高考數(shù)學(xué)必考排列組合全部解題方法

離考數(shù)'7:必考攤列組合全部解題方法

排列組合問題聯(lián)系實際生動冇趣，但題型多樣，思路犬活，W此

解決排列組合叼題.筲先要認(rèn)總審題.厙潔楚坫撲列問題、組合

M題還始排列與組合練合問題；其次熒抓住M題的本質(zhì)特征，采

用合理恰當(dāng)?shù)姆椒▉硖幚?教嗲目標(biāo)進(jìn)一步理解和應(yīng)用分步計數(shù)原埋和分類計數(shù)原理。舉握解決錯列組合問嫂的常用策略；能運川解題策略解決簡單的綜合應(yīng)用題。提島卞生解決問題分析問題的能力3.7:會應(yīng)川數(shù)Wfc和方法解決排列組合叫題.

g習(xí)鞏凼分類計數(shù)原理（加法原理）完成一件韋.有。類辦法?在第1類辦法中有％種不向的方法.

在第2類辦法中有^種不同的方法.…，在第n類辦法中有W.種

不同的方法，那么完成這件車《有：種不同的方法.分步計數(shù)原理（乘法原理）完成一件事，滿要分成〃令步驟，做第1步有％種不冋的法，

做第2步有％種不向的方法，....做第。步有〃|.種不問的方法.那么完成這件事共有：種不問的方法.分類計數(shù)原押分步計數(shù)原押R別分類計數(shù)哚理方法相互獨立，任何一種方法都可以獨立地完成這件韋?分步計數(shù)原柙各步相廳依存，扭步屮的"法完成半件的?個階段，不能完成整個事件.解決排列組合綜合性問題的-?般過程如下：認(rèn)總審題厙済耍做什么事怎樣做1能完成所嬰做的書，即采取分步還始分類，或始分步與

分類同時進(jìn)行，確定分多少步及多少類。確定甸一步或毎一類圮找列問題（有序）還記組合（無序）問題，

元索總數(shù)迠多少及取出多少個元乘.解決排列組合綜合性問題，往往類與步交叉，閌此必須舉掘一

些常用的解題策略特殊元東和特殊位g優(yōu)先策略例1.Ill0,1，2,3,4,5可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字五位奇數(shù).

解：由于宋位和酋位奮特殊要求，應(yīng)該優(yōu)宄安

元東占了這兩個位罝.先排末位共有《 T然后||_沒位共有c 1L1最后排其它位罝共有＜ 4 3曲分步計數(shù)原理得?28SW置分析法和元素分析法赴解決III列fllft問曲《常用也姑M*木的方法，K以元家分

先殊W處WK它元家.J7W.VB分析為I:,?5fc?足特殊位置的想求，HiftWWefV

■. 個約Oikfhfttt足弋A?個杓vlejftt的冋util想義練習(xí)題種不同的花種在排成一列的花鹽里，竹兩種鉺花不種作

中問.也不種在兩端的花盆里，問有多少不問的種法？相鄰元蒺梱綁策略例2?7人站成一排，其中甲乙相鄰且丙丁相鄰，共有多少種不問

的推法.解：可先將甲乙兩元聚捆綁成整體并看成-個踅介元索，同時丙丁也看成一個釵合元索，再與其它元東進(jìn)行排列，問時對相

鄰元蒺內(nèi)部進(jìn)行H排。lli分步計數(shù)原理可得共冇AM沐=480種

不同的排法OO&&O起求K兒個元索必Sllft?起的以用》綁注*解決將霱尨相ft的元索介并為一個元水，涔與K它元*fcftltH,網(wǎng)W?it愈井M；索內(nèi)壞也必SIIW練習(xí)題:某人射擊8搶.命中4槍，4槍命中恰好有3槍連在一起的情形的不冋種數(shù)為20不相鄰問題捕空策略例3.-?個晚會的節(jié)U冇4個舞蹈,2個相聲,3個獨唱，銶蹈節(jié)E1不

能連續(xù)出場，則節(jié)FI的出場順序有多少種？解:分兩步進(jìn)行第一步排2個相聲和3個獨唱共有＜種，第二步將

4舞蹈插入第-步樣好的6個元素中問也介酋尾兩個空位井有

種4:不向的方法，巾分步計數(shù)原理，節(jié)I」的不問順序共有

種1先位置s求的凡泉進(jìn)什汴隊內(nèi)把冬相w元衆(zhòng)硨入中閥w內(nèi)練4題：萊班新年聯(lián)歡會原定的5個節(jié)U己排成節(jié)U單.開演前

又增加了兩個新節(jié)0.如采將這兩個新節(jié)EI插入原節(jié)U咿屮，

II兩個新節(jié)冃不相鄰，那么不同插法的種數(shù)為30定序叫赴倍縮空位油入策略例4.7人排隊，其中甲乙丙3人順序、定共有多少不同的排法解：（倍縮法）對T?某幾個元聚顧序一定的拃列悶題，可先把這幾個

元嶔與其他元彖一起進(jìn)行排列，然沿川總排列數(shù)除以這幾個元疾之問的全排列數(shù)，則共有不同排法種數(shù)

足：（空位法）設(shè)想有7把椅子讓除甲乙丙以外的四人就坐共有￡

種方法，其余的二個位s甲乙丙共有i種坐法，wi

共有￡種方法。思考YBj以先讓甲乙丙就坐嗎？（插入法）先排屮乙內(nèi)三個人，共有1種排法，冉把其余4四人依

次插入共有方法I定汴問曲衫以用迕以妗化為|練習(xí)題：10人身島務(wù)不相等，排成前后排，甸拃5人，要求從左至右身離逐漸增加.共有多少排法？申:徘問題求帑策略例5.把6名攻習(xí)生分配到7個車間實習(xí)，邦有多少種不同的分法

解:完成此事共分六步:把第一名實生分叱到車鬧有1種分法.

把第二名實習(xí)生分K到午問也冇7祌分依此類推，III分步計數(shù)

職理ft有7?種不同的排法 允汗處》的tit列的特點坨以元衰為研托對?. 位戥的妁*.＜以這的位置.ft*fl不網(wǎng)的x衾沒m個位■卜的仲練德某班新年聯(lián)歡會原定的5個節(jié)EI己柿成節(jié)U單，開演時又增

加了兩個新d如果將這兩個咨H插入原打n單中.那么不同

捕法的祌數(shù)h12某8誤大樓?樓電梯卜.來S名乘艿人，他們到各ft的?層下屯梯，下電梯的方法：環(huán)排問題線報冤略例6.8人闈桌而坐，共有多少種坐法？解：圍桌而坐與坐成一捕的不問點在于?坐成圓形沒有首尾之分.

所以囚定一人＜并從此位s把岡形展成n線其余1人共有

(8-1)!種排法即7!W地?個元素作和肜法龍?從n個不R元《中取Hi曲個元素作網(wǎng)

ft練習(xí)題：6顆顏色不同的鉆石，可穿成幾種鉆石I尚120多排問韙II排策略例7.8人推成前后兩排,每排4人，其中甲乙在前排，丙在后排，共

有多少抹法解:S人排前后網(wǎng)排，相當(dāng)于S人坐8把椅子,可以把椅+排成一

III，令特殊元蒺打￡種，再作后4個位Sh的特殊元蒺丙冇

＜種，其余的5A?f5個位罝上任憊排列有七種，則丼有種練習(xí)題：有兩排座位，m11個座位，后抹12個座位，現(xiàn)安排2人就座規(guī)定前捕中問的3個座位不能坐?并11這2人

不左G相鄰，那么不M悱法的種數(shù)足346

A.排列組合混合悶題先選后排策略例8.有5個不問的小球，裝入4個不冏的盒內(nèi)，付盒至少裝一個球，

共冇多少不同的裝法.解:第一步從5個球屮選出2個組成復(fù)合元共有f種方法.再把

4個元崠(包;V—個釔合元東)裝入4個不1_盒內(nèi)有f種

方法.根據(jù)分步計數(shù)原理裝球的方法共有％ _|解決》1?組合?先達(dá)后川^?駐本的K分.Bffl.此法4相略相似叫？練習(xí)題：一個班有6名戰(zhàn)士，其中正副班長各1人現(xiàn)從中選4人完

成四種不同的仃:務(wù)，甸人完成?種仃務(wù)，且正副班長冇.ft

只有1人參加，則不同的選法有192種九.小集團(tuán)問地先整體后椅部策略例9.用1,2,3.4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)其中恰有兩個偶數(shù)

