全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽預(yù)賽試題1

全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽預(yù)賽試題（考試時(shí)間：9月上午）一．填空題（共2題每題，合計(jì)分．設(shè)多項(xiàng)式

f(x

滿足：對(duì)于任意

xR

，都有

f(xf2xx,

則

f(x

的最小值是＿＿＿＿＿.．?dāng)?shù)列

{},滿：bknkk

,

已知數(shù)列

{}前n項(xiàng)為Ann

nn

，則數(shù)列

n

的前

n

項(xiàng)和

n

＿＿＿＿＿＿.．函數(shù)

f()

1

的值域是＿＿＿＿＿．拋物線

y

2

x的焦點(diǎn)F,作條斜率為的線l，l交物線于,B兩，則

的面積是＿＿＿＿＿.若

為銳角三角形，滿足

)

，則

A

的最大值為＿＿＿＿＿＿.若正三錐的內(nèi)切球半徑為

，則其體積的最小值為＿＿＿＿＿7.將

1

隨機(jī)填入右圖正方形ABCD的九個(gè)格子中，則其每行三數(shù)，每列三數(shù)自上而下、自左而右順次成等差數(shù)列的概率＿＿

＿＿＿＿將集合

{1,2,

的元素分成不相交的三個(gè)子集：

MAB

，其中A{,a,,a}{}Cccc}123134

，

c1

＜

c

2

＜

c3

＜

c

4

，且akk

，

k1,2,3,4,

則集合

C

為：＿＿＿＿＿.二．解答題（共2題合計(jì)）（20分）如圖，AB是圓的一條弦，它將圓分成兩部分，M分是兩段弧的中點(diǎn)，以點(diǎn)

B

為旋轉(zhuǎn)中心，將弓形

順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度成弓形A，AA的點(diǎn)為11

，

的中點(diǎn)為

Q

求證：

MN

10.（25分給定橢圓

:

ab

＞

＞

0)

以及圓

:y

，自橢圓上異于其頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)

P

，做

的兩條切線，切點(diǎn)為

，若直線

在

x,y

軸上的截

距分別為m；明：

a2a2n2

分）對(duì)于個(gè)數(shù)組成的集合

,p12

,}2n

，將其元素兩兩搭配成n個(gè)乘積，得到一個(gè)

n

元集，如果

A{,134

,a

a,}2nn

與

Bb,,12

b}2n

是由此得到的兩個(gè)元，其中

{}{b,b,b}12n12n

，且

B

，就稱集合對(duì)

{,}

是由

M

炮制成的一副對(duì)聯(lián)例當(dāng)

2

時(shí)，由四元集{a,,,d}

可炮制成三對(duì)聯(lián)：

{ab,cd}

{ac,}

，

{ab,cd}{ad,bc}{ac,}{,}

).(1).當(dāng)

時(shí)，求

元素集

Ma,cd,,f}

所能炮制成“對(duì)聯(lián)數(shù)（2對(duì)于一般的

，求由

n

元素集

M

所能炮制成的對(duì)數(shù)

()

全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽預(yù)賽試題答案1.2

nnn3

342489!思路：中E，證明角MFP=角；再證角PNE=MPF；然后證角為角

A1

中點(diǎn)F，可證為形；10.關(guān)鍵步驟：設(shè)點(diǎn)標(biāo)

,0

，易的OMPN四共圓，此圓方程減圓O方得直線方

xxyy

）60;

()

12

n2n

1(其中D=!

(n

1n!

)

高考數(shù)學(xué)（文）一輪：一課雙測(cè)A+B練四)空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征及三視圖和直觀圖1摸底)如圖，在下列個(gè)幾何體中，其三視圖(正圖、側(cè)視圖、俯視圖)中有且僅有兩個(gè)相同的()A．B．．D．2．有下列四個(gè)命題：底面是矩形的平行六面體是長(zhǎng)方體；棱長(zhǎng)相等的直四棱柱是正方體；有兩條側(cè)棱都垂直于底面一邊的平行六面體是直平行六面體；對(duì)角線相等的平行六面體是直平行六面體．其中真命題的個(gè)數(shù)是)A．2C．3D．43．個(gè)錐體的正視圖和側(cè)視圖圖所示，下面選項(xiàng)中，不可能是該錐體的俯視圖的是()4．圖是一幾何體的直觀圖、視圖和俯視圖．在正視圖右側(cè)，按照畫(huà)三視圖的要求畫(huà)出的該幾何體的側(cè)視圖()

5.如eq\o\ac(△,)ABCeq\o\ac(△,)ABC的直圖，那eq\o\ac(△,)ABC()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．鈍角三角形6東三校一模)一個(gè)幾何體三視圖如圖所示，側(cè)視圖的面積為()12

