第七章習(xí)題解答

/習(xí)題七1。判斷下面所定義的變換，哪些是線性的，哪些不是：（1）在向量空間V中,（）=＋,是V中一固定的向量；（2）在向量空間Ｒ3中,(x1,x２,x3）=；（3)在向量空間Ｒ3中，（ｘ１,x2，x3）＝;(4）把復(fù)數(shù)域看作復(fù)數(shù)域上的向量空間，（)＝．解(1)當(dāng)時，是線性變換;當(dāng)時，不是線性變換；（2）不是線性變換；（３）是線性變換；(４）不是線性變換;2.設(shè)Ｖ是數(shù)域F上一維向量空間.證明，是Ｖ的一個線性變換的充要條件是:存在F中的一個數(shù)a，使得對任意V，都有()＝a.證明：充分性顯然.必要性:令是的一個線性變換，設(shè)是的一個基。則.那么可由線性表示，不妨設(shè).對任意的,有，則.3．設(shè)是向量空間V的線性變換，如果k－10，但k=０，求證,，…，k－1(ｋ〉０)線性無關(guān).證明:令┄+┈┈┈┈（1）（１）式兩端用作用得:+由已知得：＝，所以有．則(１)式變?yōu)?+┈┈┈┈（２)（2)式兩端用作用得：+同理。重復(fù)上述過程有:．4.在向量空間Ｒ［ｘ]中,（ｆ（x))=f(x）,（ｆ(x））＝xf（x)，證明,-＝。證明:對任意,有.所以-＝.5。在向量空間R3中,線性變換,如下：（ｘ1，x2,x３)＝(ｘ1，x２,x1＋x2）(x1，x2,x3）=（ｘ1＋ｘ2－ｘ３，0,x３—x1－x２）（1)求,，2;(2)求＋，—，2．解:(１)0，，.，=。。(2）=++.==.＝.6。已知向量空間R3的線性變換為（x1,x2,x３)＝（x1+x2＋x3,x2+x3,－ｘ3）證明,是可逆變換，并求－１．證明：，,。 關(guān)于的一個基，,的矩陣為:.顯然,可逆,所以是可逆變換，而且所以.7。設(shè)，,都是向量空間V的線性變換，試證，（1）如果，都與可交換，則,２也都與可交換（若對任意V,都有()＝()，就說與可交換)；(2）如果＋，-都與可交換，則,也都與可交換。證：（1)由已知．那么=..（2)同理可證。8.證明,數(shù)域Ｆ上的有限維向量空間V的線性變換是可逆變換的充分必要條件是把非零向量變?yōu)榉橇阆蛄浚C明:不妨設(shè)是n維的．，是它的一個基。關(guān)于這個基的矩陣為.顯然，可逆當(dāng)且僅當(dāng)可逆．把非零向量變?yōu)榉橇阆蛄慨?dāng)且僅當(dāng)，而秩＝秩，的零度=。且秩+的零度=n.所以秩=n當(dāng)且僅當(dāng)?shù)牧愣仁?，即可逆當(dāng)且僅當(dāng)．故可逆當(dāng)且僅當(dāng)把非零向量變?yōu)榉橇阆蛄?。?證明，可逆線性變換把線性無關(guān)的向量組變?yōu)榫€性無關(guān)的向量組。證明：令是向量空間的可逆線性變換,，是的一組線性無關(guān)的向量，令+.兩端用作用得：+。由已知，線性無關(guān)，所以：＝。故,線性無關(guān)．10。設(shè)｛1，2,3｝是F上向量空間V的一個基.已知V的線性變換在｛1，2，3｝下的矩陣為A=(１）求在｛1,3,2｝下的矩陣;(2）求在{１,k2，3}下的矩陣(k0,kF）;(3)求在｛1,1＋2,3｝下的矩陣。解:（1）。(２）.（3）11.在R3中定義線性變換如下(x1，x２,x3)＝(２x2+x3，x1－4x2，3x１）,（x1,x2,x3）Ｒ3。(１）求在基1=(1，0，0）,２=(0,１，0），3＝(0,0，1)下的矩陣;(2）利用(１)中結(jié)論，求在基１=(1，1,1），2＝(1，1,0），3=（１,0，０)下的矩陣．解:（1）（2）從基到基的過渡矩陣為.在下的矩陣為：=。１2.已知M2(F）的兩個線性變換，如下(X）＝X,（Ｘ）=X,XＭ２（F）.試求＋,在基E1１，Ｅ1２，E21，Ｅ２2下的矩陣．又問和是否可逆?若可逆，求其逆變換在同一基下的矩陣.證明:＝.＝.=。＝。所以在基下的矩陣為．同理可證在基下的矩陣。，,，。所以在此基下的矩陣為：。顯然,可逆．所以可逆．在同一基下的矩陣為：。同理可討論的可逆性及求的矩陣.13．