央1,5在兩個奇數(shù)之間，這樣的五位數(shù)舍多少個？W：把I,5,2,4當(dāng)作一個小集團(tuán)與3排隊井有f種排法，

冉排小集團(tuán)內(nèi)部共^A：4：種排法.由分步計瓦原理共有

4：4：4：種排法.小衆(zhòng)1＜|}??問?中，*螫體其它策W進(jìn)trttw.ftIIIw地.兒ft分戍的分汝習(xí)題:I.計劃展出10幅不同的國，其中1幅水彩畫，4幅油囲，5幅國亂

排成一行陳列，要求同一 品種的必須連在一起，并且水彩畫不在兩端，那么共有陳列方式的種數(shù)為2.5男生和5女生站成一排照像，男生相鄰，女生也相鄰的排法有

4;?種十.元農(nóng)相同問題隔極策略例10.有10個運動員名額，分給7個班，毎班至少一個，有多少

種分fid方案？解：因為W個名額沒有差別,把它們排成一排。相鄰名顫之

間形成9個空隙。在9個空檔中選6個位S插個隔板.可

把名額分成7份.對應(yīng)地分洽7個班級?邱一種插板方法

對應(yīng)一種分法共有f種分法。o|oo|o|oo|o|oo|o

§gBIB§§

將n個HIM的瓦*分Mlm份(a- ，籽份f.少—個元?，可以川m-1塊鉍板，ft入n個兒《JI成一＜1的n-l個7取屮.所H分法ttC7?練習(xí)題：10個相同的球裝5個盒中，鉍盒至少一有多少裝法？ c：2..^y+^H-100求這個方程組的fi然數(shù)解的組數(shù) C：n十一.正難則反總體淘汰策略例11.從0,1，2,3,4.5,6,7,8,9這十個數(shù)字屮取出二個數(shù)，使其

和為不小T10的偶數(shù)，不同的収法有多少種？解：這問題中如果II接求不小于10的偶數(shù)很困難，可用總體淘

汰法。這十個數(shù)字中有5個偶數(shù)5個奇數(shù)，所取的三個數(shù)介有3個偶數(shù)的取法有f，只含有1個偶數(shù)的収法有和為偶數(shù)

的収法共有^+ci?冉淘汰和小于io的偶數(shù)符合條件的収法共有勻?9組合WILiEi緬考毗較V雜，而它的反面IIB比ttffitt,町以先求出

它的反昀，?從》體中溝汰.繚習(xí)題:我們班里有43位同學(xué)，從中任抽5人，正、副班長、團(tuán)支

部15記至少有-人在內(nèi)的抽法有多少種？十二.平均分組叫題除法策略例12.6本不網(wǎng)的15平均分成3堆,甸堆2本共冇多少分法？

解：分三步取種方法，但這里出現(xiàn)承復(fù)計數(shù)的現(xiàn)象，

不妨記6本書為ABCDEF,芯第一步取AB,第二步取CD,第

三步収EF該分法記為(AB，CD，EF),則中還有

(AB,EF.CD)，(CD,AB,EF),(CD.EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,

CD)飩侖＜種取法，而這些分法儀記(AB，CD，EF)—種分法，

故共有QQQM;種分法。平均分成的31,1:??它們的觔序— 以分味以力均分的1將13個球隊分成3組，一組5個隊，其它兩組4個隊，存多少

分法？10名7:生分成3組，其中一組4人，另兩組3人但正副班長不能分在同-組，苻容少種不同的分組方法（1540）某校離二年級共有六個班級?現(xiàn)從外地轉(zhuǎn)入4名f生，要安排到該年級的兩個班級ft坶班安排2名.則不同的安排方案種數(shù)為 （QC?4；/^>90）十三.合理分類與分步策略例13.在一次演唱會上共10名演員，其中8人能能唱歌，5人會跳

舞,現(xiàn)要演出一個2人吧歌2人伴鞞的節(jié)th有多少選派方

法解：10演員中有5人只會哨歌.2人只會跳舞3人為全能演員。

選上唱歌人W為標(biāo)準(zhǔn)遜行研宂只會唱的5人中沒有人選上唱歌人員共有《種，只會唱

的5人中只有1人選上唱歌人員 種，的5人中只有2人選上唱歌人員有^種:類計數(shù)原理共有

c;c;+ctc^c;+c:c:種。的W列蚵抜幾寒的忱叻進(jìn)tr分夾?按，件發(fā)生的分步.W

明W6.分少6次訥律.分確析穿千解Kilff的始件.從男生和3名女土中選出4人參加某個座 談會，矜這4人屮必須既冇男卞又有女1:,則不問的選法共W1L3成人2小孩乘船游玩，14船W多乘3人，24船敁多乘2人，34船只能乘1人，他們?nèi)芜x2只船或3只船，但小孩不能單獨乘

一只船.這3人共有多少乘船方法.（27）

本題還有如下分類標(biāo)袱：*以3個全能演員娃否選上唱歌人員為標(biāo)準(zhǔn)*以3個全能演M圮否選上跳舞人W為標(biāo)準(zhǔn)

*以只會跳媒的2人足否選上跳睞人員為標(biāo)準(zhǔn)郞可經(jīng)得到正確結(jié)果十四.構(gòu)造模型策略例14.馬路上有編號為1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路燈,現(xiàn)要關(guān)

掉其中的3I但不能關(guān)掉相鄰的2盞或3葢,也不能關(guān)抻

兩端的2盞,求滿足條件的關(guān)燈方法有多少祌？

解:把此問?當(dāng)作一個排隊模型在6盞亮燈的5個空隙中描入3

個不亮的燈有勹種<易超解的rtN姐介題to果瞅4化為*常熟悉的投軋如A位填交鎮(zhèn)S.播RM8*

wv等.可?問曲n?解決練習(xí)題：某作共冇10個瞻,右4人就囀，扭人左G兩邊邯冇空

位，那么不同的坐法侖多少種？（120）十五.實啄揀作力舉策略例15.設(shè)有編號1,2,3,4,5的五個球和編兮1,2,3,4,5的五個盒

子，現(xiàn)將5個球投入這五個盒子內(nèi)，要求毎個盒子放一個球.并

11恰好有網(wǎng)個球的編4與盒子的煸冷相問，有多少投法

解：從5個球屮取出2個與盒子對兮冇勻種還剩下3球3盒序

號不能對應(yīng)，利用實際操作法，如果百下3,4,5號球,3.4,5

4盒34球裝44盒時，則4,5球有只侖1種焚法，同

理3y球狨54盒時,4,54球有也只有1種裝法，巾分步

計數(shù)IMWzc；種34盒54盒44盒練習(xí)：正方體的8個頂點可連成多少對異湘H線解：我們先從8個頂點中任取4個頂點構(gòu)成四體共冇體共c；-12-58,fei個四面體有對I?條tl比雜的III列組合問IS.小Will公式進(jìn)行運CT.tt.?利川窮笮法或腳出M狀ffl會收的鈷果3對始而TEA休屮的8個頂A可選成對奸喊成i略*?列si‘本^“略士tVfrL^J5rt?ci?H#!?f?nu的絡(luò)構(gòu),川分炎計auiJTW分步???殲將h發(fā)合成,從肋??的S袈.埼個比狡?雜的利這神斛練習(xí)題：同一桉室1人,每人寫一張賀年卡集屮起來，然后毎人各拿一張

別人的賀年卡，則四張賀年卡不向的分妃方式有多少種？

(9)給閣中區(qū)域涂色，要求相鄰區(qū)域不同色，現(xiàn)有4種可選顏色，貝J

不問的巷色方法有種十六.分解S合成策略例16.30030能被多少個不同的偶數(shù)整除分析：先把30030分解成質(zhì)W數(shù)的乘積形式30030=2X3

X5X7X11X13依題意可知偶閃數(shù)必先取2,再從其余5個閃數(shù)中任取矜十個組成乘積.所冇的偶W數(shù)為：十七.化歸策略例17.25人排成5X5方陣，現(xiàn)從中選3人，費求3人不在問一行也不在冋一列，不同的選法苻容少種？解：將這個悶題退化成9人排成3X3方陣，現(xiàn)從中選3人,

耍求3人不在問一行也不在問一列，有多少選法.這樣付

行必有1人從其屮的?行屮選取1人后，把這人所在的行列都劃掉.如此繼續(xù)F去.從3X3方隊中選3

做種，再從5X5方陣選出3X3方阼便可＜

方隊屮選収3行3列有《選法所以AT不在同一行也不在同一列的O!Ny處殲《朵的flWiflfr問呵u把一個mis退化成一個rac的m?.anw決這個mc的Mft的w決找《解越力‘法，從咖iTF—步鱭決晈家的MKS練習(xí)題:某城市的街R山12個令等的沖形R組成諱屮實線農(nóng)示％