A＋3B＋3C＋23D．47．(明一中二模)一個(gè)幾何體正視圖和側(cè)視圖都是邊長(zhǎng)為1的方形，且體積為，則這個(gè)幾何體的俯視圖可能是下列圖形中________．(入所有可能的圖形前的編號(hào))銳角三角形直角三角形；四邊形扇；圓8安名校模擬)一個(gè)幾何體三視圖如圖所示，則該幾何體的體積________．9．正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為2，棱長(zhǎng)均為3其正視圖主視圖和視圖(左圖是全等的等腰三角形，則正視圖的周長(zhǎng)________10．已知：圖1是截一個(gè)角長(zhǎng)方體，試按圖示的方向畫(huà)出其三視圖；圖2是幾何體的三視圖，試說(shuō)明該幾何體的構(gòu)成．

11川調(diào)研)正四棱錐的高3側(cè)棱長(zhǎng)為7，求面上斜高(棱錐側(cè)面三角形的高為少？12．(四模)已知正三棱錐V－ABC的正視圖、側(cè)視圖和俯視圖如圖所示．(1)畫(huà)出該三棱錐的直觀圖；(2)求出側(cè)視圖的面積．1江八所重點(diǎn)高中模)底水平放置的正三棱柱的所有棱長(zhǎng)均為2，當(dāng)其正視圖有最大面積時(shí)，其側(cè)視圖的面積()A3B．3C.3D．42圳模擬)如所示的幾何體中，四邊形ABCD是形，平面ABCD⊥平ABE，已知AB，AE＝BE3且當(dāng)規(guī)定正視方向垂直平面ABCD時(shí)該幾何體的側(cè)視圖的面積為

22

.若M，N分別線段DE，CE上的動(dòng)點(diǎn)，則AM＋MN＋NB的最小值________．3．一個(gè)多面體的直觀圖、正視、側(cè)視圖如圖1所，其中正視圖、側(cè)視圖均為邊長(zhǎng)為a的方形．

(1)請(qǐng)?jiān)趫D2指的框內(nèi)畫(huà)出多面體的俯視圖；(2)若面體底面對(duì)角線AC，BD交點(diǎn)O為線段AA1中點(diǎn)，求證：平面A1C1C；(3)求該多面體的表面積．[答題欄]1._________2._________3._________4._________5A級(jí)._________6._________7.__________8.__________9.__________

B級(jí)1.______2.______答

案高考數(shù)學(xué)（文）一輪：一課雙測(cè)A+B精(四十A級(jí)1．A2.A3.C4.B5．選B由二測(cè)畫(huà)法知B正確16．選D依意得，該幾何體的側(cè)視圖的面積等于＋3＝4＋3.27．解析：如圖1所，直三棱柱ABE符合題設(shè)要求，此時(shí)俯視eq\o\ac(△,)ABE是角三角形；如圖2所，直三柱－A1B1C1合題設(shè)要求，此時(shí)俯視圖ABC是角三角形；如圖3所示當(dāng)直四棱柱的八個(gè)頂點(diǎn)分別是正方體上、下各邊的中點(diǎn)時(shí)，所得直四棱柱ABCD－A1B1C1D1符合設(shè)求，此時(shí)俯視圖四邊形是方形；若俯視圖是扇形或圓，體積中會(huì)含有，故排除.

答案：8．解析：結(jié)合三視圖可知，該何體為底面邊長(zhǎng)為2、為2的正棱柱除去上面的一個(gè)高為1的棱錐后剩下部分，其直觀圖如圖所示，1115故該幾何體的體積為22sin60－×22sin601＝.232353答案：39.解析：由題意知，正視圖就是圖所示的截面PEF其中E、F分別是AD、BC的點(diǎn)，連接AO易得AO2而PA3，是解得PO，以PE＝2，故其視圖的周長(zhǎng)為2＋22.答案：＋2210．解：圖1幾體的三視圖為：圖2所示的幾何體是上面為正六柱，下面為倒立的正六棱錐的組合體．11．解：如圖所示，正四棱錐S－ABCD中，高OS＝3，側(cè)棱SA＝SB＝SC＝7，在eq\o\ac(△,)中OA＝SA2－OS2＝2，ACAB＝BC＝CD＝DA＝22.作OEAB于E則為AB中．連接SE，則SE即為高，在eq\o\ac(△,)中1OE＝BC＝2，SO＝3，2SE＝5，即側(cè)面的斜高為5.

