趨勢(shì)曲線模型預(yù)測(cè)

趨勢(shì)曲線模型預(yù)測(cè)第一頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日第一節(jié)

多次式曲線模型預(yù)測(cè)法

第三章所談及的回歸分析，是在已知統(tǒng)計(jì)資料基礎(chǔ)上，利用線性或非線性回歸技術(shù)進(jìn)行模擬，利用趨勢(shì)外推進(jìn)行預(yù)測(cè)，而模型的項(xiàng)數(shù)均為常數(shù)項(xiàng)加一次項(xiàng)或非線性構(gòu)成。事實(shí)上，若采用多項(xiàng)式進(jìn)行模擬，也是一種行之有效的方法。第二頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日一．正規(guī)方程組所謂多項(xiàng)式回歸，就是已知統(tǒng)計(jì)資料給出，當(dāng)預(yù)測(cè)變量y與自變量x可用一個(gè)多項(xiàng)式進(jìn)行模擬時(shí)，利用一元非線性回歸技術(shù)，來(lái)作出模擬并用于預(yù)測(cè)。設(shè)實(shí)際值為（xi,yi）,為方便多項(xiàng)式次數(shù)測(cè)定，數(shù)據(jù)選取xi－xi－1=?x=C，模型模擬值為(xi,)

就有=f(x)=a0+a1x+a2x+……+amx.

顯然，這是一個(gè)m次多項(xiàng)式，同時(shí)假定已知數(shù)據(jù)為n組：(xi,yi)i=1,2,……n.2m第三頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日假定y與x是相關(guān)的，對(duì)應(yīng)任意的yi，都有yi

且ei=yi－

由回歸分析，最佳擬合為Q=∑ei2=Qmin

利用最小二乘法，對(duì)系數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)，有

(Q/ak)’=0→2∑ei(ei)’ak=0

其中k=0,1,2,3,……,m

因?yàn)閑i=yi－yi=yi－

a0－

a1x－

……akxik……amxim

所以有：∑(yi－

a0－

a1x1--

……amxim)(-xik)=0

得yi

xik

=a0

∑xik+a1∑xi(k+1)+……am∑xik+m第四頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日令

第五頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日可建立m+1個(gè)方程組成的正規(guī)方程組：

s0a0+s1a1+……+smam=u0(k=0)

s1a0+s2a1+………+sm+1am=u1(k=1)

::::

sma0+sm+1a1+……..+s2mam=um(k=m)記為矩陣式：

s0s1s2……sma0u0

s1s2s3……sm+1a1u2

smsm+1

s0…s2m

amum

記為S記為A記為U

則：U=SA→A=S(-1)U=1/|S|S*U有唯一解，故a0,a1,……,am可唯一求出，于是預(yù)測(cè)方程可以求得。

{2004/11/1}=×第六頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日二、案例某地1972---1979工業(yè)產(chǎn)值統(tǒng)計(jì)資料如表，企業(yè)多項(xiàng)式模型，并預(yù)測(cè)1980、1981年工業(yè)產(chǎn)值年19721973197419751976197719781979序號(hào)12345678產(chǎn)值7.548.768.239.9210.6511.6512.5613.78解：（1）描點(diǎn)，觀察，做趨勢(shì)圖。

由圖所示，用二次曲線描述合理。即預(yù)測(cè)模型可取為y=a0+a1x+a2x2第七頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日（2）由正規(guī)方程組U=SA，求A=S(-1)U

∵Sk

=∑Xik

i=1,2,………,8.K=0,1,2,3,4.

S0=∑xi=8;S1=∑xi=36;S2=∑xi=204;S3=∑xi=1296;S4=∑xi=8772

836204∴S=3620412962041296877201234第八頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日第九頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日

836204-183.09A=S(-1)U=362041296410.74204129687722458.381.9464-0.90130.089383.09=-0.91070.5100-0.0536410.740.0893-0.05360.0062458.387.1602=0.44470.0480

故預(yù)測(cè)模型y=7.1602+0.4447x+0.0480x2

第十頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日

1980:x=9y9=7.1602+0.4447×9+0.0480×92

=15.05051981:x=10:y10=7.1602+0.4447×10+0.0480×102=16.4072絕對(duì)誤差相對(duì)誤差與實(shí)際值比較:1980年為14.770。2809–1。9%1981年為15.640。7672-4。9%第十一頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日三、

擬合多項(xiàng)式的次數(shù)確定

1、作圖法利用實(shí)際數(shù)據(jù)，選擇合適坐標(biāo)，采用圖上打點(diǎn)，觀察打點(diǎn)曲線，并選擇一條比較合用的多項(xiàng)式趨勢(shì)線。若趨勢(shì)線出現(xiàn)拐點(diǎn)：由拐點(diǎn)定義，若出現(xiàn)一個(gè)拐點(diǎn)，至少應(yīng)用3次多項(xiàng)式擬合；