路，從A走到B的W短路徑舍多少種？(035)s111223?123121321211取*Cidcic；cic]CiCiC?ci十八.數(shù)字?jǐn)傂騿栴}査字典策略例IS.Ill0.1，2,3,4,5六個數(shù)字可以組成多少個沒有重復(fù)的比324105大的數(shù)？汴問《??川法，ft宇典的注應(yīng)從布悅問低P杏，依次求出《符合?求的個&.柑榭分炎ilOlftiW求出《總tt.練習(xí):用0,1,2,3,4,5這六個數(shù)字組成沒有重復(fù)的四位偶數(shù)，將這

些數(shù)字從小到大排列起來，第71個數(shù)記3140十九.樹閣策略例19.3人相互傳球，曲甲開始發(fā)球，并作為第?次傳球，經(jīng)過S次

傳求后，球仍回到甲的手屮，則不同的傳球方式釭

y=io對J 比破找的會番《組食問題，仙用aitiab^w.wwia收的-咚W*的分類邊収tt，t滿足的;ftft比無從入f，打常出現(xiàn)迪A?的《況，川農(nóng)格法，M分類叫珥中*ft足的*件.能達(dá)??的《二十一：住店法策略解決“允許重復(fù)排列問題”要注意區(qū)分兩類元袞：一類元素可以

重釔，W—類不能重復(fù).把不能重復(fù)的元東看作“客”，能逭復(fù)的元蒺看作“店”，洱利川乘法原理ri接求解.例21.七名嗲生爭奪五項冠軍，毎項冠軍只能由一人獲得，獲得

冠軍的可能的種數(shù)有.分析：閃同-亇生可以同時奪得n項冠軍，AV聲生可車.復(fù)拃列，

將七名少生看作7家“店”.五項冠軍看作5名“客”.付個“客”

有7種住宿法，111乘法原理得7s種.練習(xí)：分別編有1，2.3.4,54碼的人與椅，其屮人不坐I4

椅(I=U3,45)的不問坐法有多少種？W44二十.§彔分類問題農(nóng)格策略例20.龜紅、貨、蘭色的球ft5只，分別標(biāo)舍A、B、C、D、E五

個字付，現(xiàn)從中取5只，要求齊字埒均有1L三:色齊備，則共

冇5少種不冋的収法小結(jié)

本節(jié)課，我們對有關(guān)徘列組介的幾種黹見的解題策略加以復(fù)習(xí)鞏

固.排列組合歷來是學(xué)習(xí)中的濉點，通過我們平吋做的練習(xí)題，

不難發(fā)現(xiàn)JII列組合題的特點W篆件隱晦，不祕挖倔，題變，

解法獨特，數(shù)卞龐大，難以驗證。同卞⑴只旮對基本的解題策略熟練舉握。根據(jù)它們的條件，我們就可以選取不M的技巧來解決問

題.對于一些比較復(fù)雜的問題，我們可以將幾種策略結(jié)合起來應(yīng)用把復(fù)雜的問題簡單化，平一反三，觸類旁通.進(jìn)而為后續(xù)7:習(xí)打下堅實的基礎(chǔ)。排列組介題型直接法特殊元蒺法例1用1.2,3.1.5,6這6個數(shù)字組成無敢復(fù)的四位數(shù)，試求滿足下列條件的四位數(shù)各冇衫少個

!1）數(shù)字1不排在個位和f■?位（2）數(shù)字1不在個位，數(shù)字6不在千位，

分析：（1）個位和r?位宥5個數(shù)字可供選擇其余2位有

四個可供選擇山乘法原理：A:4；=2402-特殊位罝法（2）當(dāng)1在千位時余下二位冇4=60,1不在千位時，千位冇

<種選法?個位有<種，余F的^A：,共有4>1<=192所以

總Jt科192+60=252間接法與n接法求解類別比較大時，應(yīng)采川間接法。如上

例中（2）可用間接法A:-24?+<=252例2有五張卡片.它的正反面分別寫0與1.2與3,4與5.

6與7,8與9,將它們?nèi)螒v三張并排放在-?起組成二位數(shù)，

共可組成多少個不同的三維15?分析：此例正則求解葙考慮0與1卡片用與不用，J1用此卡

片又分使用0與使用1.類別較復(fù)雜.閃而可使用間接

計算：任取三張卡片可以組成不向的三位數(shù)C?x2Jx4；個,

其中0在百位的有C；X2=XA=個，這玷不合題憊的。故共

可組成不問的三位數(shù)X2,x4>-C；X2:x<=432（個）捕空法當(dāng)葙排元崠中有不能相鄰的元東時，2川袖空法.

例3在■?個介冇8個節(jié)B的節(jié)目單屮，臨時插入兩個歌唱節(jié)U.1L保持咬節(jié)U顢序.有多少巾袖入方法？

分析：取有的8個節(jié)冃中^9個空椚.插入一個節(jié)冃后,

空愾變?yōu)?0個，故侖允=100屮插入方法。捆綁法當(dāng)盅排元聚屮有必須相鄰的元聚時,它用捆綁法。例4 4名男生和3名女生共坐一排.男生必須排在一起的坐法科多少種？分析：宄將男生擁綁在-起看成一個大元蒺與女生全樣列有＜

種排法.而男生之間又有4:種徘法.又乘法原埋滿足條件的排法有：A：X^；=576練習(xí)1.四個不同的小球全部放入二個不冋的盒子屮，苫使甸

個盒子不空，則不同的放法苻種＜C；4：＞某市棺物閌要在30天內(nèi)接待20所9校的7:生參觀，W

秘天只能安排一所慨其中有-?所予校人數(shù)較多.要安tt連續(xù)

衫觀2天，其余只參觀?天，則悄物閌30天內(nèi)不同的安錯方法冇

（名（注憊迮續(xù)釤觀2天.即盂把30天種的迮續(xù)兩天捆綁

看成一天作力一個整體來選有G其余的就玷19所7:校選28天進(jìn)

行排列〉閣板法 名額分配成相同物品的分配問題.適打采閣板川法例5某校準(zhǔn)谷組建一個山12人紺成籃球隊.這12個人由8

個班的7:生組成.付班至少一人.名額分況方案共種.分析：此例的實質(zhì)圮12個名糊分配給8個班，毎班至少一個

名額，mJ?在12個名額種的11個空當(dāng)中捕入7塊闕板.一種捕法

對碎一種名額的分配方式，故存種練習(xí)1.（a+b*c*d）11有多少項？當(dāng)項中只有一個字母時.有c:種（即a.b.c.d而指數(shù)只有15

故ci-G。當(dāng)項中有2個字付時.有c:而指數(shù)和為15.即將15分妃給2

個字母時.如何分.閘板法一分為2,以即cic，\當(dāng)項屮冇3個字母時G指數(shù)15分給3個字母分二組即可c:＜4

當(dāng)項種4個字母都在時四荇邡相加即可.練習(xí)2.冇20個不加區(qū)別的小球放入編兮為1,2.3的二個

盒+里，?求埒個盒子內(nèi)的球數(shù)不少編號數(shù).問有多少種不M的

方法？＜＜〉不定方程X!+X：+X3+-*Xi0=100屮不同的整數(shù)解有（＜）平均分堆問踴例6 6本不同的11；平均分成二堆，有荽少種不問的方法？分析：分出.堆ti（ai,a：）,（a?,aO,（as,a?）由順序不同可

以奮a；=6種，而這6種分法只算?種分堆方式，故6本不同的15

平均分成三堆方式有1^1=15忡綠習(xí):I-S本書分三份，2份1本.1份4本.則有不同分法?2.某年級6個班的數(shù)學(xué)課,分配給甲乙丙二名數(shù)學(xué)教師仃教，每人教兩個班，則分派方法的|12345種數(shù)。合并單元格解決染色問 題例7（全國卷（文、理））如閣1.一個地區(qū)分為5個行政區(qū)域，現(xiàn)給地閣若色，要求相鄰區(qū)域不得使用同-?顏色，現(xiàn)冇四種顏色可供選擇.則不同的卷色方法共有種（以數(shù)字作答）。在如閣的5塊試驗田里，榪快種植一種作物且相鄰的試驗山不能分析：顏色相同的區(qū)域可能坫2、3、4、5.下面分潔況討論：（i）當(dāng)2、4顏色相同且3、5頻色不同時，將2、4合并成一個

單元格.此吋不向的者色I(xiàn)相當(dāng)于4個元系 ①??的全排IU）當(dāng)2、4顏色不同且3、5顏色相同時，與情形（i>類似柯

理"J■得4:種巷色法.（iii）當(dāng)2、O4^>5分別向色時?將2、4;3、5分別合并.這樣儀有三個單元格①從4種顏色屮選3種宋荇色這二個單元格，計冇人祌//法.屮加法原理知：不同看色方法井侖2^0（7：允=48+24=72（種）練習(xí)1（及汴卷（文））將3種作物種抬不冋的種W方法《種（以數(shù)卞作答）（72〉2-（江蘇、遼寧.天瀋卷（理）〉某城市中心廣場建造一個花圃.

