2020-2021人教版數(shù)學(xué)2-2教師用書：第2章 2.1 2.1.2演繹推理含解析

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2020-2021學(xué)年人教A版數(shù)學(xué)選修2-2教師用書：第2章2.12.1.2演繹推理含解析2.1.2演繹推理學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.理解演繹推理的含義．（重點(diǎn)）2．掌握演繹推理的模式，會(huì)利用“三段論”進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理．(重點(diǎn)、易混點(diǎn))1.通過演繹推理的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理的核心素養(yǎng)．2．借助“三段論”的應(yīng)用,培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理的核心素養(yǎng).1．演繹推理(1）含義:從一般性的原理出發(fā)，推出某個(gè)特殊情況下的結(jié)論，我們把這種推理稱為演繹推理．(2)特點(diǎn)：演繹推理是由一般到特殊的推理．2．“三段論”一般模式常用格式大前提已知的一般原理M是P小前提所研究的特殊情況S是M結(jié)論根據(jù)一般原理,對(duì)特殊情況做出的判斷S是P思考:如何分清大前提、小前提和結(jié)論？[提示]在演繹推理中，大前提描述的是一般原理,小前提描述的是大前提里的特殊情況，結(jié)論是根據(jù)一般原理對(duì)特殊情況作出的判斷,這與平時(shí)我們解答問題中的思考是一樣的，即先指出一般情況，從中取出一個(gè)特例，特例也具有一般意義．例如，平行四邊形對(duì)角線互相平分，這是一般情況；矩形是平行四邊形，這是特例；矩形對(duì)角線互相平分，這是特例具有一般意義．1．“四邊形ABCD是矩形，所以四邊形ABCD的對(duì)角線相等”,補(bǔ)充該推理的大前提是(）A．正方形的對(duì)角線相等 B．矩形的對(duì)角線相等C．等腰梯形的對(duì)角線相等 D．矩形的對(duì)邊平行且相等B[得出“四邊形ABCD的對(duì)角線相等"的大前提是“矩形的對(duì)角線相等"．］2．三段論：“①小宏在2019年的高考中考入了重點(diǎn)本科院校；②小宏在2019年的高考中只要正常發(fā)揮就能考入重點(diǎn)本科院校;③小宏在2019年的高考中正常發(fā)揮"中，“小前提”是________(填序號(hào))．③［在這個(gè)推理中，②是大前提,③是小前提，①是結(jié)論．]3．下列幾種推理過程是演繹推理的是________．①兩條平行直線與第三條直線相交，內(nèi)錯(cuò)角相等，如果∠A和∠B是兩條平行直線的內(nèi)錯(cuò)角,則∠A＝∠B；②金導(dǎo)電，銀導(dǎo)電，銅導(dǎo)電，鐵導(dǎo)電，所以一切金屬都導(dǎo)電;③由圓的性質(zhì)推測(cè)球的性質(zhì)；④科學(xué)家利用魚的沉浮原理制造潛艇．①［①是演繹推理；②是歸納推理；③④是類比推理．]4．用三段論證明命題：“任何實(shí)數(shù)的平方大于0，因?yàn)閍是實(shí)數(shù)，所以a2〉0”,你認(rèn)為這個(gè)推理的錯(cuò)誤是________．大前提[這個(gè)三段論推理的大前提是“任何實(shí)數(shù)的平方大于0”，小前提是“a是實(shí)數(shù)"，結(jié)論是“a2〉0”．顯然這是個(gè)錯(cuò)誤的推理，究其原因，是大前提錯(cuò)誤，盡管推理形式是正確的，但是結(jié)論是錯(cuò)誤的．]演繹推理與三段論【例1】(1)下面四個(gè)推導(dǎo)過程符合演繹推理三段論形式且推理正確的是（)A．大前提：無(wú)限不循環(huán)小數(shù)是無(wú)理數(shù)；小前提：π是無(wú)理數(shù);結(jié)論：π是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)B．大前提：無(wú)限不循環(huán)小數(shù)是無(wú)理數(shù)；小前提：π是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)；結(jié)論：π是無(wú)理數(shù)C．大前提：π是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)；小前提:無(wú)限不循環(huán)小數(shù)是無(wú)理數(shù)；結(jié)論：π是無(wú)理數(shù)D．