【新教材】人教A版（2022）高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)1.5全稱量詞與存在量詞-同步練習(xí)

全稱量詞與存在量詞知識(shí)點(diǎn)總結(jié)、例題講解和同步練習(xí)一、本節(jié)知識(shí)點(diǎn)（1）全稱量詞與全稱量詞命題.（2）存在量詞與存在量詞命題.（3）全稱量詞命題與存在量詞命題的否定.二、本節(jié)題型（1）全稱量詞命題與存在量詞命題的辨析及其真假的判斷.（2）全稱量詞命題與存在量詞命題的否定.（3）全稱量詞命題與存在量詞命題的求參問(wèn)題.三、知識(shí)點(diǎn)講解知識(shí)點(diǎn)一全稱量詞與全稱量詞命題短語(yǔ)“所有的”、“任意一個(gè)”在邏輯中叫做全稱量詞,并用符號(hào)“”表示.含有全稱量詞的命題,叫做全稱量詞命題.全稱量詞命題“對(duì)M中任意一個(gè),成立”可用符號(hào)表示為:.讀作:對(duì)任意屬于M,有成立.對(duì)全稱量詞命題的理解:（1）全稱量詞命題是陳述集合中所有元素都具有某種性質(zhì)的命題.（2）一個(gè)全稱量詞命題可用包含多個(gè)變量:如R,≥0.（3）在某些全稱量詞命題中,有時(shí)全稱量詞可用省略.例如“長(zhǎng)方體是六面體”,它指的是“所有的長(zhǎng)方體都是六面體”.全稱量詞命題真假的判斷（1）要判斷全稱量詞命題“”是真命題,需要對(duì)集合M中的每個(gè)元素,證明成立;（2）要判斷全稱量詞命題“”是假命題,只需舉出一個(gè)反例.若在集合M中能找到一個(gè)元素,使不成立,那么這個(gè)全稱量詞命題就是假命題.知識(shí)點(diǎn)二存在量詞與存在量詞命題短語(yǔ)“存在一個(gè)”“至少有一個(gè)”在邏輯中叫做存在量詞,并用符號(hào)“”表示.含有存在量詞的命題,叫做存在量詞命題.存在量詞命題“存在M中的元素,成立”可用符號(hào)表示為:.讀作:存在M中的元素,使成立.對(duì)存在量詞命題的理解:（1）存在量詞命題是陳述集合中有（存在）一些元素具有某種性質(zhì)的命題.（2）一個(gè)存在量詞命題可用包含多個(gè)變量,如R,使.（3）如果一個(gè)命題含有存在量詞,不管包含的范圍有多大,都是存在量詞命題.存在量詞命題真假的判斷（1）要判斷存在量詞命題“”是真命題,只需在集合M中找到一個(gè)元素,使成立即可;（2）要判斷存在量詞命題“”是假命題,需要對(duì)集合M中任意一個(gè)元素,證明都不成立.知識(shí)點(diǎn)三全稱量詞命題和存在量詞命題的否定全稱量詞命題的否定一般來(lái)說(shuō),對(duì)含有一個(gè)量詞的全稱量詞命題進(jìn)行否定,我們只需把“所有的”“任意一個(gè)”等全稱量詞,變成“并非所有的”“并非任意一個(gè)”等短語(yǔ)即可.也就是說(shuō),假定全稱量詞命題為“”,則它的否定為“并非”,也就是“,不成立”.用“”表示“不成立”.對(duì)于含有一個(gè)量詞的全稱量詞命題的否定,有下面的結(jié)論:全稱量詞命題:,它的否定:,.也就是說(shuō),全稱量詞命題的否定是存在量詞命題.存在量詞命題的否定一般來(lái)說(shuō),對(duì)含有一個(gè)量詞的存在量詞命題進(jìn)行否定,我們只需把“存在一個(gè)”“至少有一個(gè)”“有些”等存在量詞,變成“不存在一個(gè)”“沒(méi)有一個(gè)”“都”等短語(yǔ)即可.也就是說(shuō),假定存在量詞命題為“”,則它的否定為“不存在,使成立”,也就是“不成立”.對(duì)含有一個(gè)量詞的存在量詞命題的否定,由下面的結(jié)論:存在量詞命題:,它的否定:,.也就是說(shuō),存在量詞命題的否定是全稱量詞命題.重要結(jié)論一個(gè)命題的否定仍是一個(gè)命題,它和原命題只能一真一假,不能同真同假.所以,我們判斷一個(gè)命題的否定是真是假,只需判斷原命題的真假即可.四、例題講解例1.判斷下列全稱量詞命題的真假:（1）每個(gè)四邊形的內(nèi)角和都是;（2）任何實(shí)數(shù)都有算術(shù)平方根;（3）,是無(wú)理數(shù).分析:要判斷全稱量詞命題“”是真命題,需對(duì)集合中的每個(gè)元素,證明成立;要判斷全稱量詞命題“”是假命題,只需在集合中找到一個(gè)元素,使不成立即可.解:（1）根據(jù)多邊形內(nèi)角和定理,四邊形的內(nèi)角和為:∴全稱量詞命題“每個(gè)四邊形的內(nèi)角和都是”是真命題;（2）∵只有非負(fù)實(shí)數(shù)才有算術(shù)平方根∴全稱量詞命題“任何實(shí)數(shù)都有算術(shù)平方根”是假命題;（3）是無(wú)理數(shù),但是有理數(shù).∴全稱量詞命題“,是無(wú)理數(shù)”是假命題.例2.判斷下列存在量詞命題的真假:（1）存在一個(gè)四邊形,它的兩條對(duì)角線互相垂直;（2）至少有一個(gè)整數(shù),使得為奇數(shù);（3）,是無(wú)理數(shù).分析:要判斷存在量詞命題“”是真命題,只需在集合中找到一個(gè)元素,使成立即可;要判斷存在量詞命題“”是假命題,需要對(duì)集合M中任意一個(gè)元素,證明都不成立.