花W16分為個郃分（如閣3）,現(xiàn)耍戰(zhàn)種4種顏色的花.甸部分栽

種一種11相鄰部分不能栽種向一樣顏色的沾.不向的栽種方法有

種（以數(shù)字作答）.（120）1閣3 閿4如閣4.用不同的5種顏色分別為ABCDEH部分巷色，相鄰

部分不能用同一顏色，但同一種_色可以反復(fù)使用也可以不用，

則符合這種費求的不問者色種數(shù).（540〉如閣5:四個區(qū)域華定4個單位的人，有四種不同顏色的服

裝.付個單位的觀眾必須穿問種顏色的服裝.的顏

色不問，不相鄰區(qū)域顏色相冋，不相鄰R域受限

制，那么不同的著色方法是種（84）>1閣6將-四棱稚（閣6>的毎個頂點染-種顏色，井使同一條棱的

兩端點異色.矜只有五種顏色4供使Hh則不冏的染色方法共種

（420）A.遞推法例八一樓梯共10級，如果規(guī)定毎次只能跨上一級成兩級.要走

上這10級樓梯.共有多少種不問的走法？分析:設(shè)上n級樓梯的走法為a?.種.易知ai=l,a：=2,當(dāng)n>2吋,

上n級樓梯的走法可分兩類：第一類：足最后一步跨一級，有

種走法，第二類是最后一步跨W級，有?:種走法.由加法原埋知:

aa=aft-i+ 9A 此 ，aj=ai+a:=3,ai=a.*a：=5,as=ai+a:=8,as=13,a:=21,a~34.a9=55,aio=S9.

故走h(yuǎn)10級樓梯共冇89種不問的方法，九.幾何問題四面休的一個頂點位A,從其它頂點與各棱中點取3個點，使

它們和點A在同一平而上，不同的取法有種（3勻+3=33）Pq而體的棱中點和頂點井10個點（1）從中任取3個點確定一

個平mi.共能確定多少個平（*4-3c：*3-6C：+6+2X6=29）<2>以這10個點為頂點，共能確定多少格凸棱錐？三棱稚

Cia,-4G'-6C,'-3C/=141四棱錐6X4X4=963X6=18共有114

十.先選后排法例9有甲乙丙二項任務(wù)，甲謠2人承祖，乙丙各需1人承択，從

10人中選派4人承擔(dān)這三項任務(wù).不同的選派方法有（）

A.1260種 B.2025種 C.2520種D.5051種分析I先從10人中選出2人

十一.川轉(zhuǎn)換法解排列組合問越

例10.某人連續(xù)射擊8次有四次命中，其中有三次連續(xù)命中,按

“中”與“不中”報吿結(jié)果，不聞的結(jié)果有多少種.

解把問題轉(zhuǎn)化為四個相冋的照球與四個相問白球，其屮只有二

個黑球相鄰的排列問題.<=20種例11.個人衫加秋游帶10瓶飲枓.每人至少帶1瓶，一共舍多

少鐘不向的帶法.解把M題時化為5個相同的白球不相鄰地描入C經(jīng)排好的10個

相問的黑球之問的9個空隙種的排列問越.《26種例12從1.2.3. 1000個fl然數(shù)屮任取10個不迮續(xù)的匕|然數(shù)，有多少種不同的去法.解把穩(wěn)體轉(zhuǎn)化為10個相|nj的黑球與990個相冏白球?其其中

黑球不相鄰的排列問題。C-例13某城市街道呈棋盤形，南北向大街5條，東西向大街4

條.一人欲從兩南角走到東北角.路程姑短的走法有多少種.

解無論怎樣走必須經(jīng)過二桷四縱，閌此.把問題轉(zhuǎn)化為3個

相同的白球與四個相同的黑球的棑列悶題.c；=35（種〉

例14一個樓梯共1S個臺階12步技完，可一步技一個臺階也可

一步登內(nèi)個臺階.一共有多少種不_的走法.解報掂韙意要圯12步飫完只能6個?步飲，個臺階，6個一

步登兩個臺階?W此.把M戰(zhàn)轉(zhuǎn)化為6個相向的黑球與6個相問

的d球的神列問題.<;=924（種）.例15 求（a-b+c）的肢開式的項數(shù).解展開使的項為aU,且o+0+閃此，把問題科化為

2個相同的黑球與10個相同的白球的排列甸題.c?=66（種）

例16亞、歐乒呍球?qū)官?ft隊均舍5名隊員，按琪先找好的

岫序參加播臺賽.雙方先由1號隊員比賽I負(fù)者淘汰，勝者

再與負(fù)方24隊員比賽.II到一方全被淘汰為II:.另一方茯胙，形成-?種比賽過程.那么所有可能出現(xiàn)的比賽過程有多

少種？解設(shè)亞洲隊隊員為aua:，…,歐洲隊隊員為bub:,…，b5?

下標(biāo)農(nóng)示事先徘列的出場順序，荇以依次被淘汰的隊W為順序.比

賽過程傳化為這10個字母互相穿插的一個排列.W后師胙隊種步

被淘汰的隊員和可能農(nóng)參加參賽的隊鉍，所以比接過程可農(nóng)示為

5個和同的白球和5個相同黑球排列問題.比賽過程的總數(shù)為

d=252（種）十二.轉(zhuǎn)化命題法例17岡閥上共冇15個不冋的點，過其中任意兩點連-弦，這嗚

弦在圓內(nèi)的交點最多有多少外？分析：W兩弦在岡內(nèi)荇冇?交點，則該交點對應(yīng)于-?個以兩弦的

四瑀點為頂點的困內(nèi)接四邊形，則問題化為困周上的15個不同

的點能溝成多少個岡內(nèi)技四邊形，W此這些現(xiàn)作閱內(nèi)的交點敁衫

有<=1365（個）十三.概本法例18—天的改程農(nóng)控排入誥文、數(shù)物理、化‘7\英誥、體育

六節(jié)課，如果數(shù)學(xué)必須排在體育之前，那么該天的課程表有多少種抹法?分析：在六節(jié)i果的排列總數(shù)中，體肖課排在數(shù)7之骱與數(shù)7:課排

在體育之時的概串相等，均為故本例所求的排法種數(shù)就坫所

有排法的丄,即iA=360種22十四.除序法例19用1，2,3,4,5,6,7這七個數(shù)字組成

沒有承S數(shù)字的七位數(shù)中，<1）:n偶數(shù)2.4,6次序一定，有多少個？（2）若偶數(shù)2,4,6次序-?定，奇數(shù)1,3,5,7的次序也-定

的有多少個？十五.錯位排列例20同窄四人柃寫?張賀卡，宄架屮起來，然后甸人從屮牟一

張別人送出的卡片，則不同的分配方法有種（9）公式1）?=（"-加,彳?jn=l時at=3（ara^=9種即三個人奮兩種錯排.兩個人有一種錯排.2〉fl.=n!（44十叫練4有五位客人彭加哀會.他們把帽十放在衣帕布放室內(nèi).玄

會結(jié)束后榪人觸了?頂招戶回家，回家后，他們的妻了?都發(fā)現(xiàn)他fl’J娥了別人的帽子.問5位客人都不敝H己帽子的戴法有多少種？（44）村列與組介的區(qū)別排列與組合的共M點坫從n個不同的元較中，任収m（m^n）

個元素.而不同點坫排列足按照-定的順序《成-列.組合姑無

論怎樣的順序并成一組，因此“有序”與“無序”坫區(qū)別排列與

組合的重要標(biāo)志.下曲通過實例來體會排列與組合的區(qū)別.【例題】判斷卜列M題迠排列14越還坫組合并計筲出種

數(shù).<1）離二年級嗲生會有11人：①坶兩人互通一封信.共通了

多少封信？②毎兩人互捉了一次手.井捤了多少次手？（2）島二數(shù)學(xué)課外活動小組宂10人：①從中選一名正組長和

一名別組長.共有多少種不|nj的選法？②從巾選2名參加柯數(shù)7

競賽.有多少種不同的選法？<3）有2、3、5、7、11,13、17、19八個質(zhì)數(shù)：①從中任取

兩個數(shù)求它們的商，可以有多少個不同的尚？②從中任取兩個求

它的積.可以得到苳少個不同的積？（4）有8盆花：①從中選出2盆分別給甲、乙兩人每人猛,

有多少種不同的選法？②從屮選出2盆放在教空有多少種不同的

選法？【思考與分析】（1）①山于鉍兩人互通-封信，甲給乙的信

與乙給甲的信玷不|nj的兩封信.所以與晌序有關(guān).排列；②凼

于毎兩人互握?次手，甲與乙搌手、乙與甲揮手坫同一次握手，

與_序無關(guān).所以姑組合其他類似分析.解：（1）①足排列問題.邦通了=110（封）：②紀(jì)組介問題.