大前提：π是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)；小前提：π是無(wú)理數(shù)；結(jié)論：無(wú)限不循環(huán)小數(shù)是無(wú)理數(shù)（2）將下列推理寫成“三段論”的形式：①向量是既有大小又有方向的量，故零向量也有大小和方向；②0.33eq\o（2，\s\up10(·））是有理數(shù)；③y＝sinx(x∈R)是周期函數(shù)．（1）B［對(duì)于A，小前提與大前提間邏輯錯(cuò)誤,不符合演繹推理三段論形式；對(duì)于B,符合演繹推理三段論形式且推理正確；對(duì)于C，大、小前提顛倒，不符合演繹推理三段論形式；對(duì)于D，大、小前提及結(jié)論顛倒，不符合演繹推理三段論形式．](2）①大前提:向量是既有大小又有方向的量．小前提：零向量是向量．結(jié)論：零向量也有大小和方向．②大前提:所有的循環(huán)小數(shù)都是有理數(shù)．小前提:0。33eq\o(2,\s\up10(·）)是循環(huán)小數(shù)．結(jié)論：0.33eq\o（2,\s\up10（·)）是有理數(shù)．③大前提：三角函數(shù)是周期函數(shù)．小前提：y＝sinx(x∈R)是三角函數(shù)．結(jié)論:y＝sinx（x∈R)是周期函數(shù)．把演繹推理寫成“三段論”的一般方法（1）用“三段論”寫推理過程時(shí)，關(guān)鍵是明確大、小前提,三段論中大前提提供了一個(gè)一般性原理，小前提提供了一種特殊情況，兩個(gè)命題結(jié)合起來(lái),揭示一般性原理與特殊情況的內(nèi)在聯(lián)系．（2)在尋找大前提時(shí)，要保證推理的正確性,可以尋找一個(gè)使結(jié)論成立的充分條件作為大前提．[跟進(jìn)訓(xùn)練］1．正弦函數(shù)是奇函數(shù)，f（x)＝sin（x2＋1）是正弦函數(shù)，因此f(x)＝sin（x2＋1)是奇函數(shù)，以上推理中“三段論”中的________是錯(cuò)誤的．小前提[f（x）＝sin（x2＋1)不是正弦函數(shù)，故小前提錯(cuò)誤．]2．將下列演繹推理寫成三段論的形式．（1）平行四邊形的對(duì)角線互相平分，菱形是平行四邊形,所以菱形的對(duì)角線互相平分；（2)等腰三角形的兩底角相等,∠A，∠B是等腰三角形的底角,則∠A＝∠B；（3)通項(xiàng)公式為an＝2n＋3的數(shù)列｛an}為等差數(shù)列．[解](1）大前提：平行四邊形的對(duì)角線互相平分,小前提:菱形是平行四邊形，結(jié)論：菱形的對(duì)角線互相平分．（2)大前提：等腰三角形的兩底角相等， 小前提：∠A,∠B是等腰三角形的底角, 結(jié)論:∠A＝∠B.(3)大前提:數(shù)列{an}中,如果當(dāng)n≥2時(shí)，an－an－1為常數(shù)，則｛an｝為等差數(shù)列，小前提：通項(xiàng)公式為an＝2n＋3時(shí)，若n≥2，則an－an－1＝2n＋3－[2（n－1）＋3]＝2（常數(shù))， 結(jié)論：通項(xiàng)公式為an＝2n＋3的數(shù)列{an}為等差數(shù)列.用三段論證明幾何問題【例2】正三棱柱ABC.A1B1C1的棱長(zhǎng)均為a，D，E分別為C1C與AB的中點(diǎn),A1B交AB1于點(diǎn)G。求證：(1)A1B⊥AD;(2)CE∥平面AB1D。證明：（1)連接A1D,DG,BD.∵三棱柱ABC。A1B1C1是棱長(zhǎng)均為a的正三棱柱,∴四邊形A1ABB1為正方形，∴A1B⊥AB1?！逥是C1C的中點(diǎn)，∴△A1C1D≌△BCD，∴A1D＝BD?！逩為A1B的中點(diǎn)，∴A1B⊥DG，又∵DG∩AB1＝G,∴A1B⊥平面AB1D。又∵AD?平面AB1D,∴A1B⊥AD.(2)連接GE.∵EG∥A1A,∴GE⊥平面ABC.∵DC⊥平面ABC,∴GE∥DC，∵GE＝DC＝eq\f(1，2)a，∴四邊形GECD為平行四邊形，∴CE∥GD。又∵CE?平面AB1D，DG?平面AB1D，∴CE∥平面AB1D。1．用“三段論”證明命題的格式××××××(大前提)××××××（小前提）××××××（結(jié)論)2．用“三段論”證明命題的步驟：（1）理清楚證明命題的一般思路；（2)找出每一個(gè)結(jié)論得出的原因；（3）把每個(gè)結(jié)論的推出過程用“三段論"表示出來(lái)［跟進(jìn)訓(xùn)練］3．如圖所示，在空間四邊形ABCD中,E，F(xiàn)分別是AB,AD的中點(diǎn)．求證：EF∥平面BCD。