橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程柳應(yīng)方

選修2-1<橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程>福州三中金山校區(qū)數(shù)學(xué)組柳應(yīng)方時間：周五上午第二節(jié)一．教材及學(xué)情分析：本節(jié)課是選修2－1第二章《圓錐曲線與方程》中§《橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程》．用一個平面去截一個對頂?shù)膱A錐，當(dāng)平面與圓錐的軸夾角不同時，可以得到不同的截口曲線，它們分別是圓、橢圓、拋物線、雙曲線，我們將這些曲線統(tǒng)稱為圓錐曲線．圓錐曲線的發(fā)現(xiàn)與研究始于古希臘，當(dāng)時人們從純粹幾何學(xué)的觀點研究了這種與圓密切相關(guān)的曲線，它們的幾何性質(zhì)是圓的幾何性質(zhì)的自然推廣。17世紀(jì)初期，笛卡爾發(fā)明了坐標(biāo)系，人們開始在坐標(biāo)系的基礎(chǔ)上，用代數(shù)方法研究圓錐曲線．在這一章中，我們將繼續(xù)用坐標(biāo)法探究圓錐曲線的幾何特征，建立它們的方程，通過方程研究它們的簡單性質(zhì)，并用坐標(biāo)法解決一些與圓錐曲線有關(guān)的簡單幾何問題和實際問題，進一步感受數(shù)形結(jié)合的基本思想．解析幾何是數(shù)學(xué)一個重要的分支,它溝通了數(shù)學(xué)內(nèi)數(shù)與形、代數(shù)與幾何等最基本對象之間的聯(lián)系．在選修2-1中，教材利用三種圓錐曲線進一步深化如何利用代數(shù)方法研究幾何問題?！皺E圓的標(biāo)準(zhǔn)方程”是在學(xué)生已學(xué)過坐標(biāo)平面上圓的方程、“曲線和方程”和“橢圓的定義”的基礎(chǔ)上，解決具體的二次曲線方程的又一實例.從知識上講，它是解析法的進一步運用，同時它也是進一步研究橢圓幾何性質(zhì)的基礎(chǔ)；從方法上講，它為我們研究雙曲線、拋物線這兩種圓錐曲線提供了基本模式和理論基礎(chǔ)；從教材編排上講，現(xiàn)行教材中把三種圓錐曲線獨編一章，更突出了橢圓的重要地位.因此本節(jié)課有承前啟后的作用，是本章和本節(jié)的重點內(nèi)容.本節(jié)內(nèi)容蘊含了許多重要的數(shù)學(xué)思想方法，如：數(shù)形結(jié)合思想、化歸思想等．因此，教學(xué)時應(yīng)重視體現(xiàn)數(shù)學(xué)的思想方法及價值。根據(jù)本節(jié)內(nèi)容的特點，教學(xué)過程中可充分發(fā)揮信息技術(shù)的作用，用幾何畫板的動態(tài)作圖優(yōu)勢為學(xué)生的數(shù)學(xué)探究與數(shù)學(xué)思維提供支持。二、教學(xué)目標(biāo)1．知識與技能目標(biāo)：進一步理解橢圓的定義，能正確推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,在化簡橢圓方程的過程中提高學(xué)生的運算能力,掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程2．過程與方法目標(biāo)：通過引導(dǎo)學(xué)生依據(jù)橢圓定義和橢圓的圖形,聯(lián)想圓的建系方法建立合理的坐標(biāo)系，通過方程的推導(dǎo)，提高學(xué)生的計算，學(xué)會用坐標(biāo)化的方法求動點軌跡方程；對學(xué)生進行數(shù)學(xué)思想方法滲透，培養(yǎng)學(xué)生具有利用數(shù)學(xué)思想方法分析和解決問題的意識。3．情感態(tài)度價值觀目標(biāo)：充分發(fā)揮學(xué)生在學(xué)習(xí)中的主體地位，引導(dǎo)學(xué)生活動、觀察、思考、合作、探究、歸納、交流、反思，促進形成研究氛圍和合作意識；重視知識的形成過程教學(xué)，讓學(xué)生知其然并知其所以然，通過學(xué)習(xí)新知識體會到前人探索的艱辛過程與創(chuàng)新的樂趣；通過對橢圓定義的嚴(yán)密化，培養(yǎng)學(xué)生形成扎實嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)作風(fēng)；通過經(jīng)歷橢圓方程的化簡,增強學(xué)生戰(zhàn)勝困難的意志品質(zhì)并體會數(shù)學(xué)的簡潔美、對稱美；利用橢圓知識解決實際問題，使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的廣泛應(yīng)用性和知識的力量，增強學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和信心。三、重點、難點重點：進一步理解橢圓的定義，掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，理解坐標(biāo)法的基本思想．