2020-2021高中數(shù)學(xué)人教版1-1配套學(xué)案：1.1.2四種命題 1.1.3四種命題間的相互關(guān)系含解析

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2020-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué)人教A版選修1-1配套學(xué)案：1.1.2四種命題1.1.3四種命題間的相互關(guān)系含解析1.1。2四種命題1.1.3四種命題間的相互關(guān)系自主預(yù)習(xí)·探新知情景引入漢語是世界上美麗的語言．對于同樣的幾個(gè)字、幾個(gè)詞，不同的排列方式,往往產(chǎn)生不同的效果．在我們的校園里有著這樣的宣傳語：為了一切的孩子、為了孩子的一切、一切為了孩子，每一種表述有著不一樣的意義．同樣地，數(shù)學(xué)也是美麗的語言,這其中是否也有著同樣的文字，但不同的排列含義是否不一樣呢？新知導(dǎo)學(xué)1．一般地，對于兩個(gè)命題，如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論和條件，那么我們把這樣的兩個(gè)命題叫做__互逆命題__，其中一個(gè)命題叫做__原命題__，另一個(gè)叫做原命題的__逆命題__。2．一般地，對于兩個(gè)命題，如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的條件的否定和結(jié)論的否定，我們把這樣的兩個(gè)命題叫做__互否命題__,其中一個(gè)命題叫做__原命題__，另一個(gè)叫做原命題的__否命題__。3．一般地，對于兩個(gè)命題，如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論恰好是另一個(gè)命題的結(jié)論的否定和條件的否定，我們把這樣的兩個(gè)命題叫做__互為逆否命題__，其中一個(gè)命題叫做__原命題__，另一個(gè)叫做原命題的__逆否命題__。4．四種命題的相互關(guān)系5．(1）原命題為真，它的逆命題__不一定__為真．（2)原命題為真，它的否命題__不一定__為真．（3)原命題為真,它的逆否命題__一定__為真．即互為逆否的命題是等價(jià)命題，它們同__真__同__假__,同一個(gè)命題的逆命題和否命題是一對互為__逆否__的命題，它們同__真__同__假__。預(yù)習(xí)自測1．設(shè)a，b是向量，命題“若a＝－b，則｜a｜＝｜b|”的逆命題是(D)A．若a≠－b，則｜a|≠|(zhì)b｜B．若a＝－b，則｜a｜≠|(zhì)b｜C．若|a|≠|(zhì)b|,則a≠－bD．若|a｜＝|b|,則a＝－b[解析］原命題的條件是“a＝－b”，結(jié)論是“|a｜＝｜b|",根據(jù)原命題與逆命題的關(guān)系知，選D．2．當(dāng)命題“若p，則q”為真時(shí)，下列命題中一定是真命題的是(C）A．若q，則p B．若?p,則?qC．若?q,則?p D．若?p，則q［解析]∵“若p，則q"為真，∴其逆否命題“若?q，則?p”一定為真．3．若命題p的逆命題是q，命題p的否命題是r，則命題q是命題r的(C)A．逆命題 B．否命題C．逆否命題 D．以上都不對[解析]同一個(gè)命題的逆命題和否命題互為逆否命題，故選C．4．命題“對于正數(shù)a，若a>1,則lga>0"及其逆命題、否命題、逆否命題四種命題中，真命題的個(gè)數(shù)為(D）A．0 B．1C．2 D．4［解析]原命題“對于正數(shù)a，若a〉1，則lga〉0”是真命題；逆命題“對于正數(shù)a,lga>0,則a>1"是真命題；否命題“對于正數(shù)a，若a≤1，則lga≤0”是真命題；逆否命題“對于正數(shù)a，若lga≤0，則a≤1”是真命題．5．(2020·山西太原高二期末)命題“若x2＜1，則－1＜x＜1”的逆否命題是__若x≤－1或x≥1,則x2≥1__.[解析]x2＜1的否定為x2≥1,－1＜x＜的否定為x≥1或x≤－1，故命題“若x2＜1,則－1＜x＜1”的逆否命題是“若x≤－1或x≥1，則x2≥1”．