[證明］三角形的中位線平行于第三邊，（大前提）點(diǎn)E,F分別是AB，AD的中點(diǎn)，(小前提）所以EF∥BD.(結(jié)論）若平面外一條直線平行于平面內(nèi)一條直線，則這條直線與此平面平行，(大前提)EF?平面BCD,BD?平面BCD，EF∥BD，(小前提）EF∥平面BCD。(結(jié)論)用三段論證明代數(shù)問題［探究問題］1．?dāng)?shù)的大小比較常見方法有哪些?［提示]作差法、作比法、函數(shù)性質(zhì)法(單調(diào)性、奇偶性等)、圖象法、中間量法（常取0或1作為媒介）等．2．證明函數(shù)性質(zhì)（單調(diào)性、奇偶性、周期性)的依據(jù)是什么？試以函數(shù)單調(diào)性給予說明．[提示]證明函數(shù)性質(zhì)（單調(diào)性、奇偶性、周期性)的依據(jù)是函數(shù)性質(zhì)的相關(guān)定義及有關(guān)的知識(shí)原理．如函數(shù)單調(diào)性的證明常依據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義及單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系給予證明．3．判斷數(shù)列是等差（等比）數(shù)列的依據(jù)是什么？［提示]判斷數(shù)列是等差(等比）數(shù)列的依據(jù)是等差(等比)數(shù)列的定義。【例3】（1)設(shè)x,y，z為正數(shù)，且2x＝3y＝5z，則（)A．2x〈3y<5z B．5z<2x<3yC．3y<5z<2x D．3y<2x<5z（2)已知函數(shù)f（x）＝ax＋eq\f（x－2,x＋1）（a＞1），證明：函數(shù)f(x）在（－1，＋∞)上為增函數(shù)．思路探究：(1)借助于指對(duì)互化及不等式大小的比較方法求解;(2）利用函數(shù)的單調(diào)性或?qū)?shù)法求解．（1)D[令t＝2x＝3y＝5z,∵x，y,z為正數(shù)，∴t＞1.則x＝log2t＝eq\f(lgt，lg2）,同理，y＝eq\f(lgt，lg3），z＝eq\f（lgt，lg5）.∴2x－3y＝eq\f（2lgt,lg2)－eq\f(3lgt,lg3）＝eq\f（lgt2lg3－3lg2，lg2×lg3）＝eq\f(lgtlg9－lg8,lg2×lg3）＞0，∴2x＞3y。2x－5z＝eq\f（2lgt,lg2）－eq\f（5lgt，lg5）＝eq\f（lgt2lg5－5lg2,lg2×lg5)＝eq\f（lgtlg25－lg32，lg2×lg5)＜0,∴2x＜5z,∴3y＜2x＜5z。故選D。］（2)［解］法一:(定義法)任取x1，x2∈(－1，＋∞），且x1＜x2,則f（x2）－f(x1)＝aeq\s\up12(x2）＋eq\f(x2－2,x2＋1)－aeq\s\up12（x1）－eq\f（x1－2，x1＋1)＝aeq\s\up12(x2）－aeq\s\up12（x1)＋eq\f(x2－2，x2＋1)－eq\f(x1－2,x1＋1)＝aeq\s\up12(x1）(aeq\s\up12（x2－x1)－1)＋eq\f（x1＋1x2－2－x1－2x2＋1，x2＋1x1＋1）＝aeq\s\up12(x1)(aeq\s\up12（x2－x1）－1)＋eq\f(3x2－x1,x2＋1x1＋1）.因?yàn)閤2－x1＞0，且a＞1，所以aeq\s\up12(x2）eq\s\up12(－x1）＞1。而－1＜x1＜x2，所以x1＋1＞0，x2＋1＞0，所以f(x2）－f(x1）＞0,所以f（x）在(－1,＋∞)上為增函數(shù)．法二:(導(dǎo)數(shù)法）f(x）＝ax＋eq\f（x＋1－3,x＋1）＝ax＋1－eq\f（3,x＋1).所以f′(x）＝axlna＋eq\f（3,x＋12）.因?yàn)閤＞－1，所以（x＋1)2＞0，所以eq\f(3，x＋12)＞0.又因?yàn)閍＞1，所以lna＞0，ax＞0，所以axlna＞0.所以f′（x)＞0.于是得f（x)＝ax＋eq\f（x－2,x＋1)在(－1，＋∞)上是增函數(shù)．五類代數(shù)問題中的三段論（1)函數(shù)類問題：比如函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性和對(duì)稱性等．(2)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求函數(shù)的極值和最值，證明與函數(shù)有關(guān)的不等式等．（3）三角函數(shù)問題：利用三角函數(shù)公式進(jìn)行三角恒等變換,證明三角恒等式．（4）數(shù)列問題：數(shù)列的通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，證明等差數(shù)列和等比數(shù)列．