專題18 數(shù)列的求和問題（教師版含解析）

專題18數(shù)列的求和問題1.(2021年浙江卷數(shù)學(xué)試題)已知數(shù)列滿足.記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】顯然可知，，利用倒數(shù)法得到，再放縮可得，由累加法可得，進(jìn)而由局部放縮可得，然后利用累乘法求得，最后根據(jù)裂項(xiàng)相消法即可得到，從而得解．【詳解】因?yàn)?，所以，．由，即根?jù)累加法可得，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，，由累乘法可得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，由裂項(xiàng)求和法得：所以，即．故選：A．【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵是通過倒數(shù)法先找到的不等關(guān)系，再由累加法可求得，由題目條件可知要證小于某數(shù)，從而通過局部放縮得到的不等關(guān)系，改變不等式的方向得到，最后由裂項(xiàng)相消法求得．2．(2021年全國高考乙卷數(shù)學(xué)(文)試題)設(shè)是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，數(shù)列滿足．已知，，成等差數(shù)列．(1)求和的通項(xiàng)公式；(2)記和分別為和的前n項(xiàng)和．證明：．【答案】(1)，；(2)證明見解析.【分析】因?yàn)槭鞘醉?xiàng)為1的等比數(shù)列且，，成等差數(shù)列，所以，所以，即，解得，所以，所以.(2)證明：由(1)可得，，①，②①②得，所以，所以，所以.3．(2021年全國高考乙卷數(shù)學(xué)(理)試題)記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，為數(shù)列的前n項(xiàng)積，已知．(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列;(2)求的通項(xiàng)公式．【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】(1)由已知得,且，,取,由得,由于為數(shù)列的前n項(xiàng)積，所以,所以，所以,由于所以，即,其中所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差等差數(shù)列;(2)由(1)可得，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，,,當(dāng)n=1時，,當(dāng)n≥2時,,顯然對于n=1不成立,∴.4．(2021年全國高考甲卷數(shù)學(xué)(文)試題)記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知，且數(shù)列是等差數(shù)列，證明：是等差數(shù)列.【答案】證明見解析.【分析】∵數(shù)列是等差數(shù)列，設(shè)公差為∴，∴，∴當(dāng)時，當(dāng)時，，滿足，∴的通項(xiàng)公式為，∴∴是等差數(shù)列.5．(2021年全國高考甲卷數(shù)學(xué)(理)試題)已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，記為的前n項(xiàng)和，從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立．①數(shù)列是等差數(shù)列：②數(shù)列是等差數(shù)列；③．注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分．【答案】答案見解析【分析】選①②作條件證明③：設(shè)，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，；因?yàn)橐彩堑炔顢?shù)列，所以，解得；所以，所以.選①③作條件證明②：因?yàn)?，是等差?shù)列，所以公差，所以，即，因?yàn)椋允堑炔顢?shù)列.選②③作條件證明①：設(shè)，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，；因?yàn)?，所以，解得或；?dāng)時，，當(dāng)時，滿足等差數(shù)列的定義，此時為等差數(shù)列；當(dāng)時，，不合題意，舍去.綜上可知為等差數(shù)列.6．(2021年全國新高考Ⅰ卷數(shù)學(xué)試題)已知數(shù)列滿足，(1)記，寫出，，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求的前20項(xiàng)和.【答案】(1)；(2).【分析】(1)由題設(shè)可得又，，故，即，即所以為等差數(shù)列，故.(2)設(shè)的前項(xiàng)和為，則，因?yàn)?，所?7.(2021年全國新高考2卷數(shù)學(xué)試題)記是公差不為0等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求使成立的n的最小值．【答案】(1)；(2)7.