互動(dòng)探究·攻重難互動(dòng)探究解疑命題方向?命題的四種形式之間的轉(zhuǎn)換典例1寫出下列命題的逆命題、否命題與逆否命題．（1）負(fù)數(shù)的平方是正數(shù)；(2）正方形的四條邊相等．[思路分析]此題的題設(shè)和結(jié)論不很明顯，因此首先將命題改寫成“若p，則q"的形式，然后再寫出它的逆命題、否命題與逆否命題．［解析］(1）改寫成“若一個(gè)數(shù)是負(fù)數(shù)，則它的平方是正數(shù)"．逆命題：若一個(gè)數(shù)的平方是正數(shù)，則它是負(fù)數(shù)．否命題：若一個(gè)數(shù)不是負(fù)數(shù)，則它的平方不是正數(shù)．逆否命題:若一個(gè)數(shù)的平方不是正數(shù)，則它不是負(fù)數(shù)．(2）原命題可以寫成：若一個(gè)四邊形是正方形,則它的四條邊相等．逆命題：若一個(gè)四邊形的四條邊相等,則它是正方形．否命題：若一個(gè)四邊形不是正方形,則它的四條邊不相等．逆否命題：若一個(gè)四邊形的四條邊不相等，則它不是正方形．『規(guī)律方法』關(guān)于原命題的逆命題、否命題和逆否命題的寫法:首先：把原命題整理成“若p，則q”的形式．其次：(1）“換位”（即交換命題的條件與結(jié)論）得到“若q，則p”，即為逆命題;(2)“換質(zhì)”（即將原命題的條件與結(jié)論分別否定后作為條件和結(jié)論）得到“若非p，則非q”即為否命題;(3)既“換位”又“換質(zhì)"(即把原命題的結(jié)論否定后作為新命題的條件，條件否定后作為新命題的結(jié)論)得到“若非q,則非p”即為逆否命題．關(guān)鍵是分清原命題的條件和結(jié)論，然后按定義來寫．┃┃跟蹤練習(xí)1__■寫出下列命題的逆命題、否命題、逆否命題．（1）若x2＋y2＝0,則x、y全為0；（2）若a＋b是偶數(shù)，則a、b都是偶數(shù)．［解析］(1）逆命題：若x、y全為0,則x2＋y2＝0；否命題:若x2＋y2≠0，則x、y不全為0；逆否命題：若x、y不全為0，則x2＋y2≠0.(2）逆命題：若a、b都是偶數(shù)，則a＋b是偶數(shù);否命題：若a＋b不是偶數(shù),則a、b不都是偶數(shù)；逆否命題：若a、b不都是偶數(shù)，則a＋b不是偶數(shù)．命題方向?四種命題的關(guān)系及真假判斷典例2寫出下列命題的逆命題、否命題、逆否命題，并判斷真假．(1)若A∩B＝A，則A?B；(2）垂直于同一條直線的兩直線平行；（3）若ab＝0,則a＝0或b＝0。[思路分析]找準(zhǔn)原命題的條件和結(jié)論，依照定義寫出另外三種命題．[解析](1）逆命題:若A?B，則A∩B＝A．真命題；否命題：若A∩B≠A，則AB．真命題；逆否命題：若AB，則A∩B≠A．真命題．（2）逆命題：若兩條直線平行，則它們垂直于同一條直線．真命題；否命題:若兩條直線不垂直于同一條直線,則它們不平行．真命題；逆否命題:若兩條直線互相不平行，則它們不垂直于同一條直線．假命題．（3)逆命題：若a＝0或b＝0，則ab＝0。真命題；否命題：若ab≠0，則a≠0且b≠0.真命題；逆否命題：若a≠0，且b≠0，則ab≠0.真命題．『規(guī)律方法』1。由原命題寫出其他三種命題，關(guān)鍵是要分清原命題的條件與結(jié)論，尤其是寫否命題和逆否命題時(shí)，要注意對原命題中條件和結(jié)論的否定，這種否定要從條件和結(jié)論的真假性上進(jìn)行否定，而不是僅僅加上一個(gè)“不”字，為此可根據(jù)“互為逆否關(guān)系的命題同真假”進(jìn)行檢驗(yàn)．2．當(dāng)一個(gè)命題是否定性命題且不易判斷真假時(shí)，可通過判斷其逆否命題的真假以達(dá)到目的．┃┃跟蹤練習(xí)2__■設(shè)原命題：若a＋b≥2，則a、b中至少有一個(gè)不小于1，則原命題與其逆命題的真假情況是（A)A．原命題為真，逆命題為假B．原命題為假,逆命題為真C．原命題與逆命題均為真命題D．