（5)不等式類問題：如不等式恒成立問題,線性規(guī)劃以及基本不等式的應(yīng)用問題。[跟進(jìn)訓(xùn)練］4．已知2a＝3，2b＝6，2c＝12,則a，b，c的關(guān)系是()A．成等差數(shù)列但不成等比數(shù)列B．成等差數(shù)列且成等比數(shù)列C．成等比數(shù)列但不成等差數(shù)列D．不成等比數(shù)列也不成等差數(shù)列A［由條件可知a＝log23，b＝log26,c＝log212.因?yàn)閍＋c＝log23＋log212＝log236＝2log26＝2b，所以a，b,c成等差數(shù)列．又因?yàn)閍c＝log23log212≠(log26）2＝b2，所以a，b，c不成等比數(shù)列．故選A。］5．已知函數(shù)f（x）＝eq\f（2x－1，2x＋1),求證：函數(shù)f（x)是奇函數(shù),且在定義域上是增函數(shù)．[證明]f(x）＝eq\f(2x＋1－2,2x＋1)＝1－eq\f(2，2x＋1）,所以f（x）的定義域?yàn)镽.f(－x)＋f（x)＝eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（1－\f(2，2－x＋1））)＋eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(1－\f（2,2x＋1)）)＝2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（2，2x＋1)＋\f(2，2－x＋1)））＝2－eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（2，2x＋1)＋\f(2·2x，2x＋1））)＝2－eq\f(22x＋1，2x＋1）＝2－2＝0.即f（－x)＝－f（x)，所以f(x)是奇函數(shù)．任取x1,x2∈R，且x1<x2。則f（x1)－f(x2）＝eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（1－\f（2,2eq\s\up12（x1)＋1））)－eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(1－\f(2，2eq\s\up12（x2)＋1）)）＝2eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(1,2eq\s\up12(x2)＋1)－\f（1,2eq\s\up12（x1)＋1））)＝2·eq\f(2eq\s\up12(x1）－2eq\s\up12(x2),2eq\s\up12（x2)＋12eq\s\up12（x1)＋1）.由于x1<x2，從而2eq\s\up12（x1)<2eq\s\up12（x2)，2eq\s\up12(x1)－2eq\s\up12（x2)<0,所以f（x1）〈f(x2)，故f(x）為增函數(shù)．1．應(yīng)用三段論解決問題時(shí)，應(yīng)當(dāng)首先明確什么是大前提和小前提，但為了敘述的簡(jiǎn)潔，如果前提是顯然的,則可以省略．2．合情推理是由部分到整體，由個(gè)別到一般的推理或是由特殊到特殊的推理;演繹推理是由一般到特殊的推理．3．合情推理與演繹推理是相輔相成的，數(shù)學(xué)結(jié)論、證明思路等的發(fā)現(xiàn)主要靠合情推理；數(shù)學(xué)結(jié)論、猜想的正確性必須通過演繹推理來(lái)證明．1．平行于同一直線的兩直線平行，因?yàn)閍∥b，b∥c，所以a∥c，這個(gè)推理稱為（)A．合情推理 B．歸納推理C．類比推理 D．演繹推理D［本題的推理模式是三段論,故該推理是演繹推理．]2．三段論①只有船準(zhǔn)時(shí)起航，才能準(zhǔn)時(shí)到達(dá)目的港；②這艘船是準(zhǔn)時(shí)到達(dá)目的港的；③這艘船是準(zhǔn)時(shí)起航的，其中大前提是（)A．①B．②C．①②D．③A［根據(jù)三段論的定義,①為大前提，③為小前提，②為結(jié)論，故選A。]3．有一段“三段論”推理是這樣的：對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)f（x），若f′(x0）＝0,則x＝x0是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)，因?yàn)閒（x）＝x3在x＝0處的導(dǎo)數(shù)值為0，所以x＝0是f（x)＝x3的極值點(diǎn)，以上推理（)A．大前提錯(cuò)誤 B．小前提錯(cuò)誤C．推理形式錯(cuò)誤 D．