若出現(xiàn)k個(gè)拐點(diǎn)，至少應(yīng)用k+2次多項(xiàng)式擬合。

第十二頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日2.差分判斷法

①差分定義：當(dāng)自變量呈等距分布時(shí)，即

xi=xi-1+△x

則▽yi=yi–

yi-1=f(xi)-f(xi-1)

稱為當(dāng)x從xi-1變到xi時(shí),yi的一階差分。所有更高階的差分由進(jìn)一步的差分得到:

二階差分

▽2yi

=▽(▽yi)=▽(yi–

yi-1)=▽yi-▽yi-1=(yi–

yi-1)-(yi-1

–

yi-2)=yi-2yi-1+yi-2

第十三頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日可類推至yi的k階差分▽k

yi

=▽(▽k-1

yi)=………=

②差分對(duì)多項(xiàng)式判斷中的應(yīng)用例：含線性趨勢(shì)確定性時(shí)間序列數(shù)據(jù)（yt=2t)t012345yt0246810一階差分22222二階差分0000

第十四頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日

例:二次曲線y=ax2+bx+c

x012345

ytca+b+c4a+2b+c9a+3b+c16a+4b+c25a+5b+c一階差分a+b3a+b5a+b7a+b9a+b二階差分2a2a2a2a三階差分000

由此可得出判據(jù)

若一批自變量為等距分布的數(shù)據(jù)，經(jīng)

n次差分之后，形成常數(shù)或差分后在某一定值上下波動(dòng)，則可用n次多項(xiàng)式擬合此批數(shù)據(jù)變動(dòng)趨勢(shì)。

3.在利用數(shù)據(jù)確定曲線時(shí)，要排除偶然發(fā)生的那一類數(shù)據(jù)。第十五頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日第二節(jié)成長(zhǎng)曲線預(yù)測(cè)模型一.Gompertz曲線成長(zhǎng)曲線主要應(yīng)用兩個(gè)原則：相似性原則與延續(xù)性原則①?zèng)Q定過(guò)去技術(shù)發(fā)展的因素，很大程度的也將決定未來(lái)的發(fā)展，條件是不變的或變化不大的；②發(fā)展過(guò)程屬于漸進(jìn)的，影響過(guò)程的規(guī)律不發(fā)生突變；③增長(zhǎng)曲線即生命周期與生物生長(zhǎng)過(guò)程相似孕育—出生—成長(zhǎng)—成熟—老化—死亡發(fā)明—定型—推廣—成熟—老化—淘汰

第十六頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日

1.經(jīng)驗(yàn)公式

,有三個(gè)系數(shù)K，a,b(雙層指數(shù))

取常用對(duì)數(shù)lgyt=lgK+btlga

2.參數(shù)k,a,b的確定（三和法）

假定有若干原始數(shù)據(jù)，取△t=1,t=1,2,3,…….3n且滿足

即：lgyt=lgK+btlga第十七頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日排列成表如下

t123……nlgytlgy1lgy2lgy3……lgyn

n+1n+2n+3……2nlgyn+1lgyn+2lgyn+3……lgy2n

2n+12n+22n+3……3nlgy2n+1lgy2n+2lgy2n+3……lgy3n

共有3n個(gè)數(shù)據(jù)，平均分為3組，第一組第二組第三組第十八頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日第一組：求和：

=nlgK+(b1+b2+……bn)lga……①第二組：求和：

∑lgyt=nlgK+(bn+1+bn+2+……b2n)lga②第三組：求和:∑lgyt=nlgK+(b2n+1+b2n+2+……b3n)lga③③-②:lgyt-lgyt=bn(b+b1+b2+……bn)(bn

-1)lga…4②-①:lgyt-lgyt=(b+b1+b2+……bn)(bn

-1)lga……⑤第十九頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日第二十頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日3.例：某廠產(chǎn)品銷售總額歷史數(shù)據(jù)：（萬(wàn)元）年份(t)196819691970197119721973yt407418432447463485log

yt2.612.622.642.652.672.69年份(t)197419751976197719781979yt508535566602644694log

yt2.712.732.752.782.812.84

年份(t)198019811982198319841985yt734826912101811481311log

yt2.882.922.963.013.063.12第二十一頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日上述數(shù)據(jù)的模型識(shí)別，一般采用作圖法或計(jì)算機(jī)模擬。由上述公式，可求出K=305,a=1.3;b=1.1yt=預(yù)測(cè)1988年銷售額：

t=21,y==2125.7(萬(wàn)元)

第二十二頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日4.關(guān)于Gompert曲線的討論