222AE3222AE312．解：三錐的直觀圖如圖所示．(2)根據(jù)三視圖間的關(guān)系可得BC＝23側(cè)圖中VA＝342－232＝12＝23，1eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)＝2323＝6.2B級(jí)1．選當(dāng)視圖的面積達(dá)最大時(shí)可知其為正三棱柱某個(gè)側(cè)面的面積，可以按如圖所示位置放置，此時(shí)側(cè)視圖的面積為23.2．解析：依題意得，點(diǎn)E到直線AB的距離等于3

2－2，為該幾何體的左(側(cè))視圖的面積為122＝，所以BC＝DC＝2.所以DEC是正三角形，∠DEC＝60，AD3tanDEA＝＝DEA.eq\o\ac(△,)DAEeq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)CEB展在同一平面上，此時(shí)連接AB，AE＝BE＝3，＝∠＋＋＝120，AB2＝＋－2AEBEcos120＝9即AB，AM＋MN＋NB最小值為3.答案：3．解：(1)根多面體的直觀圖正視圖、側(cè)視圖，得到俯視圖如下：(2)證明：如圖，連接AC，BD，于O，連接OE.E為AA1的點(diǎn)O為AC的點(diǎn)，eq\o\ac(△,)中，eq\o\ac(△,)AA1C的中位線．OEA1C.

OE平面A1C1C，A1C面A1C1C，OE平面A1C1C.(3)多面體表面共包括10個(gè)面，SABCD＝a2a2SA1B1C1D1＝，2a2SABA1eq\o\ac(△,)B1BC＝SCeq\o\ac(△,)＝，2SAA1D1eq\o\ac(△,)B1A1Beq\o\ac(△,)C1B1Ceq\o\ac(△,)DC1D112a32a3a2＝＝，2248該面體的表面a2a23a2S＋＋4228

高考數(shù)學(xué)（文）一輪：一課雙測(cè)A+B練四十四直、平面垂直的判定與性質(zhì)1杭模)設(shè)a，b，c是條不同的直線，是個(gè)不同的平面，則ab的一個(gè)充分條件是)A．a(chǎn)，b．，a，bC．a(chǎn)，bD．a(chǎn)，b2．設(shè)是三個(gè)不重合的平面l是直，給出下列命題若，，則；若l上點(diǎn)的離相等，則l；若l，則α；若，l，l，l.其中正確的命題()A．B．C．D．3．給出命題：(1)在空間里，垂直于同一平面兩個(gè)平面平行；(2)設(shè)l，m是不同的直線，是個(gè)平面，若lm，則m；(3)已知，表兩個(gè)不同平m為面內(nèi)一條直線，則m的充要條件；(4)a，b是兩異面直線，為間一點(diǎn)，過(guò)P可以作一個(gè)平面與a，b之一垂直，與另一個(gè)平行．其中正確命題個(gè)數(shù)是)A．1C2D4.(濟(jì)模擬)如圖，在斜三棱ABC中，＝90，BC1AC則C1在面ABC上的射影H必在()A．直線AB上B．直線BC上C．直線AC上Deq\o\ac(△,)內(nèi)5.(阜師大附中質(zhì)檢)如所，直線PA垂于⊙O所的面，ABC內(nèi)于，且AB為O的徑，點(diǎn)M為線PB的點(diǎn)．現(xiàn)有結(jié)論：PC；OM平面APC；點(diǎn)到平PAC距離等于線段BC的長(zhǎng)其中正確的()A．B．C．D．

6.(濟(jì)名校模擬如圖，在邊形ABCD中BC，AD＝AB，BCD＝45，BAD，將ABD沿BD折，使平面平BCD，成三棱錐A－BCD，在三棱錐A－BCD中，下面命題正確的是()A．平面ABD平面ABCB．平面ADC平面BDCC．平面ABC平面BDCD．平面ADC平ABC7.如圖所示，在四棱錐P－ABCD，PA底ABCD，底面各邊都相等，M是PC上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M滿足________時(shí)平面MBD平面PCD.(要填寫(xiě)一個(gè)你認(rèn)為是正確的條件即)8．(州一中月考)正四棱錐S底面邊長(zhǎng)為2，高2，E是BC的點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在四棱錐的表面上運(yùn)動(dòng)，并且總保持PEAC，則動(dòng)點(diǎn)P的軌的長(zhǎng)為_(kāi)______9.(蚌模擬)點(diǎn)P在正體ABCD－A1B1C1D1的面對(duì)角線BC1上運(yùn)動(dòng)，給出下列四個(gè)命題：三棱錐A－D1PC的體不變；A1P平面ACD1；；平面PDB1平面ACD1.其中正確的命題序號(hào)________．10.如圖所示，已知三棱錐A－BPC中APPC，ACBC，M為AB的中點(diǎn)，D為PB的點(diǎn)，eq\o\ac(△,)PMB正三角形．(1)求證：平面；(2)求證：平面ABC平面APC.11.(北海淀二模)如圖所示，平面，C在AB為直的O上CBA＝30，PA＝AB＝2，點(diǎn)E為段PB的點(diǎn)，點(diǎn)M在AB上，且OMAC.(1)求證：平面MOE平面PAC；(2)求證：平面PAC平面PCB.