難點：橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)與化簡，坐標(biāo)法的應(yīng)用。關(guān)鍵：含有兩個根式的等式化簡四、教法與學(xué)法分析新課程倡導(dǎo)學(xué)生自主學(xué)習(xí)，要求教師成為學(xué)生學(xué)習(xí)的引導(dǎo)者、組織者、合作者和促進者，使教學(xué)過程成為師生交流、積極互動、共同發(fā)展的過程．本節(jié)課采用“情境創(chuàng)設(shè)——問題探究——歸納總結(jié)——應(yīng)用鞏固——反思提高”的課堂教學(xué)模式，并以學(xué)案引導(dǎo)和多媒體手段輔助教學(xué)，使學(xué)生經(jīng)歷實踐、觀察、猜想、推導(dǎo)、交流、反思等理性思維的基本過程，切實改進學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，使學(xué)生真正成為學(xué)習(xí)的主人．五．教學(xué)環(huán)境和準(zhǔn)備：交互式多媒體教學(xué)環(huán)境：交互式電子白板及hiteach互動教學(xué)系統(tǒng)和ppt等現(xiàn)代教育技術(shù)，主要利用搶答器隨機選擇學(xué)生回答問題，并利用IRS反饋器（選擇）-----數(shù)據(jù)統(tǒng)計分析，并針對學(xué)生錯誤率較高的題目和選項予以講評和提問，從而發(fā)現(xiàn)錯因，及時糾正；手機端拍照上傳----及時反饋學(xué)生完成情況；白板批注功能------分析并及時解決學(xué)生存在問題。教學(xué)準(zhǔn)備：一支鉛筆、兩個圖釘、一根細(xì)繩、一張硬紙板。(2)教師準(zhǔn)備：用PPT及幾何畫板制作的課件。六、教學(xué)過程（一）創(chuàng)設(shè)情境，引入課題：師：同學(xué)們，之前我們學(xué)習(xí)了一類特殊重要的曲線----橢圓，我們知道我國先后發(fā)射成功的“神舟一號----九號”、“天宮一號”繞地飛行,“嫦娥一號----二號”繞月飛行及太陽系里的行星包括我們地球繞太陽飛行的軌道是橢圓，那么橢圓是如何定義呢？橢圓的定義:平面內(nèi)與兩個定點F1,F2的距離之和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點的軌跡叫作橢圓.兩定點F1，F(xiàn)2叫橢圓的焦點，兩焦點間距|F1F橢圓定義的集合語言特別地當(dāng)常數(shù)=|F1F2|時------軌跡是線段；當(dāng)常數(shù)<|F1F2|時------知道了橢圓的定義也就知道了橢圓的基本幾何特征.但是,這只是一種“定性”的描述。為了”定量”地研究橢圓,就需要利用橢圓的方程，那么如何根據(jù)橢圓的定義求橢圓的方程呢？引入課題：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．（二）合理建系，推導(dǎo)方程．為了”定量”地研究橢圓,就需要利用橢圓的方程，那么如何根據(jù)橢圓的定義求橢圓的方程呢？xyoxyo方案2（1）建系;（2）設(shè)點；（3）列式；（4）化簡；（5）說明2、思考:怎樣建立直角坐標(biāo)系才能使橢圓的方程最簡呢?(形式簡單、運算簡單)利用搶答器隨機選擇學(xué)生回答問題，啟發(fā)學(xué)生類比求圓的方程的建系方法，最后采用以下兩種方案:方案一：以兩定點的連線為X軸，其垂直平分線為Y軸；方案二：以兩定點的連線為Y軸，其垂直平分線為X軸。(原則：盡可能使方程的形式簡單、運算簡單)(一般利用對稱軸或已有的互相垂直的線段所在的直線作為坐標(biāo)軸.)體現(xiàn)“對稱美”“簡潔美”的特點。利用搶答器隨機選擇學(xué)生回答問題，并針對學(xué)生回答情況------分析并及時解決問題。3、橢圓方程和推導(dǎo):選定方案一解(1)建系:以兩定點所在直線為軸，線段的垂直平分線為y軸，建立直角坐標(biāo)系（如圖）．xyOF1F2M(2)設(shè)點:設(shè)為橢圓上的任意一點，設(shè)定長(繩子長)為m,焦距|F1F2|xyOF1F2M(說明:兩焦點的橫坐標(biāo)出現(xiàn)分式,不便計算,改設(shè)焦距|F1F2|=2c焦距|F1F2|=2c,則F1(-c,0)、F2(c,0)且m>2c（3）列式:由橢圓的定義,橢圓就是集合P={M||MF1|+|MF2|=m}由兩點的距離公式，所以有:由于化簡含兩個根式方程的方法特殊，難度較大，估計學(xué)生容易想到直接平方，這時通過精心設(shè)問來突破難點：問：兩個根式之和的等式，如何化簡？預(yù)想1：學(xué)生可能會想直接平方對策1：將錯就錯，直到學(xué)生感到困難，算不下去，出現(xiàn)困惑，老師在引導(dǎo)。預(yù)想2：學(xué)生直接提出將一個根式移到另一邊.對策2：順著學(xué)生思路走，但追問為什么這么做，點明思路.利用搶答器隨機選擇學(xué)生回答問題，并針對學(xué)生回答情況------分析并及時解決問題。（4）化簡：移項得平方得整理得再平方得xyOxyOF1F2Pca所以即令m=2a,即|MF1|+|MF2|=2a,上面方程化簡可得指出：這個方程還不夠簡潔對稱，我們設(shè)，(說明:為了讓學(xué)生明白設(shè)常數(shù)2a、2c的合理性。