①.a>1a)0<b<1b)b>1t→0,yt→Kat↗,yt↗t→-∞yt→K細(xì)胞分裂核爆后繼無(wú)抑制上升t→0,yt→Kat↗,yt↘t→+∞yt→K第二十三頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日動(dòng)植物生命衰減②.a>1a)0<b<1b)b>1t→-∞yt→0t→+∞yt→Kt→0yt→Ka第二十四頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日以上“K”稱為最大步長(zhǎng)值，或飽和點(diǎn)值如：家電生產(chǎn)及銷售，農(nóng)田畝產(chǎn)，機(jī)器工作效率等，耐用消費(fèi)品

③Gompert曲線是雙層指數(shù)，又稱雙指數(shù)模型。第二十五頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日二.Logistic曲線該曲線為美國(guó)生物學(xué)家，人口統(tǒng)計(jì)學(xué)家

R.Pearl博士通過(guò)利用微分方程表示生物生長(zhǎng)速度，求解得到的公式，為L(zhǎng)ogistic增長(zhǎng)曲線。

1.數(shù)學(xué)模型微分方程形式為：dy/dt=ky(K-y)

其中k,K>o常數(shù)且0<y<k,為可分離變量一階微分方程。解出為

yt=K/[1+ae(-bt)]

其中a=e-ck

（C為積分常數(shù)）

b=kK

書中公式為是變形的一種。(1/2005/4/04)第二十六頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日當(dāng)t→∞時(shí)y=K,為極限參數(shù),稱飽和值.曲線為

改變a只影響曲線位置變動(dòng)而不改變形狀(a位置參數(shù))改變b只影響曲線形狀而不改變位置.(b形狀參數(shù))此方法,80年代曾用于閉路電視發(fā)展預(yù)測(cè)，結(jié)果1990年美家庭將有63%采用,2000年89.5%,2010年97.17%,使美聯(lián)邦通訊委員會(huì)從禁止到支持.

tytt=0n2ny0y1y2y3第二十七頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日二.參數(shù)估計(jì)解法1:三點(diǎn)法,取已知三點(diǎn);第一點(diǎn)為起點(diǎn)t=0,另兩點(diǎn)分別為t=n和t=2n,即從時(shí)間上均勻分段.設(shè)曲線序列始點(diǎn)選定為y|t=0=y0→y0=k/(1+a)…①

中點(diǎn):y|t=n=y1,→y1=k/[1+ae-bn]………②

終點(diǎn):y|t=2n=y2,→y2=k/[1+ae-2bn]……③

由①式,推出a=(K-y0)/y0……………④

由②式:y1?[1+ae-bn

]=K

得

e-bn=(K-y0)/ay1

有

b=[lna+lny1–ln(K-y1)]/n………⑤

第二十八頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日將公式②中解出e-bn及公式④代入公式③

,得:y2{1+(K-y1)2/[(K-y0)y12/y0]}=K整理得出

K=[y0y12+y12y2-2y0y1y2]/[y12

-y0y2]…...6公式⑥⑤④三式共同組成參數(shù)估計(jì)公式.

第二十九頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日解法2:線性回歸法,前提是假定K已知公式變形:y

=K/[1+ae-bt]K/y=1+ae-bt)

ae-bt=K/y-1取自然對(duì)數(shù)lna–bt=ln(K/y-1)令ln(K/y-1)=y’,lna=a0,–b=a1則構(gòu)成線性方程

y’=a0+a1t利用一元線性回歸方法,解出y’,進(jìn)而求出預(yù)測(cè)值y解法3:為近似積分法,見書介紹解法4:為三和法第三十頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日三.舉例:我國(guó)家用縫紉機(jī)市場(chǎng)需求量轉(zhuǎn)折點(diǎn)預(yù)測(cè)

1970—1982年統(tǒng)計(jì)資料年份:197019711972197319741975普及率%5.496.6767.9109.12510.54412.029197619771978197919801981198213.69415.36317.28219.45922.98027.05431.227由于歐洲市場(chǎng)已飽和,可參考統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)(飽和值K)同名日英法蘇芬美飽和值(%)803547.61962.5030.30371.429據(jù)專家估計(jì):中國(guó)由于廣闊的農(nóng)村市場(chǎng),飽和率可達(dá)70%第三十一頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日解:yt’=K/[1+ae-bt]

且K=70%

用回歸分析1)線性化及預(yù)測(cè)方程：yt=a0+a1t

式中a0=lna,a1=-b,yt’=ln(K/yt-1)

∵K,yt為已知,∴yi’為已知∑yi’=18.1174,y

’=1.39365,∑yi’=30.96707n=13,t=7.0,∑ti=819,∑ti

yi’=76.5519

22第三十二頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日利用線性回歸中求參數(shù)公式:

a0=y-bx=y’-bt及(1/n)∑xi

yi

-x(1/n)∑yi(1/n)∑ti

yi’-t(1/n)∑y’

(1/n)∑xi

-x(1/n)∑xi(1/n)∑ti

-t(1/n)∑ti

得a0=2.453620→a=ea0=11.6304

a0=-0.176662→b=-a=0.176