) 樣本均值的分布樣本均值的分布

(例題分析)【例4-10】設(shè)一個總體，含有4個元素(個體)

，即總體單位數(shù)N=4。4

個個體分別為x1=1，x2=2，x3=3，x4=4

?？傮w的均值、方差及分布如下總體分布14230.1.2.3均值和方差樣本均值的分布

(例題分析)

現(xiàn)從總體中抽取n＝2的簡單隨機樣本，在重復(fù)抽樣條件下，共有42=16個樣本。所有樣本的結(jié)果為3,43,33,23,132,42,32,22,124,44,34,24,141,441,33211,21,11第二個觀察值第一個觀察值所有可能的n=2的樣本（共16個）樣本均值的分布

(例題分析)計算出各樣本的均值，如下表。并給出樣本均值的抽樣分布3.53.02.52.033.02.52.01.524.03.53.02.542.542.03211.51.01第二個觀察值第一個觀察值16個樣本的均值（x）x樣本均值的抽樣分布1.000.10.20.3P