【解析】【分析】(1)由題意首先求得的值，然后結(jié)合題意求得數(shù)列的公差即可確定數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)首先求得前n項(xiàng)和的表達(dá)式，然后求解二次不等式即可確定n的最小值.【詳解】(1)由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：，則：，設(shè)等差數(shù)列的公差為，從而有：，，從而：，由于公差不為零，故：，數(shù)列的通項(xiàng)公式為：.(2)由數(shù)列的通項(xiàng)公式可得：，則：，則不等式即：，整理可得：，解得：或，又為正整數(shù)，故的最小值為.【點(diǎn)睛】等差數(shù)列基本量的求解是等差數(shù)列中的一類基本問題，解決這類問題的關(guān)鍵在于熟練掌握等差數(shù)列的有關(guān)公式并能靈活運(yùn)用.8.(2021年天津卷數(shù)學(xué)試題)已知是公差為2的等差數(shù)列，其前8項(xiàng)和為64．是公比大于0的等比數(shù)列，．(I)求和的通項(xiàng)公式；(II)記，(i)證明是等比數(shù)列；(ii)證明【答案】(I)，；(II)(i)證明見解析；(ii)證明見解析.【解析】【分析】(I)由等差數(shù)列求和公式運(yùn)算可得的通項(xiàng)，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式運(yùn)算可得的通項(xiàng)公式；(II)(i)運(yùn)算可得，結(jié)合等比數(shù)列的定義即可得證；(ii)放縮得，進(jìn)而可得，結(jié)合錯位相減法即可得證.【詳解】(I)因?yàn)槭枪顬?的等差數(shù)列，其前8項(xiàng)和為64．所以，所以，所以；設(shè)等比數(shù)列的公比為，所以，解得(負(fù)值舍去)，所以；(II)(i)由題意，，所以，所以，且，所以數(shù)列是等比數(shù)列；(ii)由題意知，，所以，所以，設(shè)，則，兩式相減得，所以，所以.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：最后一問考查數(shù)列不等式的證明，因?yàn)闊o法直接求解，應(yīng)先放縮去除根號，再由錯位相減法即可得證.9.(2021年浙江卷數(shù)學(xué)試題)已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)；(2)設(shè)數(shù)列滿足，記的前n項(xiàng)和為，若對任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)；(2).【解析】【分析】(1)由，結(jié)合與的關(guān)系，分討論，得到數(shù)列為等比數(shù)列，即可得出結(jié)論；(2)由結(jié)合的結(jié)論，利用錯位相減法求出，對任意恒成立，分類討論分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為與關(guān)于的函數(shù)的范圍關(guān)系，即可求解.【詳解】(1)當(dāng)時，，，當(dāng)時，由①，得②，①②得，又是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，；(2)由，得，所以，，兩式相減得，所以，由得恒成立，即恒成立，時不等式恒成立；時，，得；時，，得；所以.【點(diǎn)睛】易錯點(diǎn)點(diǎn)睛：(1)已知求不要忽略情況；(2)恒成立分離參數(shù)時，要注意變量的正負(fù)零討論，如(2)中恒成立，要對討論，還要注意時，分離參數(shù)不等式要變號.10.(2021年北京卷數(shù)學(xué)試題)定義數(shù)列：對實(shí)數(shù)p，滿足：①，；②；③，．(1)對于前4項(xiàng)2，-2，0，1的數(shù)列，可以是數(shù)列嗎？說明理由；(2)若是數(shù)列，求的值；(3)是否存在p，使得存在數(shù)列，對？若存在，求出所有這樣的p；若不存在，說明理由．【答案】(1)不可以是數(shù)列；理由見解析；(2)；(3)存在；．【解析】【分析】(1)由題意考查的值即可說明數(shù)列不是數(shù)列；(2)由題意首先確定數(shù)列的前4項(xiàng)，然后討論計算即可確定的值；(3)構(gòu)造數(shù)列，易知數(shù)列是的，結(jié)合(2)中的結(jié)論求解不等式即可確定滿足題意的實(shí)數(shù)的值.【詳解】(1)由性質(zhì)③結(jié)合題意可知，矛盾，故前4項(xiàng)的數(shù)列，不可能是數(shù)列.(2)性質(zhì)①，由性質(zhì)③，因此或，或，若，由性質(zhì)②可知，即或，矛盾；若，由有，矛盾.因此只能是.又因?yàn)榛?，所以?若，則，不滿足，舍去.當(dāng)，則前四項(xiàng)為:0，0，0，1，下面用納法證明：當(dāng)時，經(jīng)驗(yàn)證命題成立，假設(shè)當(dāng)時命題成立，當(dāng)時：若，則，利用性質(zhì)③：，此時可得：；否則，若，取可得：，而由性質(zhì)②可得：，與矛盾.同理可得：，有；，有；，又因?yàn)椋屑串?dāng)時命題成立，證畢.綜上可得：，.(3)令，由性質(zhì)③可知：，由于，因此數(shù)列為數(shù)列.由(2)可知:若；，，因此，此時，，滿足題意.【點(diǎn)睛】本題屬于數(shù)列中的“新定