2212．(珠摸)如圖，在多面ABCDEF，四邊形ABCD是形，ABCD四邊形ACFE是形，平面ACFE平面ABCD，AD＝CB＝AE＝a，ACB＝.(1)求證：平面ACFE；(2)若M是EF上一點(diǎn)，平BDF，求的長(zhǎng)．1.如圖，在立體圖形D－ABC中，AB＝CD，E是AC的中點(diǎn)，則下列正確的()A．平面ABC平面ABDB．平面ABD平面BDCC．平面ABC平面，且平面ADC平BDED．平面ABC平面，且平面ADC平BDE2．圖所示，b，c在面內(nèi)a，bc，且ab，acc，C，Db，eq\o\ac(△,)是)A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．等腰三角形3.(莆模擬)如，在三棱錐P－ABC，PACABC分別以A，B為直角頂點(diǎn)的等腰直角角形AB(1)現(xiàn)出三個(gè)條件：PB＝3；BC；平面平ABC.試中任意選取一個(gè)作為已知條件，并證明PA平ABC；(2)在1)的條件下，求三棱錐P－ABC的體．[答題欄1._________2._________3._________4._________5._A級(jí)________6._________7.__________8.__________9.__________

B級(jí)1.______2.______答

案高考數(shù)學(xué)（文）一輪：一課雙測(cè)A+B精(四十四)

A級(jí)1．C2.D3.B4.A5．選B對(duì)，平，PAAB為O的直徑，BCAC.BC平面PAC.又PC平面，BCPC對(duì)點(diǎn)M為段PB的中，OMPA.面，OM平面；于，知BC平，線段長(zhǎng)即是點(diǎn)B到平面PAC的距離，故都正確．6．D在平面圖形中CDBD，折起后仍有CDBD，由于平面ABD面BCD故CD平ABDAB，ABAD，故平ADC所以平面ABC面ADC.7．解析：由定理可知，BD當(dāng)DMPC(BMPC)時(shí)即有PC平面MBD.而PC面PCD，平MBD平面PCD.答案：DMPC(PC等8．解析：如圖，設(shè)AC＝O，接SO取CD的中點(diǎn)，SC的中點(diǎn)G，連接EF，F(xiàn)G，設(shè)EF交AC于點(diǎn)H連接GH易知AC，GHSOGH平ABCDACGH平EFG故動(dòng)點(diǎn)P的跡eq\o\ac(△,)EFG，由已知易得EF＝2，GE＝

62

，EFG的周長(zhǎng)為2＋6，故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)為2＋6.答案：2＋69．解析：連接BD交AC于O連接DC1交D1C于O1，連接OO1，則OO1BC1.BC1平面，點(diǎn)P到面的離不變，三錐P的積不變．又VP－AD1C＝VA－D1PC，正．平A1C1B平AD1C，A1P面A1C1B，A1P平面ACD1，正．由于DB不直于BC1顯不確；

22由于D1CAD1，D1CAD1＝D1DB1平AD1C.DB1面PDB1，平PDB1平面ACD1正．答案：10．證明：(1)由知，得eq\o\ac(△,)的中位線，所以AP.又MD面APC，AP面APC，故MD平APC.(2)因eq\o\ac(△,)PMB為正三角形D為PB的中點(diǎn)，所以MDPB.以APPB.又AP，PBPC＝P所以AP平PBC.因?yàn)锽C面，以APBC.又BC，ACAP＝A所以BC平APC.因?yàn)锽C面，以平面ABC平APC.11．證明：(1)因點(diǎn)E為段PB中點(diǎn)，點(diǎn)線段AB的中，所以O(shè)EPA.因?yàn)镻A面，OE面，所以O(shè)E平面PAC.因?yàn)镺MAC，且AC面PAC，OM面PAC，所以O(shè)M平面PAC.因?yàn)镺E面，OM面，OE＝O，所以平面MOE平面PAC.(2)因?yàn)辄c(diǎn)C在AB為直徑的O上，以ACB＝90即BCAC.因?yàn)镻A平面ABC，BC面ABC所以PABC.因?yàn)锳C面，PA面，PAAC，所以BC平面PAC.因?yàn)锽C面，所以平面PAC平面PCB.12．解：證：因?yàn)椋?，以BCAC.又為面ABCD，平面ACFE平面＝AC，平面ACFE面ABCD，所以BC平面ACFE.(2)記ACBD，梯形ABCD，因?yàn)锳D＝DC＝CB，ABCD所ACD＝CAB

262262＝DAC.所以＝ABC＋BCD＝DAB＋