共痛握*=55（次）（2）①是排列問題，共有=10X9=90（種）不肉的選法;

②玷組介問題.共=45（種）不同的選法：13）①是排列問題，共有=8X7=56（個）不同的商;②

足組合問題.共有=28（個）不同的積：U）①坫排列問題，共有=56（種）不同的選法：②足

組合問題，共有=28（種）不同的選法. （【反思】區(qū)分排列與組合的關(guān)鍵坫“有序"與“無序”.）10.1.0習(xí)過程：[1）知識梳理分類i卜數(shù)原理（加法原理）：完成一件事.有幾類辦法，在第

一類中有*.種有不向的方法.在第2類中有種不向的方法……

在第n類型冇％種不同的方法，那么完成這件豐共有

N%+m:+種不同的方法?分步計數(shù)原理（乘法原理）：完成一件衷.盂要分成n個步猓.

做第1步有m:種不問的城，做第2步有m：種不同的方法……，

做第n步柯RU種不同的方法:那么完成這件種不問的城。|特別提醒，分類計數(shù)原理與“分類”有關(guān)*要注怠“類”與“類”|

之間所具有的獨立性和并列性：分步計數(shù)原理與“分步”奮關(guān)，

要注怠“步”與“步”之間W有的相依性和連續(xù)性.應(yīng)用這兩個

原理進(jìn)行正確地分類.分步，做到不車.復(fù)、不遺況。 I排列：從個不向的元東中任取?to彡d個元泉.卿7戸成-列.叫做從/?個不同元聚中取出a個元素的一個徘列.排列數(shù):從u個不同元素中取出個元素排成一列,稱

為從Ji個不同元素中取出fl個元索的-個排列.從n個不同元素

中取出m個元嶔的一個排列數(shù)?川符號i表示.5-排列數(shù)公式：，-一叫一?＞丄一，"■一I特別提解: I（1） 規(guī)定0!=1（2） ?可單孓軍的棑列問題.對穴侖相同元素求排列個數(shù)的方法足：S承集Sk個不同元索

ana:?……eu其中限重復(fù)數(shù)為n:、n: ru，ftn=n:+n:+ 則S的排列個數(shù)等2：tijW

|例如：己知數(shù)字3、2、2.求其排列個數(shù)乂例如：數(shù)字5、|15、5、求其排列個數(shù)？其排列個數(shù)組合：從72個不同的元素中任Kl 個元素井成?組,叫做從2T個不向元彖中取出Z1T個元農(nóng)的一個組合.組合數(shù)公式：-價”，"4； 崩！ ? ?叫！兩個公式：①_K;②I特別提醒：排列與組合的聯(lián)系與區(qū)別.聯(lián)系：都進(jìn)從fl個不同元素中取出JB個元索.

區(qū)別，前者是“排成一排”.后者是“并成一組”.前者有順序關(guān)

系,后者無順序關(guān)系.（2）典兜例題考點一:排列問題例1,六人技下列要求站-?橫排，分別旮多少種不同的站法？（1） 甲不站兩端：（2） 甲、乙必須相鄰:（3） 甲、乙不相鄰：（4） 甲、乙之間間隔兩人：〔5）甲、乙站在兩端：:6）甲不站左端，乙不站右端.考點二:組合問題例2,男運動員6名，女運動員4名，其中男女隊長各1人.選派5人外出比祺.在下列情形屮各有5少種選派方法？〔1）男運動員3名.女運動員2名：〔2）至少冇1名女運動員：3）隊長中至少有1人參加：〔4）既要冇隊倫，又要有女以動員.考點三:綜合問題例3，4令不冋的球，4個不同的盒子，把球爭部放入盒內(nèi).恰存1個盒不放球.共有幾種放法？〔2）恰有1個盒內(nèi)存2個球，共有幾種放法？

恰有2個盒不放球.共有幾種放法？10.1.5當(dāng)覺測試從5名男醫(yī)±、4名女醫(yī)生中選3名醫(yī)±組成一個醫(yī)療小分隊.耍求其中男、女醫(yī)生郁存，則不同的組隊方案宂有 （ ）A，70種B,80種C,100祌D.140種2010年廣州亞運會組委會要從小張、小趙、小李、小羅、小

工五名志愿荇屮選派四人分別從事翻譯、導(dǎo)游、禮儀、司機(jī)四項

不同工作.茗其中小張和小趙只能從事曲兩項工作.其余三人均

能從事這四項工作，則不同的選派方案共冇( )A,48種 B,12種 C.18種 D36種3-從0.1.2,3,4,5這六個數(shù)字中任取兩個奇數(shù)和兩個偶數(shù)，甲、乙兩人從4門課程中冷選修2門，則甲、乙所選的課程中

至少有IfI不相向的選法共有()A,6 B，12C30 D36用0到9這10個數(shù)字，可以組成沒有重g數(shù)字的三位偶數(shù)

的個數(shù)為( 〉A(chǔ).324 B.328 C，360 D,618組成沒冇琯復(fù)數(shù)字的四位數(shù)的個數(shù)為A，48 B，12甲組旮5名男同學(xué)，3名女同嗲：乙組有6名男同2名女

向少.藝?從屮、乙兩組中各選出2名|nj?.則選出的4人中恰有

1名女同學(xué)的不同選法井存＜ )A.150種B.ISO種 C,300種 D,345種從10名大學(xué)畢業(yè)生中選3人擔(dān)任村長助理，則甲、乙至少有

1人入選.而內(nèi)沒有入選的不向選法的總數(shù)為()A,85B.56 C，49 D，28將甲、乙.丙、丁四名學(xué)生分到三個不同的班，毎個班至少分

到一名7:生，KM'.乙兩名V生不能分到向一個班.則不問分法

的總數(shù)為()A.18B，24C，30D.303位男生和3位女生井6位同7:站成-UI.芯男生甲不站兩端，

3位女生中有JI只有兩位女生相鄰，則不同樣法的種數(shù)坫

（）A,360 B,288 C,216 D,9610.1.6參考答案例1,解（1）方法一費使〒不站在兩端?可先讓甲在中問4

個位Sh任選1個，冇Al.種站法.然后其余5人在另外5個位

罝上作全排列有A;種站法.根裾分步乘法計數(shù)原理，共有站法:

Ai-A：=480（種＞.方法二巾于屮不站網(wǎng)端.這兩個位罝只能從其余5個人中選2

個人站，冇幻祌站法，然后屮間4人有A:種站法，根樅分步乘

法計數(shù)原理.共有站法：A：-A：=4S0（種》.方法三竹對甲沒敘限制條件飩有A!種站法，甲在兩端詐存2A!

種站法，從總數(shù)中減去這叫祌怡況的排列數(shù).即共存站法:Ar2Aj=480（種〉.（2） 方法一先把甲、乙作為一個“整體”.看作一個人.和其

余4人進(jìn)行全排列有Aj種站法.再把甲、乙進(jìn)行全排列.有A;種

站法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理.井有Aj-A：=240＜種〉站法.

方法二先把1P、乙以外的4個人作全排列，有A:祌站法，再

在5個空灼中選出一個供甲、乙放入，有Ai種方法，敁后讓甲.