設(shè)是數(shù)域F上n維向量空間Ｖ的一個線性變換.W1，W2是V的子空間,并且Ｖ=Ｗ１W２證明,是可逆變換的充要條件是Ｖ＝(W1）（W2）證明：令，是的一個基．令，是的一個基．由已知得:，是的一個基．必要性：設(shè)可逆，則，，,也是的一個基．但￡（，).￡（，）所以，，故V=（W1）（W2）。充分性：將必要性的過程倒過去即可．14．設(shè)R３的線性變換定義如下：（x1，x2,ｘ３)＝(2x1－x2,ｘ２－x3,x2＋x３）求在基1=（1，0，0)，2＝(０,1，0），3=(０，0，1）及基1=(1，1，0)，2=(0,1，１)，3=(０,０，1）下的矩陣.解:在基｛1,３，2｝下的矩陣為：.在基｛}下的矩陣為：=。15。在Ｍ2(F）中定義線性變換為(X）=Ｘ,XＭ2（F).求在基｛Ｅ11,E1２，E２1，E２２｝下的矩陣，其中E11＝,E12＝,Ｅ２１=,Ｅ22=．解:在基{｝下的矩陣為．16。證明,與ｎ維向量空間Ｖ的全體線性變換可交換的線性變換是數(shù)量變換.證明：由習(xí)題二及第1０題的結(jié)論易得。1７．給定R３的兩個基1＝（1，0，１)，2＝(2,1，０），3=（１，1,1)；和１＝（１，２，-１）,2＝(2，2,—1），３=(2，－1,-1).是R３的線性變換，且（i）=i，ｉ=1，2,3。求(1）由基{１，2,3}到基｛１,２,３｝的過渡矩陣；(２）關(guān)于基｛1，２，３｝的矩陣；(3）關(guān)于基｛1,２，３｝的矩陣。解:（1）令,，。則由{１,2，3｝到｛１，３,２}的過渡矩陣為:。由基{１，3，2}到基｛1，2，3｝的過渡矩陣為:.所以由基｛1，2，３｝到基{1，2，3｝的過渡矩陣為:＝（２)．所以在下的矩陣為:.關(guān)于基{１，2，3｝的矩陣為:1８．設(shè)1=（—1，0，—2),2＝（0，１，２),3＝（1,2,5），1=(—1,1,0)，2＝（１,０，1），３=(0,1，2),＝（0,3，５）是R3中的向量，是Ｒ3的線性變換，并且(１）=(2，0，－1)，(2）=（０，0，1）,（３)＝（0，1，2）。（1)求關(guān)于基｛1，２,３｝的矩陣；（2）求（)關(guān)于基{1，2，3｝的坐標(biāo);（３)求（)關(guān)于基{1,2,３}的坐標(biāo).解：令,.則從基｛１,2，3}到基｛1，２，3}的過渡矩陣為：.又所以關(guān)于的矩陣為：．從而關(guān)于基｛1，2,3｝的矩陣為:＝。（2）．所以的坐標(biāo)為:由（２）可知=(1,2，3）所以{１，２，3}的坐標(biāo)為:=＝。19.設(shè)R3有一個線性變換定義如下：（x１，x２,x3）=（x1＋ｘ2,ｘ2+x3,ｘ３)，(x1,x2,x3）Ｒ3．下列R3的子空間哪些在之下不變?（1）｛（0，0，c）｜cＲ｝；(２)｛(０，ｂ，ｃ）|b，cＲ};（3)｛（ａ，0,０)|ａＲ};(4）{（ａ，b,0）|a,bR｝；（5)｛(a，0，c)|a，cＲ｝;（6)｛(ａ，－a,0)|aＲ}。解：（3)與（4）在之下不變．20．設(shè)是n維向量空間Ｖ的一個線性變換,證明下列條件等價：(1)（Ｖ）＝V;(２)ker=｛0｝．證明:因為秩+的零度=n。所以秩＝ｎ當(dāng)且僅當(dāng)?shù)牧愣仁?,即當(dāng)且僅當(dāng),因此當(dāng)且僅當(dāng).21.已知R3的線性變換定義如下：(x1,x２，ｘ3）＝（x１＋2x２－x3，x2+ｘ３,x1+x2－２x3），(ｘ1,x2,x３)R3．求的值域（Ｖ）與核Kｅｒ的維數(shù)和基。解：關(guān)于基，,的矩陣為:。,,.其中,.２２.設(shè)是向量空間V的一個線性變換，W是的一個不變子空間，證明，W是２的不變子空間。證明：由不變子空間的定義易證。２３.設(shè)是數(shù)域Ｆ上n（0）維向量空間V的一個線性變換，｛1，2，…,r,r+1,…，n}是V的基。證明，如果{１,2，…，r}是Ker的基，那么{(ｒ+1)，…,(n)}是Iｍ的基.證明：已知{1，2,…，r｝是Ker的基,則（ｉ)＝０，i=１,2，…,r.令lr+1(r＋1）+lｒ+2(r+2)＋…+ln（n）=0，則（lr+1r+1＋…+lnn)=0,ｌr+1r＋1+…+lnnKer。