原命題與逆命題均為假命題［解析]因?yàn)樵}“若a＋b≥2，則a、b中至少有一個(gè)不小于1"的逆否命題為“若a、b都小于1,則a＋b<2"，顯然為真,所以原命題為真;原命題“若a＋b≥2，則a、b中至少有一個(gè)不小于1”的逆命題為“若a、b中至少有一個(gè)不小于1,則a＋b≥2”，是假命題，反例為a＝1。2，b＝0.3，故選A．命題方向?正難則反，等價(jià)轉(zhuǎn)化思想我們在直接證明某一個(gè)命題為真命題有困難時(shí)，可以通過證明它的逆否命題為真命題，來間接地證明原命題為真命題．典例3證明:已知函數(shù)f（x)是(－∞，＋∞）上的增函數(shù)，a、b∈R，若f(a)＋f（b)≥f(－a)＋f（－b)，則a＋b≥0。[思路分析］已知函數(shù)f(x)的單調(diào)性，可將自變量的大小與函數(shù)值的大小關(guān)系相互轉(zhuǎn)化，本題中條件較復(fù)雜，而結(jié)論比較簡單，故轉(zhuǎn)化為證明其逆否命題．[解析]原命題的逆否命題為“已知函數(shù)f(x)是(－∞，＋∞)上的增函數(shù),a、b∈R，若a＋b〈0，則f(a)＋f（b）<f(－a)＋f(－b）．”證明如下:若a＋b<0，則a<－b，b<－a，又∵f(x)在（－∞，＋∞)上是增函數(shù)，∴f(a）〈f(－b),f（b）〈f(－a)．∴f(a）＋f（b）<f(－a)＋f(－b),即逆否命題為真命題．∴原命題為真命題．┃┃跟蹤練習(xí)3__■判斷命題“已知a、x為實(shí)數(shù)，若關(guān)于x的不等式x2＋（2a＋1)x＋a2＋2〉0的解集是R，則a<eq\f（7,4）”的逆否命題的真假．[解析］先判斷原命題的真假如下：∵a、x為實(shí)數(shù),關(guān)于x的不等式x2＋（2a＋1）x＋a2＋2〉0的解集為R，且拋物線y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的開口向上，所以Δ＝（2a＋1)2－4（a2＋2）＝4a－7<0，∴a<eq\f(7,4)。所以原命題是真命題．又∵互為逆否命題的兩個(gè)命題同真同假,∴原命題的逆否命題為真命題．學(xué)科核心素養(yǎng)命題的間接證明當(dāng)一個(gè)命題的真假不容易證明時(shí)，常借助它的逆否命題的真假來證明；利用原命題與逆否命題，逆命題與否命題的等價(jià)關(guān)系進(jìn)行判斷．典例4關(guān)于命題“若拋物線y＝ax2＋bx＋c的開口向下,則｛x|ax2＋bx＋c〈0｝≠?"的逆命題、否命題、逆否命題的真假性,下列結(jié)論成立的是（D)A．都真 B．都假C．否命題真 D．逆否命題真［解析]原命題“若拋物線y＝ax2＋bx＋c的開口向下，則｛x|ax2＋bx＋c<0}≠?”為真命題；逆命題“若｛x｜ax2＋bx＋c〈0}≠?，則拋物線y＝ax2＋bx＋c的開口向下”為假命題，因?yàn)閽佄锞€的開口也可能向上（a〉0）；根據(jù)命題間的等價(jià)關(guān)系可知其否命題為假，逆否命題為真．故選D．『規(guī)律方法』由于原命題與其逆否命題是等價(jià)的，因此當(dāng)我們證明或判斷原命題感到困難時(shí)，可考慮證明它的逆否命題成立，這樣也能達(dá)到證明原命題成立的目的．這種證法叫做逆否證法．┃┃跟蹤練習(xí)4__■求證:當(dāng)a2＋b2＝c2時(shí)，a，b，c不可能都是奇數(shù)．［解析］證明:構(gòu)造命題p:若a2＋b2＝c2，則a,b，c不可能都是奇數(shù)．該命題的逆否命題是：若a,b，c都是奇數(shù)，則a2＋b2≠c2.下面證明逆否命題是真命題．由于a，b,c都是奇數(shù)，則a2，b2，c2都是奇數(shù)，于是a2＋b2必為偶數(shù),而c2為奇數(shù)，所以有a2＋b2≠c2,故逆否命題為真命題，從而原命題也是真命題．易混易錯(cuò)警示分清命題的條件與結(jié)論典例5寫出命題“已知a、b、c、d是實(shí)數(shù)，如果a＝b，c＝d，則a＋c＝b＋d”的逆命題、否命題，并判斷它們的真假．［錯(cuò)解］逆命題：如果a＋c＝b＋d,則a、b、c、d是實(shí)數(shù),且a＝b，c＝d.假命題．否命題：如果a、b、c、d不是實(shí)數(shù)，a≠b，