乙全排列，有A!種方法,共有A:-A4?Ai=240（種）.（3） 閃為甲，乙不相鄰.中間有隔愾.可用“插空法”.第一步

先讓甲、乙以外的4個人站隊，有A:種站法：第二步再將甲、

乙排在4人形成的5個空檔＜介兩端）中，侖Ai種站法，故井

有站法為A:-A：M80（種〉.也可用“間接法”，s個人全排列有A:種站法.由（2）知甲、乙

相鄰有A=-A：=240祌站法，所以不相鄰的站法有

A：-A：?A：=720-240=480（種）.（4） 方法一先將甲、乙以外的4個人作余JII列，苻Ai種.然

后將甲、乙按條件摘入站隊，有恥種，故共有A:-（3A：）=144（種）站法.方法二先從屮、乙以外的4個人中任選2人排在屮、乙之問的

兩個位罡L,侖A;種，然后把甲、乙及中問2人旮作一個“大”元索與余下2人作全排列有A!種方法,最后對甲、乙進(jìn)行排列,

有A!種方法，故共有Aj-A；-A：=144（種）站法.（5）方法一筲先考慮特殊元素.甲.乙先站兩端.有Aj種，

再讓其他4人在中間位里作全排列，有A:種，根據(jù)分步乘法計

數(shù)垛理.共有A??AJ=48（種）站法.方法二摶先考慮兩端兩個特殊位S，甲、乙去站有Ai種站法,

然后考慮屮間4個位S.由剩下的4人去站，有A:種站法，由

分步砌法計數(shù)原理共有A!?A：=48（種）站法.（6）方法一甲在左端的站法嵙Aj種，乙在右端的站法有A;種，

且甲在左端而乙在心'瑞的站法冇A:祌，共有A:-2Aj+A:=504（種）

姑法.方法二以元疾甲分類可分為兩類：①甲站心端冇A;種站法，②屮在中㈦4個位罝之一?而乙不在右端At-A：-A：種.故

共有A!+Ai-Al-A：=504（種）站法.例2,解（1）第一步：選3名男以動員.有C:種選法.

第二沙：選2名女運動員，有Ci種選法.

共有C:?C:=120仲選法. 3〔2）方法一至少1名女運動員包括以下幾種情況：

1女4男，2女3男，3女2男，4女1男.41分類加法計數(shù)原理可得總選法數(shù)為CiC：<：C><iCi+CiC1=2l6種. 6分方法二“至少1名女運動員”的反面為“全坫男運動員”可

用間接法求解.從10人中任選5人有C?,種選法，其中全玷運動員的選法有

Ci種.所以“至少有1名女運動員”的選法為Cio-Ci=246種.

6分￡3）方法一可分類求解：“只有男隊長”的選法為Ch“只有女隊長”的選法為C;:“男、女隊長郎入選”的選法為C"所以共有2C;*C：=196種選法. 9分方法二間接法：從10人中任選5人有Q種選法.其中不選隊長的方法侖Ci種.所以“至少1名隊長”的選法為C?,-Ci=196種.9分（4）當(dāng)有女隊長時.其他人任怠選.共有C:種選法.不選女隊

長時.必選男隊長.丼有C:種選法.其中不介女運動員的選法有

門種.所以不選女隊長時的選法共有C;-C;種選法.

所以既有隊長又科女運動員的選法丼科

C；<{-C?=i91種.例3,解（1）為保證“恰有1個盒不放球”，先從4個盒子中

任怠収出去一個，問題轉(zhuǎn)化為“4個球，3個盒子，每個盒子都

費放入球.共有兒種放法？”即把4個球分成2.1.1的三組，

然后洱從3個盒子屮選1個放2個球，其余2個球放在W夕卜2

個盒子內(nèi)，由分步乘法計數(shù)原理,共有CiCiClXAi=144種.（2）“恰有1個盒內(nèi)冇2個球”，即另外3個盒子放2個球，扭

個盒+至多放1個球.也即W外3個盒+巾恰有一個空盒.因此.

“恰有1個盒內(nèi)有2個球”與“恰侖1個盒不放球”玷同一件萆,

所以共有144種放法.（3）確定2個空盒有Ci種方法.4個球放進(jìn)2個盒十mJ分成（3.1>、（2.2）網(wǎng)類.第一類有汴

不均分m^ClC-A：種方法：第二類甸序均分種方法.故共有c=（CiCiAi*SUi?Ai）=81種.當(dāng)堂檢測答案1，從5名男醫(yī)生.4名女醫(yī)生中選3名醫(yī)生組成一個醫(yī)療小分隊,

要求其中男、女醫(yī)生則不同的組隊方案井有 （ ）A.70種 B.80種 C,100種 D.140種解析:分為2男1女，和1男2女兩大類.共有《+<c:=70

種，解戰(zhàn)策略：合埋分類與準(zhǔn)確分步的策略。2010年廣州亞運會組委會要從小張、小趙、小李、小羅、小

王五名志您茗中選派四人分別從韋翻譯、導(dǎo)游、禮儀、⑷機(jī)四項

不同工作，若其屮小張和小趙只能從事骱兩項工作，其余二人均

能從書這四項工作，則不向的選派方案共有（）A,48種 B.12種 C,18種 D36種解析：合理分類.通過分析分為（1）小張和小王恰存1人入選.

先從兩人中選1人，然后把這個人在仙兩項C作中安棑一個，M

后剰余的三人進(jìn)行全排列有祌選法?<2）小張和小趙部入

選，酋先安撲這兩個人，然后酊剁余的3人屮選2人撲列tiAi-Ai種方法。共有24+12=36種選法。解題策略：：1.特殊元素優(yōu)先安排的策略，合理分類與準(zhǔn)確分步的策略。排列、組合混合問題先選后排的策略，從0,1.2.3,4,5這六個數(shù)字中任取兩個奇數(shù)和兩個偶數(shù),

組成沒有重g數(shù)字的四位數(shù)的個數(shù)為 ＜ )A,48 B,12 C.180 D.162解析：分為兩大類：(1〉含有0.分步1.從另外兩個偶數(shù)中選一

個，＜種方法.2.從3個奇數(shù)中選兩個，有＜種方法：3.給0

安拃一個位S.只能在個、I.百位上選.侖勻種方法：4.其他

的3個數(shù)字進(jìn)行爭排列，冇4種撲法，報椐乘法原理共CJQCi-A'

種方法。(2)不介0,分步.偶數(shù)必然姑2,4:奇數(shù)侖G種不同

的選這，然后把4個元索令I(lǐng)II:列，共＜種Ihi.不含0的柑fi冇

種。根椐加法原理把兩部分加-塊得K.fK+c^=lS0.

解題策略：1.特殊元蒺優(yōu)宄安找的策略。合埋分類與準(zhǔn)確分步的策略.抹列、組介混介問題先選后排的策略。甲組有5名男同7:,3名女同乙組有6名男同‘7:.2名女同若從中、乙兩組中各選出2名|nj^,則選出的4人中恰有

1名女同學(xué)的不同選法井有＜ )A.150種B,180種 C.300種 D.345種解析:4人中恰有1名女同嗲的愔況分為兩種，即這1名女同7

或來組.或來灼乙組.則所有不冏的選法共有種

選法。解題策略：合押分類與準(zhǔn)確分步的策略。1丨1、乙兩人從4門課程中托選修2IJ,則中、乙所選的課程中

至少冇1N不相網(wǎng)的選法共冇()A.6 B,12C30 D36解析：可以先讓甲.乙任意選擇兩門，Hc：.c：種選擇方法，然后

再把兩個人全不+n同的怙況i?棹，兩個人仝不相同.可以讓甲選

兩門有rf種選法.然后乙從剩余的兩門選.有0種不同的選法.

令不相問的選種乃‘讓，所以至少苻?門不相同的選法為c;g=30祌不冋的選法，解題策略：正難則反.等價林化的策略。用0到9這10個數(shù)字，可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的二位偶數(shù)的個數(shù)為 （ ）A.324 3,328 C,360 D,648解杉0□□第一類個位蛄零.共4種不向的排法。□0□第二類個位不姑芩?共d-dc；種不問的解法.