選擇首先設(shè)常數(shù)m,n，然后以2a,2c替換，其目的是讓學(xué)生體會到設(shè)2a,2c的合理性。)則橢圓方程變?yōu)椋╝＞b＞0）（5）說明:由上述過程可知，橢圓上的點的坐標(biāo)(x,y)都滿足上面這個方程；滿足這個方程的點(x,y)都在已知的橢圓上。所以，這個方程就是所求得橢圓的方程.我們把方程叫做橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。4、類比推廣，對比歸納[師總結(jié)]方案一：焦點在x軸上橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程：，兩焦點F1(-c,0)、F2(c,0)，其中b2=a2-c2。結(jié)合圖形，能找出方程中a、b、c對應(yīng)的線段嗎?．如圖可知，|OF1|=|OF2|=c,|PF1|=|PF2|=a,|PO|=b。（學(xué)生觀察分析，明確b的幾何意義。）問：對方案二：如果焦點F1，F(xiàn)2在y軸上，且F1，F(xiàn)2的坐標(biāo)分別為(0,-c),(0,c)(a,b的意義同上)，這時橢圓的方程是什么？利用搶答器隨機選擇學(xué)生回答。生：x、y互換，得到焦點在y軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（a＞b＞0）。）[設(shè)計意圖]通過對比總結(jié)，加深對橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的理解，使學(xué)生體會類比的思想方法，為后面學(xué)習(xí)雙曲線、拋物線打基礎(chǔ)。因此，焦點在y軸上的橢圓的方程為這個方程形式簡單，因此我們把這個方程也叫橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程?；顒樱航處熈斜砀瘢瑢W(xué)生對比歸納兩種標(biāo)準(zhǔn)方程的特點及相同點與不同點。5、知識疏理，提高認(rèn)識定義滿足|MF1|+|MF2|=2a>2c=|F1F2圖形xxyMOxxMO標(biāo)準(zhǔn)方程+=1+=1a,b,c關(guān)系焦點坐標(biāo)焦點位置在x軸上在y軸上焦點位置的判定分母哪一個大，焦點就在哪一個軸上說明:1、橢圓方程中的a、b、c與坐標(biāo)系無關(guān)，而焦點坐標(biāo)與坐標(biāo)系有關(guān)．2、確定橢圓方程需要三個條件，兩個定形條件：a、b；一個定位條件：焦點坐標(biāo)．利用搶答器隨機選擇兩學(xué)生，手機端拍照上傳學(xué)生填寫情況，并白板批注功能------分析并及時解決學(xué)生存在問題。（三）嘗試應(yīng)用，鞏固新知．例、已知橢圓的兩個焦點的坐標(biāo)分別是F1(-2,0)、F2(2,0)，并且經(jīng)過點P．求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。課堂鞏固練習(xí):1、已知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，則a=_4____，b=_____，c=____2___，焦距是4，焦點坐標(biāo)為：(0，±2)。2、已知點P是橢圓上的一點,且點P到橢圓一個焦點的距離為３，則點P到另一焦點距離為（D）A．２B．３C3、寫出適合下列條件的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程:①a=4,b=1．焦點在x軸上：②a=4,c=3：4、已知橢圓C經(jīng)過兩點,求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程。依據(jù)學(xué)生完成例1和例3的情況，在電子白板上給出學(xué)生所得結(jié)果的若干選項；利用IRS反饋器（選擇）-----數(shù)據(jù)統(tǒng)計分析，并針對學(xué)生錯誤率較高的題目和選項予以講評和提問，從而發(fā)現(xiàn)錯因，及時糾正；設(shè)計意圖通過練習(xí)對學(xué)生的掌握情況及時反饋，加強鞏固；對本節(jié)課的內(nèi)容進行反思總結(jié)，納入知識結(jié)構(gòu)，使知識系統(tǒng)化。（四）知識總結(jié)形成體系本節(jié)內(nèi)容可概括為“一、二、三”1、一個定義（橢圓的定義）2、二類方程（焦點分別在x軸、y軸的上的兩個標(biāo)準(zhǔn)方程）3、三個意識（求美意識、求簡意識、猜想意識）（五）課后作業(yè)，鞏固提高(學(xué)有余力的學(xué)生全做)JS2022高二數(shù)學(xué)選修2-1橢圓及標(biāo)準(zhǔn)線方程校本作業(yè)班級姓名座號建議完成時間20-30分鐘1.橢圓的焦距為()B.C.D.2、橢圓的左右焦點為，一直線過交橢圓于A、B兩點，則的周長為（）.16C3、橢圓的焦距是2，則m的值為()A．5B．3C．5或3D．204、設(shè)為定點，||=6，動點M滿足，則動點M的軌跡是（）A.橢圓B.直線