所以lr＋１r＋1+…+lnn=l１1＋…＋lrr但1，2，…，r，r+1，…,n是V的一個基,故lｒ+1=…＝ｌn=0．所以(r+1）,…，（n)線性無關(guān).又Im=￡(（１),（2)…,（n））=（(ｒ+1）,…，（ｎ)）．從而結(jié)論成立.24.對任意R4，令（）=A，其中A=求線性變換的核與象.解：1=,2=,Ｋer=￡（1,2）。(1）=,（2）＝。Im＝￡（（１)，（2））.25．設(shè),是向量空間Ｖ的線性變換,且+=,==。這里是Ｖ的恒等變換，是V的零變換．證明:(１）Ｖ＝（V)（V）;（2)(V)=Keｒ。證明:（1）Ｖ，=(）＝(＋）(）=（）+(）.所以V＝（V）+（V)．對任意（Ｖ）∩(V）。則=(１）+（2)。由已知條件可得=（(１))=（＋）（(1))=·（（1）=·（(２）＝（2)=0.故結(jié)論成立.（2）對任意（）（V）,則（（））＝0，所以（）Ker。反之，對任意Ker,則（)＝0。由已知條件可得,＝（＋)（）=(）＋（）=()，所以（V).26.在向量空間Fn［x］中，定義線性變換為：對任意f(ｘ)Ｆn［ｘ］，（f(x））=ｘｆ（ｘ）－ｆ(ｘ）.這里ｆ(ｘ）表示f(x）的導(dǎo)數(shù).(1)求Ｋeｒ及Iｍ；（2）證明，V＝KerＩm。解:（１）令(ｆ（x））＝ｘf（ｘ）—f(x）＝0其中f（ｘ)=a０+a1x＋…+anxn.則(a1ｘ+２a２x２+…＋nanxn)-ｆ(x)=0(0—ａ0)+（a1-a1)ｘ+（2ａ2-ａ２）x2+…+（nan—aｎ）ｘn=0有，所以ｆ(x）=a1ｘ,Ker=￡(x)，Im=￡（1，x2，…，xｎ).(2）顯然．27。已知向量空間Ｖ的線性變換在基{1，2，３｝下的矩陣為Ａ=求的本征值及相應(yīng)的本征向量.問是否存在V的一個基使得關(guān)于這個基的矩陣是對角陣?解:本征值=2(三重)，屬于=2的線性無關(guān)的本征向量為：１=，２=,故不能對角化。28.設(shè)是向量空間V的可逆線性變換，證明(１）的本征值一定不為0；（２)如果是的本征值,那么是－1的本征值。證明:（１)反設(shè)有一本征值為０，則存在≠0,V，使得（）＝0·=0.因為可逆，所以－１((））=0，即=0.矛盾。(2）設(shè)是的本征值，由（１）得≠0，且有（)=,≠０．—1（())=—1（)。即—１（）=,所以結(jié)論成立.補(bǔ)充題1．設(shè)是數(shù)域F上n維向量空間V的一個線性變換.證明（1）KerKeｒ2Keｒ3…（２)ImIm２Ｉm3…證明：（1）對任意正整數(shù)ｎ，下證KerｎKern+1對任意Keｒn.，n(）=０,(n（））=0即ｎ+1(）＝０,所以Kｅrｎ＋1.（2）對任意正整數(shù)n，下證ＩmnImn+1.對任意Imｎ＋１，則存在V，使得＝n+１（）＝n（（)）Imn。2。設(shè)A是數(shù)域F上的n階矩陣。證明，存在Ｆ上的一個非零多項式ｆ（x)，使得f（A)=０.［不用Cayley-Ｈamilton定理證.］證明:由于ｄｉmＭｎ(Ｆ）=n2，所以Ｉ,A，A2，…,A線性相關(guān)，故存在Ｆ上的不全為零的一組數(shù)ｋ0，,k1，…,k，使得┄＋。取┄+,結(jié)論得證．3.設(shè)V是n維向量空間，是V的一個可逆線性變換，W是的一個不變子空間。證明,Ｗ也是—1的不變子空間.證明：令{1，2,…,r}是W的一個基,因為W是的不變子空間,所以,。又是可逆的,所以，線性無關(guān),故，也是Ｗ的一個基。因為.所以Ｗ關(guān)于不變．４。設(shè)是數(shù)域F上向量空間V的一個線性變換,2=。證明：（1)Ｋeｒ=｛-（)｜V}；(2）V=KerIm;(3）若是Ｖ的一個線性變換，那么Keｒ和Im都在之下不變的充要條件是＝.［提示:證（3)的必要性，利用(２）．］證明：(1)對于任意的則那么．反之，任意的，有,故．（2)由（１)的解果可知：，對任意的，則有:，因此．同時還有：所以,結(jié)論成立.（３）充分性易證.必要性:設(shè)Keｒ和Im都在之下不變,由（2)的結(jié)論得：其中.又因為。由已知,不妨設(shè),所以。5。設(shè)是數(shù)域F上n維向量空間Ｖ的一個線性變換