解她策略：合埋分類與準(zhǔn)確分步的策略.從10名大學(xué)畢曲生中選3人擔(dān)任W長助理.則甲.乙至少有

1人入選，而丙沒冇入選的不問選法的總數(shù)為（）A.85B，56 C.49 D,28解析：合理分類.中乙全被選中.^c：a種選法，屮乙有一個

被選屮，有cK種不同的選法，c;=49種不同的選法。

解題策略：（1） 特殊元東優(yōu)先安排的策略.（2） 合理分類與準(zhǔn)確分步的策略.將甲、乙、丙、丁四名卞生分到三個不同的班，毎個班至少分

到一名學(xué)生，丑甲、乙兩名少生不能分到in]—個班.則不同分法

的總數(shù)為（）A,18 B，24 C，30 D,30將甲、乙、丙、丁四名7:生分成三組，則共有＜種不同的分法，

然后二組進(jìn)行全俳列共＜種不同的方法：然后再把甲.乙分到一個班的惴況排除掉.井＜

種不|nj的排法。所以總的排法^c＞V-A?=30種不|nj的排法。

注意:這W.冇一個分組的問題，即四個元素分成二組冇兒種不同的分法的問題?這甩分為冇序分組和無序分組，冇興趣的同7可以繼續(xù)研宂，這里不再詳述，解題策略：1正難則反、等價轉(zhuǎn)化的策略2相鄰叼題捆綁處理的策略3排列、組合混合問?先選ti排的策略：3位男生和3位女生井6位同嗲站成一排，龍生甲不站兩端,3位女生中有II只有兩位女生相鄰.則不同找法的種數(shù)足A,360 B,288 C.216 D,96解析：分析排列組合的問題第-要避網(wǎng)特殊元素優(yōu)先考慮的原則，

先考慮女生的問題，先從3個女生中選兩位，有c/祌方法，然后

再<種方法：這樣選出兩名女生后，冉生的三個男生任怠排列.存淆中不P】的排法.oAo厶然后把兩個女看成?個和女生肴成兩個元蒺描入

4個位S中。有4:種不同的排法.^A：C；^A；種不同的排法。然

后再棗慮把男站兩端的情況撲:除棹.oAoAoA甲可能站/￡端，也可能mr端，冇q祌不M的方法，然后艿他兩個男生排列有4種排法.最后把女生在剩汆的三個位罝中排列.打七種不問的撲法.共AidciAiA；種不問的III法，Ak總的111法為4 44——Ai<c；a：^==288種不同的方法?本戰(zhàn)難度大，體現(xiàn)的排列組合的解題策略多：（1）特殊元素優(yōu)先安徘的策略：（2）合理分類與準(zhǔn)確分步的策略：13）排列.組合混合M題先選后排的策略：（4） 正難則反、等價轉(zhuǎn)化的策略：（5） 相鄰問題擁綁處理的策略：（6） 不相鄰問題插空處理的策略。解排列組合的應(yīng)川越要注怠以下幾點：（1） 仔細(xì)審跑，判斷坫撲列還圮組合問題.嬰按元蒺的性質(zhì)分

類.按韋件發(fā)生的過程進(jìn)行分步?（2） 深入分析，嚴(yán)密周詳，注怠分済坫乘還坫加，要防ih承S

和遺漏，辯證思維.多角度分析.全面考慮*（3） 對限制條件較復(fù)雜的棑列組合問題.要周來分析.S計出

合理的方絮，把包雜龍分解成?7十箾單的選本H韙C川網(wǎng)

個計數(shù)Ki理來解決。（4） 由于排列組合時題的答案一般數(shù)目較大，不易直接驗證,

岡此介:檢迕結(jié)果時.巷敢檢杏所沒U?的解決方案玷否完備.有無篥g和遺iWi也可采用不同的方法求解，看看結(jié)果

坫否相向，在對排列組合問題分類時.分類標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)統(tǒng)一，否

則W出現(xiàn)遺制和車.g。排列組介泌錯題正誤解析排列組合問題類T!繁多.方法豐離、富于變化.稍不注怠，

極W出錯.本文選擇一些在教7屮7:生常見的錯誤進(jìn)行正誤解析.

以飧讀者.1沒有理解兩個基本原理出錯ill-列組合問題蓽于兩今基本計數(shù)原理.即加法原理和乘法原

理.故理解“分類川加、分步川乘”坫解決排列組合問題的船提.

例1(1995年h海高乇趟)從6臺原裝計算機(jī)和5臺組裝計

鮮機(jī)中任怠選収5臺，其中至少存原裝與組裝計鋅機(jī)托沔臺，則不

同的取法有種.?解：以取2臺驚裝與3臺組裝計鋅機(jī)或坫3臺原裝

與2臺組裝11玆機(jī)，所以只有2種収法.錯閃分析：i5!解的原閃在于沒有憊識到“選取2臺哚裝與3

臺組裝計算機(jī)或迠3臺原裝與2臺組裝計算機(jī)”坫完成任務(wù)的兩

“類”辦法.毎類辦法中邡還有不同的取法.正解：山分析.完成第-?類辦法還可以分成兩步：第-?步在

原裝計算機(jī)屮任意選取2臺,有rj種方法:第二步在組裝計算

機(jī)任怠選取3臺.冇＜種方法，掘乘法原理共冇＜＜種方法.冋押,

完成第二類辦法屮Uriel種方法.據(jù)加法原理完成全部的選取過

程共^|c=C?+C：Q-i30種方法.例2在一次^動會上有四項比賽的赳軍在甲、乙、閃三人

中產(chǎn)生，那么不同的奪冠情況共有( )種.(A)aj (B＞4， (C)r (D)d漢解：把四個冠軍.排在屮，乙、內(nèi)三個位罝上?選A.

錯閃分析：誤解圮沒介理解乘法Ki理的槪念.li’n地套用公

式.正解：四項比蓰的冠軍依次作甲、乙、丙三人屮選取，每項

M軍郞有3種選収方法.巾乘法原埋共有my祌.說明：木題還柯同7:這樣次解，甲乙丙介冠均介四種惝況，由乘法原理得4，.這足由于沒科考慮到某項冠軍一曰.被-人奪得

后，其他人就不再有4種奪冠可能.2判斷不Hi腳列還足組合出錯在判斷-個問題坫排列還足組合問題時.主要肴元系的組成

嵙沒有順序件.有順序的足til列.無順序的足組合.

例3冇大小形狀相同的3個紅色小球和5今白色小球.fll成

--排，井有多少種不同的列方法？誤解：閃為坫8個小球的全排列.所以共有4種方法.

錯達(dá)1分析：誤解中沒有考慮3個紅色小球姑完全相向的.5

個白色小球也坫完傘相同的，冋色球之間互換RS姑問?種桃法.

正解：8個小球排好后對應(yīng)者8個位罝.題中的排法相當(dāng)于

在8個位S屮選出3個位?給紅球，剩下的位S給白球，山于這

3個紅球完全相M.所以沒有順序.是組合M亂這樣共有：CJ-56

抹法.3重女計鋅出錯在排列組介中常合遇到元家分配悶題.平均分組問題等，這

些問?費注總避免重女汁數(shù).產(chǎn)生錯漢.例4（2002年北京文科卨考題）5本不同的15全部分給4個7生，毎個卞生至少一本，不同的分法種數(shù)為（ ）（A）480種<B）240種120種 （D）96種誤解：先從5本書中取4本分給4個人.有￥種方法?剩下

的1本彳5可以給任憊一個人有4種分法.井有4-.4/-4SO種不同的分

法，選A.錯岡分析：沒5本15為。、6.<?、</、，、四個人為甲、乙、

丙.|r倒i::4錄?側(cè)手2:農(nóng)1址甲汽先分得。、乙分得丙分得、、丁分得rf,蒔后?本15

。給甲的愔況;表2是甲首先分得，、乙分得6、兩分得丁分得

d，W后一本15a給甲的情況.這兩種潔況坫完全和同的.而在誤

解中計算成廣不向的怡況.正好逭炅f一次.正解：首先把5本彳5蚪化成4本15,然后分鉿4個人.第一步:

從5本朽中任怠取出2本抽綁成一本書.有d祌方法：第二步：

再把1本B分洽4個f生，舍.V種方法.Ill乘法涼理，種方法.A女選B.個(D)72個例5某交通崗共有3人.從周一到周口的七天中.甸天安

排一人飴班.毎人至少值2天.其不同的找法井有( )種.(A)5040 (B)1260 (C)210 (D)630誤解：第一?個人先挑選2天，第二個人再挑選2天，剩下的3

天給第三個人,這三個人再進(jìn)行全排列.共有:制右?⑽.選B.

锘閃分析：這里坫均勻分組問題.比如：第-?人挑選的坫周一、

詢二，第二人挑選的迠周三、周叫：也可能迫第一個人挑選的娃

詢?nèi)③樗?第二人桃選的圮周一、周二，所以在全排列的過程

中就重復(fù)計算了.正解：雙?州種.4遺舶汁算出錯在排列組介悶題屮還可能由于考慮悶題不夠全而.閃為遺衂

某些情況，而出錯.例6用數(shù)卞0.1.2.3.4姐成沒有嚴(yán)復(fù)數(shù)卞?的比1000大的奇數(shù)共有(〉(A)36個(B)48個(C)66雜如右閣.最后一位只能是1唯gg阱法.

又W為第1位不能記0,在鉍后一位取定后只有3種取

法.剰下3個數(shù)排中間兩個位置有Aj種排法，共有個.