解:（1）菱形是特殊的四邊形,它的兩條對(duì)角線互相垂直.∴存在量詞命題“存在一個(gè)四邊形,它的兩條對(duì)角線互相垂直”是真命題;（2）∵為整數(shù),為偶數(shù)∴存在量詞命題“至少有一個(gè)整數(shù),使得為奇數(shù)”是假命題;（3）∵是無(wú)理數(shù),也是無(wú)理數(shù)∴存在量詞命題“,是無(wú)理數(shù)”是真命題.例3.寫(xiě)出下列命題的否定:（1）Z,Q;（2）任意奇數(shù)的平方還是奇數(shù);（3）每個(gè)平行四邊形都是中心對(duì)稱圖形.解:（1）Z,Q;（2）存在一個(gè)奇數(shù),它的平方不是奇數(shù);（3）存在一個(gè)平行四邊形不是中心對(duì)稱圖形.例4.寫(xiě)出下列命題的否定:（1）有些三角形是直角三角形;（2）有些梯形是等腰梯形;（3）存在一個(gè)實(shí)數(shù),它的絕對(duì)值不是正數(shù).解:（1）所有的三角形都不是直角三角形;（2）所有的梯形都不是等腰梯形;（3）任意一個(gè)實(shí)數(shù),它的絕對(duì)值是正數(shù).例5.寫(xiě)出下列命題的否定,并判斷真假:（1）任意兩個(gè)等邊三角形都相似;（2）R,.解:（1）該命題的否定:存在兩個(gè)等邊三角形,它們不相似.∵任意兩個(gè)等邊三角形的三邊對(duì)應(yīng)成比例∴任意兩個(gè)等邊三角形都相似.∴該命題的否定為假命題;（2）該命題的否定:R,.∵對(duì)任意R恒成立∴該命題的否定為真命題.例6.寫(xiě)出下列命題的否定,并判斷真假:（1）R,一元二次方程有實(shí)數(shù)根;（2）每個(gè)正方形都是平行四邊形;（3）N,N;（4）存在一個(gè)四邊形ABCD,其內(nèi)角和不等于.分析:要先判斷原命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題,任何給出正確的否定.解:（1）R,一元二次方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根.∵對(duì)R恒成立∴一元二次方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根∴該命題的否定為假命題;（2）存在一個(gè)正方形不是平行四邊形.是假命題;（3）N,N.∵當(dāng)時(shí),N∴該命題的否定為假命題;（4）任意一個(gè)四邊形ABCD的內(nèi)角和等于.是真命題.（或所有的四邊形ABCD的內(nèi)角和等于）例7.已知命題:,方程有解,則為【】（A）,方程無(wú)解（B）≤0,方程有解（C）,方程無(wú)解（D）≤0,方程有解解析:本題考查存在量詞命題的否定.存在量詞命題:,它的否定:.存在量詞命題的否定為全稱量詞命題.選擇答案【A】.例8.已知命題:≥3,使得是假命題,則實(shí)數(shù)的最大值是_______.解析:本題考查全稱量詞命題與存在量詞命題的求參問(wèn)題.重要結(jié)論一個(gè)命題的否定仍是一個(gè)命題,它和原命題只能一真一假,不能同真同假.該命題的否定為:≥3,≥.由題意可知,該命題的否定為真命題.∴只需≥即可.∴≤5,即實(shí)數(shù)的最大值是5.例9.若對(duì)≤≤2,有≤0恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.解析:本題中的命題為全稱量詞命題,即,≤0恒成立.由≤0得:≤恒成立,只需≤即可.∵,∴.∴實(shí)數(shù)的取值范圍是.例10.命題“,≥0”的否定是【】（A）,（B）,≥0（C）,（D）,≥0解析:把量詞“”變成“”,并把結(jié)論否定即可.∴選擇答案【C】.五、同步練習(xí)1.命題“R,”的否定是【】（A）R,（B）R,（C）R,（D）R,2.命題“存在實(shí)數(shù),使關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根”的否定是【】（A）存在實(shí)數(shù),使關(guān)于的方程無(wú)實(shí)數(shù)根（B）不存在實(shí)數(shù),使關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根（C）對(duì)任意實(shí)數(shù),關(guān)于的方程都有實(shí)數(shù)根（D）至多有一個(gè)實(shí)數(shù),使關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根3.命題“,都有”的否定是【】（A）,都有≤0（B）,使得≤0（C）,使得≤0（D）≤1,使得≤04.已知命題R,,則是【】（A）R,（B）R,（C）R,（D）R,5.判斷下列命題的真假,并寫(xiě)出命題的否定.（1）Z,;（2）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi),有些一元二次方程無(wú)解;（3）正數(shù)的平方都是正數(shù).6.用符號(hào)“”或“”改寫(xiě)下面的命題,并判斷真假.（1）實(shí)數(shù)的平方大于或等于0;（2）存在實(shí)數(shù),使成立;（3）直角三角形滿足勾股