錯閃分析：誤解只考慮了四位數(shù)的情況，而比1000大的奇數(shù)

還可能姑五位數(shù).正解：任一個五位的奇數(shù)郁符合要求.共有3.3x^.36個，m

III前曲分析四位數(shù)個數(shù)和五位數(shù)個數(shù)之和共冇72個，選D.

5忽視題沒條件出锘在解決錯列組合問題時?定要$憊題13戶柯?句話甚至每

一個字和符兮.不然就可能多例7(2003全國髙考題)地區(qū)分為5個行政區(qū)域.現(xiàn)給地閣苕色?耍求相鄰區(qū)域不符使用同一顏色.現(xiàn)有4

種顏色>4供選擇.則不問的卷色方法共有種.<以數(shù)字作答)

誤解：先畚色第一區(qū)域，有4種方法，剩下3種顏色涂PI個區(qū)

域.即有一種顏色涂相對的兩塊區(qū)域，有⑽卜::種.由乘法庫

理K4i：4-12.48種.錯閃分析：據(jù)報導(dǎo)，在島考屮有很多考生垠了48種.這主要

足沒有看消題沒“有4種顏色可供選擇”，不一定葙要4種顏色全

耆看部使用.用3種也可以完成任務(wù).正解：當(dāng)使用四種顏色時，III前而的誤解知有48種若色方法;

當(dāng)僅使用三種顏色時：從4種顏色中選取3種有d種方法，先巷

色第一區(qū)域.有3祌方法.剩下2種顏色涂四個區(qū)域.只能姑一

種顏色涂第2.4區(qū)域.另一種顏色涂第3.5區(qū)域.嵙2種畚色

方法，山兩法原理冇種.綜h共有：48*24-72^1'.例8己知足關(guān)丁-r的一元二次方程.其中a.be{UX3,4}-

求解集不冋的-?元二次方程的個數(shù).漢解：從集合^中任怠収兩個元東作為6.方程有<個.

當(dāng)、、*収同一個數(shù)時方程有1令，共有.個.格因分析:誤解中沒苻注意到題設(shè)中:“求解集不同的……”

????所以在上述解法屮要i-拉同解桔況.由丁同解向解，故費減去2個.正解：由分析，共省11-2-11個解集不同的一元二次方程.

6未考慮特殊怙況出錯作排列組介中要特別注憊一些特殊怙況，一有疏W就會出錯.例9現(xiàn)有1角、2允、5角、1元、2元、5元，10元、50元人民

幣各-?張，100元人民幣2張.從屮至少取一張.井可組成不同的

幣值種數(shù)坫( )(A)1024種(B)1023種(01536種0)1535種

誤解：W為共冇人民幣10張.坶張人民幣都冇収和不収2種

情況，減去全不取的1種愔況.種.錯W分析：這迅100元而值比較特殊冇兩張，在誤解屮波計

算成4祌惜況，實阿上只有不取、取一張和収二張3種惜況.正解：除100元人W幣以外鉺張均有収和不取2種恬況，100

元人KH3的取法有3種詰況.再減去全不収的1種惜況.所以共有

2*XJ-1-15J5種.7趔總的埋解偏S出錯例10現(xiàn)有8個人排成一排照相，其中有甲.乙.丙三人

不能相鄰的排法有()祌.(A)AlA; (B)KAl(C)4；Ai (D)漢解：除丫屮、乙、內(nèi)三人以外的5人先排.有<種排法.5

人拃好后產(chǎn)生6個空襠，描入甲、乙.丙三人旮4種方法，這樣共^A；A:種排法，選A.錯因分析：誤解中沒有理解“甲、乙、丙三人不能相鄰”的含

義，得到的結(jié)果娃“甲、乙、丙三人互不相鄰”的潔況.“甲、乙、

礬 ? ? ?丙二人不能相鄰”坫衍甲、乙、閃三人不能同時相鄰.但允許其中嵙兩人相鄰.正解：在8個人全排列的方法數(shù)屮《去甲.乙、丙全相鄰的方

法數(shù).就得到甲、乙、丙三人不相鄰的方法數(shù).即Ai-Ai-Al，故

選B.8解題策略的選擇不當(dāng)出錯冇叫排列組合問題用n接讓或分類討論比較鬧難，要采収適

當(dāng)?shù)慕鉀Q策略.如間接法、抽入法、捆綁法、槪棗法等.有助于

問題的解決.例10離三年級的三個班到1|?、乙、閃、丁四個工廠進(jìn)行社

會丈踐，其中工廠甲必須柯班級去，鉍班去何1:廠可r!由選抒.

則不向的分叱方案有（ ）.（A）16種（B）18種 （C）37種 （D）.18種漢解：〒工/先派一個班去.有3忡選派方法.剩卜的2個班均有4種選擇.這樣井有3X4M4-48種方案.錯閃分析：顯然這里有車JX計算.?flh<?班宄派i?了甲工廠./?班

選擇時也去了甲工廠，這與i?班先派去了甲工廠.■■班選擇時也去

了甲工廠姑同-種愔況.而在上述解法中當(dāng)作了不一樣的情況，

并H這種螢S很難排除.正解：用間接法.先計算3個班ft由選擇去何工廠的總數(shù)，R

扣除甲工廠無人去的情況，即：4x4x4-3x5x3-57種方案.排列組介悶題雖然種類繁多，但只要能把握ft敁常見的原理

和方法，即:“分步用乘、分類用加、有序律列、無序組合'留

心容W出錯的地方就能夠以不變應(yīng)乃變.把排列組合W-

江蘇宵各地市2011年離考數(shù)7:最新収芍試題分類大?I:編

第11郎分:排列組合二項式定理、概率

一、瑣空?，（2011年3月蘇.錫.常、敏四市島三數(shù)學(xué)教學(xué)情況調(diào)査一）

某所7:校有小7部、初中部和離中部.在校小7生、初中生和離

中生人數(shù)之比為5:2：5,且己知初中生^800\,現(xiàn)采用分層抽

樣的方法從這所7:校抽収一個容雖力so的7：生樣本以f解7:生對

7校文休活動方而的評價.則甸個島屮生被抽到的概蘋50【解析】由題知SOOx■ 400050.(江蘇省蘇州市2011年1月離三調(diào)研)己知集合在A中

叫里貧的依次収出三個數(shù)則??以邊恰好構(gòu)成三角形”

的概芊坫▲.【解析】“在4中可重復(fù)的依次取出三個數(shù)的基本事件

總數(shù)>9^=3,豐件“以?為邊不能構(gòu)成三免形”分別為

(-5).(i5.2),(5,X2).所以Pal44(江蘇省南京市2011?髙二第、次模擬考試)在集合4-仁均屮隨

機(jī)取一個元在集^B-｛^中隨機(jī)取一個元素《,符到點

^n,">.則點P在部的概牢為5.I【解析】巾越怠得到的存：(冰印)，口，叫M，(3,2)，M.井計6個.在岡^S+>!=9的內(nèi)部的點有所以槪氺為(江蘇省徐州市2011W咼二第?次調(diào)研飛試)在R問［_5、5］內(nèi)隨

機(jī)地取出一個數(shù)使得的槪率為▲.0.3【解析】由le｛、|2^+ar-/>。｝，得fl=-fl-2<0=>-l<O<2,所以2_所求概牢為58.(江蘇宵蘇北四市2011屆離三第一次調(diào)研)一個質(zhì)地均勻的正

四而體(側(cè)梭K:與底而邊長相等的正=枝錐)玩W的四個而上分

別標(biāo)有1,2.3.4這四個數(shù)字.衿連續(xù)兩次拋擲這個玩4.則兩

次問下的Iftih的數(shù)字之積為偶數(shù)的槪宇足▲ .8.【解析】應(yīng)川例舉法共有16種等可能詰況.(1.1)(1.2).

(1.3)(1.4)，(2.1)(2.2).(2,3).(2.4),(3.1)(3,

2),(3.3)(3.4).(4,1).(4,2).(4.3),(4.4).兩次向

下的面上的數(shù)卞之積為偶數(shù)井有12種怙況，所以所求概中為(江蘇擰泰州市2011屆高三年級第一次模擬)設(shè)

/(x)=.r-2x-3(.v^)>則在區(qū)間\-^］上隨機(jī)取一個數(shù)，，使/(+0的

概率為 ?1【解荇】兒何概咽，r:-2x-3<0>-!<*<5*.?卜龍，葉..re卜 ■士?二3.(江蘇柯南京市2011年3門離三第二次模擬考試)川兩種不|nj的顆